بيضاوي

الشكل البيضاوي ( من الكلمة اللاتينية ovum التي تعني " بيضة " ) هو منحنى مغلق في مستوى يشبه شكل البيضة . [ ^{1 ] [ 2 ] [ 3 ] المصطلح} ليس دقيقًا جدًا، ولكن في بعض مجالات الرياضيات ( الهندسة الإسقاطية ، الرسم الفني ، إلخ)، يُعطى تعريفًا أكثر دقة، قد يشمل محور تناظر واحد أو محورين للقطع الناقص . في اللغة الإنجليزية الدارجة، يُستخدم المصطلح بمعنى أوسع: أي شكل يُذكّر بالبيضة. ^{[ 4 ]} يُطلق على الشكل البيضاوي ثلاثي الأبعاد اسم الشكل البيضاوي المجوف . ^{[ 2 ]} 

مصطلح "بيضاوي" عند استخدامه لوصف المنحنيات في الهندسة ليس له تعريف دقيق، إلا في سياق الهندسة الإسقاطية. تُسمى العديد من المنحنيات المختلفة عادةً بالمنحنيات البيضاوية أو يُقال إنها ذات "شكل بيضاوي". عمومًا، لكي يُطلق على منحنى مستوٍ اسم بيضاوي، يجب أن يُشبه شكل بيضة أو قطع ناقص. على وجه الخصوص، هذه بعض السمات الشائعة للمنحنيات البيضاوية:

• إنها قابلة للتفاضل (تبدو ناعمة)، ^{[ 5 ]} بسيطة (لا تتقاطع مع نفسها)، محدبة ، مغلقة ، ومنحنيات مستوية ؛
• لا يختلف شكلها كثيراً عن شكل القطع الناقص ؛ و

• عادةً ما يكون للشكل البيضاوي محور تناظر ، ولكن هذا ليس شرطاً.

فيما يلي أمثلة على الأشكال البيضاوية الموصوفة في أماكن أخرى:

• أشكال بيضاوية لكاسيني
• أجزاء من بعض المنحنيات الإهليلجية
• بيضة الطحلب
• القطع الناقص الفائق
• بيضاوي ديكارتي
• الملعب

الشكل البيضاوي هو السطح في الفضاء ثلاثي الأبعاد الناتج عن دوران منحنى بيضاوي حول محور تناظر. وتعني صفتا "بيضاوي" و "إفوتي" امتلاك خاصية الشكل البيضاوي، وغالبًا ما تُستخدمان كمرادفين لكلمة "على شكل بيضة".

• في المستوى الإسقاطي، تُسمى مجموعة النقاط Ω بيضاوية الشكل ، إذا:

1. أي خط l يتقاطع مع Ω في نقطتين على الأكثر، و
2. لكل نقطة P ∈ Ω ، يوجد خط مماس واحد بالضبط t يمر عبر P ، أي ، t ∩ Ω = { P }.

بالنسبة للمستويات المحدودة ( أي أن مجموعة النقاط محدودة) هناك توصيف أكثر ملاءمة: ^{[ 6 ]}

• بالنسبة لمستوى إسقاطي محدود من الرتبة n ( أي أن أي خط يحتوي على n + 1 نقطة) فإن مجموعة Ω من النقاط تكون بيضاوية إذا وفقط إذا كان | Ω | = n + 1 ولا توجد ثلاث نقاط على خط مستقيم واحد (على خط مشترك).

الشكل البيضاوي في الفضاء الإسقاطي هو مجموعة Ω من النقاط بحيث:

1. أي خط يتقاطع مع Ω في نقطتين على الأكثر،
2. تغطي المماسات عند نقطة ما مستوىً فائقًا (ولا شيء أكثر من ذلك)، و
3. لا يحتوي Ω على خطوط.

في الحالة المحدودة ، توجد الأشكال البيضاوية فقط في البعد 3. ويمكن وصفها بشكل ملائم كما يلي:

• في فضاء إسقاطي ثلاثي الأبعاد محدود من الرتبة n > 2، تكون أي مجموعة نقاط Ω بيضاوية إذا وفقط إذا كان | Ω |${\displaystyle =n^{2}+1}$ولا توجد ثلاث نقاط تقع على خط مستقيم واحد. ^{[ 7 ]}

يُمكن تقريب شكل البيضة بالنصف "الطويل" لشكل كروي مُطاول ، مُتصلًا بالنصف "القصير" لشكل بيضاوي كروي تقريبًا ، أو حتى شكل كروي مُفلطح قليلًا . تتصل هذه الأشكال عند خط الاستواء وتتشارك محورًا رئيسيًا للتناظر الدوراني ، كما هو موضح أعلاه. على الرغم من أن مصطلح "شكل بيضاوي" يُشير عادةً إلى غياب تناظر الانعكاس حول المستوى الاستوائي ، إلا أنه قد يُشير أيضًا إلى أشكال بيضاوية مُطاولة حقيقية . كما يُمكن استخدامه لوصف الشكل ثنائي الأبعاد الذي، عند تدويره حول محوره الرئيسي ، يُنتج سطحًا ثلاثي الأبعاد.

استنادًا إلى معنى كلمة "بيضاوي" ( أي "بيضة")، يشير الشكل البيضاوي إلى تمثيل مسطح للبيضة. ونظرًا لتنوع أشكال البيض في الطبيعة، ينبغي أن يُعيد الوصف الرياضي تمثيل الشكل البيضاوي لأي شكل بيضاوي بيانيًا. ^{[ 8 ]} يمكن اعتماد أربعة أبعاد رئيسية ( قياسات ) كمعايير لتحديد الشكل البيضاوي: ^{[ 9 ]}

• الطول L ،
• أقصى عرض B ،
• الإزاحة w لأقصى عرض من المركز ، أي من النقطة x = L /2، و
• العرض D _p عند نقطة تبعد 1 / 4 من الطول من الطرف المدبب.

وبناءً على ذلك، يمكن كتابة الصيغة الرياضية للشكل البيضاوي على النحو التالي: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle y=\pm {\frac {B}{2}}\sin ^{n}\left({\frac {\pi (1-p)x}{x-pL}}\right),}$$ في أي $${\displaystyle p={\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {w}{L}}\right)^{-1}\right],}$$$${\displaystyle n={\frac {\ln \left({\frac {D_{p}}{B}}\right)}{\ln \left[\sin \left(\pi {\frac {1-p}{1-4p}}\right)\right]}}.}$$

يُعدّ التعامل مع مختلف أشكال الأشكال البيضاوية أكثر ملاءمةً عند استخدام وحدة طول ( L = 1)، وتُعرض معلمات الشكل البيضاوي على شكل تركيبات تُعبّر عنها عادةً بالمؤشرات ، وهي: مؤشر الشكل ( B / L )، ومؤشر عدم التناظر ( w / L )، ومؤشر المخروطية ( Dp _/ B ). ^{[ 9 ]} وبناءً على ذلك، يمكن كتابة الصيغة الرياضية للشكل البيضاوي ذي الوحدة كما يلي: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\frac {y}{L}}=\pm {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {B}{L}}\sin ^{n}\left(\pi {\frac {1-p}{{\frac {x}{L}}-p}}\cdot {\frac {x}{L}}\right).}$$

تتيح مجموعة متنوعة من قيم المؤشر عددًا لا يحصى من أشكال الأشكال البيضاوية، بدءًا من الأشكال الهندسية القياسية مثل الدائرة والقطع الناقص، وصولًا إلى الأشكال البيضاوية الكلاسيكية على شكل بيضة وحتى الأشكال الكمثرية ( على شكل كمثرى ) والأشكال المخروطية المزدوجة الأكثر غرابة . ^{[ 9 ]}

• أشكال بيضاوية متنوعة:
  صور لأشكال بيضاوية لقيم مختلفة للمؤشرات الرئيسية الثلاثة
• 
  الدائرة B / L = 1 w / L = 0 D _p / B = 0.866
• 
  القطع الناقص B / L = 0.75 w / L = 0 D _p / B = 0.866
• 
  بيضة كلاسيكية B / L = 0.75 w / L = 0.06 D _p / B = 0.8
• 
  بيضة كمثرية الشكل ( B / L ) = 0.63 ، w / L = 0.125 ، D _p / B = 0.7
• 
  بيضة ثنائية المخروط B / L = 0.7 w / L = 0.07 D _p / B = 0.73

تسمح قيم معينة لمؤشر المخروطية بتحويل القطع الناقص الكلاسيكي إلى قطع ناقص فائق: ^{[ 9 ]}

• أشكال بيضاوية ذات قيم مؤشر تسمح بالحصول على صور للأشكال البيضاوية الفائقة
• 
  B / L = 0.75 w / L = 0 D _p / B = 0.825
• 
  B / L = 0.75 w / L = 0 D _p / B = 0.885

في الرسم الهندسي، الشكل البيضاوي هو شكل يتكون من زوجين من الأقواس ، بنصفَي قطر مختلفين (انظر الصورة على اليمين). يلتقي القوسان عند نقطة تقع فيها الخطوط المماسية لكلا القوسين المتصلين على خط واحد، مما يجعل الوصلة سلسة. أي نقطة على الشكل البيضاوي تنتمي إلى قوس بنصف قطر ثابت (أقصر أو أطول)، بينما في القطع الناقص، يتغير نصف القطر باستمرار.

في اللغة الدارجة، تعني كلمة "بيضاوي" شكلاً يشبه البيضة أو القطع الناقص، وقد يكون ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد. كما تشير غالباً إلى شكل يشبه نصفَي دائرتين متصلتين بمستطيل ، مثل ملعب الكريكيت أو حلبة التزلج السريع أو مضمار ألعاب القوى . مع ذلك، يُطلق على هذا الشكل اسم "ملعب".

يُستخدم مصطلح "القطع الناقص" غالبًا كمرادف لمصطلح "البيضاوي"، ولكنه يحمل معنى رياضيًا أكثر تحديدًا. ^{[ 10 ]} كما يُستخدم مصطلح "المستطيل" للدلالة على الشكل البيضاوي، ^{[ 11 ]} مع أن مصطلح "المستطيل" في الهندسة يشير إلى مستطيل ذي أضلاع متجاورة غير متساوية، وليس إلى شكل منحني. ^{[ 12 ]}

• القطع الناقص
• قبة بيضاوية الشكل
• الملعب (الهندسة)
• رمزية القباب
• فيزيكا بيسيس - بيضاوي مدبب