نظرية العنصر الأولي

في نظرية الحقول ، تنص نظرية العنصر الأولي على أن كل امتداد حقل قابل للفصل محدود هو حقل بسيط ، أي مُوَلَّد بعنصر واحد. وتستلزم هذه النظرية على وجه الخصوص أن جميع حقول الأعداد الجبرية فوق الأعداد النسبية، وجميع الامتدادات التي يكون فيها كلا الحقلين محدودين، هي حقول بسيطة.

يترك${\displaystyle E/F}$أن يكون امتدادًا للحقل . عنصر${\displaystyle \alpha \in E}$هو عنصر أولي لـ${\displaystyle E/F}$لو${\displaystyle E=F(\alpha ),}$أي إذا كان كل عنصر من${\displaystyle E}$يمكن كتابتها كدالة كسرية في${\displaystyle \alpha }$بمعاملات في${\displaystyle F}$إذا وُجد مثل هذا العنصر الأولي، فإن${\displaystyle E/F}$ويُشار إليه على أنه امتداد بسيط .

إذا كان امتداد الحقل${\displaystyle E/F}$يحتوي على عنصر بدائي${\displaystyle \alpha }$وهي ذات درجة محدودة${\displaystyle n=[E:F]}$ثم كل عنصر${\displaystyle \gamma \in E}$يمكن كتابتها بالشكل التالي

${\displaystyle \gamma =a_{0}+a_{1}{\alpha }+\cdots +a_{n-1}{\alpha }^{n-1},}$

للمعاملات الفريدة${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}\in F}$أي المجموعة

${\displaystyle \{1,\alpha ,\ldots ,{\alpha }^{n-1}\}}$

تُشكّل أساسًا لـ E كفضاء متجهي فوق F. الدرجة n تساوي درجة متعددة الحدود غير القابلة للاختزال لـ α فوق F ، وهي الحد الوحيد ذو المعامل الأحادي.${\displaystyle f(X)\in F[X]}$ذات درجة دنيا مع α كجذر (اعتماد خطي لـ${\displaystyle \{1,\alpha ,\ldots ,\alpha ^{n-1},\alpha ^{n}\}}$).

إذا كان L حقل تجزئة لـ${\displaystyle f(X)}$يحتوي على جذوره المتميزة n${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ثم هناك عدد n من تضمينات الحقول${\displaystyle \sigma _{i}:F(\alpha )\hookrightarrow L}$محدد بواسطة${\displaystyle \sigma _{i}(\alpha )=\alpha _{i}}$و${\displaystyle \sigma (a)=a}$ل${\displaystyle a\in F}$وتمتد هذه إلى التشاكلات الذاتية لـ L في مجموعة غالوا ،${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\in \mathrm {Gal} (L/F)}$في الواقع، بالنسبة لحقل امتداد مع${\displaystyle [E:F]=n}$عنصر${\displaystyle \alpha }$يكون عنصرًا أوليًا إذا وفقط إذا${\displaystyle \alpha }$له n من المترافقات المتميزة${\displaystyle \sigma _{1}(\alpha ),\ldots ,\sigma _{n}(\alpha )}$في مجال تقسيم ما${\displaystyle L\supseteq E}$.

إذا انضم المرء إلى الأعداد النسبية${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$العددان غير النسبيين${\displaystyle {\sqrt {2}}}$و${\displaystyle {\sqrt {3}}}$للحصول على حقل الامتداد${\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$من الدرجة الرابعة، يمكن إثبات أن هذا الامتداد بسيط، بمعنى${\displaystyle E=\mathbb {Q} (\alpha )}$لشخص واحد${\displaystyle \alpha \in E}$أخذ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$، يمكن توسيع القوى 1، α ، α2 ^، α3 كمجموعات خطية من ¹ ،${\displaystyle {\sqrt {2}}}$،${\displaystyle {\sqrt {3}}}$،${\displaystyle {\sqrt {6}}}$بمعاملات صحيحة . يمكن حل نظام المعادلات الخطية هذا لـ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$و${\displaystyle {\sqrt {3}}}$زيادة${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$للحصول على ${\displaystyle {\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{3}-9\alpha )}$و${\displaystyle {\sqrt {3}}=-{\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{3}-11\alpha )}$وهذا يدل على أن α هو بالفعل عنصر أولي:

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}).}$

يمكن أيضًا استخدام الحجة الأكثر عمومية التالية. ^{[ 1 ]} المجال${\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$من الواضح أن له أربعة تشاكلات حقلية${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4}:E\to E}$محدد بواسطة${\displaystyle \sigma _{i}({\sqrt {2}})=\pm {\sqrt {2}}}$و${\displaystyle \sigma _{i}({\sqrt {3}})=\pm {\sqrt {3}}}$لكل اختيار من الإشارات. متعددة الحدود الدنيا${\displaystyle f(X)\in \mathbb {Q} [X]}$ل${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$لا غنى عنه${\displaystyle f(\sigma _{i}(\alpha ))=\sigma _{i}(f(\alpha ))=0}$، لذا${\displaystyle f(X)}$يجب أن يكون له أربعة جذور متميزة على الأقل${\displaystyle \sigma _{i}(\alpha )=\pm {\sqrt {2}}\pm {\sqrt {3}}}$. هكذا${\displaystyle f(X)}$حاصل على درجة علمية لا تقل عن أربعة، و${\displaystyle [\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]\geq 4}$لكن هذه هي درجة المجال بأكمله،${\displaystyle [E:\mathbb {Q} ]=4}$، لذا ${\displaystyle E=\mathbb {Q} (\alpha )}$.

تنص نظرية العنصر الأولي على ما يلي:

كل امتداد حقل قابل للفصل من درجة محدودة هو بسيط.

تنطبق هذه النظرية على حقول الأعداد الجبرية ، أي الامتدادات المحدودة للأعداد النسبية Q ، لأن Q لها خاصية 0 وبالتالي فإن كل امتداد محدود على Q قابل للفصل.

باستخدام النظرية الأساسية لنظرية غالوا ، فإن النظرية السابقة تتبع مباشرة من نظرية شتاينيتز .

لامتداد غير قابل للفصل${\displaystyle E/F}$ومع ذلك، يوجد عنصر بدائي ذو خاصية p بشرط أن تكون الدرجة [ E  : F ] هي p: في الواقع، لا يمكن أن تكون هناك حقول فرعية وسيطة غير تافهة لأن درجاتها ستكون عوامل العدد الأولي p . 

عندما يكون [ E  : F ] = p² ، قد لا يكون هناك عنصر أولي (وفي هذه الحالة ^، توجد حقول وسيطة لا نهائية وفقًا لنظرية شتاينيتز ). أبسط مثال على ذلك هو ${\displaystyle E=\mathbb {F} _{p}(T,U)}$، حقل الدوال الكسرية في متغيرين غير محددين T و U على الحقل المنتهي ذي p عنصرًا، و${\displaystyle F=\mathbb {F} _{p}(T^{p},U^{p})}$في الواقع، بالنسبة لأي${\displaystyle \alpha =g(T,U)}$في${\displaystyle E\setminus F}$يُظهر تحويل فروبينيوس الداخلي أن العنصر${\displaystyle \alpha ^{p}}$تقع في F ، لذا فإن α هو جذر لـ${\displaystyle f(X)=X^{p}-\alpha ^{p}\in F[X]}$، و α لا يمكن أن يكون عنصرًا أوليًا (من الدرجة p ² على F )، ولكن بدلاً من ذلك فإن F ( α ) هو حقل وسيط غير تافه.

لنفترض أولاً أن${\displaystyle F}$هي لانهائية. بالاستقراء، يكفي إثبات أن أي امتداد محدود${\displaystyle E=F(\beta ,\gamma )}$الأمر بسيط. لـ${\displaystyle c\in F}$، يفترض${\displaystyle \alpha =\beta +c\gamma }$لا يُعتبر عنصرًا أوليًا،${\displaystyle F(\alpha )\subsetneq F(\beta ,\gamma )}$. ثم${\displaystyle \gamma \notin F(\alpha )}$وإلا${\displaystyle \beta =\alpha -c\gamma \in F(\alpha )=F(\beta ,\gamma )}$ضع في اعتبارك كثيرات الحدود الدنيا لـ${\displaystyle \beta ,\gamma }$زيادة${\displaystyle F(\alpha )}$، على التوالى${\displaystyle f(X),g(X)\in F(\alpha )[X]}$وخذ حقل تقسيم${\displaystyle L}$يحتوي على جميع الجذور${\displaystyle \beta ,\beta ',\ldots }$ ل${\displaystyle f(X)}$و${\displaystyle \gamma ,\gamma ',\ldots }$ل${\displaystyle g(X)}$. منذ${\displaystyle \gamma \notin F(\alpha )}$، هناك جذر آخر${\displaystyle \gamma '\neq \gamma }$، وتماثل حقلي${\displaystyle \sigma :L\to L}$أي إصلاحات${\displaystyle F(\alpha )}$ويأخذ${\displaystyle \sigma (\gamma )=\gamma '}$ثم لدينا${\displaystyle \sigma (\alpha )=\alpha }$، و:

${\displaystyle \beta +c\gamma =\sigma (\beta +c\gamma )=\sigma (\beta )+c\,\sigma (\gamma )}$وبالتالي ${\displaystyle c={\frac {\sigma (\beta )-\beta }{\gamma -\sigma (\gamma )}}}$.

بما أن عدد الاحتمالات محدود فقط لـ${\displaystyle \sigma (\beta )=\beta '}$و${\displaystyle \sigma (\gamma )=\gamma '}$عدد محدود فقط${\displaystyle c\in F}$فشل في إعطاء عنصر أولي${\displaystyle \alpha =\beta +c\gamma }$أما القيم الأخرى فتعطي${\displaystyle F(\alpha )=F(\beta ,\gamma )}$.

في الحالة التي${\displaystyle F}$بما أنها محدودة، فإننا ببساطة نأخذ${\displaystyle \alpha }$أن يكون جذرًا أوليًا لحقل التمديد المحدود${\displaystyle E}$.

في مذكراته الأولى عام 1831، التي نُشرت عام 1846، ^{[ 2 ]} قدّم إيفاريست غالوا برهانًا موجزًا ​​لنظرية العنصر الأولي الكلاسيكية في حالة حقل تجزئة لكثير الحدود على الأعداد النسبية. ويمكن سدّ الثغرات في برهانه الموجز بسهولة ^{[ 3 ]} (كما أشار المحكّم بواسون ) بالاستفادة من نظرية ^{[ 4 ] [ 5 ]} لاغرانج من عام 1771، والتي كان غالوا على دراية بها بالتأكيد. ومن المرجح أن لاغرانج كان على علم بنظرية العنصر الأولي لحقول التجزئة. ^{[ 5 ]} ثم استخدم غالوا هذه النظرية بكثافة في تطويره لمجموعة غالوا . ومنذ ذلك الحين، استُخدمت في تطوير نظرية غالوا والنظرية الأساسية لها .

تم إثبات نظرية العنصر البدائي في شكلها الحديث بواسطة إرنست شتاينيتز ، في مقال مؤثر حول نظرية الحقل في عام 1910، والذي يحتوي أيضًا على نظرية شتاينيتز ؛ ^{[ 6 ]} أطلق شتاينيتز على النتيجة "الكلاسيكية" اسم نظرية العناصر البدائية وعلى نسخته الحديثة اسم نظرية الحقول الوسيطة .

أعاد إميل أرتين صياغة نظرية غالوا في ثلاثينيات القرن العشرين دون الاعتماد على العناصر الأولية. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

• ملاحظات ج. ميلن الدراسية حول الحقول ونظرية غالوا
• نظرية العنصر الأولي على موقع mathreference.com
• نظرية العنصر الأولي على موقع planetmath.org
• نظرية العنصر الأولي على موقع كين براون الإلكتروني (ملف PDF)