مقياس كايلي-كلاين

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 43 صور
الموسوعة الحرة
المسافة المترية بين نقطتين داخل النطاق المطلق هي لوغاريتم النسبة التبادلية التي تشكلها هاتان النقطتان ونقطتا تقاطع خطهما مع النطاق المطلق.

في الرياضيات، يُعرف مقياس كايلي-كلاين بأنه مقياس على متمم سطح تربيعي ثابت في فضاء إسقاطي، ويُعرَّف باستخدام نسبة تبادلية . نشأ هذا المفهوم مع مقال آرثر كايلي "حول نظرية المسافة" [ 1 ] ، حيث أطلق على السطح التربيعي اسم " المطلق ". وقد طُوِّر هذا المفهوم بتفصيل أكبر على يد فيليكس كلاين في أوراق بحثية نُشرت عامي 1871 و1873، وفي كتب وأوراق بحثية لاحقة. [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] تُعدّ مقاييس كايلي-كلاين فكرةً جامعةً في الهندسة، إذ تُستخدم هذه الطريقة لتوفير مقاييس في الهندسة الزائدية ، والهندسة الإهليلجية ، والهندسة الإقليدية . ويعتمد مجال الهندسة غير الإقليدية بشكل كبير على الأسس التي توفرها مقاييس كايلي-كلاين.

المؤسسات

يُعدّ جبر الرميات لكارل فون شتاودت (1847) منهجًا في الهندسة مستقلًا عن المقياس . تقوم فكرته على استخدام علاقة المرافقات التوافقية الإسقاطية والنسب التبادلية كأساس لقياس المسافة على خط مستقيم. [ 10 ] ومن الأفكار المهمة الأخرى صيغة لاغير لإدموند لاغير (1853)، الذي بيّن أن الزاوية الإقليدية بين خطين يمكن التعبير عنها بلوغاريتم نسبة تبادلية. [ 11 ] وفي النهاية، صاغ كايلي (1859) علاقات للتعبير عن المسافة بدلالة المقياس الإسقاطي، وربطها بالأسطح التربيعية أو المخروطية العامة التي تُمثّل القيمة المطلقة للهندسة. [ 12 ] [ 13 ] أزال كلاين (1871، 1873) آخر بقايا المفاهيم المترية من عمل فون شتاودت، ودمجها مع نظرية كايلي، ليؤسس مقياس كايلي الجديد على اللوغاريتم والنسبة التبادلية كعدد ناتج عن الترتيب الهندسي لأربع نقاط. [ 14 ] هذه العملية ضرورية لتجنب تعريف دائري للمسافة إذا كانت النسبة التبادلية مجرد نسبة مضاعفة للمسافات المعرفة سابقًا. [ 15 ] على وجه الخصوص، بيّن أن الهندسات غير الإقليدية يمكن أن تُبنى على مقياس كايلي-كلاين. [ 16 ]

هندسة كايلي-كلاين هي دراسة مجموعة الحركات التي تحافظ على ثبات مقياس كايلي-كلاين . وتعتمد على اختيار سطح تربيعي أو قطع مخروطي يُصبح القيمة المطلقة للفضاء. تُستنتج هذه المجموعة من خلال التوازيات التي تكون عندها القيمة المطلقة مستقرة . في الواقع، تبقى النسبة التبادلية ثابتة تحت أي توازي، وتُمكّن القيمة المطلقة المستقرة من إجراء مقارنة المقاييس، والتي تُؤدي إلى التساوي. على سبيل المثال، تُمثل دائرة الوحدة القيمة المطلقة لنموذج قرص بوانكاريه ونموذج بلترامي-كلاين في الهندسة الزائدية . وبالمثل، يُمثل الخط الحقيقي القيمة المطلقة لنموذج نصف مستوى بوانكاريه .

تم تلخيص مدى هندسة كايلي-كلاين بواسطة هورست ورولف ستروف في عام 2004: [ 17 ]

توجد ثلاثة عناصر مطلقة في خط الإسقاط الحقيقي، وسبعة في مستوى الإسقاط الحقيقي، وثمانية عشر في فضاء الإسقاط الحقيقي. ويمكن تعريف جميع فضاءات الإسقاط الكلاسيكية غير الإقليدية، كالفضاءات الزائدية والإهليلجية والجاليلية والمنكوفسكية، ونظائرها، بهذه الطريقة.

مخططات كايلي-كلاين فورونوي هي مخططات أفينية ذات منصفات خطية للمستويات الفائقة . [ 18 ]

النسبة التبادلية والمسافة

يُوضَّح مقياس كايلي-كلاين أولًا على الخط الإسقاطي الحقيقي P( R ) والإحداثيات الإسقاطية . عادةً لا ترتبط الهندسة الإسقاطية بالهندسة المترية، ولكن أداةٌ تتضمن التحويل المتجانس واللوغاريتم الطبيعي تُنشئ هذا الربط. لنبدأ بنقطتين p و q على P( R ). في التضمين المتعارف عليه، هما [ p :1] و [ q :1]. الخريطة المتجانسة

[z:1](-11ص-q)=[ص-z:z-q]{\displaystyle [z:1]{\begin{pmatrix}-1&1\\p&-q\end{pmatrix}}=[pz:zq]}

يُحوّل هذا الكود قيمة p إلى الصفر وقيمة q إلى اللانهاية. علاوة على ذلك، فإن نقطة المنتصف ( p + q )/2 تقع ضمن النطاق [1:1]. يُحوّل اللوغاريتم الطبيعي صورة الفترة [ p , q ] إلى خط الأعداد الحقيقية، بحيث يكون لوغاريتم صورة نقطة المنتصف مساويًا للصفر.

لحساب المسافة بين نقطتين في الفترة، يستخدم مقياس كايلي-كلاين لوغاريتم نسبة النقطتين. وبما أن النسبة تبقى ثابتة عند إعادة ترتيب البسط والمقام بالتساوي، فإن لوغاريتم هذه النسب يبقى ثابتًا أيضًا. تتيح هذه المرونة في النسب إمكانية تحريك نقطة الصفر للمسافة: لتحريكها إلى النقطة a ، نطبق التحويل المتجانس المذكور أعلاه، ولنقل نحصل على w . ثم نُنشئ هذا التحويل المتجانس:

[z:1](100w){\displaystyle [z:1]{\begin{pmatrix}1&0\\0&w\end{pmatrix}}}والذي يأخذ [ w ,1] إلى [1  : 1].

يؤدي تركيب التحويلين المتجانسين الأول والثاني إلى جعل قيمة a تساوي 1، مما يُوحّد أي قيمة لـ a في الفترة. يُطلق على التحويلين المتجانسين المركبين اسم تحويل النسبة التبادلية لـ p و q و a . غالبًا ما تُعرّف النسبة التبادلية كدالة لأربع قيم. هنا، تُحدد ثلاث قيم التحويل المتجانس، بينما تُمثل القيمة الرابعة وسيط التحويل . تُمثل المسافة بين هذه النقطة الرابعة والصفر لوغاريتم التحويل المتجانس المُقاس.

في فضاء إسقاطي يحتوي على P( R )، لنفترض وجود قطع مخروطي K ، حيث p و q يقعان على K. قد يكون للتحويل المتجانس على الفضاء الأكبر K مجموعة ثابتة لأنه يُبدّل نقاط الفضاء. يُولّد هذا التحويل المتجانس تحويلاً متجانساً على P( R )، وبما أن p و q يبقيان على K ، فإن النسبة التبادلية تظل ثابتة. توفر التحويلات المتجانسة الأعلى حركات للمنطقة المحصورة بـ K ، مع مسافة تحافظ على الحركة، أي قياس متساوي القياس .

تطبيقات القرص

لنفترض أنه تم اختيار دائرة الوحدة للقيمة المطلقة. قد تكون في P 2 ( R ) كما

{[x:y:z]:x2+y2=z2}{\displaystyle \{[x:y:z]:x^{2}+y^{2}=z^{2}\}}وهو ما يتوافق مع(x/z)2+(y/z)2=1.{\displaystyle (x/z)^{2}+(y/z)^{2}=1.}

من ناحية أخرى، دائرة الوحدة في المستوى المركب العادي

{z:|z|2=zz*=1}{\displaystyle \{z:|z|^{2}=zz^{*}=1\}}يستخدم حساب الأعداد المركبة

ويُوجد هذا في الخط الإسقاطي المركب P( C )، وهو يختلف عن المستوى الإسقاطي الحقيقي P₂ ( R ). مفهوم المسافة لـ P( R ) المُقدَّم في القسم السابق مُتاح لأن P( R ) مُضمَّن في كلٍّ من P₂ ( R ) وP( C ). لنفترض أن النقطتين a و b تقعان داخل الدائرة في P₂ ( R ) . عندئذٍ، تقعان على خط يتقاطع مع الدائرة عند النقطتين p و q . المسافة من a إلى b هي لوغاريتم قيمة التحويل المتجانس، المُولَّد أعلاه بواسطة p و q و a ، عند تطبيقه على b . في هذه الحالة، تكون الخطوط الجيوديسية في القرص عبارة عن قطع مستقيمة.

من جهة أخرى، تُعدّ الخطوط الجيوديسية أقواسًا من دوائر معممة في قرص المستوى المركب. يتم تبديل هذه الفئة من المنحنيات بواسطة تحويلات موبيوس ، وهي مصدر حركات هذا القرص التي تُبقي دائرة الوحدة مجموعة ثابتة . عند تحديد النقطتين a و b في هذا القرص، توجد دائرة معممة فريدة تتقاطع مع دائرة الوحدة بزاوية قائمة، ولتكن p و q . لحساب المسافة من a إلى b ، يتم أولًا إنشاء التحويل المتجانس لـ p و q و a ، ثم يتم حسابه عند b ، وأخيرًا يتم استخدام اللوغاريتم. النموذجان للمستوى الزائدي الناتجين بهذه الطريقة هما نموذج كايلي-كلاين ونموذج قرص بوانكاريه .

النسبية الخاصة

كتب كلاين في محاضراته عن تاريخ الرياضيات من عام 1919/20، والتي نُشرت بعد وفاته عام 1926: [ 19 ]

القضيةx2+y2+z2-ت2=0{\textstyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}في العالم رباعي الأبعاد أودx2+دy2+دz2-دت2=0{\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dt^{2}=0}(البقاء في ثلاثة أبعاد واستخدام الإحداثيات المتجانسة ) اكتسبت مؤخراً أهمية خاصة من خلال نظرية النسبية في الفيزياء.

أي المطلقاتx12+x22-x32=0{\textstyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0}أوx12+x22+x32-x42=0{\textstyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}في الهندسة الزائدية (كما نوقش أعلاه)، تتوافق مع الفتراتx2+y2-ت2=0{\textstyle x^{2}+y^{2}-t^{2}=0}أوx2+y2+z2-ت2=0{\textstyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}في الزمكان ، ويمكن ربط تحويلاته التي تُبقي على الثابت المطلق بتحويلات لورنتز . وبالمثل، فإن معادلات دائرة الوحدة أو كرة الوحدة في الهندسة الزائدية تُقابل السرعات الفيزيائية.(دxدت))2+(دyدت))2=1{\textstyle {\bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}=1}أو(دxدت))2+(دyدت))2+(دzدت))2=1{\textstyle {\bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dz}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}=1}في النسبية، والتي تكون محدودة بسرعة الضوء c ، بحيث بالنسبة لأي سرعة فيزيائية v ، فإن النسبة v / c محصورة في الجزء الداخلي من كرة الوحدة، ويشكل سطح الكرة المطلق كايلي للهندسة. 

أشار كلاين في عام 1910، [ 20 ] وكذلك في طبعة عام 1928 من محاضراته حول الهندسة غير الإقليدية، إلى تفاصيل إضافية حول العلاقة بين مقياس كايلي-كلاين للفضاء الزائدي وفضاء مينكوفسكي للنسبية الخاصة. [ 21 ]

هندسة CK الأفينية

في عام 2008، قام هورست مارتيني ومارجريتا سبيروفا بتعميم أولى نظريات دائرة كليفورد وغيرها من نظريات الهندسة الإقليدية باستخدام الهندسة الأفينية المرتبطة بالمطلق كايلي:

إذا احتوى الشكل المطلق على خط، فإنه يُنتج مجموعة فرعية من هندسات كايلي - كلاين الأفينية . أما إذا تكوّن الشكل المطلق من خط f ونقطة F عليه ، فإنه يُنتج هندسة متناحية . الدائرة المتناحية هي قطع مخروطي يلامس f عند F. [ 22 ]

استخدم الإحداثيات المتجانسة ( x,y,z ). الخط f عند اللانهاية هو z = 0. إذا كانت F = (0,1,0)، فإن القطع المكافئ الذي قطره موازٍ للمحور y هو دائرة متناحية الخواص.

لنفترض أن P = (1,0,0) و Q = (0,1,0) تقعان على المستوى المطلق، وبالتالي فإن f هي كما سبق. يُفترض أن القطع الزائد القائم في المستوى ( x,y ) يمر بالنقطتين P و Q على خط اللانهاية. هذه المنحنيات هي دوائر شبه إقليدية.

يستخدم أسلوب مارتيني وسبيروفا الأعداد الثنائية للهندسة المتناحية والأعداد المركبة المنقسمة للهندسة شبه الإقليدية. وترتبط هذه الأعداد المركبة المعممة بهندستها كما ترتبط الأعداد المركبة العادية بالهندسة الإقليدية.

تاريخ

كايلي

طُرح مؤخرًا سؤالٌ في نقاشٍ حول ما إذا كانت أطروحةٌ من سطرين تستحقّ الحصول على زمالةٍ بحثية. ... يُعدّ تعريف كايلي الإسقاطي للطول مثالًا واضحًا إذا ما سمحنا بتفسير عبارة "سطرين" بتسامحٍ معقول. ... مع كايلي، تتضح أهمية الفكرة من النظرة الأولى.

— ليتلوود (1986 ، ص 39-40) 

عرّف آرثر كايلي (1859) "المطلق" الذي استند إليه في مقياسه الإسقاطي على أنه معادلة عامة لسطح من الدرجة الثانية بدلالة الإحداثيات المتجانسة : [ 1 ]

إبداعيحديث
(أ،ب،ج)(x،y)2=0{\displaystyle (a,b,c)(x,y)^{2}=0}∑α،β=1،2أαβxαxβ=0{\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta =1,2}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0}

تُعطى المسافة بين نقطتين بالصيغة التالية:

إبداعيحديث
كوس-1⁡(أ،ب،ج)(x،y)(x′،y′)(أ،ب،ج)(x،y)2(أ،ب،ج)(x′،y′)2{\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {(a,b,c)(x,y)\left(x',y'\right)}{{\sqrt {(a,b,c)(x,y)^{2}}}{\sqrt {(a,b,c)(x',y')^{2}}}}}}كوس-1⁡∑أαβxαyβ∑أαβxαxβ∑أαβyαyβ[α،β=1،2]{\displaystyle {\begin{array}{c}\cos ^{-1}{\dfrac {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }}{{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }}}{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }}}}}\\\left[\alpha ,\beta =1,2\right]\end{array}}}

في بعدين

إبداعيحديث
(أ،ب،ج،و،ز،ح)(x،y،z)2=0{\displaystyle (a,b,c,f,g,h)(x,y,z)^{2}=0}∑α،β=13أαβxαxβ=0،{\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0,}

مع المسافة

إبداعيحديث
كوس-1⁡(أ،...)(x،y،z)(x′،y′،z′)(أ،...)(x،y،z)2(أ،...)(x′،y′،z′)2{\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {(a,\dots )(x,y,z)\left(x',y',z'\right)}{{\sqrt {(a,\dots )(x,y,z)^{2}}}{\sqrt {(a,\dots )(x',y',z')^{2}}}}}}كوس-1⁡∑أαβxαyβ∑أαβxαxβ∑أαβyαyβ، (α،β=1،2،3){\displaystyle {\begin{array}{c}\cos ^{-1}{\dfrac {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }}{{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }}}{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }}}}},\ \\\left(\alpha ,\beta =1,2,3\right)\end{array}}}

والتي ناقش فيها الحالة الخاصةx2+y2+z2=0{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}مع المسافة كوس-1⁡xx′+yy′+zz′x2+y2+z2x′2+y′2+z′2{\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {xx'+yy'+zz'}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt {x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}}}}}

وألمح أيضاً إلى القضيةx2+y2+z2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}(كرة الوحدة).

كلاين

أعاد فيليكس كلاين (1871) صياغة تعبيرات كايلي على النحو التالي: كتب المطلق (الذي أطلق عليه المقطع المخروطي الأساسي) بدلالة الإحداثيات المتجانسة: [ 23 ]

إبداعيحديث
Ω=أx12+2بx1x2+جx22=0{\displaystyle \Omega =ax_{1}^{2}+2bx_{1}x_{2}+cx_{2}^{2}=0}Ω=∑α،β=1،2أαβxαxβ=0{\displaystyle \Omega =\sum _{\alpha ,\beta =1,2}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0}

ومن خلال تشكيل المطلقاتΩxx{\displaystyle \Omega _{xx}}وΩyy{\displaystyle \Omega _{yy}}بالنسبة لعنصرين، حدد المسافة المترية بينهما بدلالة النسبة التبادلية:

جسجل⁡Ωxy+Ωxy2-ΩxxΩyyΩxy-Ωxy2-ΩxxΩyy=2أناج⋅أركوس⁡ΩxyΩxx⋅Ωyy{\displaystyle c\log {\frac {\Omega _{xy}+{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}{\Omega _{xy}-{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}}=2ic\cdot \arccos {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}}

إبداعيحديث
Ωxx=أx12+2بx1x2+جx22Ωyy=أy12+2بy1y2+جy22Ωxy=أx1y1+ب(x1y2+x2y1)+جx2y2{\displaystyle {\begin{matrix}\Omega _{xx}=ax_{1}^{2}+2bx_{1}x_{2}+cx_{2}^{2}\\\Omega _{yy}=ay_{1}^{2}+2by_{1}y_{2}+cy_{2}^{2}\\\Omega _{xy}=ax_{1}y_{1}+b\left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)+cx_{2}y_{2}\end{matrix}}}Ωxx=∑أαβxαxβ=0Ωyy=∑أαβyαyβ=0Ωxy=∑أαβxαyβ(α،β=1،2){\displaystyle {\begin{matrix}\Omega _{xx}=\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\\\Omega _{yy}=\sum a_{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }=0\\\Omega _{xy}=\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }\\\left(\alpha ,\beta =1,2\right)\end{matrix}}}

في المستوى، تنطبق نفس العلاقات على المسافات المترية، باستثناء أنΩxx{\displaystyle \Omega _{xx}}وΩyy{\displaystyle \Omega _{yy}}ترتبط الآن بثلاث إحداثياتx،y،z{\displaystyle x,y,z}كلٌّ منها. وباعتباره قسمًا مخروطيًا أساسيًا، فقد ناقش الحالة الخاصةΩxx=z1z2-z32=0{\displaystyle \Omega _{xx}=z_{1}z_{2}-z_{3}^{2}=0}وهو ما يرتبط بالهندسة الزائدية عندما تكون حقيقية، وبالهندسة الإهليلجية عندما تكون تخيلية. [ 24 ] تمثل التحويلات التي تُبقي هذا الشكل ثابتًا حركات في الفضاء غير الإقليدي المعني. وبدلاً من ذلك، استخدم معادلة الدائرة بالشكل التالي:Ωxx=x2+y2-4ج2=0{\displaystyle \Omega _{xx}=x^{2}+y^{2}-4c^{2}=0}، وهو ما يتعلق بالهندسة الزائدية عندماج{\displaystyle c}تكون موجبة (نموذج بلترامي-كلاين) أو ذات هندسة إهليلجية عندماج{\displaystyle c}[ 25 ] في الفضاء، ناقش الأسطح الأساسية من الدرجة الثانية، والتي تشير الأسطح التخيلية منها إلى الهندسة الإهليلجية، والأسطح الحقيقية والمستقيمة إلى سطح زائد ذي ورقة واحدة لا علاقة له بأي من الهندسات الرئيسية الثلاث، بينما تشير الأسطح الحقيقية وغير المستقيمة إلى الفضاء الزائدي .

في بحثه المنشور عام ١٨٧٣، أشار إلى العلاقة بين مقياس كايلي ومجموعات التحويل. [ ٢٦ ] وعلى وجه الخصوص، يمكن تحويل المعادلات التربيعية ذات المعاملات الحقيقية، والتي تُقابل أسطحًا من الدرجة الثانية، إلى مجموع مربعات، حيث يظل الفرق بين عدد الإشارات الموجبة والسالبة متساويًا (يُعرف هذا الآن بقانون سيلفستر للقصور الذاتي ). إذا كانت إشارة جميع المربعات متماثلة، يكون السطح تخيليًا ذو انحناء موجب. أما إذا اختلفت إشارة واحدة عن البقية، فيصبح السطح قطعًا ناقصًا أو سطحًا زائديًا ذا ورقتين ذو انحناء سالب.

في المجلد الأول من محاضراته حول الهندسة غير الإقليدية في الفصل الدراسي الشتوي 1889/90 (نُشر 1892/1893)، ناقش المستوى غير الإقليدي، مستخدمًا هذه التعبيرات للمطلق: [ 27 ]∑α،β=13أαβxαxβ=0→x2+y2+4ك2ت2=0(بيضاوي الشكل)x2+y2-4ك2ت2=0(زائدي){\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\rightarrow {\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+4k^{2}t^{2}=0&{\text{(elliptic)}}\\x^{2}+y^{2}-4k^{2}t^{2}=0&{\text{(hyperbolic)}}\end{matrix}}} وناقشوا ثباتها فيما يتعلق بالاستقامات وتحويلات موبيوس التي تمثل الحركات في الفضاءات غير الإقليدية.

في المجلد الثاني الذي يحتوي على محاضرات الفصل الدراسي الصيفي لعام 1890 (الذي نُشر أيضًا في 1892/1893)، ناقش كلاين الفضاء غير الإقليدي باستخدام مقياس كايلي [ 28 ].∑α،β=14أαβxαxβ=0،{\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta =1}^{4}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0,} وتابع ليُظهر أن متغيرات هذا الشكل التربيعي الرباعي يمكن تحويلها إلى أحد الأشكال الخمسة التالية عن طريق التحويلات الخطية الحقيقية [ 29 ].z12+z22+z32+z42(الجزء الصفري)z12+z22+z32-z42(بيضاوي)z12+z22-z32-z42(جرس)-z12-z22-z32+z42-z12-z22-z32-z42{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}&{\text{(zero part)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(oval)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(ring)}}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}+z_{4}^{2}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}\end{aligned}}}

النموذجz12+z22+z32+z42=0{\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}=0}استخدمه كلاين كمعيار كايلي المطلق للهندسة الإهليلجية، [ 30 ] بينما ربطه بالهندسة الزائديةz12+z22+z32-z42=0{\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}أو بدلاً من ذلك، معادلة كرة الوحدةx2+y2+z2-1=0{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0}[ 31 ] ناقش في النهاية ثباتها فيما يتعلق بالاستقامات وتحويلات موبيوس التي تمثل الحركات في الفضاءات غير الإقليدية .

لخص روبرت فريك وكلاين كل هذا في مقدمة المجلد الأول من المحاضرات حول الدوال الذاتية الشكل في عام 1897، والتي استخدموا فيهاهـ(z12+z22)-z32=0{\displaystyle e\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)-z_{3}^{2}=0}باعتبارها المطلق في الهندسة المستوية، وz12+z22+z32-z42=0{\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}إلى جانبX2+Y2+Z2=1{\displaystyle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1}للفضاء الزائدي. [ 32 ] أُعيد نشر محاضرات كلاين حول الهندسة اللاإقليدية بعد وفاته في مجلد واحد، وقام والتر روزمان بتحريرها بشكل كبير عام 1928. [ 9 ] وقدّم أكامبو وبابادوبولوس (2014) تحليلًا تاريخيًا لأعمال كلاين في الهندسة اللاإقليدية. [ 16 ]

انظر أيضاً

الاقتباسات

مراجع

تاريخي

مصادر ثانوية

للمزيد من القراءة