التحليل الحقيقي

تُشكّل الأعداد الحقيقية الإطار الأساسي للتحليل الحقيقي، الذي يبدأ ببنائها . وتتميز الأعداد الحقيقية عن الأعداد النسبية باكتمالها . بعبارة أخرى، لا تحتوي الأعداد الحقيقية على أي فجوات. ويمكن صياغة هذا الاكتمال بعدة طرق متكافئة، إحداها خاصية الحد الأعلى الأدنى . تنص هذه الخاصية على أنه إذا كانت مجموعة غير فارغة من الأعداد الحقيقية محدودة من الأعلى، أي أن جميع عناصرها أصغر من عدد معين (حد أعلى)، فإنه يوجد حد أعلى أدنى ، أي حد أعلى أصغر من جميع الحدود الأخرى. ^{[ 1 ]}

تعتمد معظم النظريات التي تُثبت في التحليل الحقيقي على الاكتمال بشكل أو بآخر. وفيما يلي بعض الأمثلة التي تتجلى فيها أهميته بوضوح: إن تقارب المتتابعات الرتيبة المحدودة ، أي المتتابعات المتزايدة (أو المتناقصة)، يُكافئ جوهريًا خاصية الحد الأعلى الأدنى، المُصاغة في صورة متتابعة. كما ينعكس الاكتمال في نظرية القيمة المتوسطة : فالصورة المتصلة لفترة ما هي أيضًا فترة، لذا لا يمكن للدوال المتصلة أن تُحدث فجوات. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

يُعدّ مفهوم النهاية أساسًا للعديد من أفكار التفاضل والتكامل ، مثل المشتقة . ولذلك، فهو ذو أهمية جوهرية في التحليل الحقيقي، الذي يُوفّر التبرير الدقيق للتفاضل والتكامل. تصف النهايات سلوك المتتالية أو الدالة أو عائلة الدوال عند تطبيق عملية تقارب، كأن يؤول دليل إلى اللانهاية، أو أن تصبح نقطة ما كبيرة جدًا أو تقترب من نقطة أخرى. تُعرّف اللغة الرسمية للنهايات الاتصال، والتفاضل، والتكامل، والمتسلسلات اللانهائية، وأنواعًا مختلفة من التقريبات والسلوك التقاربي. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

لا تقتصر إحدى المشكلات المتكررة في التحليل الحقيقي على وجود النهاية فحسب، بل تتعداها إلى مدى دقة تقريب كائن لآخر. فالمتتابعة المتقاربة تُقارب نهايتها، أو الدالة القابلة للتفاضل تُقارب بدالة خطية ناتجة عن مشتقتها. لكن التحليل الحقيقي لا يقتصر على توفير أدوات لتبرير وجود هذه النهايات وكيفية حسابها، بل يُقدم أيضًا تقديرات كمية لمدى جودة التقريب. ومن الأمثلة على ذلك باقي تايلور ، الذي يُعطي ثابتًا فعالًا وقابلًا للحساب يُحدد مدى دقة التقريب الخطي (أو متعدد حدود تايلور من الرتبة العليا ) لدالة على فترة معينة. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

في تحليل الدوال الحقيقية، يُفرّق بين أنماط التقارب المختلفة. يتقارب متتابع الدوال نقطيًا إذا كان يتقارب عند كل نقطة، ولكن، بشكل عام، قد يختلف معدل التقارب من نقطة إلى أخرى. ويتقارب بانتظام إذا كان يتقارب عند جميع النقاط بمعدل متقارب. يمكن فهم التقارب المنتظم بديهيًا من خلال رسوم الدوال في المتتابعة: فهو يعني أنه لأي نطاق خطأ ضيق حول الدالة النهائية، تبقى جميع الدوال في المتتابعة، باستثناء عدد محدود منها، ضمن هذا النطاق. أما التقارب النقطي فيعني أن هذا ينطبق على نطاق الخطأ حول كل نقطة، ولكن المجموعة المحدودة من الدوال التي يجب استبعادها تختلف من نقطة إلى أخرى. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

بالنسبة لمتتاليات الدوال، غالبًا ما يفشل التقارب النقطي في الحفاظ على العمليات على دالة النهاية. على سبيل المثال، ليس صحيحًا عمومًا أن النهاية النقطية لمتتالية من الدوال المتصلة تكون متصلة، أو أن تكامل الدوال في متتالية ما يُحوّل إلى تكامل دالة النهاية. لكن النهاية المنتظمة للدوال المتصلة تكون متصلة، ويمكن استبدال التكامل بالنهاية المنتظمة على نطاقات مناسبة. لذلك، يُعدّ التقارب المنتظم مهمًا للعديد من تطبيقات التحليل الحقيقي. ومن الأمثلة النموذجية التي يُقدّم فيها التقارب المنتظم إجابة بسيطة: "متى يُسمح بالتفاضل تحت التكامل ؟" أو "متى يُمكنني تكامل مجموع لانهائي حدًا حدًا؟". ^{[ 12 ] [ 11 ]}

يقيس التفاضل معدل التغير الموضعي للدالة. في متغير واحد، تعطي المشتقة ميل أفضل تقريب خطي للدالة بالقرب من نقطة معينة. يمتد هذا المنظور إلى عدة متغيرات، حيث يُعبَّر عن قابلية التفاضل بدلالة التقريب بواسطة دالة خطية. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 13 ]}

إضافةً إلى إثبات الخصائص الأساسية للمشتقة من حساب التفاضل والتكامل، كقاعدة السلسلة ، يُرسي التحليل الحقيقي أيضًا النظريات الرئيسية المتعلقة بالمشتقة، مثل نظرية القيمة المتوسطة وبعض تعميماتها، كنظرية كوشي للقيمة المتوسطة . وباختصار، تربط نظرية القيمة المتوسطة مشتقة الدالة بمعدل تغيرها المتوسط ​​على فترات زمنية. وتكتسب هذه النظرية أهميةً بالغةً لأنها تُتيح طريقةً فعّالةً لتقدير الخطأ في بعض التقريبات أو عمليات حساب المتوسط. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

لا يقتصر التحليل الحقيقي على دراسة وجود المشتقات فحسب، بل يتناول أيضًا درجات الانتظام. قد تكون الدالة متصلة ولكنها غير قابلة للتفاضل في أي موضع، أو قابلة للتفاضل ولكنها غير قابلة للتفاضل بشكل متصل، أو سلسة (لها مشتقات من جميع الرتب) ولكنها ليست تحليلية (تساوي متسلسلة تايلور الخاصة بها). إحدى النظريات التي تُعرض أحيانًا في المستوى الابتدائي هي نظرية داربو ، التي تنص على أن مشتقة الدالة القابلة للتفاضل تحقق خاصية القيمة المتوسطة ؛ وهي خاصية أضعف من خاصية الاتصال، ولكنها لا تزال فئة محدودة من الدوال. في التحليل المتقدم، تصبح مسائل الانتظام محورية. يتبين أن المشتقة الكلاسيكية غير ملائمة في العديد من التطبيقات، مثل المعادلات التفاضلية حيث يكون للعديد من المسائل صياغة تباينية أكثر طبيعية باستخدام التكامل بدلًا من التفاضل. غالبًا ما تكون الدوال التي يجب مراعاتها غير قابلة للتفاضل، ولذلك تُدرس تعميمات قابلية التفاضل، بل وحتى تعريف الدالة. يتضمن الانتظام حينها أسئلة حول ما إذا كانت المشتقات المعممة مشتقات حقيقية، ومدى سلاسة حلول المعادلات. هذا موضوع شائع في نظرية القياس، والمعادلات التفاضلية الجزئية، وفضاءات سوبوليف، وحساب التفاضل والتكامل. ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

يُضفي التكامل في التحليل معنىً دقيقًا على المتوسطات والتراكم والمساحة. يُضفي تكامل ريمان طابعًا رسميًا على التكامل باستخدام تقريبات المجاميع المحدودة على فترات. يُرسخ تكامل ريمان في مقررات التحليل الحقيقي الأساسية. وقد تم إثبات النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل ، التي تربط بين التكامل والتفاضل، لتكامل ريمان. وتُشكل هذه النظرية أساسًا للعديد من العمليات الحسابية الدقيقة في حساب التكامل الابتدائي، وذلك باختزال التكاملات المحددة إلى دوال أصلية. تنص نظرية القيمة المتوسطة للتكامل على أن متوسط ​​قيمة دالة متصلة على فترة، مُعرّفة بتكامل ريمان، يساوي قيمة الدالة عند نقطة ما داخل تلك الفترة. تُعد نظرية القيمة المتوسطة مهمة في اشتقاق التقديرات التحليلية في التطبيقات التحليلية؛ فعلى سبيل المثال، يستخدمها أحد أشكال باقي تايلور. ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

يُستخدم تكامل لوبيغ في التحليل الحقيقي المتقدم. فبدلاً من تقريب التكامل بمجاميع منتهية باستخدام تجزئة المجال، يُجزئ تكامل لوبيغ المدى. ورغم تشابه الفكرة مع تكامل ريمان، إلا أنه يختلف عنه في ضرورة صياغة مساحة الشرائح الأفقية غير المتصلة، والتي قد تتوزع على مجموعات معقدة في المجال. وبالتالي، تقود صياغة تكامل لوبيغ بشكل طبيعي إلى نظرية القياس ، التي يتمحور سؤالها الأساسي حول كيفية قياس مجموعات جزئية من خط الأعداد الحقيقية - أي تحديد مفهوم للطول - إذا سُمح لهذه المجموعات الجزئية بأن تكون بالغة التعقيد. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

أحد أسباب نجاح تكامل لوبيغ في التحليل الرياضي هو توافقه الأكبر مع عمليات التقارب. فعلى سبيل المثال، في ظل فرضيات بسيطة نسبيًا، تكون نهاية تكاملات لوبيغ لعناصر متتالية من الدوال التي تتقارب نقطيًا فقط مساوية لتكامل النهاية النقطية ( نظرية التقارب المسيطر ). علاوة على ذلك، يسمح تكامل لوبيغ بدمج فئة أوسع من الدوال. أما تكامل ريمان، فرغم عدم شيوعه في التحليل الرياضي، إلا أنه لا يزال له استخداماته: إذ تعتمد معظم عمليات التكامل العددي على منهج ريمان بدلًا من منهج لوبيغ. ^{[ 22 ] [ 23 ]}

تُعامل نظرية القياس الطول والمساحة والحجم والكتلة والاحتمال كأمثلة على مفهوم عام للقياس. تسمح هذه النظرية بتحديد الدوال المتساوية باستثناء مجموعة قياسها صفر ، ويُقال إن هذه الدوال متساوية تقريبًا في كل مكان . في نظرية الاحتمالات، المفهوم ذو الصلة هو " شبه مؤكد" . مثال على ذلك هو رمي قطعة نقدية متوازنة عددًا لا نهائيًا من المرات. من الممكن أن تظهر الصورة في كل مرة، لكن احتمال هذا الحدث معدوم: يمكن استبعاده عمليًا من أي حجة احتمالية. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

تُعدّ نظرية التقارب الرتيب ، ومبرهنة فاتو ، ونظرية التقارب المُهيمن ، ومبرهنة فوبيني ، نظريات أساسية حول تكامل ليبيغ. ^{[ 20 ] [ 21 ]} كما يُوفّر التحليل الحقيقي القائم على نظرية القياس لغة الاحتمالات والعديد من فضاءات الدوال. في نظرية الاحتمالات ، تُمثّل القيم المتوقعة تكاملات بالنسبة لمقاييس الاحتمال . في نظرية ^فضاءات Lp ، تُدرس الدوال وفقًا لخصائص التكامل، ويتم تحديدها عندما تتطابق تقريبًا في كل مكان. ^{[ 24 ] [ 25 ]}

تُعدّ المتسلسلات اللانهائية إحدى العمليات الأساسية في التحليل الحقيقي. تُعرَّف المتسلسلة العددية بتقارب مجاميعها الجزئية ، وتُبيّن مسائل التقارب المطلق والتقارب الشرطي وإعادة الترتيب الفرق بين المجاميع المنتهية واللانهائية. تربط متسلسلات القوى ومتسلسلات تايلور المتسلسلات اللانهائية بقابلية التفاضل والتحليلية. ^{[ 26 ] [ 27 ]}

تُستخدم المتتابعات والمتسلسلات لتقريب الدوال وتمثيلها. يوفر التقارب المنتظم الشروط التي بموجبها تنتقل الاستمرارية والتكامل، وأحيانًا التفاضل، إلى دالة النهاية. يمكن استخدام متسلسلات القوى لتمثيل بعض الدوال محليًا، بينما تمثل متسلسلات فورييه الدوال الدورية بدلالة المتسلسلات المثلثية . تقود هذه المفاهيم من التحليل الابتدائي إلى مسائل نظرية التقريب (مدى جودة تمثيل دالة ما بواسطة متسلسلة أو مجموع جزئي)، والتحليل التوافقي (ما يمكن استنتاجه حول انتظام الدالة من تمثيلاتها)، ونظرية فضاءات الدوال (ما هي فئات الدوال التي يمكن تمثيلها، ومدى جودة هذا التمثيل، بطريقة معينة). ^{[ 28 ] [ 29 ]}

يمكن صياغة العديد من نظريات التحليل الحقيقي في الفضاءات المترية . تُعمم الفضاءات المترية خط الأعداد الحقيقية والفضاءات الإقليدية ، بمعنى أنها تحتوي على مفهوم دالة المسافة المُعرّفة عليها والتي تُحقق بعض القواعد الطبيعية. تبقى النظريات الأساسية المتعلقة بالنهايات والاستمرارية، دون تغيير يُذكر، سارية في السياق الأكثر عمومية، ولذا غالبًا ما تصف المعالجات الأولية للموضوع هذا التعميم. ^{[ 30 ] [ 31 ]} تُعد التعميمات إلى الفضاءات المترية مهمة في العديد من مجالات الرياضيات. أحد الأمثلة على الفضاء المتري هو السطح في الفضاء الإقليدي. تتشابه الخصائص التحليلية للمقاييس من هذا النوع مع خصائص الفضاء الإقليدي، ويتضمن علم الهندسة التفاضلية دراسة الفضاءات المترية كالأسطح وتعميماتها إلى أبعاد أعلى. ^{[ 32 ]} تختلف الفضاءات المترية الأخرى في الرياضيات اختلافًا كبيرًا عن الفضاءات الإقليدية. في نظرية الأعداد على سبيل المثال، تُستخدم الفضاءات المترية لترميز المعلومات الحسابية والثوابت، ومن الأمثلة الأساسية على ذلك الأعداد p-adic . ^{[ 33 ]}

في التحليل الحقيقي، تُعدّ معظم أمثلة الفضاءات المترية، بخلاف الفضاءات الإقليدية، فضاءات دوال ، أي فضاءات دوال مُعرّفة بخاصية معينة. في الأمثلة الأساسية التي تُدرس في التحليل الحقيقي، تمتلك هذه الفضاءات الدوالية مقياسًا مُستمدًا من معيار . ومن الأمثلة على ذلك فضاء الدوال المتصلة على الفترة [0, 1] ، والذي يُرمز له بـ${\displaystyle C([0,1])}$بالنظر إلى دالة حقيقية القيمة على الفترة [0, 1]، فإن القيمة المطلقة القصوى للدالة تُحدد المعيار. والمقياس هو أكبر فرق مطلق بين دالتين. ومفهوم التقارب الذي يُحدده هذا المقياس هو التقارب المنتظم، بحيث يمكن تجميع مصطلحات التقارب المنتظم للدوال المتصلة في فضاء متري واحد. هذا مثال على فضاء باناخ : المقياس الذي يُحدده هذا المعيار كامل ، وهو نتيجة لنظرية تنص على أن النهاية المنتظمة للدوال المتصلة متصلة. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 34 ]}

مثال آخر على الفضاءات المترية التي تظهر في التحليل الحقيقي، حيث تأتي المترية من معيار، هو الفضاء${\displaystyle L^{1}}$من الدوال القابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ، ودالة المسافة هي تكامل القيمة المطلقة لفرق دالتين. (هنا، تُعتبر الدوال متطابقة إذا اختلفت على مجموعة قياسها صفر). بالتالي، على مجال محدود، تكون المسافة بين دالتين هي في الأساس متوسط ​​المسافة بين قيمتيهما. تشكل فضاءات الدوال القابلة للقياس والتكامل التربيعي فضاءً متريًا، حيث يُستحث المعيار بواسطة جداء داخلي . هذا الجداء الداخلي كامل: الدوال القابلة للتكامل التربيعي هي فضاء هيلبرت . فضاءات L ^p هي تعميمات لهذه الفضاءات. المقاييس التي نحصل عليها من فضاءات L ^p كاملة: إنها فضاءات باناخ، مع التعريف المعتاد للدوال القابلة للقياس المتساوية تقريبًا في كل مكان. ^{[ 35 ] [ 36 ]}

على الرغم من أن جميع فضاءات الدوال هذه فضاءات متجهة لا نهائية الأبعاد ، وتتشابه في أنواع نظريات التقارب لكونها فضاءات مترية، إلا أنها تختلف على المستويين الكلي والمحلي من حيث البنية الدقيقة التي يجب أن تحملها الدوال للانتماء إليها. يهتم التحليل الوظيفي بهذه الفضاءات وتعميماتها، وخصائصها الكلية وخصائص التقارب. أما التحليل التوافقي فيهتم بالخصائص الدقيقة اللازمة للانتماء، وتقدير سلوك المؤثرات المحددة بالبنية الدقيقة في هذه الفضاءات: ومن الأسئلة الشائعة هنا تحديد متى تكون مشتقة دالة ما في فضاء Lp معين ^، على سبيل المثال. ^{[ 37 ] [ 16 ]}

تعتمد العديد من تطبيقات الفضاءات المترية في التحليل على فضاء متري ذي خصائص إضافية تضمن وجود نهايات معينة وانتمائها إلى هذا الفضاء. إحدى هذه الخصائص هي ما إذا كان الفضاء المتري كاملاً ، وأخرى هي ما إذا كان متراصاً . ^{[ 30 ] [ 38 ] [ 39 ]}

تُصاغ خاصية اكتمال الفضاء بدلالة متتابعات كوشي داخله. تتقارب المتتابعة في الفضاء إلى حدٍّ ما إذا كانت جميع عناصرها، باستثناء عدد محدود منها، قريبةً من هذا الحد. فإذا تقاربت المتتابعة، فإن جميع عناصرها، باستثناء عدد محدود منها، تكون قريبةً من الحد، وبالتالي يجب أن تكون متقاربةً فيما بينها. هذه الخاصية تميز متتابعات كوشي في الفضاء المتري. وبتعبير أدق، تكون المتتابعة كوشي إذا كانت جميع عناصرها، باستثناء عدد محدود منها، تقع ضمن نطاق هذا التفاوت في الخطأ، وذلك لأي هامش خطأ مسموح به. ويكون الفضاء المتري كاملاً إذا كانت جميع متتابعات كوشي فيه متقاربة. على سبيل المثال، تُعد الأعداد الحقيقية كاملةً بهذا المعنى. ^{[ 40 ] [ 38 ] [ 41 ]}

إحدى النظريات الأساسية للفضاءات المترية الكاملة هي نظرية الانكماش . تنص هذه النظرية على أنه إذا كان التحويل${\displaystyle T}$يؤدي وجود مساحة كاملة إلى تقليل المسافات بين النقاط بمعامل لا يقل عن${\displaystyle C<1}$، لهذا السبب${\displaystyle \operatorname {dist} (Tx,Ty)\leq C\operatorname {dist} (x,y)}$إذن، يكون للتحويل نقطة ثابتة فريدة ، أي نقطة في الفضاء بحيث${\displaystyle Tx=x}$تُعدّ هذه النظرية ذات أهمية خاصة في المعادلات التفاضلية ، لأنها تُقدّم نظرية الوجود والوحدانية الأساسية لحلول المعادلات التفاضلية العادية - نظرية بيكارد للوجود - بالإضافة إلى طريقة للتقارب إليها - وهي تكرار بيكارد . علاوة على ذلك، تُقدّم هذه النظرية تقديرات لمعدل التقارب، شريطة إمكانية تحديد ثابت الانكماش.${\displaystyle C}$[ ^{38 ] [ 42 ]​}

مفهوم آخر في الفضاءات المترية هو التراص. يكون الفضاء المتري متراصًا إذا كان لكل متتالية فيه متتالية جزئية متقاربة. الفضاءات المترية المتراصة تكون كاملة أيضًا، لكن التراص مفيد لضمان وجود النهايات دون الحاجة إلى دراسة شرط كوشي منفصل. في التحليل الحقيقي الأساسي، تُبين نظرية بولزانو-فايرشتراس أن مجموعة جزئية من الفضاء الإقليدي تكون متراصة إذا وفقط إذا كانت مغلقة ومحدودة. ^{[ 43 ] [ 38 ] [ 41 ]}

ينطبق مفهومٌ أعمّ للتراص على الفضاءات الطوبولوجية العامة التي ليست بالضرورة فضاءات مترية، وهو يقوم على فكرة أن الفضاءات المتراصة هي مجموعات منتهية معممة. تتميز المجموعات المنتهية بخاصية أنه كلما غُطيت بمجموعة جزئية، بحيث ينتمي كل عنصر من عناصر المجموعة إلى عنصر ما من عناصر الغطاء، فإنه من الممكن تغطية المجموعة المنتهية بمجموعة جزئية منتهية. على سبيل المثال، يمكن اختيار عنصر واحد من المجموعة التي تغطي كل عنصر من عناصر المجموعة المنتهية. يكون الفضاء المتري متراصًا بهذا المعنى إذا كان لكل غطاء من المجموعات المفتوحة غطاء جزئي منتهٍ. ومن أمثلة المجموعات المتراصة بهذا المعنى الفترات المغلقة.${\displaystyle [a,b]}$عندما تُغطى هذه المجموعة بفترات مفتوحة، فمن الممكن تغطيتها بعدد محدود من هذه الفترات. ويمكن إثبات ذلك بتطبيق مباشر لخاصية الحد الأعلى الأدنى. ويمكن إثبات أن المجموعة المدمجة في خط الأعداد الحقيقية محدودة، وذلك بالنظر إلى تغطيتها المفتوحة بفترات.${\displaystyle (-n,n)}$وباستخدام غطاء جزئي محدود لاستخراج حد. ويمكن أيضًا إثبات أنها مغلقة ببرهان بسيط بالتناقض. ومن النتائج الأساسية الأخرى في التحليل الحقيقي نظرية هاين-بوريل ، التي تنص على عكس ذلك: أي مجموعة جزئية من خط الأعداد الحقيقية (أو الفضاء الإقليدي، بشكل أعم) تكون متراصة بهذا المعنى إذا وفقط إذا كانت مغلقة ومحدودة. ^{[ 38 ] [ 30 ] [ 39 ]}

يلعب التراص دورًا هامًا من خلال تفاعله مع الاستمرارية. على سبيل المثال، تنص نظرية القيمة القصوى في حساب التفاضل والتكامل على أن الدالة المستمرة على فترة مغلقة${\displaystyle [a,b]}$تصل الدالة إلى قيمتين، عظمى وصغرى. وفي التحليل الحقيقي، يُعمَّم هذا المفهوم: أي دالة حقيقية متصلة على فضاء متري متراص تصل إلى قيمتين، عظمى وصغرى. هذه النتيجة مهمة في نظرية الأمثلية لأنها تضمن وجود القيم العظمى والصغرى، غالبًا في حالات عامة جدًا حيث يكون التراص موجودًا ولكن لا يتم العمل على مجموعات جزئية من خط الأعداد الحقيقية (أو أي فضاء إقليدي آخر). ^{[ 44 ] [ 38 ] [ 45 ]}

من النظريات الأخرى في التحليل الحقيقي، والمتعلقة بالتراص والدوال المتصلة، نظرية أرزيلا-أسكولي . تنص هذه النظرية على أنه إذا كانت متتالية من الدوال المتصلة على فضاء متري متراص محدودة بانتظام (أي أن جميع الدوال تشترك في حد أعلى وحد أدنى) ومتساوية الاتصال (أي أن جميع الدوال تشترك في معامل اتصال واحد)، فإن هذه المتتالية من الدوال تحتوي على متتالية جزئية متقاربة بانتظام. لهذه النظرية تطبيقات في المعادلات التفاضلية، إذ يمكن استخدامها لضمان وجود حلول للمعادلات التفاضلية التي لا تنطبق عليها معايير نظرية بيكارد الأكثر صرامة. ومن الأمثلة على تطبيقاتها نظرية بيانو . تُعد نظرية أرزيلا-أسكولي نفسها نوعًا من تأكيدات التراص، إذ تُحدد التراص في فضاء باناخ للدوال على فضاء متري متراص. ^{[ 38 ] [ 11 ] [ 34 ]}

التوزيعات (أو الدوال المعممة ) هي كائنات تُعمم الدوال . تُتيح التوزيعات إمكانية اشتقاق الدوال التي لا توجد مشتقاتها بالمعنى الكلاسيكي. على وجه الخصوص، أي دالة قابلة للتكامل محليًا لها مشتقة توزيعية.

التحليل الحقيقي هو فرع من فروع التحليل يدرس مفاهيم مثل المتتابعات ونهاياتها، والاتصال، والتفاضل ، والتكامل ، ومتتابعات الدوال. يركز التحليل الحقيقي، بحسب تعريفه، على الأعداد الحقيقية ، وغالبًا ما يشمل اللانهاية الموجبة والسالبة لتشكيل خط الأعداد الحقيقية الممتد . يرتبط التحليل الحقيقي ارتباطًا وثيقًا بالتحليل المركب ، الذي يدرس بشكل عام الخصائص نفسها للأعداد المركبة . في التحليل المركب، من الطبيعي تعريف التفاضل باستخدام الدوال التحليلية ، التي تتمتع بعدد من الخصائص المفيدة، مثل قابلية التفاضل المتكرر، وإمكانية التعبير عنها كمتسلسلات قوى ، وتحقيقها لصيغة كوشي التكاملية .

في التحليل الحقيقي، من الطبيعي عادةً النظر في الدوال القابلة للتفاضل ، أو السلسة ، أو التوافقية ، نظرًا لتطبيقاتها الواسعة، ولكنها قد تفتقر إلى بعض الخصائص القوية للدوال التحليلية. مع ذلك، فإن نتائج مثل النظرية الأساسية للجبر تكون أبسط عند التعبير عنها بدلالة الأعداد المركبة.

تُستخدم تقنيات من نظرية الدوال التحليلية لمتغير مركب في كثير من الأحيان في التحليل الحقيقي - مثل تقييم التكاملات الحقيقية بواسطة حساب البقايا .