الالتواء (الجبر)

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الحلقات ، يُعرَّف عنصر الالتواء بأنه عنصر من عناصر الوحدة النمطية ينتج عنه صفر عند ضربه بأي قاسم غير صفري للحلقة . والوحدة النمطية الفرعية الالتوائية لوحدة نمطية هي الوحدة النمطية الفرعية المُشكَّلة من عناصر الالتواء (في الحالات التي تكون فيها وحدة نمطية فرعية بالفعل، كما هو الحال عندما تكون الحلقة مجالًا تكامليًا ). والوحدة النمطية الالتوائية هي وحدة نمطية تتكون بالكامل من عناصر الالتواء. وتكون الوحدة النمطية خالية من الالتواء إذا كان عنصر الالتواء الوحيد فيها هو العنصر الصفري.

تُستخدم هذه المصطلحات بشكل أكثر شيوعًا للوحدات النمطية على مجال معين ، أي عندما تكون العناصر المنتظمة للحلقة هي جميع عناصرها غير الصفرية.

ينطبق هذا المصطلح على الزمر الأبيلية (مع استبدال "الوحدة النمطية" و"الوحدة النمطية الفرعية" بـ" الزمرة " و" الزمرة الفرعية "). هذه مجرد حالة خاصة من الوضع الأكثر عمومية، لأن الزمر الأبيلية هي وحدات نمطية على حلقة الأعداد الصحيحة . (في الواقع، هذا هو أصل المصطلح، الذي تم تقديمه للزمر الأبيلية قبل تعميمه على الوحدات النمطية).

في حالة الزمر غير التبديلية، يكون عنصر الالتواء عنصرًا ذا رتبة منتهية . وعلى عكس الحالة التبديلية ، لا تشكل عناصر الالتواء زمرة جزئية، بشكل عام.

يُسمى العنصر m من وحدة M على حلقة R عنصر التواء للوحدة إذا وُجد عنصر منتظم r من الحلقة (عنصر ليس قاسمًا صفريًا أيسرًا ولا أيمنًا ) يُفني m ، أي r ≠ m = 0. في مجال تكاملي ( حلقة تبديلية بدون قواسم صفرية)، يكون كل عنصر غير صفري منتظمًا، لذا فإن عنصر الالتواء لوحدة على مجال تكاملي هو عنصر يُفنى بواسطة عنصر غير صفري من المجال التكاملي. يستخدم بعض المؤلفين هذا التعريف لعنصر الالتواء، لكن هذا التعريف لا يُناسب الحلقات الأكثر عمومية.

يُطلق على الوحدة النمطية M على الحلقة R اسم وحدة نمطية للالتواء إذا كانت جميع عناصرها عناصر التواء، وتُسمى خالية من الالتواء إذا كان الصفر هو عنصر الالتواء الوحيد. ^{[ 1 ]} إذا كانت الحلقة R تبديلية، فإن مجموعة جميع عناصر الالتواء تُشكّل وحدة نمطية فرعية من M ، تُسمى الوحدة النمطية الفرعية للالتواء من M ، ويُرمز لها أحيانًا بـ T( M ). إذا لم تكن R تبديلية، فقد تكون T( M ) وحدة نمطية فرعية أو لا. وقد بُيّن في ( لام، 2007 ) أن R هي حلقة Ore يمنى إذا وفقط إذا كانت T( M ) وحدة نمطية فرعية من M لجميع الوحدات النمطية اليمنى على R. وبما أن المجالات النويثرية اليمنى هي Ore، فإن هذا يشمل الحالة التي تكون فيها R مجالًا نويثريًا يمنى (والتي قد لا تكون تبديلية).

بشكل أعم، ليكن M وحدة نمطية على حلقة R ، وليكن S مجموعة جزئية مغلقة ضربيًا من R. يُسمى العنصر m من M عنصر التواء S إذا وُجد عنصر s في S بحيث يُفني s العنصر m ، أي s m = 0. على وجه الخصوص، يمكن اعتبار S مجموعة العناصر المنتظمة للحلقة R، ومن ثم استعادة التعريف أعلاه.

يُسمى العنصر g من المجموعة G عنصرًا التوائيًا للمجموعة إذا كان له رتبة منتهية، أي إذا وُجد عدد صحيح موجب m بحيث يكون g m  = e m ، حيث e  m هو العنصر المحايد للمجموعة، و g  m  هو حاصل ضرب m نسخة من g . تُسمى المجموعة مجموعة التواء (أو دورية) إذا كانت جميع عناصرها عناصر التواء، وتُسمى المجموعة خالية من الالتواء إذا كان عنصر الالتواء الوحيد فيها هو العنصر المحايد. ويمكن اعتبار أيمجموعةتبديلية وحدة نمطية على حلقةZ، وفي هذه الحالة يتطابق مفهوما الالتواء.

1. ليكن M وحدةً حرةً على أي حلقة R. عندئذٍ، يتبين مباشرةً من التعريفات أن M خالية من الالتواء (إذا لم تكن الحلقة R مجالًا، يُنظر إلى الالتواء بالنسبة لمجموعة S من قواسم R غير الصفرية ). على وجه الخصوص، أي زمرة أبيلية حرة خالية من الالتواء، وأي فضاء متجهي على حقل K يكون خاليًا من الالتواء عند اعتباره وحدةً على K.
2. على عكس المثال الأول، فإن أي زمرة منتهية (سواء كانت تبديلية أم لا) تكون دورية ومولدة توليداً منتهياً . أما مسألة بيرنسايد ، فتطرح سؤالاً حول ما إذا كانت الزمرة الدورية المولدة توليداً منتهياً يجب أن تكون منتهية. والإجابة هي "لا" بشكل عام، حتى لو كانت الدورة ثابتة.
3. عناصر الالتواء للمجموعة الضربية للحقل هي جذور الوحدة الخاصة به .
4. في المجموعة النمطية Γ ، المُشتقة من المجموعة SL(2, Z ) المكونة من مصفوفات عددية 2×2 ذات مُحدد يساوي واحدًا ، وذلك بتحليل مركزها ، يكون لأي عنصر التواء غير تافه إما رتبة 2 ويكون مُرافقًا للعنصر S، أو رتبة 3 ويكون مُرافقًا للعنصر ST . في هذه الحالة، لا تُشكل عناصر الالتواء مجموعة جزئية، على سبيل المثال، S · ST = T ، التي لها رتبة لانهائية.
5. الزمرة الأبيلية Q / Z ، المكونة من الأعداد النسبية بتردد 1، دورية، أي أن لكل عنصر فيها رتبة منتهية. وبالمثل، فإن الموديول K ( t )/ K [ t ] على حلقة كثيرات الحدود R  = K [ t ] في متغير واحد هو موديول التواء بحت. ويمكن تعميم هذين المثالين كما يلي: إذا كانت R مجالًا تكامليًا و Q حقل كسوره ، فإن Q / R موديول التواء R. 
6. الزمرة الجزئية الالتوائية للمجموعة ( R / Z ,+) هي ( Q / Z ,+)، بينما الزمرتان ( R ,+) و( Z ,+) خاليتان من الالتواء. ويكون خارج قسمة زمرة أبيلية خالية من الالتواء على زمرة جزئية خالياً من الالتواء تحديداً عندما تكون الزمرة الجزئية زمرة جزئية نقية .
7. لنفترض وجود مؤثر خطي L يعمل على فضاء متجهي V ذي أبعاد محدودة فوق الحقل K. إذا نظرنا إلى V على أنه وحدة نمطية K [ L ] بالطريقة الطبيعية، فإن V (نتيجة لعدة أمور، إما ببساطة بسبب الأبعاد المحدودة أو كنتيجة لنظرية كايلي-هاميلتون ) هو وحدة نمطية K [ L ] للالتواء.

لنفترض أن R مجال مثالي رئيسي (تبديلي) وأن M وحدة نمطية مولدة نهائيًا على R. عندئذٍ، تُعطي نظرية البنية للوحدات النمطية المولدة نهائيًا على مجال مثالي رئيسي وصفًا تفصيليًا للوحدة النمطية M حتى التشاكل . وعلى وجه الخصوص، تنص على أن

${\displaystyle M\simeq F\oplus \mathrm {T} (M),}$

حيث F وحدة نمطية حرة على R ذات رتبة منتهية (تعتمد فقط على M )، وT( M ) هي الوحدة النمطية الالتوائية لـ M. وكنتيجة لذلك ، فإن أي وحدة نمطية خالية من الالتواء مولدة نهائيًا على R هي وحدة نمطية حرة. لا تنطبق هذه النتيجة على المجالات التبادلية الأكثر عمومية، حتى بالنسبة لـ R  = K [ x , y ]، وهي حلقة كثيرات الحدود في متغيرين. بالنسبة للوحدات النمطية غير المولدة نهائيًا، فإن التفكيك المباشر المذكور أعلاه غير صحيح. قد لا تكون المجموعة الفرعية الالتوائية لمجموعة أبيلية مجموعًا مباشرًا لها. 

لنفترض أن R مجال تبديلي و M وحدة نمطية على R. ولتكن Q حقل كسور الحلقة R. عندئذٍ يمكننا اعتبار الوحدة النمطية Q.

${\displaystyle M_{Q}=M\otimes _{R}Q,}$

يتم الحصول عليها من M عن طريق تمديد الكميات القياسية . بما أن Q حقل، فإن الوحدة النمطية فوق _Q هي فضاء متجهي، قد يكون لانهائي الأبعاد. يوجد تشاكل قانوني للمجموعات الأبيلية من M إلى MQ ، ونواة هذا التشاكل هي تحديدًا الوحدة النمطية الفرعية الالتوائية T( M ) . بشكل أعم، إذا كانت S مجموعة فرعية مغلقة ضربيًا من الحلقة R ، فيمكننا حينها دراسة توطين الوحدة النمطية R - M .

${\displaystyle M_{S}=M\otimes _{R}R_{S},}$

وهي وحدة نمطية على التوطين R _S. يوجد تطبيق معياري من M إلى MS _، نواته هي تحديدًا الوحدة النمطية الفرعية للالتواء S لـ M. بالتالي، يمكن تفسير الوحدة النمطية الفرعية للالتواء لـ M على أنها مجموعة العناصر التي "تتلاشى في التوطين". ويستمر التفسير نفسه في الحالة غير التبادلية للحلقات التي تحقق شرط أور ، أو بشكل أعم لأي مجموعة مقام يمين S ووحدة نمطية يمين R M.

يلعب مفهوم الالتواء دورًا هامًا في الجبر التماثلي . إذا كان M و N وحدتين نمطيتين على مجال تبديلي R (على سبيل المثال، مجموعتين أبيليتيتين، عندما R  = Z )، فإن دوال Tor تُنتج عائلة من الوحدات النمطية R، Tor _i ( M , N ). يكون الالتواء S للوحدة النمطية R، M، متماثلًا قانونيًا مع Tor ^R ₁ ( M , R _S / R ) بواسطة المتتالية التامة Tor ^R _* : المتتالية التامة القصيرة  ${\displaystyle 0\to R\to R_{S}\to R_{S}/R\to 0}$ينتج عن وحدات R تسلسل دقيق${\displaystyle 0\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)\to M\to M_{S}}$وبالتالي${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)}$يمثل نواة خريطة التوطين لـ M. ويعكس الرمز Tor، الذي يرمز إلى الدوال، هذه العلاقة مع الالتواء الجبري. وتسري هذه النتيجة نفسها على الحلقات غير التبادلية، طالما أن المجموعة S هي مجموعة مقام يميني .

تُعرف عناصر الالتواء في التنوع الأبلي بنقاط الالتواء ، أو بمصطلحات أقدم، نقاط القسمة . ويمكن حسابها على المنحنيات الإهليلجية بدلالة كثيرات حدود القسمة .

• الالتواء التحليلي
• الديناميكا الحسابية
• وحدة مسطحة
• المُبيد (نظرية الحلقة)
• توطين وحدة نمطية
• رتبة مجموعة أبيلية
• التواء راي-سينجر
• مجموعة أبيلية خالية من الالتواء
• نظرية المعامل العام

• إرنست كونز، " مقدمة في الجبر التبادلي والهندسة الجبرية "، بيركهاوزر 1985، رقم ISBN 0-8176-3065-1
• إيرفينغ كابلانسكي ، " المجموعات الأبيلية اللانهائية "، جامعة ميشيغان، 1954.
• ميشيل هازوينكل (2001) [1994]، "وحدة فرعية للالتواء" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• لام، تسيت يوين (2007)، تمارين في الوحدات والحلقات ، كتب مسائل في الرياضيات، نيويورك: سبرينغر، ص.  xviii+412، doi : 10.1007/978-0-387-48899-8 ، ISBN 978-0-387-98850-4، MR 2278849 
• رومان، ستيفن (2008)، الجبر الخطي المتقدم ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات (  الطبعة الثالثة)، سبرينغر، ص  446، ISBN 978-0-387-72828-5.