الجبر المولد نهائياً

في الرياضيات ، الجبر المولد نهائياً (يسمى أيضاً جبر من النوع المنتهي ) على حلقة (تبديلية)${\displaystyle R}$أو مولد بشكل نهائي${\displaystyle R}$الجبر - باختصار، هو جبر تبادلي ترابطي${\displaystyle A}$مُعرَّف بواسطة تماثل الحلقات${\displaystyle f:R\to A}$بحيث يكون كل عنصر من${\displaystyle A}$يمكن التعبير عنها كمتعددة حدود في عدد محدود من المولدات${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$بمعاملات في${\displaystyle f(R)}$بعبارة أخرى، هناك شمولية${\displaystyle R}$- التماثل الجبري من حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle R[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ل${\displaystyle A}$.

لو${\displaystyle K}$هو حقل ، يُعتبر جبرًا فرعيًا من${\displaystyle A}$، و${\displaystyle f}$الحقنة الطبيعية${\displaystyle K\hookrightarrow A}$ثم أ${\displaystyle K}$الجبر من النوع المحدود هو جبر تبادلي ترابطي${\displaystyle A}$حيث توجد مجموعة محدودة من العناصر${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$بحيث يكون كل عنصر من${\displaystyle A}$يمكن التعبير عنها كمعادلة متعددة الحدود في${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$، بمعاملات في${\displaystyle K}$.

وبصورة مكافئة، توجد عناصر${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$بحيث يكون تماثل التقييم عند${\displaystyle {\bf {a}}=(a_{1},\dots ,a_{n})}$

${\displaystyle \phi _{\bf {a}}\colon K[X_{1},\dots ,X_{n}]\twoheadrightarrow A}$

هي دالة شاملة ؛ وبالتالي، بتطبيق نظرية التشاكل الأولى ،${\displaystyle A\cong K[X_{1},\dots ,X_{n}]/{\rm {ker}}(\phi _{\bf {a}})}$.

وعلى العكس من ذلك ،${\displaystyle A:=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I}$لأي مثالي${\displaystyle I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$هو${\displaystyle K}$الجبر من النوع المحدود، بل أي عنصر من${\displaystyle A}$هي متعددة حدود في المجموعات المشاركة${\displaystyle a_{i}:=X_{i}+I,i=1,\dots ,n}$بمعاملات في${\displaystyle K}$وبالتالي، نحصل على التوصيف التالي للمولدات المحدودة${\displaystyle K}$الجبر -: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle A}$هو مولد نهائي${\displaystyle K}$الجبر - إذا وفقط إذا كان متماثلاً مع${\displaystyle K}$الجبر - إلى حلقة خارج القسمة من النوع${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I}$بواسطة مثال${\displaystyle I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}].}$

تُسمى الجبريات التي لا يتم توليدها بشكل نهائي بالجبريات التي يتم توليدها بشكل غير نهائي .

الحلقة المولدة نهائياً هي حلقة تكون مولدة نهائياً عندما تُعتبر حلقةً منتهية التوليد.${\displaystyle \mathbb {Z} }$-الجبر.

لا ينبغي الخلط بين كون الجبر مولدًا توليدًا منتهيًا ( من نوع منتهٍ ) وبين كون الجبر منتهيًا (انظر أدناه). الجبر المنتهي على${\displaystyle R}$هو جبر تبادلي ترابطي${\displaystyle A}$يتم توليدها بشكل نهائي كوحدة نمطية ؛ أي،${\displaystyle R}$الجبر - المعرف بواسطة تماثل الحلقة${\displaystyle f:R\to A}$بحيث يكون كل عنصر من${\displaystyle A}$يمكن التعبير عنها كمزيج خطي من عدد محدود من المولدات${\textstyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$بمعاملات في${\displaystyle f(R)}$هذا شرط أقوى من${\displaystyle A}$يمكن التعبير عنها كمتعددة حدود في مجموعة محدودة من المولدات في حالة كون الجبر مولدًا بشكل محدود.

• الجبر متعدد الحدود${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$يتم توليدها بشكل محدود. الجبر متعدد الحدود في عدد لا نهائي قابل للعد من المولدات يتم توليده بشكل لا نهائي.
• حلقة كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية${\displaystyle {\mathbb {R}}[x]}$يتم توليدها بشكل محدود على${\displaystyle {\mathbb {R}}}$لكن لم ينته الأمر بعد${\displaystyle {\mathbb {Q}}}$.
• المجال${\displaystyle E=K(t)}$الدوال الكسرية في متغير واحد على حقل لانهائي${\displaystyle K}$ليست جبرًا مولدًا بشكل نهائي على${\displaystyle K}$. على الجانب الآخر،${\displaystyle E}$يتم توليدها على${\displaystyle K}$بواسطة عنصر واحد،${\displaystyle t}$، كمجال .
• لو${\displaystyle E/F}$إذا كان امتدادًا لحقل منتهٍ، فإنه يترتب على التعريفات أن${\displaystyle E}$هي جبر مولد منتهي على${\displaystyle F}$.
• على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle E/F}$هو امتداد ميداني و${\displaystyle E}$هي جبر مولد منتهي على${\displaystyle F}$إذن، يكون امتداد الحقل محدودًا. تُعرف هذه المبرهنة باسم "مبرهنة زاريسكي" . انظر أيضًا: الامتداد التكاملي .
• لو${\displaystyle G}$إذا كانت المجموعة مولدة بشكل نهائي، فإن جبر المجموعة${\displaystyle KG}$هي جبر مولد منتهي على${\displaystyle K}$.
• " إن الجبر التربيعي والجبر الرباعي هي في الأساس جميع الجبر الترابطي R الذي هو عبارة عن وحدات R إسقاطية مولدة بشكل نهائي ولها انعكاس قياسي ." ^{[ 2 ]}

• الصورة المتماثلة لجبر مولد نهائياً هي نفسها مولدة نهائياً. ومع ذلك، فإن خاصية مماثلة للجبر الجزئي لا تنطبق بشكل عام.
• نظرية أساس هيلبرت : إذا${\displaystyle A}$إذا كانت A جبرًا تبادليًا مولدًا بشكل نهائي على حلقة نوثرية، فإن كل مثالي في A يكون مولدًا بشكل نهائي، أو بصورة مكافئة،${\displaystyle A}$هو حلقة نوثرية.

تُعدّ الجبريات التبادلية المختزلة المولدة نهائيًا من العناصر الأساسية في الهندسة الجبرية الحديثة ، حيث تُقابل الأصناف الجبرية الأفينية ؛ ولهذا السبب، يُشار إلى هذه الجبريات أيضًا باسم الجبريات الأفينية (التبادلية) . وبشكل أدق، بالنظر إلى مجموعة جبرية أفينية${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}$يمكننا ربط مولد نهائي${\displaystyle K}$-الجبر

${\displaystyle \Gamma (V):=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I(V)}$

تُسمى حلقة الإحداثيات الأفينية لـ${\displaystyle V}$علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle \phi \colon V\to W}$هي دالة منتظمة بين المجموعات الجبرية الأفينية${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}$و${\displaystyle W\subseteq \mathbb {A} ^{m}}$، يمكننا تعريف تشاكل لـ${\displaystyle K}$الجبر

${\displaystyle \Gamma (\phi )\equiv \phi ^{*}\colon \Gamma (W)\to \Gamma (V),\,\phi ^{*}(f)=f\circ \phi ,}$

ثم،${\displaystyle \Gamma }$هو دالة متغايرة من فئة المجموعات الجبرية الأفينية ذات الخرائط المنتظمة إلى فئة المجموعات المختزلة المولدة نهائيًا${\displaystyle K}$الجبر-: اتضح أن هذه الدالة ^{[ 3 ]} هي تكافؤ بين الفئات

${\displaystyle \Gamma \colon ({\text{مجموعات جبرية أفينية}})^{\rm {opp}}\to ({\text{جبر K المختزل والمولد نهائيًا}}),}$

وبالاقتصار على الأصناف الأفينية (أي المجموعات الجبرية الأفينية غير القابلة للاختزال )،

${\displaystyle \Gamma \colon ({\text{affine algebraic varieties}})^{\rm {opp}}\to ({\text{integral finitely generated }}K{\text{-algebras}}).}$

نتذكر أن التبادلية${\displaystyle R}$- الجبر${\displaystyle A}$هو تشاكل حلقي${\displaystyle \phi \colon R\to A}$؛ ال${\displaystyle R}$- بنية الوحدة النمطية لـ${\displaystyle A}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle \lambda \cdot a:=\phi (\lambda )a,\quad \lambda \in R,a\in A.}$

أن${\displaystyle R}$-الجبر${\displaystyle A}$يُطلق عليه اسم "محدود" إذا تم توليده بشكل محدود كـ${\displaystyle R}$-وحدة، أي يوجد تشاكل شامل لـ${\displaystyle R}$-الوحدات

${\displaystyle R^{\oplus _{n}}\twoheadrightarrow A.}$

ومرة أخرى، هناك توصيف للجبر المنتهي من حيث القسمة: ^{[ 4 ]}

أن${\displaystyle R}$-الجبر${\displaystyle A}$تكون المجموعة منتهية إذا وفقط إذا كانت متماثلة مع مجموعة خارج القسمة.${\displaystyle R^{\oplus _{n}}/M}$بواسطة${\displaystyle R}$- وحدة فرعية${\displaystyle M\subseteq R}$.

بحسب التعريف، محدود${\displaystyle R}$الجبر من النوع المحدود، لكن العكس غير صحيح: حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle R[X]}$هو من النوع المحدود ولكنه ليس محدودًا. ومع ذلك، إذا كان${\displaystyle R}$إذا كان الجبر من النوع المحدود والتكاملي ، فهو محدود. بتعبير أدق،${\displaystyle A}$هو مولد نهائي${\displaystyle R}$-وحدة نمطية إذا وفقط إذا${\displaystyle A}$يتم إنشاؤه كـ${\displaystyle R}$الجبر - بواسطة عدد محدود من العناصر المتكاملة على${\displaystyle R}$.

ترتبط الجبريات المنتهية والجبريات من النوع المنتهي بمفاهيم التشكلات المنتهية والتشكلات من النوع المنتهي .

• وحدة مولدة بشكل نهائي
• امتداد الحقل المُولّد بشكل نهائي
• معضلة أرتين-تيت
• معضلة تطبيع نوثر
• الجبر المنتهي
• مورفزم من النوع المحدود