حلقة إحداثيات متجانسة

في الهندسة الجبرية ، تُعرف حلقة الإحداثيات المتجانسة بأنها حلقة تبديلية معينة تُخصص لأي صنف إسقاطي . إذا كان V صنفًا جبريًا يُعطى كصنف فرعي من فضاء إسقاطي ذي بُعد N معين ، فإن حلقة الإحداثيات المتجانسة الخاصة به هي، بحسب التعريف، حلقة القسمة.

R = K [ X ₀ , X ₁ , X ₂ , ..., X _N ] / I

حيث I هو المثالي المتجانس الذي يُعرّف V ، و K هو الحقل المغلق جبريًا الذي يُعرّف عليه V ، و

K [ X ₀ , X ₁ , X ₂ , ..., X _N ]

هي حلقة كثيرات الحدود في N + 1 متغيرًا X _i . وبالتالي، فإن حلقة كثيرات الحدود هي حلقة الإحداثيات المتجانسة للفضاء الإسقاطي نفسه، والمتغيرات هي الإحداثيات المتجانسة ، وذلك لاختيار معين للأساس (في الفضاء المتجهي الذي يقوم عليه الفضاء الإسقاطي). يعني اختيار الأساس أن هذا التعريف ليس جوهريًا، ولكن يمكن جعله كذلك باستخدام الجبر المتناظر .

يحاكي التعريف حلقة الإحداثيات كما يتم تقديمها للأصناف الأفينية.

بما أن V يُفترض أنها مجموعة متنوعة، وبالتالي مجموعة جبرية غير قابلة للاختزال ، يمكن اختيار المثالي I ليكون مثاليًا أوليًا ، وبالتالي فإن R مجال تكاملي . يمكن استخدام التعريف نفسه للمثاليات المتجانسة العامة، ولكن قد تحتوي حلقات الإحداثيات الناتجة على عناصر نيلبوتنت غير صفرية وقواسم أخرى للصفر . من وجهة نظر نظرية المخططات، يمكن التعامل مع هذه الحالات على قدم المساواة باستخدام بناء Proj .

إن المثالي غير ذي الصلة J الناتج عن جميع X _i يتوافق مع المجموعة الفارغة، لأنه لا يمكن أن تختفي جميع الإحداثيات المتجانسة عند نقطة من الفضاء الإسقاطي.

تعطي نظرية Nullstellensatz الإسقاطية تطابقًا تقابليًا بين الأصناف الإسقاطية والمثاليات المتجانسة I التي لا تحتوي على J.

في تطبيق تقنيات الجبر الهومولوجي على الهندسة الجبرية، جرت العادة منذ عهد ديفيد هيلبرت (مع اختلاف المصطلحات الحديثة) على تطبيق الحلول الحرة لـ R ، باعتبارها وحدة متدرجة على حلقة كثيرات الحدود. يُتيح هذا معلومات حول العلاقات بين مولدات المثالي I. من منظور كلاسيكي، تُمثل هذه المولدات ببساطة المعادلات التي تُكتب لتعريف V. إذا كان V سطحًا فائقًا، فلا يلزم سوى معادلة واحدة، وبالنسبة للتقاطعات الكاملة، يُمكن اعتبار عدد المعادلات هو البُعد المشترك؛ لكن التنوع الإسقاطي العام لا يمتلك مجموعة معادلات تعريفية بهذه الوضوح. تُظهر الدراسات المُفصلة، ​​على سبيل المثال للمنحنيات القانونية والمعادلات التي تُعرّف التنوعات الأبيلية ، الأهمية الهندسية للتقنيات المنهجية للتعامل مع هذه الحالات. كما نشأ هذا الموضوع من نظرية الحذف في شكلها الكلاسيكي، حيث يُفترض أن يصبح الاختزال modulo I عملية حسابية (تُعالجها الآن قواعد غروبنر عمليًا).

توجد، لأسباب عامة، حلول حرة لـ _{R كوحدة} متدرجة على K [ X0 _, X1 , X2 , ..., XN ]. يُعرَّف الحل بأنه أدنى إذا _كانت الصورة في كل وحدة هي تشاكل الوحدات الحرة .

φ: F _i → F _{i − 1}

يكمن الحل في JF _{i − 1،} حيث J هو المثالي غير ذي الصلة. وكنتيجة لفرضية ناكاياما ، فإن φ تأخذ أساسًا معينًا في F _i إلى مجموعة دنيا من المولدات في F _{i − 1.} مفهوم الحل الحر الأدنى مُعرَّف جيدًا بمعنى قوي: فريد حتى تماثل معقدات السلسلة ويظهر كمجموع مباشر في أي حل حر. بما أن هذا المعقد جوهري في R ، يمكن تعريف أعداد بيتي المتدرجة β _{i, j} على أنها عدد الصور من الدرجة j القادمة من F _i (بشكل أدق، باعتبار φ مصفوفة من كثيرات الحدود المتجانسة، فإن عدد المدخلات من تلك الدرجة المتجانسة مُضافًا إليها التدرجات المكتسبة استقرائيًا من اليمين). بعبارة أخرى، يمكن استنتاج الأوزان في جميع الوحدات الحرة من الحل، وتحسب أعداد بيتي المتدرجة عدد المولدات ذات الوزن المُعطى في وحدة معينة من الحل. تُثير خصائص هذه الثوابت لـ V في تضمين إسقاطي معين أسئلة بحثية نشطة، حتى في حالة المنحنيات. ^{[ 1 ]}

توجد أمثلة يكون فيها الحد الأدنى للحل الحر معروفًا بشكل صريح. بالنسبة لمنحنى طبيعي كسري، يكون هذا الحل عبارة عن مُركّب إيغون-نورثكوت . أما بالنسبة للمنحنيات الإهليلجية في الفضاء الإسقاطي، فيمكن بناء الحل على شكل مخروط إسقاط لمُركّبات إيغون-نورثكوت. ^{[ 2 ]}

يمكن استنتاج انتظام كاستلنووفو-مامفورد من الحد الأدنى لدقة المثالي I الذي يُعرّف التنوع الإسقاطي. وبالنسبة إلى "الإزاحات" المُفترضة a _{_{i , j}} في الوحدة النمطية Fi _{_i} ، فإنها تمثل القيمة القصوى لـ a _{_{i , j} - i} على i ؛ ولذلك تكون صغيرة عندما تزداد الإزاحات بمقدار 1 فقط كلما اتجهنا إلى اليسار في الدقة (في حالات الاقتران الخطي فقط). ^{[ 3 ]}

تكون المتنوعة V في تضمينها الإسقاطي طبيعية إسقاطيًا إذا كانت حلقة إحداثياتها المتجانسة مغلقة تكامليًا . هذا الشرط يعني أن V متنوعة طبيعية ، ولكن ليس العكس: فخاصية الطبيعية الإسقاطية ليست مستقلة عن التضمين الإسقاطي، كما يتضح من مثال منحنى رباعي نسبي في ثلاثة أبعاد. ^{[ 4 ]} هناك شرط مكافئ آخر يتعلق بالنظام الخطي للقواسم على V المقطوع بواسطة ثنائية حزمة الخط التكرارية على الفضاء الإسقاطي، وقواه من الرتبة d حيث d = 1، 2، 3، ...  ؛ عندما تكون V غير شاذة ، فإنها تكون طبيعية إسقاطيًا إذا وفقط إذا كان كل نظام خطي من هذا القبيل نظامًا خطيًا كاملًا . ^{[ 5 ]} بدلاً من ذلك، يمكن اعتبار ثنائية حزمة الخط التكرارية بمثابة حزمة التواء سير O (1) على الفضاء الإسقاطي، واستخدامها لتدوير حزمة البنية OV أي عدد من المرات، ولنقل _k مرة ، للحصول على حزمة OV ₍ k ) . يُطلق على V اسم k- طبيعي إذا كانت المقاطع العامة لـ O ( k ) تُسقط إسقاطًا شاملاً على تلك الخاصة بـ _OV ( k ) ، وذلك لقيمة k معينة . وإذا كان V طبيعيًا من الدرجة 1، يُطلق عليه اسم طبيعي خطيًا . يكون التنوع غير المنفرد طبيعيًا إسقاطيًا إذا وفقط إذا كان k- طبيعيًا لجميع قيم k ≥ 1. يمكن أيضًا التعبير عن الطبيعية الخطية هندسيًا: لا يمكن الحصول على V كتنوع إسقاطي عن طريق إسقاط خطي متماثل من فضاء إسقاطي ذي بُعد أعلى، إلا بالطريقة البسيطة المتمثلة في وقوعه في فضاء فرعي خطي مناسب. وبالمثل، يمكن ترجمة الطبيعية الإسقاطية، باستخدام عدد كافٍ من إسقاطات فيرونيز لتقليلها إلى شروط الطبيعية الخطية.

بالنظر إلى المسألة من منظور حزمة خطية كبيرة جدًا تُنتج التضمين الإسقاطي لـ V ، يُقال إن هذه الحزمة الخطية ( الحزمة القابلة للعكس ) مُولَّدة بشكل طبيعي إذا كانت V ، عند تضمينها _، طبيعية إسقاطيًا. والطبيعية الإسقاطية هي الشرط الأول N₀ من سلسلة الشروط التي حددها غرين ولازارسفيلد.

${\displaystyle \bigoplus _{d=0}^{\infty }H^{0}(V,L^{d})}$

يُعتبر هذا النموذج وحدةً متدرجةً على حلقة الإحداثيات المتجانسة للفضاء الإسقاطي، ويُعتمد فيه أدنى حل حر. يُطبق الشرط N_{_p} على أول p عدد بيتي متدرج، مما يعني أنها تتلاشى عندما j > i + 1. ^{[ 6 ]} بالنسبة للمنحنيات، أثبت غرين أن الشرط N_{_p} يتحقق عندما يكون deg( L ) ≥ 2g + 1 + p ، وهو ما كان نتيجةً كلاسيكيةً لغيدو كاستلنوفو عندما p = 0. ^{[ 7 ]}

• التنوع الإسقاطي
• متعددة حدود هيلبرت

• أوسكار زاريسكي وبيير صموئيل ، الجبر التبادلي المجلد الثاني (1960)، ص  168-172.