امتداد بسيط

في نظرية الحقول ، يُعرف الامتداد البسيط بأنه امتداد حقلي يتولد من خلال إضافة عنصر واحد يُسمى العنصر الأولي . الامتدادات البسيطة مفهومة جيدًا ويمكن تصنيفها بشكل كامل.

تنص نظرية العنصر الأولي على أن كل امتداد قابل للفصل محدود هو امتداد بسيط. بالنسبة لحقل ذي خاصية صفرية مثل الأعداد النسبية، فإن هذا يعني أن جميع الامتدادات المحدودة بسيطة.

يُطلق على امتداد الحقل L / K اسم امتداد بسيط إذا وُجد عنصر θ في L بحيث

${\displaystyle L=K(\theta ).}$

هذا يعني أنه يمكن التعبير عن كل عنصر من عناصر L ككسر نسبي في θ ، بمعاملات في K ؛ أي أنه يُنتج من θ وعناصر K بواسطة عمليات الحقل +، −، •، /. وبصورة مكافئة، فإن L هو أصغر حقل يحتوي على كل من K و θ .

يوجد نوعان مختلفان من الامتدادات البسيطة (انظر §  بنية الامتدادات البسيطة أدناه):

1. قد يكون العنصر θ متسامياً على K ، مما يعني أنه ليس جذراً لأي متعددة حدود ذات معاملات في K. في هذه الحالة${\displaystyle K(\theta )}$متماثل مع حقل الدوال الكسرية${\displaystyle K(X).}$
2. وإلا، فإن θ جبري على K ؛ أي أن θ جذر لكثير حدود على K. كثير الحدود الأحادي${\displaystyle p(X)}$تُسمى الدالة ذات الدرجة الدنيا n ، والتي يكون θ جذرًا لها، بالدالة متعددة الحدود الدنيا لـ θ . وتساوي درجتها درجة امتداد الحقل ، أي بُعد L عند اعتباره فضاءً متجهيًا K. في هذه الحالة، كل عنصر من${\displaystyle K(\theta )}$يمكن التعبير عنها بشكل فريد كمتعددة حدود في θ من درجة أقل من n ، و${\displaystyle K(\theta )}$متماثل مع حلقة القسمة${\displaystyle K[X]/(p(X)).}$

في كلتا الحالتين، يُطلق على العنصر θ اسم العنصر المولد أو العنصر الأولي للتمديد؛ ويقول المرء أيضًا أن L مولدة على K بواسطة θ .

على سبيل المثال، كل حقل منتهٍ هو امتداد بسيط للحقل الأولي ذي الخاصية نفسها . بتعبير أدق، إذا كان p عددًا أوليًا و${\displaystyle q=p^{n},}$الحقل${\displaystyle L=\mathbb {F} _{q}}$عدد عناصر q هو امتداد بسيط للدرجة n من${\displaystyle K=\mathbb {F} _{p}.}$في الواقع، يتم توليد L كحقل بواسطة أي عنصر θ يكون جذرًا لكثير حدود غير قابل للاختزال من الدرجة n في${\displaystyle K[X]}$.

مع ذلك، في حالة الحقول المنتهية، يُستخدم مصطلح العنصر الأولي عادةً للإشارة إلى مفهوم أقوى، وهو العنصر γ الذي يُولّد${\displaystyle L^{\times }=L-\{0\}}$باعتبارها مجموعة ضربية ، بحيث يكون كل عنصر غير صفري في L قوةً لـ γ ، أي أنه يُنتَج من γ باستخدام عملية المجموعة • فقط . ولتمييز هذه المعاني، يُستخدم مصطلح "المولد" أو " العنصر الأولي للحقل " للمعنى الأضعف، بينما يُستخدم مصطلح "العنصر الأولي" أو " العنصر الأولي للمجموعة " للمعنى الأقوى. ^{[ 1 ]} (انظر الحقل المنتهي §  البنية الضربية والعنصر الأولي (الحقل المنتهي) ).

ليكن L امتدادًا بسيطًا لـ K مُوَلَّدًا بواسطة θ . بالنسبة لحلقة كثيرات الحدود K [ X ]، فإن إحدى خصائصها الرئيسية هي التماثل الحلقي الوحيد

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :K[X]&\rightarrow L\\f(X)&\mapsto f(\theta )\,.\end{aligned}}}$

قد تحدث حالتان:

1. لو${\displaystyle \varphi }$بما أن L دالة أحادية ، يمكن تمديدها بشكل أحادي إلى حقل الكسور K ( X ) من K [ X ]. وبما أن L مُوَلَّدة بواسطة θ ، فإن هذا يعني أن${\displaystyle \varphi }$هو تماثل من K ( X ) إلى L . وهذا يعني أن كل عنصر من L يساوي كسرًا غير قابل للاختزال من كثيرات الحدود في θ ، وأن كسرين غير قابلين للاختزال متساويان إذا وفقط إذا كان من الممكن الانتقال من أحدهما إلى الآخر بضرب البسط والمقام بنفس العنصر غير الصفري من K.
2. لو${\displaystyle \varphi }$بما أن الدالة ليست أحادية، فلنفترض أن p ( X ) مولد لنواتها ، وهي بالتالي متعددة الحدود الدنيا لـ θ . صورة${\displaystyle \varphi }$هي حلقة جزئية من L ، وبالتالي فهي مجال تكاملي . هذا يعني أن p متعددة حدود غير قابلة للاختزال، وبالتالي فإن حلقة القسمة${\displaystyle K[X]/\langle p(X)\rangle }$هو حقل. بما أن L يتم توليده بواسطة θ ،${\displaystyle \varphi }$هي شاملة ، و${\displaystyle \varphi }$يُحدث تماثلاً من${\displaystyle K[X]/\langle p(X)\rangle }$على L. وهذا يعني أن كل عنصر من عناصر L يساوي متعدد حدود فريد في θ من درجة أقل من الدرجة${\displaystyle n=\operatorname {deg} p(X)}$أي أن لدينا أساس K لـ L معطى بواسطة${\displaystyle 1,\theta ,\theta ^{2},\ldots ,\theta ^{n-1}}$.

• C / R تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle \theta =i={\sqrt {-1}}}$.
• س (${\displaystyle {\sqrt {2}}}$) / Q تم توليدها بواسطة${\displaystyle \theta ={\sqrt {2}}}$.
• أي حقل عددي (أي امتداد محدود لـ Q ) هو امتداد بسيط Q ( θ ) لبعض θ . على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {3}},{\sqrt {7}})}$يتم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle \theta ={\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}}$.
• F ( X ) / F، وهو حقل من الدوال الكسرية، يتم توليده بواسطة المتغير الرسمي X.

• مصفوفة مصاحبة لخريطة الضرب على امتداد حقل بسيط

• رومان، ستيفن (1995). نظرية الحقول . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  158. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-94408-7. Zbl 0816.12001 .