متغير مستمر أو منفصل

في الرياضيات والإحصاء ، قد يكون المتغير الكمي متصلاً أو منفصلاً . إذا كان بإمكانه أن يأخذ قيمتين حقيقيتين وجميع القيم بينهما، يكون المتغير متصلاً في تلك الفترة . ^{[ 1 ]} أما إذا كان بإمكانه أن يأخذ قيمة بحيث توجد فجوة غير متناهية الصغر على جانبيها لا تحتوي على أي قيم يمكن أن يأخذها المتغير، فإنه يكون منفصلاً حول تلك القيمة. ^{[ 2 ]} في بعض السياقات، قد يكون المتغير منفصلاً في نطاقات معينة من خط الأعداد ومتصلاً في نطاقات أخرى. في الإحصاء، تُعد المتغيرات المتصلة والمتقطعة نوعين متميزين من البيانات الإحصائية ، ويتم وصفهما بتوزيعات احتمالية مختلفة .

المتغير المستمر هو متغير توجد فيه قيم محتملة بين أي قيمتين.

على سبيل المثال، يكون المتغير متصلاً ضمن نطاق غير فارغ من الأعداد الحقيقية إذا كان بإمكانه أن يأخذ أي قيمة في ذلك النطاق. ^{[ 3 ]}

تُستخدم طرق حساب التفاضل والتكامل غالبًا في المسائل التي تكون فيها المتغيرات متصلة، على سبيل المثال في مسائل التحسين المستمر. ^{[ 4 ]}

في النظرية الإحصائية ، يمكن التعبير عن التوزيعات الاحتمالية للمتغيرات المستمرة بدلالة دوال كثافة الاحتمال . ^{[ 5 ]}

في ديناميكيات الزمن المستمر ، يُعامل متغير الزمن على أنه مستمر، والمعادلة التي تصف تطور متغير ما مع الزمن هي معادلة تفاضلية . ^{[ 6 ]} معدل التغير اللحظي هو مفهوم محدد جيدًا يأخذ نسبة التغير في المتغير التابع إلى التغير في المتغير المستقل عند لحظة معينة.

في المقابل، يكون المتغير متغيرًا منفصلاً إذا وفقط إذا وُجد تطابق واحد لواحد بين هذا المتغير ومجموعة جزئية من${\displaystyle \mathbb {N} }$، مجموعة الأعداد الطبيعية . ^{[ 7 ]} بعبارة أخرى، المتغير المنفصل على فترة معينة من القيم الحقيقية هو متغير، لكل قيمة ضمن النطاق المسموح به، توجد مسافة دنيا موجبة إلى أقرب قيمة أخرى مسموح بها. عدد القيم المسموح بها إما محدود أو غير محدود قابل للعد . من الأمثلة الشائعة المتغيرات التي يجب أن تكون أعدادًا صحيحة ، أو أعدادًا صحيحة غير سالبة، أو أعدادًا صحيحة موجبة، أو العددين الصحيحين 0 و1 فقط. ^{[ 8 ]}

لا تُناسب طرق حساب التفاضل والتكامل بسهولة المسائل التي تتضمن متغيرات منفصلة. وخاصة في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات، تعتمد العديد من النماذج على افتراض الاستمرارية. ^{[ 9 ]} ومن أمثلة المسائل التي تتضمن متغيرات منفصلة البرمجة العددية الصحيحة .

في الإحصاء، يمكن التعبير عن التوزيعات الاحتمالية للمتغيرات المنفصلة بدلالة دوال الكتلة الاحتمالية . ^{[ 5 ]}

في ديناميكيات الزمن المتقطع ، يُعامل الزمن المتغير على أنه متقطع، وتُسمى معادلة تطور متغير ما مع الزمن معادلة الفرق . ^{[ 10 ]} بالنسبة لبعض أنظمة ديناميكيات الزمن المتقطع، يمكن نمذجة استجابة النظام عن طريق حل معادلة الفرق للحصول على حل تحليلي.

في الاقتصاد القياسي، وبشكل أعم في تحليل الانحدار ، تكون بعض المتغيرات المرتبطة تجريبيًا متغيرات ثنائية (0-1)، أي لا تأخذ إلا هاتين القيمتين. ^{[ 11 ]} والغرض من القيمتين 0 و1 المنفصلتين هو استخدام المتغير الوهمي كمفتاح يمكن تفعيله أو تعطيله بتعيين هاتين القيمتين لمعاملات مختلفة في المعادلة. يُسمى هذا النوع من المتغيرات بالمتغير الوهمي . إذا كان المتغير التابع متغيرًا وهميًا، فعادةً ما يُستخدم الانحدار اللوجستي أو انحدار بروبيت . في تحليل الانحدار، يمكن استخدام المتغير الوهمي لتمثيل مجموعات فرعية من العينة في الدراسة (مثلًا، القيمة 0 تُشير إلى أحد مكونات المجموعة الضابطة). ^{[ 12 ]}

يمكن أن يحتوي النموذج متعدد المتغيرات المختلط على متغيرات منفصلة ومتغيرات متصلة. على سبيل المثال، يمكن أن يحتوي نموذج متعدد المتغيرات مختلط بسيط على متغير منفصل${\displaystyle x}$، والتي لا تأخذ إلا القيمتين 0 أو 1، ومتغير مستمر${\displaystyle y}$[ ^{13 ]} من أمثلة النماذج المختلطة دراسة بحثية حول خطر الإصابة بالاضطرابات النفسية، تعتمد على مقياس ثنائي للأعراض النفسية ومقياس متصل للأداء المعرفي. ^{[ 14 ]} قد تتضمن النماذج المختلطة أيضًا متغيرًا واحدًا منفصلًا ضمن نطاق معين من خط الأعداد، ومتصلًا ضمن نطاق آخر ^.

في نظرية الاحتمالات والإحصاء، يتكون التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مختلط من مكونات منفصلة ومتصلة. لا يمتلك المتغير العشوائي المختلط دالة توزيع تراكمي منفصلة أو متصلة في كل مكان. مثال على متغير عشوائي مختلط هو احتمال وقت الانتظار في طابور. احتمال عدم انتظار العميل هو احتمال منفصل، بينما تُقيّم أوقات الانتظار غير الصفرية على مقياس زمني متصل. ^{[ 15 ]} في الفيزياء (وخاصة ميكانيكا الكم، حيث يظهر هذا النوع من التوزيع غالبًا)، تُستخدم دوال ديراك دلتا عادةً لمعالجة المكونات المتصلة والمنفصلة بطريقة موحدة. على سبيل المثال، يمكن وصف المثال السابق بدالة كثافة احتمالية.${\displaystyle p(t)=\alpha \delta (t)+g(t)}$بحيث${\displaystyle P(t>0)=\int _{0}^{\infty }g(t)=1-\alpha }$، و${\displaystyle P(t=0)=\alpha }$.