معادلة باتمان

في الفيزياء النووية ، تُعدّ معادلة بيتمان نموذجًا رياضيًا يصف وفرة العناصر ونشاطها في سلسلة اضمحلال نووي كدالة للزمن، استنادًا إلى معدلات الاضمحلال والوفرة الأولية. وقد صاغ إرنست رذرفورد هذا النموذج عام 1905 ^{[ 1 ]} ، وقدّم هاري بيتمان الحل التحليلي له عام 1910 ^{[ 2 ].}

إذا كان هناك ، عند الزمن t ،${\displaystyle N_{i}(t)}$ذرات النظائر${\displaystyle i}$الذي يتحلل إلى نظائر${\displaystyle i+1}$بالمعدل${\displaystyle \lambda _{i}}$تتطور كميات النظائر في سلسلة التحلل k -step على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dN_{1}(t)}{dt}}&=-\lambda _{1}N_{1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{i}(t)}{dt}}&=-\lambda _{i}N_{i}(t)+\lambda _{i-1}N_{i-1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{k}(t)}{dt}}&=\lambda _{k-1}N_{k-1}(t)\end{aligned}}}$

(يمكن تكييف هذا للتعامل مع فروع الاضمحلال). على الرغم من إمكانية حل هذه المعادلة صراحةً عندما يكون i  =  2، إلا أن الصيغ تصبح معقدة بسرعة للسلاسل الأطول. ^{[ 3 ]} معادلة بيتمان هي معادلة رئيسية كلاسيكية حيث يُسمح بمعدلات الانتقال فقط من نوع كيميائي (i) إلى النوع التالي (i+1)، ولكن لا يُسمح بالانتقال في الاتجاه المعاكس (الانتقال من i+1 إلى i ممنوع).

توصل باتمان إلى صيغة عامة صريحة للكميات عن طريق أخذ تحويل لابلاس للمتغيرات.

${\displaystyle N_{n}(t)=N_{1}(0)\times \left(\prod _{i=1}^{n-1}\lambda _{i}\right)\times \sum _{i=1}^{n}{\frac {e^{-\lambda _{i}t}}{\prod \limits _{j=1,j\neq i}^{n}\left(\lambda _{j}-\lambda _{i}\right)}}}$

(يمكن توسيعها أيضًا بمصطلحات المصدر، إذا تم توفير المزيد من ذرات النظير i خارجيًا بمعدل ثابت). ^{[ 4 ]}

على الرغم من إمكانية تطبيق صيغة باتمان في برنامج حاسوبي، إذا${\displaystyle \lambda _{j}\approx \lambda _{i}}$بالنسبة لبعض أزواج النظائر، قد يؤدي الإلغاء الكارثي إلى أخطاء حسابية. لذلك، تُستخدم أيضًا طرق أخرى مثل التكامل العددي أو طريقة المصفوفة الأسية . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

فعلى سبيل المثال، في الحالة البسيطة لسلسلة من ثلاثة نظائر، تُختزل معادلة باتمان المقابلة إلى

${\displaystyle {\begin{aligned}&A\,{\xrightarrow {\lambda _{A}}}\,B\,{\xrightarrow {\lambda _{B}}}\,C\\[4pt]&N_{B}={\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}N_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\end{aligned}}}$

مما يعطي الصيغة التالية لنشاط النظير${\displaystyle B}$(عن طريق الاستبدال)${\displaystyle A=\lambda N}$)

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{B}={\frac {\lambda _{B}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}A_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\end{محاذاة}}}$

• هاري بيتمان
• قائمة المعادلات في الفيزياء النووية وفيزياء الجسيمات
• التوازن العابر
• التوازن العلماني
• الحركية الدوائية ، قابلية التطبيق غير المحددة