المجال التكاملي

في الرياضيات ، المجال التكاملي هو حلقة تبديلية غير صفرية يكون فيها حاصل ضرب أي عنصرين غير صفريين غير صفري . ^{[ 1 ] [ 2 ]} في المجال التكاملي، يتمتع كل عنصر غير صفري a بخاصية الحذف ، أي إذا كان a ≠ 0 ، فإن ab = ac يستلزم b = c . تُعد المجالات التكاملية تعميمًا لحلقة الأعداد الصحيحة ، وتوفر إطارًا مفيدًا لدراسة قابلية القسمة .

يُعرَّف "المجال التكاملي" بشكل شبه عالمي كما ذُكر أعلاه، مع وجود بعض الاختلافات. تتبع هذه المقالة الاصطلاح القائل بأن الحلقات لها عنصر محايد ضربي ، يُرمز له عادةً بالرقم 1، لكن بعض المؤلفين لا يتبعون هذا الاصطلاح، إذ لا يشترطون وجود عنصر محايد ضربي في المجالات التكاملية. ^{[ 3 ] [ 4 ]} ويُسمح أحيانًا بالمجالات التكاملية غير التبادلية. ^{[ 5 ]} مع ذلك، تتبع هذه المقالة الاصطلاح الأكثر شيوعًا، وهو حصر مصطلح "المجال التكاملي" في الحالة التبادلية، واستخدام مصطلح " المجال " للحالة العامة التي تشمل الحلقات غير التبادلية.

تستخدم بعض المصادر، ولا سيما لانغ ، مصطلح الحلقة الكاملة للدلالة على المجال التكاملي. ^{[ 6 ]}

تُعطى بعض الأنواع المحددة من المجالات التكاملية مع سلسلة تضمين الفئات التالية :

الحلقات ⊃ الحلقات ⊃ الحلقات التبادلية ⊃ المجالات التكاملية ⊃ المجالات المغلقة تكامليًا ⊃ مجالات القاسم المشترك الأكبر ⊃ مجالات التحليل الفريد ⊃ مجالات المثالي الرئيسي ⊃ المجالات الإقليدية ⊃ الحقول ⊃ الحقول المغلقة جبريًا

المجال التكاملي هو حلقة تبديلية غير صفرية يكون فيها حاصل ضرب أي عنصرين غير صفريين غير صفري. أو بصورة مكافئة:

• المجال التكاملي هو حلقة تبديلية غير صفرية لا تحتوي على قواسم صفرية غير صفرية .
• المجال التكاملي هو حلقة تبديلية يكون فيها المثالي الصفري {0} مثاليًا أوليًا .
• المجال التكاملي هو حلقة تبديلية غير صفرية يمكن حذف كل عنصر غير صفري فيها تحت عملية الضرب.
• المجال التكاملي هو حلقة تكون فيها مجموعة العناصر غير الصفرية عبارة عن أحادي تبديلي تحت الضرب (لأن الأحادي يجب أن يكون مغلقًا تحت الضرب).
• المجال التكاملي هو حلقة تبديلية غير صفرية، حيث تكون الدالة التي تربط كل عنصر x من الحلقة بالناتج xr دالة أحادية لكل عنصر غير صفري r . تُسمى العناصر r التي تتمتع بهذه الخاصية منتظمة ، لذا فإن اشتراط أن يكون كل عنصر غير صفري في الحلقة منتظمًا يكافئ ذلك.
• المجال التكاملي هو حلقة متماثلة مع حلقة فرعية من حقل . (إذا أُعطي مجال تكاملي، فيمكن تضمينه في حقل الكسور الخاص به .)

• المثال النموذجي هو الخاتم${\displaystyle \mathbb {Z} }$من بين جميع الأعداد الصحيحة .
• كل حقل هو مجال تكاملي. على سبيل المثال، الحقل${\displaystyle \mathbb {R} }$جميع الأعداد الحقيقية هي مجال تكاملي. وعلى العكس، فإن كل مجال تكاملي أرتيني هو حقل. وعلى وجه الخصوص، فإن جميع المجالات التكاملية المنتهية هي حقول منتهية (وبشكل أعم، وفقًا لنظرية ويدربورن الصغرى ، فإن المجالات المنتهية هي حقول منتهية ). حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$يقدم مثالاً على مجال تكاملي لانهائي غير أرتيني ليس حقلاً، ويمتلك تسلسلات تنازلية لانهائية من المُثُل مثل:

  ${\displaystyle \mathbb {Z} \supset 2\mathbb {Z} \supset \cdots \supset 2^{n}\mathbb {Z} \supset 2^{n+1}\mathbb {Z} \supset \cdots }$

• تُعتبر حلقات كثيرات الحدود مجالات تكاملية إذا كانت المعاملات تنتمي إلى مجال تكاملي. على سبيل المثال، الحلقة${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$جميع كثيرات الحدود في متغير واحد ذات المعاملات الصحيحة هي مجال تكاملي؛ وكذلك الحلقة${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$من جميع كثيرات الحدود في n متغيرات ذات معاملات مركبة .
• يمكن استغلال المثال السابق بشكل أكبر عن طريق أخذ نواتج القسمة من المثاليّات الأولية. على سبيل المثال، الحلقة${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))}$المجال التكاملي هو المجال المقابل لمنحنى إهليلجي مستوٍ . ويمكن التحقق من التكامل من خلال إظهار${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-2)}$هي متعددة حدود غير قابلة للاختزال .
• الخاتم${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$هي مجال تكاملي لأي عدد صحيح غير مربع${\displaystyle n}$. لو${\displaystyle n>0}$إذن، هذه الحلقة هي دائمًا حلقة فرعية من${\displaystyle \mathbb {R} }$وإلا، فهي حلقة فرعية من${\displaystyle \mathbb {C} .}$
• حلقة الأعداد الصحيحة p -adic${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$هو مجال متكامل.
• حلقة متسلسلات القوى الرسمية لمجال تكاملي هي مجال تكاملي.
• لو${\displaystyle U}$هي مجموعة فرعية مفتوحة متصلة من المستوى المركب${\displaystyle \mathbb {C} }$ثم الخاتم${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$تُعتبر المجموعة التي تضم جميع الدوال التحليلية مجالًا تكامليًا. وينطبق الأمر نفسه على حلقات الدوال التحليلية على المجموعات الفرعية المفتوحة المتصلة من المشعبات التحليلية .
• الحلقة المحلية المنتظمة هي مجال تكاملي. في الواقع، الحلقة المحلية المنتظمة هي مجال تكاملي موحد . ^{[ 7 ] [ 8 ]}

الحلقات التالية ليست نطاقات تكاملية.

• الحلقة الصفرية ( الحلقة التي فيها${\displaystyle 0=1}$), بحسب التعريف.
• حلقة القسمة${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$عندما يكون m عددًا غير أولي . ولإثبات ذلك، اختر تحليلًا مناسبًا.${\displaystyle m=xy}$(بمعنى أن${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$لا تتساوى مع${\displaystyle 1}$أو${\displaystyle m}$). ثم${\displaystyle x\not \equiv 0{\bmod {m}}}$و${\displaystyle y\not \equiv 0{\bmod {m}}}$، لكن${\displaystyle xy\equiv 0{\bmod {m}}}$.
• حاصل ضرب حلقتين تبديليتين غير صفريتين. في مثل هذا الناتج${\displaystyle R\times S}$، لدى المرء${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}$.
• حلقة القسمة${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2})}$لأي${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$صور${\displaystyle x+n}$و${\displaystyle xn}$هي غير صفرية، بينما حاصل ضربها يساوي صفرًا في هذه الحلقة.
• حلقة المصفوفات من الرتبة n × n فوق أي حلقة غير صفرية عندما n ≥ 2. إذا${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$هي مصفوفات بحيث تكون صورة${\displaystyle N}$يحتوي على نواة${\displaystyle M}$، ثم${\displaystyle MN=0}$على سبيل المثال، يحدث هذا لـ${\displaystyle M=N=({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}})}$.
• حلقة القسمة${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(fg)}$لأي مجال${\displaystyle k}$وأي كثيرات حدود غير ثابتة${\displaystyle f,g\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$صورتا f و g في حلقة القسمة هذه هما عنصران غير صفريين حاصل ضربهما يساوي صفرًا. تُظهر هذه الحجة، بصورة مكافئة، أن${\displaystyle (fg)}$ليس مثاليًا أوليًا . التفسير الهندسي لهذه النتيجة هو أن أصفار fg تُشكّل مجموعة جبرية أفينية غير قابلة للاختزال (أي ليست تنوعًا جبريًا ) بشكل عام. الحالة الوحيدة التي قد تكون فيها هذه المجموعة الجبرية غير قابلة للاختزال هي عندما تكون fg قوة لكثير حدود غير قابل للاختزال ، والذي يُعرّف المجموعة الجبرية نفسها.
• حلقة الدوال المتصلة على الفترة [0, 1] . لنعتبر الدوال التالية:

  $\displaystyle f(x)=\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}\qquad g(x)=\begin{cases}0&x\in \left[0,\tfrac {1}{2}}\right]\\2x-1&x\in \left[\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$

لا${\displaystyle f}$ولا${\displaystyle g}$صفر في كل مكان، لكن${\displaystyle fg}$يكون.

• حاصل الضرب الموتري${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$تحتوي هذه الحلقة على عنصرين متساويي القوة غير تافهين .${\displaystyle e_{1}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)-{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$و${\displaystyle e_{2}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)+{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$هما متعامدان، مما يعني أن${\displaystyle e_{1}e_{2}=0}$وبالتالي${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ليس مجالًا. في الواقع، هناك تماثل.${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$محدد بواسطة${\displaystyle (z,w)\mapsto z\cdot e_{1}+w\cdot e_{2}}$. ويُعرَّف معكوسه بواسطة${\displaystyle z\otimes w\mapsto (zw,z{\overline {w}})}$يوضح هذا المثال أن ناتج الألياف للمخططات الأفينية غير القابلة للاختزال ليس بالضرورة غير قابل للاختزال.

في هذا القسم، R هو مجال تكاملي.

إذا كان لدينا عنصران a و b من R ، نقول أن a يقسم b ، أو أن a هو قاسم b ، أو أن b هو مضاعف لـ a ، إذا كان هناك عنصر x في R بحيث يكون ax = b .

وحدات R هي العناصر التي تقسم 1؛ وهذه هي تحديداً العناصر القابلة للعكس في R. تقسم الوحدات جميع العناصر الأخرى.

إذا كان a يقسم b و b يقسم a ، فإن a و b عنصران مرتبطان أو مترافقان . [ ^{9 ] وبالمثل} ، يكون a و b مترافقين إذا كان a = ub لبعض الوحدة u .

العنصر غير القابل للاختزال هو عنصر غير صفري لا يمكن كتابته كحاصل ضرب عنصرين غير صفريين.

يكون العنصر p غير الصفري وغير المحايد عنصرًا أوليًا إذا كان، كلما قسم p حاصل ضرب ab ، فإن p يقسم a أو p يقسم b . وبصورة مكافئة، يكون العنصر p أوليًا إذا وفقط إذا كان المثالي الرئيسي ( p ) مثاليًا أوليًا غير صفري .

يعمم كل من مفهومي العناصر غير القابلة للاختزال والعناصر الأولية التعريف العادي للأعداد الأولية في الحلقة${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$إذا اعتبرنا الأعداد الأولية السالبة أعدادًا أولية.

كل عنصر أولي غير قابل للاختزال. والعكس ليس صحيحًا بشكل عام: على سبيل المثال، في حلقة الأعداد الصحيحة التربيعية${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$العنصر 3 غير قابل للاختزال (إذا كان قابلاً للتحليل إلى عوامل غير تافهة، فيجب أن يكون لكل عامل معيار 3، ولكن لا توجد عناصر ذات معيار 3 لأن${\displaystyle a^{2}+5b^{2}=3}$ليس له حلول صحيحة)، ولكنه ليس عددًا أوليًا (لأن 3 يقسم${\displaystyle \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)}$(دون تقسيم أي من العاملين). في مجال التحليل الفريد (أو بشكل أعم، مجال القاسم المشترك الأكبر )، يكون العنصر غير القابل للاختزال عنصرًا أوليًا.

بينما لا ينطبق التحليل الفريد في${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$يوجد تحليل فريد للمثاليات . انظر نظرية لاسكر-نوثر .

• تكون الحلقة التبديلية R مجالًا تكامليًا إذا وفقط إذا كان المثالي (0) لـ R مثاليًا أوليًا.
• إذا كانت R حلقة تبديلية و P مثالي في R ، فإن حلقة القسمة R/P هي مجال تكاملي إذا وفقط إذا كان P مثاليًا أوليًا .
• ليكن R مجالًا تكامليًا. عندئذٍ، تكون حلقات كثيرات الحدود على R (بأي عدد من المتغيرات) مجالات تكاملية. ويتحقق هذا الأمر تحديدًا إذا كان R حقلًا .
• تتحقق خاصية الإلغاء في أي مجال تكاملي: لأي قيم a و b و c في مجال تكاملي، إذا كانت a ≠ 0 و ab = ac فإن b = c . وبعبارة أخرى، فإن الدالة x ↦ ax أحادية لأي قيمة غير صفرية لـ a في المجال.
• تنطبق خاصية الإلغاء على المثاليات في أي مجال تكاملي: إذا كان xI = xJ ، فإن x إما يساوي صفرًا أو I = J.
• المجال التكاملي يساوي تقاطع مواضعه عند المُثُل القصوى.
• الحد الاستقرائي للمجالات التكاملية هو مجال تكاملي.
• إذا كانت ^{A وB نطاقين تكامليين على حقل مغلق جبريًا k، فإن A ⊗ k B هو نطاق تكاملي. هذه نتيجة لفرضية هيلبرت الصفرية [} أ ] ، وفي الهندسة الجبرية ، تعني _أن حلقة الإحداثيات لحاصل ضرب ^{نوعين جبريين} أفينيين على حقل مغلق جبريًا هي أيضًا نطاق تكاملي.

حقل الكسور K لمجال تكاملي R هو مجموعة الكسور a / b حيث a و b ينتميان إلى R و b ≠ 0 بتردد علاقة تكافؤ مناسبة، مع عمليات الجمع والضرب المعتادة. وهو "أصغر حقل يحتوي على R " بمعنى أنه يوجد تشاكل حلقي أحادي من R إلى K بحيث يمكن تحليل أي تشاكل حلقي أحادي من R إلى حقل K. حقل الكسور لحلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$هو مجال الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} .}$حقل كسور الحقل متماثل مع الحقل نفسه.

تتميز المجالات التكاملية بكونها مختزلة (أي أن x² = 0 ^يستلزم x = 0 ) وغير قابلة للاختزال (أي أن لها مثاليًا أوليًا أدنى واحدًا فقط ). يضمن الشرط الأول أن الجذر الصفري للحلقة يساوي صفرًا، وبالتالي فإن تقاطع جميع الأعداد الأولية الدنيا للحلقة يساوي صفرًا. أما الشرط الثاني فهو أن الحلقة لا تحتوي إلا على عدد أولي أدنى واحد. وبناءً على ذلك، فإن المثالي الأولي الأدنى الوحيد لحلقة مختزلة وغير قابلة للاختزال هو المثالي الصفري، ولذلك تُعد هذه الحلقات مجالات تكاملية. والعكس واضح: لا يحتوي المجال التكاملي على عناصر صفرية غير صفرية، والمثالي الصفري هو المثالي الأولي الأدنى الوحيد.

وهذا يترجم، في الهندسة الجبرية ، إلى حقيقة أن حلقة الإحداثيات لمجموعة جبرية أفينية هي مجال تكاملي إذا وفقط إذا كانت المجموعة الجبرية عبارة عن تنوع جبري .

وبشكل عام، تكون الحلقة التبادلية مجالًا تكامليًا إذا وفقط إذا كان طيفها مخططًا أفينيًا تكامليًا .

خاصية المجال التكاملي هي إما 0 أو عدد أولي .

إذا كانت R مجالًا تكامليًا ذا خاصية أولية p ، فإن التشكل الداخلي لفروبينيوس x ↦ x ^p يكون أحاديًا .

• معيار ديديكيند-هاس – البنية الإضافية اللازمة لكي يكون المجال التكاملي رئيسيًا
• خاصية الضرب الصفري

• "من أين يأتي مصطلح "المجال التكاملي"؟ "