حلقة كثيرات الحدود

يترك

${\displaystyle p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},}$

ليكن متعدد حدود غير صفري مع${\displaystyle p_{m}\neq 0}$.

• الحد الثابت لـ p هو${\displaystyle p_{0}.}$وهي تساوي صفرًا في حالة متعددة الحدود الصفرية.
• درجة p ، ^التي تُكتب deg( p ) ، هي أكبر عدد k بحيث يكون معامل Xk غير صفري. ^{[ 4 ]}
• المعامل الرئيسي لـ p هو${\displaystyle p_{m}.}$^{[ 5 ]}
• في الحالة الخاصة لكثير الحدود الصفري، الذي تكون جميع معاملاته صفرًا، يكون المعامل الرئيسي غير معرف، وقد تُركت الدرجة غير معرفة بأشكال مختلفة، ^{[ 6 ]} أو تم تعريفها على أنها −1 ، ^{[ 7 ]} أو تم تعريفها على أنها −∞ . ^{[ 8 ]}
• كثير الحدود الثابت هو إما كثير الحدود الصفري، أو كثير الحدود من الدرجة الصفرية.
• تكون كثيرة الحدود غير الصفرية أحادية إذا كان معاملها الرئيسي هو${\displaystyle 1.}$

إذا كان لدينا كثيرتا حدود p و q ، فإن درجة كثيرة الحدود الصفرية تُعرَّف على أنها${\displaystyle -\infty ,}$يمتلك المرء

${\displaystyle \deg(p+q)\leq \max(\deg(p),\deg(q)),}$

وعلى حقل ، أو بشكل أكثر عمومية مجال تكاملي ، ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \deg(pq)=\deg(p)+\deg(q).}$

ويترتب على ذلك مباشرة أنه إذا كانت K مجالًا تكامليًا، فإن K [ X ] كذلك . ^{[ 10 ]}

ويترتب على ذلك أيضًا أنه إذا كانت K مجالًا تكامليًا، فإن كثير الحدود يكون وحدة ( أي أن له معكوسًا ضربيًا ) إذا وفقط إذا كان ثابتًا ووحدة في K.

ترتبط كثيرتا الحدود إذا كانت إحداهما ناتجة عن ضرب الأخرى في وحدة واحدة.

في حقل ما، يرتبط كل متعدد حدود غير صفري بمتعدد حدود أحادي فريد.

إذا كان لدينا كثيرتا حدود، p و q ، فإن المرء يقول أن p يقسم q ، أو أن p هو قاسم لـ q ، أو أن q هو مضاعف لـ p ، إذا كان هناك كثير حدود r بحيث q = pr .

تكون كثيرة الحدود غير قابلة للاختزال إذا لم تكن ناتج ضرب كثيرتي حدود غير ثابتتين، أو بشكل مكافئ، إذا كانت قواسمها إما كثيرات حدود ثابتة أو لها نفس الدرجة.

ليكن K حقلاً، أو بشكل أعم، حلقة تبديلية ، و R حلقة تحتوي على K. لأي متعددة حدود P في K [ X ] وأي عنصر a في R ، فإن استبدال X بـ a في P يُعرّف عنصرًا في R ، يُرمز له بـ P ( a ) . يُحصل على هذا العنصر بإجراء العمليات المشار إليها في تعبير متعددة الحدود في R بعد الاستبدال. تُسمى هذه العملية الحسابية تقييم P عند a . على سبيل المثال، إذا كان لدينا

${\displaystyle P=X^{2}-1,}$

لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}P(3)&=3^{2}-1=8,\\P(X^{2}+1)&=\left(X^{2}+1\right)^{2}-1=X^{4}+2X^{2}\end{aligned}}}$

(في المثال الأول R = K ، وفي المثال الثاني R = K [ X ] ). يؤدي استبدال X بنفسها إلى

${\displaystyle P=P(X),}$

شرح لماذا الجملتان "ليكن P متعدد الحدود" و "ليكن P ( X ) متعدد الحدود" متكافئتان.

الدالة متعددة الحدود المعرفة بواسطة متعددة الحدود P هي الدالة من K إلى K المعرفة بواسطة${\displaystyle x\mapsto P(x).}$إذا كان K حقلاً لانهائياً، فإن كثيرتي حدود مختلفتين تُعرّفان دالتين متعددتي الحدود مختلفتين، لكن هذه الخاصية غير صحيحة بالنسبة للحقول المنتهية. على سبيل المثال، إذا كان K حقلاً يحتوي على q عنصراً، فإن كثيرتي الحدود 0 و X ^q − X تُعرّفان الدالة الصفرية.

لكل قيمة a في R ، يكون التقييم عند a ، أي الخريطة${\displaystyle P\mapsto P(a)}$يُعرّف هذا التماثل الجبري من K [ X ] إلى R ، وهو التماثل الوحيد من K [ X ] إلى R الذي يُثبّت K ، ويُسقط X على . بعبارة أخرى، يتمتع K [ X ] بالخاصية العامة التالية :

لكل حلقة R تحتوي على K ، ولكل عنصر a من R ، يوجد تماثل جبري فريد من K [ X ] إلى R يثبت K ، ويحول X إلى a .

أما بالنسبة لجميع الخصائص الشاملة، فإن هذا يحدد الزوج ( K [ X ], X ) حتى تماثل فريد، وبالتالي يمكن اعتباره تعريفًا لـ K [ X ] .

صورة الخريطة​${\displaystyle P\mapsto P(a)}$أي أن المجموعة الجزئية من R التي يتم الحصول عليها عن طريق استبدال a بـ X في عناصر K [ X ] ، يُرمز لها بـ K [ a ] وتُسمى إضافة a إلى K. ^{[ 11 ]} على سبيل المثال ،${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\{P({\sqrt {2}})\mid P(X)\in \mathbb {Z} [X]\}}$وقواعد تبسيط قوى الجذر التربيعي تستلزم${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\{a+b{\sqrt {2}}\mid a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {Z} \}.}$

The (formal) derivative of the polynomial

${\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}}$

is the polynomial

${\displaystyle a_{1}+2a_{2}X+\cdots +na_{n}X^{n-1}.}$

In the case of polynomials with real or complex coefficients, this is the standard derivative. The above formula defines the derivative of a polynomial even if the coefficients belong to a ring on which no notion of limit is defined. The derivative makes the polynomial ring a differential algebra.

The existence of the derivative is one of the main properties of a polynomial ring that is not shared with integers, and makes some computations easier on a polynomial ring than on integers.

باستثناء التحليل إلى عوامل، فإن جميع الخصائص السابقة لـ K [ X ] فعّالة ، إذ أن براهينها، كما هو موضح أعلاه، مرتبطة بخوارزميات لاختبار الخاصية وحساب كثيرات الحدود التي تم إثبات وجودها. علاوة على ذلك، فإن هذه الخوارزميات فعّالة، لأن تعقيدها الحسابي دالة تربيعية لحجم المدخلات.

يختلف الوضع تمامًا بالنسبة للتحليل إلى عوامل: فإثبات وجود تحليل وحيد لا يُشير إلى أي طريقة للتحليل. حتى بالنسبة للأعداد الصحيحة، لا توجد خوارزمية معروفة تعمل على حاسوب تقليدي (غير كمومي) لتحليلها إلى عواملها في وقت متعدد الحدود . هذا هو أساس نظام التشفير RSA ، المستخدم على نطاق واسع لتأمين اتصالات الإنترنت.

في حالة K [ X ] ، تعتمد العوامل وطرق حسابها اعتمادًا كبيرًا على K. ففي مجموعة الأعداد المركبة، تكون جميع العوامل غير القابلة للاختزال (التي لا يمكن تحليلها إلى عوامل أخرى) من الدرجة الأولى، بينما في مجموعة الأعداد الحقيقية، توجد كثيرات حدود غير قابلة للاختزال من الدرجة الثانية، وفي مجموعة الأعداد النسبية ، توجد كثيرات حدود غير قابلة للاختزال من أي درجة. على سبيل المثال، كثيرة الحدود${\displaystyle X^{4}-2}$غير قابل للاختزال على الأعداد النسبية، ولكنه يُحلل إلى عوامله الأولية.${\displaystyle (X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})}$على الأعداد الحقيقية و${\displaystyle (X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})}$على الأعداد المركبة.

يعتمد وجود خوارزمية التحليل إلى عوامل أيضًا على الحقل الأساسي. في حالة الأعداد الحقيقية أو المركبة، تُظهر نظرية أبيل-روفيني أنه لا يمكن حساب جذور بعض كثيرات الحدود، وبالتالي العوامل غير القابلة للاختزال، بدقة. لذلك، لا تستطيع خوارزمية التحليل إلى عوامل سوى حساب تقريبات لهذه العوامل. وقد صُممت خوارزميات متنوعة لحساب هذه التقريبات، انظر: إيجاد جذور كثيرات الحدود .

يوجد مثال على حقل K بحيث توجد خوارزميات دقيقة للعمليات الحسابية على K ، ولكن لا يمكن أن توجد أي خوارزمية لتحديد ما إذا كانت متعددة الحدود من الشكل${\displaystyle X^{p}-a}$غير قابل للاختزال أو هو ناتج ضرب كثيرات حدود من درجة أقل. ^{[ 12 ]}

من ناحية أخرى، بالنسبة للأعداد النسبية والحقول المنتهية، يكون الوضع أفضل منه بالنسبة لتحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية ، حيث توجد خوارزميات تحليل ذات تعقيد زمني متعدد الحدود . وتُطبَّق هذه الخوارزميات في معظم أنظمة الجبر الحاسوبية العامة .

إذا كان θ عنصرًا من جبر K- التجميعي L ، فإن تقييم متعدد الحدود عند θ هو التشاكل الجبري الوحيد φ من K [ X ] إلى L الذي يُسقط X على θ ولا يؤثر على عناصر K نفسها (فهو دالة التطابق على K ). ويتمثل في استبدال X بـ θ في كل متعدد حدود. أي،

${\displaystyle \varphi \left(a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\right)=a_{m}\theta ^{m}+a_{m-1}\theta ^{m-1}+\cdots +a_{1}\theta +a_{0}.}$

صورة هذا التشاكل التقييمي هي الجبر الجزئي المُوَلَّد بواسطة θ ، وهو بالضرورة تبديلي. إذا كانت φ أحادية، فإن الجبر الجزئي المُوَلَّد بواسطة θ يكون متماثلًا مع K [ X ] . في هذه الحالة، يُشار إلى هذا الجبر الجزئي غالبًا بـ K [ θ ] . لا يُؤثر هذا الغموض في الترميز عمومًا على المعنى المقصود، نظرًا لوجود التشاكل.

إذا لم يكن تشاكل التقييم أحاديًا، فهذا يعني أن نواته مثالية غير صفرية ، تتألف من جميع كثيرات الحدود التي تصبح صفرًا عند استبدال X بـ θ . تتألف هذه المثالية من جميع مضاعفات كثيرة حدود أحادية، تُسمى كثيرة الحدود الدنيا لـ θ . يُستمد مصطلح "الدنيا" من حقيقة أن درجتها هي الأدنى بين درجات عناصر المثالية.

هناك حالتان رئيسيتان يتم فيهما النظر في كثيرات الحدود الدنيا.

في نظرية الحقول ونظرية الأعداد ، يكون العنصر θ من حقل التمديد L لـ K جبريًا على K إذا كان جذرًا لكثير حدود بمعاملات في K. وبالتالي، فإن كثير الحدود الأدنى لـ θ على K هو كثير الحدود الأحادي ذو الدرجة الدنيا الذي يكون θ جذرًا له. ولأن L حقل، فإن كثير الحدود الأدنى هذا غير قابل للاختزال بالضرورة على K. على سبيل المثال، كثير الحدود الأدنى (على الأعداد الحقيقية وكذلك على الأعداد النسبية) للعدد المركب i هو${\displaystyle X^{2}+1}$. كثيرات الحدود الدائرية هي كثيرات الحدود الدنيا لجذور الوحدة .

في الجبر الخطي ، تُشكّل المصفوفات المربعة من الرتبة n × n على K جبرًا ترابطيًا من الرتبة K ذو بُعد محدود (كفضاء متجهي). لذا، لا يمكن أن يكون تشاكل التقييم أحاديًا، ولكل مصفوفة متعددة حدود دنيا (ليست بالضرورة غير قابلة للاختزال). وبحسب نظرية كايلي-هاميلتون ، يُحوّل تشاكل التقييم متعددة الحدود المميزة للمصفوفة إلى الصفر. ويترتب على ذلك أن متعددة الحدود الدنيا تقسم متعددة الحدود المميزة، وبالتالي فإن درجة متعددة الحدود الدنيا لا تتجاوز n .

في حالة K [ X ] ، يمكن بناء حلقة القسمة بواسطة مثالي، كما هو الحال في الحالة العامة، كمجموعة من فئات التكافؤ . ومع ذلك، بما أن كل فئة تكافؤ تحتوي على متعدد حدود واحد فقط من الدرجة الدنيا، فإن بناءً آخر غالبًا ما يكون أكثر ملاءمة.

بفرض وجود متعددة حدود p من الدرجة d ، يمكن تعريف حلقة القسمة لـ K [ X ] بواسطة المثالي المُوَلَّد بواسطة p بأنها فضاء المتجهات لمتعددات الحدود ذات الدرجات الأقل من d ، مع اعتبار "الضرب بتردد p " عملية ضرب، حيث يتكون الضرب بتردد p من باقي قسمة حاصل ضرب متعددات الحدود (المعتاد) على p . ويُشار إلى حلقة القسمة هذه برموز مختلفة.${\displaystyle K[X]/pK[X],}$${\displaystyle K[X]/\langle p\rangle ,}$${\displaystyle K[X]/(p),}$أو ببساطة${\displaystyle K[X]/p.}$

الخاتم${\displaystyle K[X]/(p)}$يكون الحقل حقلاً إذا وفقط إذا كان p متعدد حدود غير قابل للاختزال . في الواقع، إذا كان p غير قابل للاختزال، فإن كل متعدد حدود غير صفري q من درجة أقل يكون أوليًا نسبيًا مع p ، وتسمح متطابقة بيزو بحساب r و s بحيث يكون sp + qr = 1 ؛ لذا، فإن r هو المعكوس الضربي لـ q بتردد p . على العكس من ذلك، إذا كان p قابلاً للاختزال، فإنه توجد متعددتا حدود a و b من درجات أقل من deg( p ) بحيث يكون ab = p ؛ لذا فإن a و b قواسم صفرية غير صفرية بتردد p ، ولا يمكن عكسهما.

على سبيل المثال، يمكن تلخيص التعريف القياسي لحقل الأعداد المركبة بالقول إنه حلقة القسمة

${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1),}$

وأن صورة X في${\displaystyle \mathbb {C} }$يُرمز له بـ i . في الواقع، وفقًا للوصف أعلاه، يتكون هذا الناتج من جميع كثيرات الحدود من الدرجة الأولى في i ، والتي لها الشكل a + bi ، حيث a و b في${\displaystyle \mathbb {R} .}$يُحسب باقي القسمة الإقليدية اللازمة لضرب عنصرين من حلقة القسمة باستبدال i² ^بـ -1 في حاصل ضربهما كمتعددات حدود (وهذا هو التعريف المعتاد لحاصل ضرب الأعداد المركبة). هذا البناء لـ${\displaystyle \mathbb {C} }$يوضح ذلك البناء الأكثر عمومية للجبر التربيعي كحلقات خارج القسمة على متعدد حدود تربيعي أحادي. ^{[ 13 ]}

ليكن θ عنصرًا جبريًا في جبر K- الجبر A. يُقصد بالجبر أن θ له متعددة حدود دنيا p . تنص نظرية التشاكل الحلقي الأولى على أن تشاكل الاستبدال يُنشئ تشاكلًا لـ${\displaystyle K[X]/(p)}$على الصورة K [ θ ] لتشاكل الاستبدال. على وجه الخصوص، إذا كانت A امتدادًا بسيطًا لـ K مُوَلَّدًا بواسطة θ ، فإن هذا يسمح بتحديد A و${\displaystyle K[X]/(p).}$يُستخدم هذا التعريف على نطاق واسع في نظرية الأعداد الجبرية .

تنطبق نظرية البنية للوحدات المولدة نهائيًا على مجال مثالي رئيسي على K [ X ] ، عندما يكون K حقلًا. هذا يعني أنه يمكن تحليل كل وحدة مولدة نهائيًا على K [ X ] إلى مجموع مباشر لوحدة حرة وعدد محدود من الوحدات على الشكل التالي:${\displaystyle K[X]/\left\langle P^{k}\right\rangle }$، حيث P عبارة عن متعدد حدود غير قابل للاختزال على K و k عدد صحيح موجب.

تُعدّ عمليتا الجمع والضرب القياسي لكثيرات الحدود عمليتين خاصتين بالفضاء المتجهي أو الوحدة الحرة المزودة بأساس محدد (هنا أساس أحاديات الحدود). وبالتحديد، ليكن ${\displaystyle p=\sum _{\alpha \in I}p_{\alpha }X^{\alpha },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },}$ حيث I و J عبارة عن مجموعات محدودة من متجهات الأس.

الضرب القياسي لـ p وعدد قياسي${\displaystyle c\in K}$يكون

${\displaystyle cp=\sum _{\alpha \in I}cp_{\alpha }X^{\alpha }.}$

مجموع p و q هو

${\displaystyle p+q=\sum _{\alpha \in I\cup J}(p_{\alpha }+q_{\alpha })X^{\alpha },}$

أين${\displaystyle p_{\alpha }=0}$لو${\displaystyle \alpha \not \in I,}$و${\displaystyle q_{\beta }=0}$لو${\displaystyle \beta \not \in J.}$علاوة على ذلك، إذا كان لدى المرء${\displaystyle p_{\alpha }+q_{\alpha }=0}$بالنسبة للبعض${\displaystyle \alpha \in I\cap J,}$يتم حذف الحد الصفري المقابل من النتيجة.

عملية الضرب هي

${\displaystyle pq=\sum _{\gamma \in I+J}\left(\sum _{\alpha ,\beta \mid \alpha +\beta =\gamma }p_{\alpha }q_{\beta }\right)X^{\gamma },}$

أين${\displaystyle I+J}$هي مجموعة مجموع متجهي أس في المجموعة I وآخر في المجموعة J (المجموع المعتاد للمتجهات). وبالتحديد، فإن حاصل ضرب حدين جبريين هو حد جبري يكون متجه أسه هو مجموع متجهي أس العاملين.

إن التحقق من بديهيات الجبر الترابطي أمر مباشر.

التعبير متعدد الحدود هو تعبير مبني باستخدام القيم العددية (عناصر K )، والمتغيرات غير المحددة، وعوامل الجمع والضرب والرفع إلى قوى عددية صحيحة غير سالبة.

بما أن جميع هذه العمليات محددة في${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$يمثل التعبير متعدد الحدود متعدد الحدود، أي عنصر من${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}].}$يُعرَّف كثير الحدود بأنه تركيبة خطية من أحاديات الحدود، وهو تعبير متعدد الحدود خاص يُسمى غالبًا بالصيغة القانونية أو الصيغة العادية أو الصيغة الموسعة لكثير الحدود. وبمعرفة تعبير متعدد الحدود، يمكن حساب صيغته الموسعة بتوسيع جميع حاصلات الضرب التي يكون مجموع عواملها واحدًا باستخدام قانون التوزيع ، ثم استخدام خاصيتي التبديل (باستثناء حاصل ضرب عددين قياسيين) والتجميع لتحويل حدود المجموع الناتج إلى حاصل ضرب عدد قياسي في أحادي حد؛ ثم نحصل على الصيغة القانونية بإعادة تجميع الحدود المتشابهة .

إن التمييز بين التعبير متعدد الحدود ومتعدد الحدود الذي يمثله هو أمر حديث نسبياً، ويستند أساساً إلى ظهور الجبر الحاسوبي ، حيث قد يكون اختبار ما إذا كان تعبيران متعدد الحدود يمثلان نفس متعدد الحدود عملية حسابية غير تافهة.

إذا كانت K حلقة تبديلية، فإن حلقة كثيرات الحدود K [ X1 _, …, Xn ] تتمتع بالخاصية العامة التالية : لكل جبر تبديلي K -algebra A ، ولكل مجموعة n - tuple ( x1 , …, xn ) من عناصر A _، يوجد تشاكل جبري وحيد من K [ X1 _, …, Xn ] إلى A يُسقط كل عنصر من _{عناصرها على K.}${\displaystyle X_{i}}$إلى المقابل${\displaystyle x_{i}.}$هذا التشاكل هو تشاكل التقييم الذي يتكون من استبدال${\displaystyle X_{i}}$مع${\displaystyle x_{i}}$في كل متعددة الحدود.

وكما هو الحال بالنسبة لكل خاصية شاملة، فإن هذا يميز الزوج${\displaystyle (K[X_{1},\dots ,X_{n}],(X_{1},\dots ,X_{n}))}$حتى تماثل فريد .

يمكن تفسير ذلك أيضًا من منظور الدوال المرافقة . بتعبير أدق، لنفترض أن SET و ALG هما فئتا المجموعات والجبر التبادلي K على التوالي (هنا، وفيما يلي، تُعرَّف التشكلات تعريفًا بديهيًا). يوجد دالة نسيان${\displaystyle \mathrm {F}$ الدالة `ALG` التي تربط الجبر بمجموعاته الأساسية هي `SET`. من ناحية أخرى، الدالة `SET` ${\displaystyle X\mapsto K[X]}$يُعرّف دالة${\displaystyle \mathrm {POL}$ :\mathrm {SET} \to \mathrm {ALG} } في الاتجاه الآخر. (إذا كانت X لانهائية، فإن K [ X ] هي مجموعة جميع كثيرات الحدود في عدد محدود من عناصر X. )

تعني الخاصية العامة لحلقة كثيرات الحدود أن F و POL دالتان مترافقتان . أي أن هناك تقابلاً بينهما.

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathrm {SET} }(X,\operatorname {F} (A))\cong \operatorname {Hom} _{\mathrm {ALG} }(K[X],A).}$

يمكن التعبير عن ذلك أيضًا بالقول إن حلقات كثيرات الحدود هي جبر تبديلي حر ، لأنها كائنات حرة في فئة الجبر التبديلي. وبالمثل، فإن حلقة كثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة هي حلقة تبديلية حرة على مجموعة متغيراتها، لأن الحلقات التبديلية والجبر التبديلي على الأعداد الصحيحة هما شيء واحد.

في هذا القسم، R هي حلقة تبديلية، و K حقل، وX تشير إلى متغير واحد غير محدد، وكالعادة،${\displaystyle \mathbb {Z} }$هي حلقة الأعداد الصحيحة. فيما يلي قائمة بخصائص الحلقة الرئيسية التي تظل صحيحة عند الانتقال من R إلى R [ X ] .

• إذا كانت R مجالًا تكامليًا، فإن الشيء نفسه ينطبق على R [ X ] (لأن المعامل الرئيسي لحاصل ضرب كثيرات الحدود هو، إن لم يكن صفرًا، حاصل ضرب المعاملات الرئيسية للعوامل).
  • بخاصة،${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$و${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$هي مجالات متكاملة.
• إذا كانت R مجال تحليل فريد، فإن الأمر نفسه ينطبق على R [ X ] . وينتج هذا عن مبرهنة جاوس وخاصية التحليل الفريد لـ${\displaystyle L[X],}$حيث L هو حقل كسور R.​
  • بخاصة،${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$و${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$هي مجالات تحليل فريدة.
• إذا كانت R حلقة نوثرية ، فإن الشيء نفسه ينطبق على R [ X ] .
  • بخاصة،${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$و${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$هي حلقات نوثرية؛ هذه هي نظرية هيلبرت الأساسية .
• إذا كانت R حلقة نوثرية، فإن${\displaystyle \dim R[X]=1+\dim R,}$أين "${\displaystyle \dim }$يشير الرمز " إلى بُعد كرول " .
  • بخاصة،${\displaystyle \dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n}$و${\displaystyle \dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.}$
• إذا كانت R حلقة منتظمة ، فإن الأمر نفسه ينطبق على R [ X ] ؛ في هذه الحالة، يكون لدينا$${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim R[X]=\dim R[X]=1+\operatorname {gl} \,\dim R=1+\dim R,}$$أين "${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim }$يشير الرمز " إلى البعد العالمي ".
  • بخاصة،${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$و${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ هي خواتم عادية،${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1,}$و${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n.}$المساواة الأخيرة هي نظرية هيلبرت للاقتران .

نظرية Nullstellensatz (الألمانية لـ "نظرية الموضع الصفري") هي نظرية، أثبتها ديفيد هيلبرت لأول مرة ، تُعمم بعض جوانب النظرية الأساسية للجبر على الحالة متعددة المتغيرات . وهي أساسية للهندسة الجبرية ، إذ تُرسخ صلة قوية بين الخصائص الجبرية لـ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$والخصائص الهندسية للأصناف الجبرية ، والتي هي (بشكل تقريبي) مجموعة من النقاط المحددة بواسطة معادلات متعددة الحدود الضمنية .

لنظرية نولستيلينساتز ثلاثة صيغ رئيسية، كل منها نتيجة منطقية للأخرى. ترد اثنتان من هذه الصيغ أدناه. أما الصيغة الثالثة، فيُرجى الرجوع إلى المقال الرئيسي حول نولستيلينساتز.

تعمم الصيغة الأولى حقيقة أن متعددة الحدود أحادية المتغير غير الصفرية لها جذر مركب إذا وفقط إذا لم تكن ثابتة. والنص هو: مجموعة من متعددات الحدود S في${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$له صفر مشترك في حقل مغلق جبريًا يحتوي على K ، إذا وفقط إذا لم ينتمي 1 إلى المثالي المتولد بواسطة S ، أي إذا لم يكن 1 عبارة عن تركيبة خطية من عناصر S بمعاملات متعددة الحدود .

تعمم النسخة الثانية حقيقة أن كثيرات الحدود أحادية المتغير غير القابلة للاختزال على الأعداد المركبة ترتبط بكثيرة حدود من الشكل${\displaystyle X-\alpha .}$العبارة هي: إذا كانت K مغلقة جبريًا، فإن المُثُل القصوى لـ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$يكون على شكل${\displaystyle \langle X_{1}-\alpha _{1},\ldots ,X_{n}-\alpha _{n}\rangle .}$

يمكن اعتبار نظرية بيزو بمثابة تعميم متعدد المتغيرات لنسخة النظرية الأساسية للجبر التي تؤكد أن متعدد الحدود أحادي المتغير من الدرجة n له n جذرًا مركبًا، إذا تم حسابها مع تعددها.

في حالة كثيرات الحدود ثنائية المتغيرات ، ينص على أن كثيرتي حدود من الدرجة d و e في متغيرين، والتي ليس لها عوامل مشتركة من الدرجة الموجبة، لها بالضبط de أصفار مشتركة في حقل مغلق جبريًا يحتوي على المعاملات، إذا تم حساب الأصفار بتعددها وتضمين الأصفار عند اللانهاية .

لبيان الحالة العامة، وعدم اعتبار "الصفر عند اللانهاية" أصفارًا خاصة، من الملائم العمل مع كثيرات الحدود المتجانسة ، والنظر في الأصفار في فضاء إسقاطي . في هذا السياق، الصفر الإسقاطي لكثيرة حدود متجانسة${\displaystyle P(X_{0},\ldots ,X_{n})}$هو، حتى مع تغيير المقياس، عبارة عن ( ن + 1) - مجموعة${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})}$ من عناصر K التي تختلف عن (0، ...، 0) ، بحيث${\displaystyle P(x_{0},\ldots ,x_{n})=0}$هنا، تعني عبارة "حتى مستوى معين" أن${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})}$و${\displaystyle (\lambda x_{0},\ldots ,\lambda x_{n})}$تُعتبر جميع القيم غير الصفرية متطابقة.${\displaystyle \lambda \in K.}$بمعنى آخر، الصفر هو مجموعة من الإحداثيات المتجانسة لنقطة في فضاء إسقاطي ذي بُعد n .

ثم تنص نظرية بيزو على ما يلي: بالنظر إلى n من كثيرات الحدود المتجانسة من الدرجات${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}}$في n + 1 من المتغيرات غير المحددة، والتي لها عدد محدود فقط من الأصفار الإسقاطية المشتركة في امتداد مغلق جبريًا لـ K ، يكون مجموع تعددات هذه الأصفار هو حاصل الضرب${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}.}$

يتمثل أحد التعميمات الطفيفة لحلقات كثيرات الحدود في السماح بوجود عدد لا نهائي من المجاهيل. مع ذلك، لا يزال كل حد أحادي يتضمن عددًا محدودًا من المجاهيل (وبالتالي تبقى درجته محدودة)، ويظل كل كثير حدود عبارة عن توليفة خطية (محدودة) من الحدود الأحادية. وبالتالي، فإن أي كثير حدود منفرد يتضمن عددًا محدودًا من المجاهيل، وأي عملية حسابية محدودة تتضمن كثيرات حدود تبقى داخل حلقة فرعية من كثيرات الحدود ذات عدد محدود من المجاهيل. يتمتع هذا التعميم بنفس خاصية حلقات كثيرات الحدود المعتادة، وهي كونه جبرًا تبديليًا حرًا ، والفرق الوحيد هو أنه كائن حر على مجموعة لانهائية.

يمكن أيضًا النظر في حلقة أكبر بكثير، وذلك بتعريف كثير الحدود المعمم على أنه مجموع شكلي لانهائي (أو محدود) من أحاديات الحدود ذات درجة محدودة. هذه الحلقة أكبر من حلقة كثيرات الحدود المعتادة، لأنها تتضمن مجاميع لانهائية من المتغيرات. مع ذلك، فهي أصغر من حلقة متسلسلات القوى في عدد لانهائي من المتغيرات . تُستخدم هذه الحلقة لبناء حلقة الدوال المتناظرة على مجموعة لانهائية.

لا يُغيّر التعميم البسيط سوى المجموعة التي تُستمد منها أسس المتغير. وتكون صيغتا الجمع والضرب منطقيتين طالما أمكن جمع الأسس: Xᵢ ^⋅ Xⱼ = Xᵢ ^{+ j} . تُسمى المجموعة التي يكون الجمع منطقيًا فيها (أي مجموعة مغلقة وتجميعية) ^{أحاديًا} . ويمكن إعطاء مجموعة الدوال من أحادي N إلى حلقة R، ^والتي لا تساوي الصفر إلا في عدد محدود من المواضع ، بنية حلقة تُعرف باسم R [ N ]، وهي حلقة أحاديات N بمعاملات في R. يُعرَّف الجمع عنصرًا عنصرًا، فإذا كان _c = a + b ، فإن _cₙ = aₙ + bₙ لكل n في N. ويُعرَّف الضرب كحاصل ضرب كوشي، فإذا كان c = a ⋅ _b ، فإن cₙ لكل n في N هو مجموع جميع aᵢ bⱼ حيث i _{و j} يشملان جميع أزواج عناصر N التي _{مجموعها} يساوي n .

عندما تكون N تبديلية، فمن الملائم الإشارة إلى الدالة a في R [ N ] على أنها المجموع الرسمي:

${\displaystyle \sum _{n\in N}a_{n}X^{n}}$

ثم تكون صيغ الجمع والضرب مألوفة:

${\displaystyle \left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)+\left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(a_{n}+b_{n}\right)X^{n}}$

و

${\displaystyle \left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}\right)X^{n}}$

حيث يتم حساب المجموع الأخير على جميع i و j في N التي مجموعها يساوي n .

يذهب بعض المؤلفين إلى حدّ اعتبار تعريف المونويد هذا نقطة انطلاق، وتُعدّ كثيرات الحدود المنتظمة ذات المتغير الواحد حالة خاصة حيث N هي مونويد الأعداد الصحيحة غير السالبة. ^{[ 15 ]} أما كثيرات الحدود في عدة متغيرات، فتعتبر N ببساطة حاصل الضرب المباشر لعدة نسخ من مونويد الأعداد الصحيحة غير السالبة.

تتشكل العديد من الأمثلة المثيرة للاهتمام للحلقات والمجموعات من خلال اعتبار N أحاديًا جمعيًا للأعداد النسبية غير السالبة. ^{[ 16 ]}

تُعمم متسلسلات القوى اختيار الأس في اتجاه مختلف بالسماح بعدد لا نهائي من الحدود غير الصفرية. يتطلب هذا فرضيات مختلفة على المونويد N المستخدم للأسس، لضمان أن تكون مجاميع جداء كوشي مجاميع منتهية. بدلاً من ذلك، يمكن وضع طوبولوجيا على الحلقة، ثم يُقتصر الأمر على مجاميع لانهائية متقاربة. بالنسبة للاختيار القياسي لـ N ، أي الأعداد الصحيحة غير السالبة، لا توجد مشكلة، وتُعرَّف حلقة متسلسلات القوى الرسمية على أنها مجموعة الدوال من N إلى حلقة R مع الجمع عنصرًا بعنصر، والضرب مُعطى بجداء كوشي. يمكن أيضًا اعتبار حلقة متسلسلات القوى بمثابة إكمال حلقة كثيرات الحدود بالنسبة للمثالي المُوَلَّد بواسطة x .

بالنسبة لحلقات كثيرات الحدود التي تحتوي على أكثر من متغير، يُعرَّف حاصل ضرب X ⋅ Y و Y ⋅ X ببساطة على أنهما متساويان. ويُمكن الحصول على مفهوم أعمّ لحلقة كثيرات الحدود عند الحفاظ على التمييز بين هذين الحاصلين الشكليين. رسميًا، تُعرَّف حلقة كثيرات الحدود التي تحتوي على n متغيرًا غير تبادلي بمعاملات تنتمي إلى الحلقة R بأنها حلقة المونويد R [ N ]، حيث المونويد N هو المونويد الحر على n حرفًا، والمعروف أيضًا باسم مجموعة جميع السلاسل المكونة من n رمزًا، مع عملية الضرب التي تتم عن طريق التسلسل. لا يشترط أن تتبادل المعاملات أو المتغيرات فيما بينها، ولكن المعاملات والمتغيرات تتبادل فيما بينها.

تمامًا كما أن حلقة كثيرات الحدود في n متغيرات بمعاملات في الحلقة التبادلية R هي الجبر التبادلي الحر R من الرتبة n ، فإن حلقة كثيرات الحدود غير التبادلية في n متغيرات بمعاملات في الحلقة التبادلية R هي الجبر التجميعي الحر R الأحادي على n مولدات، وهو غير تبادلي عندما n  >  1.

ومن التعميمات الأخرى لكثيرات الحدود حلقات التفاضل وحلقات كثيرات الحدود المائلة.

حلقة كثيرات الحدود التفاضلية هي حلقة من المؤثرات التفاضلية تتكون من حلقة R واشتقاق δ من R إلى R. يعمل هذا الاشتقاق على R ، ويُرمز له بـ X عند اعتباره مؤثرًا. كما تعمل عناصر R على R عن طريق الضرب. ويُرمز إلى تركيب المؤثرات بالضرب المعتاد. وبناءً على ذلك، يمكن إعادة كتابة العلاقة δ ( ab ) = aδ ( b ) + δ ( a ) b على النحو التالي:

${\displaystyle X\cdot a=a\cdot X+\delta (a).}$

يمكن توسيع هذه العلاقة لتعريف عملية ضرب منحرفة بين كثيرتي حدود في X بمعاملات في R ، مما يجعلها حلقة غير تبادلية .

المثال القياسي، المسمى جبر ويل ، يأخذ R كحلقة متعددة الحدود (عادية) k [ Y ]، و δ كمشتق متعدد الحدود القياسي${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial Y}}}$بأخذ a = Y في العلاقة أعلاه، نحصل على علاقة التبادل الأساسية ، X ⋅ Y − Y ⋅ X = 1. وبتوسيع هذه العلاقة باستخدام خاصيتي التجميع والتوزيع، يُمكن بناء جبر فايل بشكل صريح . ( لام 2001 ، §1، مثال 1.9) .

تُعرَّف حلقة كثيرات الحدود المائلة بشكل مشابه لحلقة R وتشاكل حلقي f من R ، وذلك بتمديد عملية الضرب من العلاقة X ⋅ r = f ( r ) ⋅ X لإنتاج عملية ضرب تجميعية تُوزَّع على عملية الجمع القياسية. وبشكل أعم، إذا كان لدينا تشاكل F من أحادي N للأعداد الصحيحة الموجبة إلى حلقة التشاكل الداخلي لـ R ، فإن الصيغة Xⁿ ⋅ r = F ( ⁿ ) ( r ) ⋅ Xⁿ تسمح بإنشاء حلقة كثيرات حدود مائلة. ( لام 2001 ، §1، مثال 1.11) ^ترتبط حلقات كثيرات الحدود المائلة ارتباطًا وثيقًا بجبر الضرب المتقاطع .

يمكن تعميم تعريف حلقة كثيرات الحدود بتخفيف شرط أن يكون التركيب الجبري R حقلاً أو حلقة ، ليصبح شرط أن يكون R شبه حقل أو حلقة فقط ؛ ويكون التركيب/الامتداد الناتج لكثيرات الحدود R [ X ] حلقة كثيرات حدود . على سبيل المثال، مجموعة جميع كثيرات الحدود متعددة المتغيرات ذات المعاملات العددية الطبيعية هي حلقة كثيرات حدود.