عنصر متكامل

في الجبر التبادلي ^، يقال إن العنصر b من حلقة تبادلية B صحيح على حلقة فرعية A من B إذا كان b جذرًا لكثير حدود أحادي على A. ^[¹ ]

إذا كانت A و B حقولًا ، فإن مفاهيم "التكامل على" و "الامتداد التكاملي" هي بالضبط " الجبر على" و " الامتدادات الجبرية " في نظرية الحقول (لأن جذر أي متعدد الحدود هو جذر متعدد الحدود أحادي).

تُعدّ حالة الأعداد المركبة المتكاملة على Z (على سبيل المثال، ${\sqrt {2}}$ أو $1+i$ في هذا السياق، تُسمى العناصر الصحيحة عادةً بالأعداد الجبرية . تُشكل الأعداد الجبرية في حقل امتداد منتهٍ k للأعداد النسبية Q حلقةً فرعيةً من k ، تُسمى حلقة الأعداد الصحيحة لـ k ، وهي موضوعٌ أساسيٌ للدراسة في نظرية الأعداد الجبرية .

في هذه المقالة، سيتم فهم مصطلح الحلقة على أنه يعني الحلقة التبديلية ذات العنصر المحايد الضربي.

تعريف

يترك $B$ كن خاتمًا ودع $A\subset B$ كن حلقة فرعية من $B.$ عنصر $b$ ل $B$ ويُقال إنه جزء لا يتجزأ من $A$ إذا كان ذلك لبعض $n\geq 1,$ يوجد $a_{0},\ a_{1},\ \dots ,\ a_{n-1}$ في $A$ بحيث $b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}=0.$

مجموعة عناصر $B$ التي تُعدّ جزءًا لا يتجزأ من $A$ يُطلق عليه اسم الإغلاق التكاملي لـ $A$ في $B.$ الإغلاق المتكامل لأي حلقة فرعية $A$ في $B$ هي نفسها حلقة فرعية من $B$ ويحتوي $A.$ إذا كان كل عنصر من $B$ يُعد جزءًا لا يتجزأ من $A,$ ثم نقول ذلك $B$ يُعد جزءًا لا يتجزأ من $A$ أو ما يعادل ذلك $B$ هو امتداد أساسي لـ $A.$

أمثلة

الإغلاق التكاملي في نظرية الأعداد الجبرية

توجد أمثلة عديدة على الإغلاق التكاملي في نظرية الأعداد الجبرية، إذ يُعدّ هذا المفهوم أساسيًا لتعريف حلقة الأعداد الصحيحة لتوسيع حقل جبري. $K/\mathbb {Q}$ (أو $L/\mathbb {Q} _{p}$ ).

الإغلاق التكاملي للأعداد الصحيحة في الأعداد النسبية

الأعداد الصحيحة هي العناصر الوحيدة في Q التي تكون صحيحة على Z. بعبارة أخرى، Z هي الإغلاق الصحيح لـ Z في Q.

الامتدادات التربيعية

الأعداد الصحيحة الغاوسية هي الأعداد المركبة من الشكل $a+b{\sqrt {-1}},\,a,b\in \mathbf {Z}$ ، وهي متكاملة على Z. $\mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}]$ إذن، يكون الإغلاق التكاملي لـ Z في $\mathbf {Q} ({\sqrt {-1}})$ يُشار عادةً إلى هذه الحلقة بـ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} [i]}$ .

الإغلاق التكاملي لـ Z في $\mathbf {Q} ({\sqrt {5}})$ هل هذا هو الخاتم؟

{\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}=\mathbb {Z} \!\left[{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right]

هذا المثال والمثال السابق هما مثالان على الأعداد الصحيحة التربيعية . الإغلاق التكاملي لامتداد تربيعي $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ يمكن إيجادها عن طريق بناء متعددة الحدود الدنيا لعنصر عشوائي $a+b{\sqrt {d}}$ وإيجاد معيار نظري للأعداد لكي تكون معاملات كثير الحدود صحيحة. يمكن الاطلاع على هذا التحليل في مقالة الامتدادات التربيعية .

جذور الوحدة

ليكن ζ جذرًا للوحدة . عندئذٍ، يكون الإغلاق التكاملي لـ Z في الحقل الدائري Q (ζ) هو Z [ζ]. ^{[ 2 ]} ويمكن إيجاد ذلك باستخدام متعددة الحدود الدنيا ومعيار أيزنشتاين .

حلقة من الأعداد الصحيحة الجبرية

الإغلاق التكاملي لـ Z في حقل الأعداد المركبة C ، أو الإغلاق الجبري ${\overline {\mathbb {Q} }}$ تُسمى حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية .

آخر

جذور الوحدة ، والعناصر العديمة القوة ، والعناصر المتساوية القوة في أي حلقة تكون صحيحة على Z.

الإغلاق التكاملي في الهندسة الجبرية

في الهندسة ، يرتبط الإغلاق التكاملي ارتباطًا وثيقًا بالتطبيع والمخططات المعيارية . وهو الخطوة الأولى في حل حالات التفرد، إذ يوفر عملية لحل حالات التفرد ذات البعد المشترك 1.

على سبيل المثال، الإغلاق التكاملي لـ $\mathbb {C} [x,y,z]/(xy)$ هل هذا هو الخاتم؟ $\mathbb {C} [x,z]\times \mathbb {C} [y,z]$ لأن الحلقة الأولى تتوافق هندسيًا مع $xz$ - مستوى متحد مع $yz$ المستوى -. لديهم نقطة تفرد ذات بُعد مشترك 1 على طول $z$ المحور - حيث يتقاطعان.
لتكن مجموعة منتهية G تؤثر على حلقة A. عندئذٍ تكون A متكاملة على A ^G ، وهي مجموعة العناصر الثابتة بواسطة G ؛ انظر حلقة الثوابت .
ليكن R حلقة و u عنصرًا محايدًا في حلقة تحتوي على R. إذن ^{[ 3 ]}

u ⁻¹ يكون صحيحًا على R إذا وفقط إذا كان u ⁻¹ ∈ R [ u ].
$R[u]\cap R[u^{-1}]$ هو تكامل على R.
إن الإغلاق التكاملي لحلقة الإحداثيات المتجانسة لمجموعة إسقاطية طبيعية X هو حلقة المقاطع ^{[ 4 ]}

\bigoplus _{n\geq 0}\operatorname {H} ^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n)).

التكامل في الجبر

لو ${\overline {ك}}$ إذا كان إغلاقًا جبريًا للحقل k ، فإن ${\overline {k}}[x_{1},\dots ,x_{n}]$ يُعد جزءًا لا يتجزأ من $k[x_{1},\dots ,x_{n}].$
يكون الإغلاق التكاملي لـ C [[ x ]] في امتداد محدود لـ C (( x )) على الصورة التالية: $\mathbf {C} [[x^{1/n}]]$ (انظر سلسلة بويزو )

تعريفات مكافئة

لتكن B حلقة، ولتكن A حلقة جزئية من B. إذا كان لدينا عنصر b في B ، فإن الشروط التالية متكافئة:

(i) b هو عدد صحيح على A ؛

(ii) الحلقة الفرعية A [ b ] من B المولدة بواسطة A و b هي وحدة A مولدة بشكل نهائي ؛

(iii) توجد حلقة فرعية C من B تحتوي على A [ b ] وهي وحدة A مولدة بشكل نهائي؛

(iv) يوجد نموذج A [ b ]-أمين M بحيث يتم توليد M بشكل نهائي كنموذج A.

يستخدم البرهان المعتاد لهذا الأمر الصيغة التالية من نظرية كايلي-هاميلتون حول المحددات :

نظرية: ليكن u تشاكلاً داخلياً لوحدة نمطية A - M مولدة بواسطة n عنصراً، وليكن I مثالياً في A بحيث

u(M)\subset IM

ثم ثمة علاقة:

u^{n}+a_{1}u^{n-1}+\cdots +a_{n-1}u+a_{n}=0,\,a_{i}\in I^{i}.

تُعطي هذه النظرية (مع I = A وضرب u في b ) (iv) ⇒ (i)، والباقي سهل. ومن المصادفة أن ليمّة ناكاياما هي أيضًا نتيجة مباشرة لهذه النظرية.

الخصائص الأولية

يشكل الإغلاق المتكامل حلقة

يستنتج من العبارات الأربع المتكافئة المذكورة أعلاه أن مجموعة عناصر $B$ التي تُعدّ جزءًا لا يتجزأ من $A$ يشكل حلقة فرعية من $B$ يحتوي على $A$ (البرهان: إذا كان x و y عنصرين من $B$ التي تُعدّ جزءًا لا يتجزأ من $A$ ، ثم $x+y,xy,-x$ وهي جزء لا يتجزأ من $A$ لأنها تستقر $A[x]A[y]$ ، وهو وحدة نمطية مولدة بشكل محدود على $A$ (ولا يُفنى إلا بالصفر.) ^{[ 5 ]} تُسمى هذه الحلقة بالإغلاق التكاملي لـ $A$ في $B$ .

تعدي التكامل

ومن النتائج الأخرى للتكافؤ المذكور أعلاه أن "التكامل" متعدٍ ، بالمعنى التالي. ليكن $C$ حلقة تحتوي على $B$ و $c\in C$ . لو $c$ يُعد جزءًا لا يتجزأ من $B$ و $B$ التكامل على $A$ ، ثم $c$ يُعد جزءًا لا يتجزأ من $A$ وخاصة إذا $C$ وهو جزء لا يتجزأ من $B$ و $B$ يُعد جزءًا لا يتجزأ من $A$ ، ثم $C$ كما أنه جزء لا يتجزأ من $A$ .

التكامل مغلق في حقل كسري

لو $A$ يُصادف أن يكون الإغلاق المتكامل لـ $A$ في $B$ عندئذٍ يُقال إن A مغلقة بشكل متكامل في $B$ . لو $B$ هي الحلقة الكاملة من كسور $A$ (على سبيل المثال، مجال الكسور عندما $A$ إذا كان مجالًا تكامليًا ، فإنه في بعض الأحيان يتم حذف عبارة "في" $B$ ويقول ببساطة "الإغلاق التام لـ $A$ " و " $A$ هي مغلقة بشكل متكامل . ^{[ 6 ]} على سبيل المثال، حلقة الأعداد الصحيحة ${\mathcal {O}}_{K}$ مغلق بشكل متكامل في المجال $K$ .

خاصية التعدي للإغلاق التكاملي مع المجالات المغلقة تكاملياً

ليكن A مجالًا تكامليًا مع حقل الكسور K ، وليكن A' الإغلاق التكاملي لـ A في امتداد حقل جبري L لـ K. عندئذٍ، يكون حقل الكسور لـ A' هو L. وعلى وجه الخصوص، فإن A' مجال مغلق تكامليًا .

التعدي في نظرية الأعداد الجبرية

ينطبق هذا الوضع في نظرية الأعداد الجبرية عند ربط حلقة الأعداد الصحيحة بامتداد حقل. على وجه الخصوص، بالنظر إلى امتداد حقل $L/K$ الإغلاق التكاملي لـ ${\mathcal {O}}_{K}$ في $L$ هي حلقة الأعداد الصحيحة ${\mathcal {O}}_{L}$ .

ملاحظات

لاحظ أن خاصية التعدي للتكامل أعلاه تعني أنه إذا $B$ يُعد جزءًا لا يتجزأ من $A$ ، ثم $B$ هي اتحاد (أو ما يعادله حد استقرائي ) لحلقات فرعية مولدة بشكل نهائي $A$ -الوحدات.

لو $A$ إذا كان النظام نوثيريًا ، فإن خاصية التعدي في التكامل يمكن إضعافها إلى العبارة التالية:

يوجد مولد نهائي

A

- وحدة فرعية من

B

الذي يحتوي

A[b]

.

العلاقة بشروط التناهي

وأخيراً، الافتراض بأن $A$ كن حلقة فرعية من $B$ يمكن تعديله قليلاً. إذا $f:A\to B$ إذا كان تشاكلاً حلقياً ، فعندئذٍ يقول المرء $f$ يُعد جزءًا لا يتجزأ إذا $B$ يُعد جزءًا لا يتجزأ من $f(A)$ بنفس الطريقة التي يقول بها المرء $f$ محدود ( $B$ مولد نهائي $A$ (-وحدة نمطية) أو من نوع محدود ( $B$ مولد نهائي $A$ ( الجبر ). من هذا المنظور، يكون لدى المرء ذلك

f

تكون محدودة إذا وفقط إذا

f

متكامل ومن النوع المحدود.

أو بشكل أكثر وضوحاً،

B

هو مولد نهائي

A

-وحدة نمطية إذا وفقط إذا

B

يتم إنشاؤه كـ

A

الجبر - بواسطة عدد محدود من العناصر المتكاملة على

A

.

الامتدادات التكاملية

نظريات كوهين-سيدنبرغ

يتمتع الامتداد التكاملي A ⊆ B بخاصية الصعود ، وخاصية التغطية ، وخاصية عدم المقارنة ( نظريات كوهين-سيدنبرغ ). وبالتحديد، بالنظر إلى سلسلة من المُثُل الأولية ${\mathfrak {p}}_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}_{n}$ يوجد في A ${\mathfrak {p}}'_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}'_{n}$ في B مع ${\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}'_{i}\cap A$ (التصاعد والتنازل) ولا يمكن لمثاليين أوليين مختلفين تربطهما علاقة احتواء أن يندمجا في نفس المثال الأولي (عدم قابلية المقارنة). على وجه الخصوص، أبعاد كرول لـ A و B متساوية. علاوة على ذلك، إذا كانت A مجالًا مغلقًا تكامليًا، فإن التنازل يتحقق (انظر أدناه).

بشكل عام، يشير الصعود إلى الاستلقاء. ^{[ 7 ]} لذلك، فيما يلي، نقول ببساطة إن "الصعود" يعني "الصعود" و"الاستلقاء".

عندما يكون A و B مجالين بحيث يكون B متكاملاً على A ، فإن A حقل إذا وفقط إذا كان B حقلاً. وكنتيجة لذلك ، لدينا: بالنظر إلى مثالي أولي ${\mathfrak {q}}$ من B ، ${\mathfrak {q}}$ يكون مثاليًا أعظميًا في B إذا وفقط إذا ${\mathfrak {q}}\cap A$ هو مثالي أقصى لـ A. نتيجة أخرى: إذا كان L / K امتدادًا جبريًا، فإن أي حلقة فرعية من L تحتوي على K هي حقل.

التطبيقات

ليكن B حلقة متكاملة على حلقة فرعية A، وليكن k حقلاً مغلقاً جبرياً . إذا $f:A\to k$ إذا كان f تشاكلاً، فإن f يمتد إلى تشاكل B → k . ^{[ 8 ]} وهذا يتبع من الصعود.

التفسير الهندسي للصعود

يترك $f:A\to B$ ليكن امتدادًا متكاملًا للحلقات. عندئذٍ يكون التطبيق المستحث

{\begin{cases}f^{\#}:\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A\\p\mapsto f^{-1}(p)\end{cases}}

هي خريطة مغلقة ؛ في الواقع، $f^{\#}(V(I))=V(f^{-1}(I))$ لأي مثالي أنا و $f^{\#}$ تكون الدالة شاملة إذا كانت f أحادية . هذا تفسير هندسي للصعود.

التفسير الهندسي للامتدادات التكاملية

لتكن B حلقة و A حلقة فرعية تمثل مجالًا مغلقًا تكامليًا نوثريًا (أي، $\operatorname {Spec} A$ ( مخطط عادي ). إذا كانت B متكاملة على A ، فإن $\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A$ غامرة ؛ أي أن طوبولوجيا $\operatorname {Spec} A$ هي طوبولوجيا القسمة . ^{[ 9 ]} يستخدم البرهان مفهوم المجموعات القابلة للإنشاء . (انظر أيضًا: تورسور (الهندسة الجبرية) ).

التكامل، وتغيير الأساس، والإغلاق الشامل، والهندسة

لو $B$ يُعد جزءًا لا يتجزأ من $A$ ، ثم $B\otimes _{A}R$ هي دالة متكاملة على R لأي جبر A - R . ^{[ 10 ]} على وجه الخصوص، $\operatorname {Spec} (B\otimes _{A}R)\to \operatorname {Spec} R$ مغلقة؛ أي أن التمديد التكاملي يُنتج تطبيقًا " مغلقًا عالميًا ". هذا يؤدي إلى توصيف هندسي للتمديد التكاملي . تحديدًا، ليكن B حلقة تحتوي على عدد محدود فقط من المُثُل الأولية الدنيا (مثل المجال التكاملي أو الحلقة النويثرية). عندئذٍ يكون B تكامليًا على (حلقة فرعية) A إذا وفقط إذا $\operatorname {Spec} (B\otimes _{A}R)\to \operatorname {Spec} R$ ^[¹¹^] مغلق لأي جبر A - R . ^[¹²^] على وجه الخصوص، كل تطبيق مناسب مغلق عالميًا.

تأثيرات غالوا على الامتدادات التكاملية للمجالات المغلقة تكاملياً

الفرضية. ليكن A نطاقًا مغلقًا تكامليًا مع حقل الكسور K ، وL امتدادًا طبيعيًا منتهيًا لـ K ، وB الإغلاق التكاملي لـ A في L. عندئذٍ تكون المجموعة

G=\operatorname {Gal} (L/K)

يؤثر بشكل متعدٍ على كل ليف من ألياف

\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A

.

البرهان. لنفترض ${\mathfrak {p}}_{2}\neq \sigma ({\mathfrak {p}}_{1})$ لأي $\sigma$ في G. ثم، بتجنب الأعداد الأولية ، يوجد عنصر x في ${\mathfrak {p}}_{2}$ بحيث $\sigma (x)\not \in {\mathfrak {p}}_{1}$ لأي $\sigma$ . يقوم G بتثبيت العنصر $y=\prod \nolimits _{\sigma }\sigma (x)$ وبالتالي فإن y غير قابلة للفصل تمامًا على K. ثم قوة ما $y^{e}$ ينتمي إلى K ؛ وبما أن A مغلقة تكاملياً، فإن لدينا: $y^{e}\in A.$ وهكذا، وجدنا $y^{e}$ هو في ${\mathfrak {p}}_{2}\cap A$ لكن ليس في ${\mathfrak {p}}_{1}\cap A$ ؛ أي، ${\mathfrak {p}}_{1}\cap A\neq {\mathfrak {p}}_{2}\cap A$ .

تطبيق على نظرية الأعداد الجبرية

مجموعة غالوا $\operatorname {Gal} (L/K)$ ثم يعمل على جميع المُثُل الأساسية ${\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})$ يقع فوق مثالي أولي ثابت ${\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$ [ ^{13 ]} أي ^إذا

{\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\subset {\mathcal {O}}_{L}

ثم هناك مشهد من مشاهد غالوا في موقع التصوير $S_{\mathfrak {p}}=\{{\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\}$ يُطلق على هذا اسم انقسام المُثُل الأولية في امتدادات غالوا .

ملاحظات

وتوضح الفكرة نفسها في البرهان أنه إذا $L/K$ إذا كان امتدادًا لا يمكن فصله تمامًا (ليس بالضرورة أن يكون طبيعيًا)، فعندئذٍ $\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A$ هي دالة تقابلية .

لنفترض أن A و K وما إلى ذلك كما في السابق، ولكن لنفترض أن L هو مجرد امتداد حقل منتهٍ لـ K. عندئذٍ

(أنا)

\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A

له ألياف محدودة.

(ii) ينطبق الهبوط بين A و B : معطى

{\mathfrak {p}}_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'_{n}\cap A

، يوجد

{\mathfrak {p}}'_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}'_{n}

التي تنكمش عليه.

في الواقع، في كلتا العبارتين، بتوسيع L ، يمكننا افتراض أن L امتداد عادي. عندئذٍ يكون (i) واضحًا. أما بالنسبة لـ (ii)، فبالانتقال للأعلى، يمكننا إيجاد سلسلة ${\mathfrak {p}}''_{i}$ تلك العقود لـ ${\mathfrak {p}}'_{i}$ بالتعدي، يوجد $\sigma \in G$ بحيث $\sigma ({\mathfrak {p}}''_{n})={\mathfrak {p}}'_{n}$ وثم ${\mathfrak {p}}'_{i}=\sigma ({\mathfrak {p}}''_{i})$ هي السلسلة المطلوبة.

إغلاق متكامل

ليكن A ⊂ B حلقتين و A' إغلاقًا تكامليًا لـ A في B. (انظر أعلاه للتعريف.)

تتصرف الإغلاقات التكاملية بشكل جيد في ظل مختلف البنى. على وجه التحديد، بالنسبة لمجموعة جزئية مغلقة ضربيًا S من A ، فإن التموضع S ⁻¹A' هو الإغلاق التكاملي لـ S ⁻¹A في S ⁻¹B ، و $A'[t]$ هو الإغلاق التكاملي لـ $A[t]$ في $B[t]$ [ ¹⁴^] إذا $A_{i}$ هي حلقات فرعية من حلقات $B_{i},1\leq i\leq n$ ثم الإغلاق التكاملي لـ $\prod A_{i}$ في $\prod B_{i}$ يكون $\prod {A_{i}}'$ أين ${A_{i}}'$ هي الإغلاقات التكاملية لـ $A_{i}$ في $B_{i}$ [ ¹⁵^]

لا يشترط أن يكون الإغلاق التكاملي لحلقة محلية A في، على سبيل المثال، B ، محليًا. (في هذه الحالة، تُسمى الحلقة أحادية الفرع ). ويحدث هذا، على سبيل المثال، عندما تكون A حلقة هينسلية و B امتدادًا حقليًا لحقل كسور A.

إذا كانت A حلقة فرعية من حقل K ، فإن الإغلاق التكاملي لـ A في K هو تقاطع جميع حلقات التقييم لـ K التي تحتوي على A.

ليكن A $\mathbb {N}$ -حلقة فرعية متدرجة من $\mathbb {N}$ - الحلقة المتدرجة B. عندئذٍ يكون الإغلاق التكاملي لـ A في B هو $\mathbb {N}$ - حلقة فرعية متدرجة من B. ^{[ 16 ]}

يوجد أيضًا مفهوم الإغلاق التكاملي للمثالي . الإغلاق التكاملي للمثالي $I\subset R$ ، ويرمز إليه عادة بـ ${\overline {I}}$ ، هي مجموعة جميع العناصر $r\in R$ بحيث يوجد متعدد حدود أحادي

x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x^{1}+a_{n}

مع $a_{i}\in I^{i}$ مع $r$ كجذر. ^{[ 17 ]}^{[ 18 ]} جذر المثالي مغلق تكاملياً. ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}

بالنسبة للحلقات النوثرية، توجد تعريفات بديلة أيضًا.

$r\in {\overline {I}}$ إذا كان هناك $c\in R$ غير موجود في أي عدد أولي صغير، بحيث $cr^{n}\in I^{n}$ للجميع $n\geq 1$ .
$r\in {\overline {I}}$ إذا كان سحب r للخلف في الصورة العكسية لـ I ضمن عملية النفخ المعيارية للمثالي I ، فإن نفخ المثالي هو عملية من عمليات المخططات تستبدل المثالي المعطى بمثالي رئيسي. أما تطبيع المخطط فهو ببساطة المخطط المقابل للإغلاق التكاملي لجميع حلقاته.

يُستخدم مفهوم الإغلاق التكاملي للمثالي في بعض براهين نظرية الهبوط .

موصل

لتكن B حلقة و A حلقة جزئية من B بحيث تكون B متكاملة على A. عندئذٍ يُسمى مُبيد A -module B / A موصل A في B. ولأن هذا المفهوم له أصل في نظرية الأعداد الجبرية ، يُرمز للموصل بـ ${\mathfrak {f}}={\mathfrak {f}}(B/A)$ بشكل صريح، ${\mathfrak {f}}$ يتكون من العناصر a في A بحيث $aB\subset A$ (انظر: المُثَلِّي في الجبر المجرد). هو أكبر مُثَل في المجموعة A يكون أيضًا مُثَلًا في المجموعة B. [ ^{21 ] إذا} كانت S مجموعة جزئية مغلقة ضربيًا من A ، فإن

S^{-1}{\mathfrak {f}}(B/A)={\mathfrak {f}}(S^{-1}B/S^{-1}A)

.

إذا كانت B حلقة جزئية من الحلقة الكلية لكسور A ، فيمكننا تحديد

{\mathfrak {f}}(B/A)=\operatorname {Hom} _{A}(B,A)

.

مثال: ليكن k حقلاً و ليكن $A=k[t^{2},t^{3}]\subset B=k[t]$ (أي أن A هي حلقة الإحداثيات للمنحنى الأفيني) $x^{2}=y^{3}$ ). B هو الإغلاق التكاملي لـ A في $k(t)$ الموصل A في B هو الموصل المثالي $(t^{2},t^{3})A$ وبشكل أعم، فإن قائد الأوركسترا $A=k[[t^{a},t^{b}]]$ ، a و b عددان أوليان فيما بينهما، هو $(t^{c},t^{c+1},\dots )A$ مع $c=(a-1)(b-1)$ [ ²²^]

لنفترض أن B هو الإغلاق التكاملي لمجال تكاملي A في حقل كسور A بحيث يكون A -module $B/A$ يتم توليدها بشكل محدود. ثم الموصل ${\mathfrak {f}}$ يمثل A مثالاً مثالياً يحدد دعم $B/A$ وبالتالي، فإن A تتطابق مع B في مكملها $V({\mathfrak {f}})$ في $\operatorname {Spec} A$ . على وجه الخصوص، المجموعة $\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A\mid A_{\mathfrak {p}}{\text{ is integrally closed}}\}$ ، مكمل لـ $V({\mathfrak {f}})$ ، هي مجموعة مفتوحة .

محدودية الإغلاق التكاملي

من الأسئلة المهمة، وإن كانت صعبة، مسألة محدودية الإغلاق التكاملي لجبر مولد نهائياً . وهناك عدة نتائج معروفة في هذا الشأن.

إن الإغلاق التكاملي لمجال ديديكيند في امتداد منتهٍ لحقل الكسور هو مجال ديديكيند، وبالتحديد حلقة نوثرية. هذه نتيجة لنظرية كرول-أكيزوكي . عمومًا، يكون الإغلاق التكاملي لمجال نوثري ذي بُعد لا يتجاوز 2 نوثريًا؛ وقدّم ناغاتا مثالًا على مجال نوثري ذي بُعد 3 لا يكون إغلاقه التكاملي نوثريًا. ^{[ 23 ]} ويمكن صياغة ذلك بشكل أدق على النحو التالي: الإغلاق التكاملي لمجال نوثري هو مجال كرول ( نظرية موري-ناغاتا ). كما قدّم ناغاتا مثالًا على مجال نوثري محلي ذي بُعد 1 بحيث يكون الإغلاق التكاملي غير منتهٍ على ذلك المجال.

ليكن A نطاقًا مغلقًا تكامليًا نوثريًا مع حقل كسور K. إذا كان L / K امتدادًا قابلًا للفصل منتهيًا ، فإن الإغلاق التكاملي $A'$ إن A في L عبارة عن وحدة A- module مولدة بشكل نهائي . ^{[ 24 ]} هذا سهل ومعياري (يستخدم حقيقة أن الأثر يحدد شكلاً ثنائي الخطية غير متدهور ).

ليكن A جبرًا مولدًا نهائيًا على حقل k ، وهو مجال تكاملي مع حقل كسور K. إذا كان L امتدادًا نهائيًا لـ K ، فإن الإغلاق التكاملي $A'$ إنّ A في L عبارة عن وحدة نمطية A منتهية التوليد ، وهي أيضًا جبر k منتهية التوليد . ^{[ 25 ]} هذه النتيجة منسوبة إلى نوثر، ويمكن إثباتها باستخدام مبرهنة نوثر للتطبيع كما يلي. من الواضح أنه يكفي إثبات الادعاء عندما يكون L / K قابلاً للفصل أو غير قابل للفصل تمامًا. وقد ذُكرت حالة الفصل أعلاه، لذا نفترض أن L / K غير قابل للفصل تمامًا. وبحسب مبرهنة التطبيع، فإن A دالة تكاملية على حلقة كثيرات الحدود. $S=k[x_{1},...,x_{d}]$ بما أن L / K امتداد منتهٍ وغير قابل للفصل تمامًا، فإنه يوجد عدد أولي ذو قوة q بحيث يكون كل عنصر من L جذرًا من الرتبة q لعنصر في K. $k'$ ليكن امتدادًا محدودًا لـ k يحتوي على جميع الجذور من الرتبة q لمعاملات عدد محدود من الدوال الكسرية التي تولد L. عندئذٍ لدينا: $L\subset k'(x_{1}^{1/q},...,x_{d}^{1/q}).$ الحلقة الموجودة على اليمين هي حقل كسور $k'[x_{1}^{1/q},...,x_{d}^{1/q}]$ ، وهو الإغلاق التكاملي لـ S ؛ وبالتالي، يحتوي $A'$ . لذلك، $A'$ هي محدودة على S ؛ ومن باب أولى، على A. وتبقى النتيجة صحيحة إذا استبدلنا k بـ Z.

إن الإغلاق التكاملي لمجال نوثري محلي كامل A في امتداد محدود لحقل كسور A هو إغلاق محدود على A. ^{[ 26 ]} وبشكل أدق، بالنسبة لحلقة نوثري محلية R ، لدينا سلاسل الاستلزام التالية: ^{[ 27 ]}

( أ) كامل

\Rightarrow

A هو خاتم ناجاتا

(ii) A هو مجال ناجاتا

\Rightarrow

تحليلي غير متفرع

\Rightarrow

الإغلاق التكاملي للإكمال

{\widehat {A}}

محدود على

{\widehat {A}}

\Rightarrow

الإغلاق التكاملي للمجموعة A هو مجموعة منتهية على A.

معيار جراويرت-ريميرت-دي يونج

يوفر معيار Grauert –Remmert–de Jong شرطًا ضروريًا وكافيًا لكي تكون الحلقة طبيعية.

المعيار

يترك $A$ أن تكون نطاقًا نوثيريًا مصغرًا و $I\subset A$ أن يكون مثالياً يحقق الشروط التالية:

$I$ هو مثال جذري (أي، ${\sqrt {I}}=I$ ).
التنوع $V(I)$ يحتوي على الموضع غير الطبيعي لـ $I$ (أي، لكل مثال أولي) $P\in \operatorname {Spec} (A)$ حيث الحلقة المحلية $A_{P}$ هذا ليس طبيعياً، $P\supseteq I$ ).

ثم: الخاتم $A$ يكون طبيعياً إذا وفقط إذا كان التضمين الطبيعي في حلقة التشكل الداخلي لـ $I$

\phi :A\hookrightarrow \operatorname {Hom} _{A}(I,I)

هو تماثل.

تطبيق الخوارزمية (خوارزمية دي يونج)

لو $A$ ليس طبيعياً، حلقة التشكل الداخلي $S=\operatorname {Hom} _{A}(I,I)$ يوفر امتدادًا أكبر بكثير للحلقة التكاملية $A\subsetneq S$ ضمن حقل القسمة $Q(A)$ .

التكرار: من خلال بناء سلسلة من امتدادات الحلقة بشكل متكرر $A=A_{0}\subset A_{1}\subset A_{2}\subset \dots \subset {\overline {A}}$ تؤدي هذه العملية في النهاية إلى التطبيع ${\overline {A}}$ بشرط أن يكون التطبيع وحدة مولدة بشكل محدود على $A$ .
تعميم خوارزمية زاسنهاوس: يعمم هذا النهج خوارزمية زاسنهاوس (المعروفة أيضًا باسم خوارزمية الجولة الثانية) من السياق المحدد لحلقات الأعداد الصحيحة في حقول الأعداد إلى حلقات نوثرية عامة .

^{[ 28 ]}

معيار جراويرت-ريميرت-دي يونج

يوفر معيار Grauert –Remmert–de Jong شرطًا ضروريًا وكافيًا لكي تكون الحلقة طبيعية.

المعيار

يترك $A$ أن تكون نطاقًا نوثيريًا مصغرًا و $I\subset A$ أن يكون مثالياً يحقق الشروط التالية:

$I$ هو مثال جذري (أي، ${\sqrt {I}}=I$ ).
التنوع $V(I)$ يحتوي على الموضع غير الطبيعي لـ $I$ (أي، لكل مثال أولي) $P\in \operatorname {Spec} (A)$ حيث الحلقة المحلية $A_{P}$ هذا ليس طبيعياً، $P\supseteq I$ ).

ثم: الخاتم $A$ يكون طبيعياً إذا وفقط إذا كان التضمين الطبيعي في حلقة التشكل الداخلي لـ $I$

\phi :A\hookrightarrow \operatorname {Hom} _{A}(I,I)

هو تماثل.

تطبيق الخوارزمية (خوارزمية دي يونج)

لو $A$ ليس طبيعياً، حلقة التشكل الداخلي $S=\operatorname {Hom} _{A}(I,I)$ يوفر امتدادًا أكبر بكثير للحلقة التكاملية $A\subsetneq S$ ضمن حقل القسمة $Q(A)$ .

التكرار: من خلال بناء سلسلة من امتدادات الحلقة بشكل متكرر $A=A_{0}\subset A_{1}\subset A_{2}\subset \dots \subset {\overline {A}}$ تؤدي هذه العملية في النهاية إلى التطبيع ${\overline {A}}$ بشرط أن يكون التطبيع وحدة مولدة بشكل محدود على $A$ .
تعميم خوارزمية زاسنهاوس: يعمم هذا النهج خوارزمية زاسنهاوس (المعروفة أيضًا باسم خوارزمية الجولة الثانية) من السياق المحدد لحلقات الأعداد الصحيحة في حقول الأعداد إلى حلقات نوثرية عامة .

^{[ 29 ]}

معضلة نوثر للتطبيع

تُعدّ مبرهنة نوثر للتطبيع نظريةً في الجبر التبادلي . بفرض حقل K وجبر K- مولد نهائيًا A _، تنصّ المبرهنة على أنه من الممكن إيجاد عناصر y₁ _,y₂ _, ..., ym في A مستقلة جبريًا على K بحيث يكون A منتهيًا (وبالتالي صحيحًا) على B = K [ y₁ , ..., ym ]. وبالتالي ، يمكن كتابة الامتداد K ⊂ A على صورة مركبة K ⊂ B ⊂ A _، حيث K ⊂ B امتداد متسامٍ بحت _، و B ⊂ A منتهٍ . ^[³⁰^]

التشكلات التكاملية

في الهندسة الجبرية ، التشكل $f:X\to Y$ تكون المخططات متكاملة إذا كانت خطية وإذا كان لبعض (أو بشكل مكافئ، لكل) غطاء مفتوح خطي $U_{i}$ من Y ، كل خريطة $f^{-1}(U_{i})\to U_{i}$ وهو على شكل $\operatorname {Spec} (A)\to \operatorname {Spec} (B)$ حيث A عبارة عن جبر B متكامل . تُعدّ فئة التشكلات التكاملية أكثر عمومية من فئة التشكلات المنتهية، وذلك لوجود امتدادات تكاملية غير منتهية، مثل الإغلاق الجبري لحقل فوق الحقل في كثير من الحالات.

إغلاق تكاملي مطلق

ليكن A مجالًا تكامليًا و L إغلاقًا جبريًا (ما) لحقل كسور A. عندئذٍ يكون الإغلاق التكاملي $A^{+}$ يُطلق على إغلاق A في L اسم الإغلاق التكاملي المطلق لـ A. ^[³¹^] وهو وحيد حتى تماثل غير قانوني . تُعد حلقة جميع الأعداد الصحيحة الجبرية مثالًا على ذلك ( وبالتالي $A^{+}$ (عادةً لا يكون نوثيريًا).

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ تُسمى المعادلة أعلاه أحيانًا معادلة تكاملية ويُقال أن b يعتمد بشكل تكاملي على A (على عكس الاعتماد الجبري ).
↑ ميلن 2020 ، النظرية 6.4
↑ كابلانسكي 1974 ، 1.2. التمرين 4.
↑ هارتشورن 1977 ، الفصل الثاني، التمرين 5.14
↑ يعود هذا البرهان إلى ديديكيند (ميلن، ANT). وبدلاً من ذلك، يمكن استخدام كثيرات الحدود المتناظرة لإثبات أن العناصر الصحيحة تُشكّل حلقة. (المصدر نفسه)
↑ الفصل الثاني من كتاب هونيك وسوانسون 2006
↑ كابلانسكي 1974 ، النظرية 42
↑ بورباكي 2006 ، الفصل 5، §2، النتيجة 4 للنظرية 1.
↑ ماتسومورا 1970 ، الفصل 2. النظرية 7
^ بورباكي 2006 ، الفصل 5، §1، الاقتراح 5
↑ عطية وماكدونالد 1994 ، الفصل 5، التمرين 35
↑ "القسم 32.14 (05JW): التشكلات المغلقة عالميًا - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 مايو 2020 .
↑ شتاين. مقدمة حسابية لنظرية الأعداد الجبرية (ملف PDF) . ص 101.
↑ تمرين في عطية وماكدونالد 1994
^ بورباكي 2006 ، الفصل 5، §1، الاقتراح 9
↑ البرهان: ليكن $\phi :B\to B[t]$ ليكن تشاكلاً حلقياً بحيث $\phi (b_{n})=b_{n}t^{n}$ لو $b_{n}$ متجانس من الدرجة n . الإغلاق التكاملي لـ $A[t]$ في $B[t]$ يكون $A'[t]$ ، أين $A'$ هو الإغلاق التكاملي لـ A في B. إذا كان b في B تكامليًا على A ، فإن $\phi (b)$ يُعد جزءًا لا يتجزأ من $A[t]$ أي أنه موجود في $A'[t]$ أي أن كل معامل $b_{n}$ في كثير الحدود $\phi (b)$ يقع في أ .
↑ التمرين 4.14 في كتاب أيزنبود 1995
↑ التعريف 1.1.1 في هونيك وسوانسون 2006
↑ التمرين 4.15 في كتاب أيزنبود 1995
↑ ملاحظة 1.1.3 في هونيك وسوانسون 2006
↑ الفصل 12 من كتاب هونيك وسوانسون 2006
↑ هونيك وسوانسون 2006 ، المثال 12.2.1
↑ هونيك وسوانسون 2006 ، التمرين 4.9
^ عطية وماكدونالد 1994 ، الفصل 5. الاقتراح 5.17
↑ هارتشورن 1977 ، الفصل الأول. النظرية 3.9 أ
↑ هونيك وسوانسون 2006 ، النظرية 4.3.4
↑ ماتسومورا 1970 ، الفصل 12
↑ دي يونغ، ثيو (1998). "خوارزمية لحساب الإغلاق التكاملي". مجلة الحساب الرمزي . 26 (3): 273-277 . doi : 10.1006/jsco.1998.0216 .
↑ دي يونغ، ثيو (1998). "خوارزمية لحساب الإغلاق التكاملي". مجلة الحساب الرمزي . 26 (3): 273-277 . doi : 10.1006/jsco.1998.0216 .
↑ الفصل الرابع من كتاب ريد.
^ ملفين هوشستر ، الرياضيات 711: محاضرة 7 سبتمبر 2007

مراجع

أتيياه، مايكل فرانسيس ؛ ماكدونالد، إيان جي. (1994) [1969]. مقدمة في الجبر التبادلي . أديسون-ويسلي. ISBN 0-201-40751-5.
بورباكي، نيكولاس (2006). الجبر الإبدالي . برلين: سبرينغر. رقم ISBN 978-3-540-33937-3.
أيزنبد، ديفيد (1995)، الجبر التبادلي مع نظرة نحو الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 150، سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 0-387-94268-8
كابلانسكي، إيرفينغ (سبتمبر 1974). الحلقات التبادلية . محاضرات في الرياضيات. مطبعة جامعة شيكاغو . ISBN 0-226-42454-5.
هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد 52، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157
ماتسومورا، هـ (1970)، الجبر التبادلي
هـ. ماتسومورا، نظرية الحلقات التبادلية. ترجمة م. ريد من اليابانية. الطبعة الثانية. سلسلة دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، 8.
ميلن، جيه إس (19 يوليو 2020). "نظرية الأعداد الجبرية" .
هونيك، كريج؛ سوانسون، إيرينا (2006)، الإغلاق التكاملي للمثاليّات والحلقات والوحدات ، سلسلة محاضرات جمعية لندن الرياضية، المجلد 336، كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-68860-4، MR 2266432 ، مؤرشف من الأصل بتاريخ 15-11-2019 ، تم استرجاعه بتاريخ 01-03-2011
م. ريد ، الجبر التبادلي لطلاب البكالوريوس ، جمعية لندن الرياضية، 29 ، مطبعة جامعة كامبريدج، 1995.

للمزيد من القراءة

إيرينا سوانسون، الإغلاقات التكاملية للمثاليات والحلقات. مؤرشفة بتاريخ 5 نوفمبر 2011 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
هل تمتلك جبريات DG أي مفهوم معقول للإغلاق التكاملي؟
يكون $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ دائماً امتداد لا يتجزأ من $k[f_{1},\ldots ,f_{n}]$ لتسلسل منتظم $(f_{1},\ldots ,f_{n})$ ؟

[1] تُسمى المعادلة أعلاه أحيانًا معادلة تكاملية ويُقال أن b يعتمد بشكل تكاملي على A (على عكس الاعتماد الجبري ).

[2] ميلن 2020 ، النظرية 6.4

[3] كابلانسكي 1974 ، 1.2. التمرين 4.

[4] هارتشورن 1977 ، الفصل الثاني، التمرين 5.14

[5] يعود هذا البرهان إلى ديديكيند (ميلن، ANT). وبدلاً من ذلك، يمكن استخدام كثيرات الحدود المتناظرة لإثبات أن العناصر الصحيحة تُشكّل حلقة. (المصدر نفسه)

[6] الفصل الثاني من كتاب هونيك وسوانسون 2006

[7] كابلانسكي 1974 ، النظرية 42

[8] بورباكي 2006 ، الفصل 5، §2، النتيجة 4 للنظرية 1.

[9] ماتسومورا 1970 ، الفصل 2. النظرية 7

[10] بورباكي 2006 ، الفصل 5، §1، الاقتراح 5

[11] عطية وماكدونالد 1994 ، الفصل 5، التمرين 35

[12] "القسم 32.14 (05JW): التشكلات المغلقة عالميًا - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 مايو 2020 .

[13] شتاين. مقدمة حسابية لنظرية الأعداد الجبرية (ملف PDF) . ص 101.

[14] تمرين في عطية وماكدونالد 1994

[15] بورباكي 2006 ، الفصل 5، §1، الاقتراح 9

[16] البرهان: ليكن $\phi :B\to B[t]$ ليكن تشاكلاً حلقياً بحيث $\phi (b_{n})=b_{n}t^{n}$ لو $b_{n}$ متجانس من الدرجة n . الإغلاق التكاملي لـ $A[t]$ في $B[t]$ يكون $A'[t]$ ، أين $A'$ هو الإغلاق التكاملي لـ A في B. إذا كان b في B تكامليًا على A ، فإن $\phi (b)$ يُعد جزءًا لا يتجزأ من $A[t]$ أي أنه موجود في $A'[t]$ أي أن كل معامل $b_{n}$ في كثير الحدود $\phi (b)$ يقع في أ .

[17] التمرين 4.14 في كتاب أيزنبود 1995

[18] التعريف 1.1.1 في هونيك وسوانسون 2006

[19] التمرين 4.15 في كتاب أيزنبود 1995

[20] ملاحظة 1.1.3 في هونيك وسوانسون 2006

[21] الفصل 12 من كتاب هونيك وسوانسون 2006

[22] هونيك وسوانسون 2006 ، المثال 12.2.1

[23] هونيك وسوانسون 2006 ، التمرين 4.9

[24] عطية وماكدونالد 1994 ، الفصل 5. الاقتراح 5.17

[25] هارتشورن 1977 ، الفصل الأول. النظرية 3.9 أ

[26] هونيك وسوانسون 2006 ، النظرية 4.3.4

[27] ماتسومورا 1970 ، الفصل 12

[28] دي يونغ، ثيو (1998). "خوارزمية لحساب الإغلاق التكاملي". مجلة الحساب الرمزي . 26 (3): 273-277 . doi : 10.1006/jsco.1998.0216 .

[29] دي يونغ، ثيو (1998). "خوارزمية لحساب الإغلاق التكاملي". مجلة الحساب الرمزي . 26 (3): 273-277 . doi : 10.1006/jsco.1998.0216 .

[30] الفصل الرابع من كتاب ريد.

[31] ملفين هوشستر ، الرياضيات 711: محاضرة 7 سبتمبر 2007

،

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[

[

13 ]

14

15

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

21 ] إذا

22

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗