دالة قابلة للتكامل التربيعي

في الرياضيات ، الدالة القابلة للتكامل التربيعي ، وتسمى أيضاً الدالة القابلة للتكامل التربيعي أو${\displaystyle L^{2}}$الدالة أو الدالة القابلة للتكامل التربيعي ، ^{[ 1 ]} هي دالة قابلة للقياس ذات قيم حقيقية أو مركبة، يكون تكامل مربع قيمتها المطلقة محدودًا . وبالتالي ، فإن التكامل التربيعي على خط الأعداد الحقيقية${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$يُعرَّف على النحو التالي.

يمكن أيضًا الحديث عن التكامل التربيعي على فترات محدودة مثل${\displaystyle [a,b]}$ل${\displaystyle a\leq b}$[ ^{2 ]​}

التعريف المكافئ هو القول بأن مربع الدالة نفسها (بدلاً من قيمتها المطلقة) قابل للتكامل وفقًا لمعيار لوبيغ . ولكي يكون هذا صحيحًا، يجب أن تكون تكاملات الأجزاء الموجبة والسالبة من الجزء الحقيقي محدودة، وكذلك تكاملات الجزء التخيلي.

يشكل الفضاء المتجهي للدوال القابلة للتكامل التربيعي (بالنسبة لمقياس ليبيغ ) (فئات التكافؤ للدوال القابلة للتكامل التربيعي)${\displaystyle L^{p}}$مساحة مع${\displaystyle p=2.}$من بين${\displaystyle L^{p}}$في الفضاءات، تتميز فئة الدوال القابلة للتكامل التربيعي بتوافقها مع الضرب الداخلي ، مما يسمح بتعريف مفاهيم مثل الزاوية والتعامد. وإلى جانب هذا الضرب الداخلي، تُشكل الدوال القابلة للتكامل التربيعي فضاء هيلبرت ، حيث أن جميع${\displaystyle L^{p}}$تُعتبر المساحات مكتملة ضمن نطاقها الخاص.${\displaystyle p}$-المعايير .

غالباً ما يُستخدم المصطلح ليس للإشارة إلى دالة محددة، ولكن إلى فئات التكافؤ من الدوال التي تكون متساوية تقريباً في كل مكان .

تشكل الدوال القابلة للتكامل التربيعي (بالمعنى المذكور حيث تعني "الدالة" في الواقع فئة تكافؤ من الدوال المتساوية تقريبًا في كل مكان) فضاءً للجداء الداخلي مع جداء داخلي معطى بواسطة $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{A}{\overline {f(x)}}\ g(x)\mathrm {d} x,}$$ أين

• ${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$هي دوال قابلة للتكامل التربيعي،
• ${\displaystyle {\overline {f(x)}}}$هو المرافق المعقد لـ${\displaystyle f(x),}$
• ${\displaystyle A}$هي المجموعة التي يتم التكامل عليها - في التعريف الأول (المذكور في المقدمة أعلاه)،${\displaystyle A}$يكون${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$في الثاني،${\displaystyle A}$يكون${\displaystyle [a,b]}$.

منذ${\displaystyle |a|^{2}=a\cdot {\overline {a}}}$التكامل التربيعي هو نفسه القول $${\displaystyle \langle f,f\rangle <\infty .\,}$$

يمكن إثبات أن الدوال القابلة للتكامل التربيعي تُشكّل فضاءً متريًا كاملًا تحت المقياس المُستحثّ بواسطة الضرب الداخلي المُعرّف أعلاه. يُسمى الفضاء المتري الكامل أيضًا فضاء كوشي ، لأن المتتابعات في هذه الفضاءات تتقارب إذا وفقط إذا كانت كوشي . الفضاء الكامل تحت المقياس المُستحثّ بواسطة معيار ما هو فضاء باناخ . لذلك، فإن فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي هو فضاء باناخ، تحت المقياس المُستحثّ بواسطة المعيار، والذي بدوره مُستحثّ بواسطة الضرب الداخلي. ولأن لدينا خاصية الضرب الداخلي الإضافية، فإن هذا الفضاء هو تحديدًا فضاء هيلبرت ، لأنه كامل تحت المقياس المُستحثّ بواسطة الضرب الداخلي.

يُشار إلى فضاء المنتج الداخلي هذا اصطلاحًا بـ${\displaystyle \left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)}$ويختصر في كثير من الأحيان إلى${\displaystyle L_{2}.}$ لاحظ أن${\displaystyle L_{2}}$يشير الرمز إلى مجموعة الدوال القابلة للتكامل التربيعي، ولكن لا يحدد هذا الرمز أي اختيار للمقياس أو المعيار أو الضرب الداخلي. وتشمل هذه المجموعة، بالإضافة إلى الضرب الداخلي المحدد.${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}}$حدد فضاء الضرب الداخلي.

فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي هو${\displaystyle L^{p}}$مساحة فيها${\displaystyle p=2.}$

الوظيفة${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{n}}},}$محدد في${\displaystyle (0,1),}$هو في${\displaystyle L^{2}}$ل${\displaystyle n<{\tfrac {1}{2}}}$لكن ليس لـ${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}.}$^{[ 1 ]} الوظيفة${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$محدد في${\displaystyle [1,\infty ),}$قابلة للتكامل التربيعي. ^{[ 3 ]}

الدوال المحدودة، المعرفة على${\displaystyle [0,1],}$هذه الدوال قابلة للتكامل التربيعي. وهي أيضًا في${\displaystyle L^{p},}$لأي قيمة من${\displaystyle p.}$^{[ 3 ]}

• مساحة المنتج الداخلية
• ${\displaystyle L^{p}}$الفضاء – فضاءات الدوال التي تعمم فضاءات المعيار p ذات الأبعاد المحدودة