كثافة الشحنة

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 57 صور
الموسوعة الحرة

في الكهرومغناطيسية ، تُعرَّف كثافة الشحنة بأنها كمية الشحنة الكهربائية لكل وحدة طول أو مساحة سطح أو حجم . كثافة الشحنة الحجمية (يرمز لها بالحرف اليوناني ρ) هي كمية الشحنة لكل وحدة حجم، وتُقاس في النظام الدولي للوحدات بوحدة كولوم لكل متر مكعب (C⋅m⁻³ ) ، عند أي نقطة في الحجم. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] كثافة الشحنة السطحية (σ) هي كمية الشحنة لكل وحدة مساحة، وتُقاس بوحدة كولوم لكل متر مربع (C⋅m⁻² ) ، عند أي نقطة على توزيع الشحنة السطحية على سطح ثنائي الأبعاد. كثافة الشحنة الخطية (λ) هي كمية الشحنة لكل وحدة طول، وتُقاس بوحدة كولوم لكل متر (C⋅m⁻¹ ) ، عند أي نقطة على توزيع الشحنة الخطية. يمكن أن تكون كثافة الشحنة موجبة أو سالبة، لأن الشحنة الكهربائية يمكن أن تكون موجبة أو سالبة.

مثل كثافة الكتلة ، يمكن أن تتغير كثافة الشحنة بتغير الموضع. في النظرية الكهرومغناطيسية الكلاسيكية، تُعتبر كثافة الشحنة دالة قياسية متصلة للموضع.x{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}مثل السائل، وρ(x){\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})}،σ(x){\displaystyle \sigma ({\boldsymbol {x}})}، وλ(x){\displaystyle \lambda ({\boldsymbol {x}})}تُعتبر عادةً توزيعات الشحنة متصلة ، على الرغم من أن جميع توزيعات الشحنة الحقيقية تتكون من جسيمات مشحونة منفصلة. وبسبب قانون حفظ الشحنة الكهربائية ، لا يمكن أن تتغير كثافة الشحنة في أي حجم إلا إذا تدفق تيار كهربائي مشحون إلى داخل هذا الحجم أو خارجه. ويُعبَّر عن ذلك بمعادلة استمرارية تربط معدل تغير كثافة الشحنةρ(x){\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})}وكثافة التيارج(x){\displaystyle {\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {x}})}.

بما أن جميع الشحنات محمولة بواسطة جسيمات دون ذرية ، والتي يمكن تمثيلها كنقاط، فإن مفهوم التوزيع المستمر للشحنة هو تقريب يصبح غير دقيق عند المقاييس الصغيرة. يتكون توزيع الشحنة في النهاية من جسيمات مشحونة منفردة تفصل بينها مناطق خالية من الشحنة. [ 4 ] على سبيل المثال، تتكون الشحنة في جسم معدني مشحون كهربائيًا من إلكترونات التوصيل التي تتحرك عشوائيًا في الشبكة البلورية للمعدن . تنشأ الكهرباء الساكنة من شحنات سطحية تتكون من إلكترونات وأيونات بالقرب من سطح الأجسام، وتتكون الشحنة الفضائية في أنبوب مفرغ من سحابة من الإلكترونات الحرة التي تتحرك عشوائيًا في الفضاء. كثافة حاملات الشحنة في الموصل تساوي عدد حاملات الشحنة المتحركة ( الإلكترونات ، الأيونات ، إلخ) لكل وحدة حجم. كثافة الشحنة عند أي نقطة تساوي كثافة حاملات الشحنة مضروبة في الشحنة الأولية على الجسيمات. ومع ذلك، نظرًا لأن الشحنة الأولية على الإلكترون صغيرة جدًا (1.6⋅10 −19 C) وهناك الكثير منها في حجم كبير (يوجد حوالي 10 22 إلكترون توصيل في سنتيمتر مكعب من النحاس) فإن التقريب المستمر يكون دقيقًا للغاية عند تطبيقه على الأحجام الكبيرة، وحتى الأحجام المجهرية التي تزيد عن مستوى النانومتر.

على نطاقات أصغر، كالذرات والجزيئات، وبسبب مبدأ عدم اليقين في ميكانيكا الكم ، لا يمتلك الجسيم المشحون موقعًا دقيقًا، بل يُمثَّل بتوزيع احتمالي . لذا، لا تتركز شحنة الجسيم في نقطة واحدة، بل تنتشر في الفضاء، وتتصرف كتوزيع شحنة مستمر حقيقي. [ 4 ] هذا هو معنى "توزيع الشحنة" و"كثافة الشحنة" المستخدم في الكيمياء والروابط الكيميائية . يُمثَّل الإلكترون بدالة موجية.ψ(x){\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}})}مربعه يتناسب مع احتمال وجود الإلكترون في أي نقطةx{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}في الفضاء، لذلك|ψ(x)|2{\displaystyle |\psi ({\boldsymbol {x}})|^{2}}تتناسب مع كثافة شحنة الإلكترون عند أي نقطة. في الذرات والجزيئات ، تتوزع شحنة الإلكترونات في سحب تُسمى المدارات، والتي تُحيط بالذرة أو الجزيء، وهي المسؤولة عن الروابط الكيميائية .

التعريفات

الشحنات المستمرة

توزيع الشحنة المستمر. كثافة الشحنة الحجمية ρ هي كمية الشحنة لكل وحدة حجم (ثلاثية الأبعاد)، وكثافة الشحنة السطحية σ هي كمية الشحنة لكل وحدة مساحة سطح (دائرة) مع متجه عمودي خارجي n̂ ، وd هو عزم ثنائي القطب بين شحنتين نقطيتين، وكثافة حجمهما هي كثافة الاستقطاب P. متجه الموضع r هو نقطة لحساب المجال الكهربائي ؛ وr ′ هي نقطة في الجسم المشحون.

فيما يلي تعريفات لتوزيعات الشحنة المستمرة. [ 5 ] [ 6 ]

كثافة الشحنة الخطية هي نسبة شحنة كهربائية متناهية الصغر dQ (وحدة النظام الدولي للوحدات: C ) إلى عنصر خطي متناهٍ الصغر . λq=دسؤالدℓ،{\displaystyle \lambda _{q}={\frac {dQ}{d\ell }}\,,} وبالمثل، تستخدم كثافة الشحنة السطحية عنصر مساحة السطح dSσq=دسؤالدS،{\displaystyle \sigma _{q}={\frac {dQ}{dS}}\,,} وتستخدم كثافة الشحنة الحجمية عنصرًا حجميًا dVρq=دسؤالدV،{\displaystyle \rho _{q}={\frac {dQ}{dV}}\,,}

بدمج التعريفات نحصل على الشحنة الكلية Q لمنطقة ما وفقًا للتكامل الخطي لكثافة الشحنة الخطية λ q ( r ) على خط أو منحنى أحادي البعد C ، سؤال=∫لλq(ر)دℓ{\displaystyle Q=\int _{L}\lambda _{q}(\mathbf {r} )\,d\ell } وبالمثل، فإن التكامل السطحي لكثافة الشحنة السطحية σq ( r ) على سطح S ، سؤال=∫Sσq(ر)دS{\displaystyle Q=\int _{S}\sigma _{q}(\mathbf {r} )\,dS} وتكامل حجمي لكثافة الشحنة الحجمية ρ q ( r ) على حجم V ، سؤال=∫Vρq(ر)دV{\displaystyle Q=\int _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV} حيث أن الرمز السفلي q هو لتوضيح أن الكثافة هي للشحنة الكهربائية، وليس لكثافات أخرى مثل كثافة الكتلة ، وكثافة العدد ، وكثافة الاحتمال ، ولمنع التعارض مع العديد من الاستخدامات الأخرى لـ λ ، σ ، ρ في الكهرومغناطيسية للطول الموجي ، والمقاومة الكهربائية، والتوصيلية .

في سياق الكهرومغناطيسية، عادةً ما يتم حذف الرموز السفلية للتبسيط: λ ، σ ، ρ . وقد تتضمن الرموز الأخرى : ρℓ ، ρs ، ρv ، ρL ، ρS ، ρV ، إلخ .

إن إجمالي الشحنة مقسومًا على الطول أو مساحة السطح أو الحجم سيكون متوسط ​​كثافة الشحنة: ⟨λq⟩=سؤالℓ،⟨σq⟩=سؤالS،⟨ρq⟩=سؤالV.{\displaystyle \langle \lambda _{q}\rangle ={\frac {Q}{\ell }}\,,\quad \langle \sigma _{q}\rangle ={\frac {Q}{S}}\,,\quad \langle \rho _{q}\rangle ={\frac {Q}{V}}\,.}

مجاني، مقيد، ورسوم إجمالية

في المواد العازلة ، يمكن فصل الشحنة الكلية للجسم إلى شحنات "حرة" و"مقيدة".

تُنشئ الشحنات المقيدة ثنائيات أقطاب كهربائية استجابةً لحقل كهربائي مطبق E ، وتستقطب ثنائيات الأقطاب المجاورة الأخرى، مما يؤدي إلى اصطفافها. ويُطلق على صافي تراكم الشحنة الناتج عن توجيه ثنائيات الأقطاب اسم الشحنة المقيدة. وتُسمى هذه الشحنات مقيدة لأنها لا يمكن إزالتها: ففي المادة العازلة، تكون الشحنات هي الإلكترونات المرتبطة بالنوى . [ 6 ]

الشحنات الحرة هي الشحنات الزائدة التي يمكن أن تنتقل إلى حالة التوازن الكهروستاتيكي ، أي عندما لا تتحرك الشحنات ويكون المجال الكهربائي الناتج مستقلاً عن الزمن، أو تشكل تيارات كهربائية . [ 5 ]

إجمالي كثافة الشحنة

من حيث كثافة الشحنة الحجمية، فإن كثافة الشحنة الكلية هي: ρ=ρو+ρب.{\displaystyle \rho =\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\,.} أما بالنسبة لكثافات الشحنة السطحية: σ=σو+σب.{\displaystyle \sigma =\sigma _{\text{f}}+\sigma _{\text{b}}\,.} حيث تشير الرموز السفلية "f" و "b" إلى "حر" و "مقيد" على التوالي.

الشحنة المقيدة

الشحنة السطحية المقيدة هي الشحنة المتراكمة على سطح العازل ، والتي يتم تحديدها بواسطة عزم ثنائي القطب العمودي على السطح: [ 6 ]qب=د⋅ن^|s|{\displaystyle q_{b}={\frac {\mathbf {d} \cdot \mathbf {\hat {n}} }{|\mathbf {s} |}}} حيث s هي المسافة الفاصلة بين الشحنات النقطية التي تشكل ثنائي القطب،د{\displaystyle \mathbf {d} }هو عزم ثنائي القطب الكهربائي ،ن^{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }هو متجه الوحدة العمودي على السطح.

أخذ الكميات المتناهية الصغر : دqب=دد|s|⋅ن^{\displaystyle dq_{b}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |}}\cdot \mathbf {\hat {n}} } وبقسمة الناتج على عنصر السطح التفاضلي dS نحصل على كثافة الشحنة السطحية المقيدة: σب=دqبدS=دد|s|دS⋅ن^=دددV⋅ن^=P⋅ن^.{\displaystyle \sigma _{b}={\frac {dq_{b}}{dS}}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |dS}}\cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {d\mathbf {d} }{dV}}\cdot \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,.} حيث P هي كثافة الاستقطاب ، أي كثافة عزم ثنائي القطب الكهربائي داخل المادة، و dV هو عنصر الحجم التفاضلي .

باستخدام نظرية التباعد ، تكون كثافة الشحنة الحجمية المقيدة داخل المادة هي qب=∫ρبدV=-∮SP⋅ن^دS=-∫∇⋅PدV{\displaystyle q_{b}=\int \rho _{b}\,dV=-\oint _{S}\mathbf {P} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS=-\int \nabla \cdot \mathbf {P} \,dV} لذلك: ρب=-∇⋅P.{\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} \,.}

تنشأ الإشارة السالبة بسبب الإشارات المتعاكسة على الشحنات في ثنائيات الأقطاب، حيث يكون أحد طرفيها داخل حجم الجسم، والآخر على السطح.

يُقدَّم أدناه اشتقاق أكثر دقة. [ 6 ]

اشتقاق كثافات الشحنة السطحية والحجمية المقيدة من عزم ثنائي القطب الداخلي (الشحنات المقيدة)

الجهد الكهربائي الناتج عن عزم ثنائي القطب d هو: φ=14πε0(ر-ر′)⋅د|ر-ر′|3{\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {d} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}

بالنسبة للتوزيع المستمر، يمكن تقسيم المادة إلى عدد لا نهائي من ثنائيات الأقطاب متناهية الصغردد=PدV=Pد3ر{\displaystyle d\mathbf {d} =\mathbf {P} dV=\mathbf {P} d^{3}\mathbf {r} } حيث أن dV = d 3 r ′ هو عنصر الحجم، وبالتالي فإن الجهد هو التكامل الحجمي على الجسم: φ=14πε0∭(ر-ر′)⋅P|ر-ر′|3د3ر′{\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}d^{3}\mathbf {r'} }

منذ ∇′(1|ر-ر′|)≡(هـx∂∂x′+هـy∂∂y′+هـz∂∂z′)(1|ر-ر′|)=ر-ر′|ر-ر′|3{\displaystyle \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\equiv \left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial }{\partial x'}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial }{\partial y'}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial z'}}\right)\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}} حيث ∇ ′ هو التدرج في إحداثيات r ′ ، φ=14πε0∭P⋅∇′(1|ر-ر′|)د3ر′{\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \mathbf {P} \cdot \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)d^{3}\mathbf {r'} }

التكامل على أجزاءφ=14πε0∭[∇′⋅(P|ر-ر′|)-1ر-ر′(∇′⋅P)]د3ر′{\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \left[\nabla '\cdot \left({\frac {\mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)-{\frac {1}{\mathbf {r} -\mathbf {r} '}}(\nabla '\cdot \mathbf {P} )\right]d^{3}\mathbf {r'} } باستخدام نظرية التباعد:

φ=14πε0{\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}\oiintS{\displaystyle {\scriptstyle S}}P⋅ن^دS′|ر-ر′|-14πε0∭∇′⋅P|ر-ر′|د3ر′{\displaystyle {\frac {\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {\nabla '\cdot \mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r'} }

والذي ينفصل إلى جهد الشحنة السطحية ( التكامل السطحي ) والجهد الناتج عن الشحنة الحجمية (التكامل الحجمي):

φ=14πε0{\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}\oiintS{\displaystyle {\scriptstyle S}}σبدS′|ر-ر′|+14πε0∭ρب|ر-ر′|د3ر′{\displaystyle {\frac {\sigma _{b}dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {\rho _{b}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r'} }

إنه σب=P⋅ن^،ρب=-∇⋅P{\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,,\quad \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }

كثافة الشحنة الحرة

تُعد كثافة الشحنة الحرة بمثابة تبسيط مفيد في قانون جاوس للكهرباء؛ فالتكامل الحجمي لها هو الشحنة الحرة المحصورة في جسم مشحون - وهو يساوي التدفق الصافي لحقل الإزاحة الكهربائية D الخارج من الجسم:

Φد={\displaystyle \Phi _{D}=}\oiintS{\displaystyle {\scriptstyle S}}د⋅ن^دS=∭ρودV{\displaystyle \mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS=\iiint \rho _{f}dV}

راجع معادلات ماكسويل والعلاقة التكوينية لمزيد من التفاصيل.

كثافة الشحنة المتجانسة

في الحالة الخاصة لكثافة الشحنة المتجانسة ρ 0 ، المستقلة عن الموضع أي الثابتة في جميع أنحاء منطقة المادة، تتبسط المعادلة إلى: سؤال=Vρ0.{\displaystyle Q=V\rho _{0}.}

دليل

ابدأ بتعريف كثافة الشحنة الحجمية المستمرة: سؤال=∫Vρq(ر)دV.{\displaystyle Q=\int _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV.}

ثم، بحسب تعريف التجانس، فإن ρ q ( r ) ثابت يُرمز له بـ ρ q ، 0 (للتمييز بين الكثافات الثابتة وغير الثابتة)، وبالتالي، بحسب خصائص التكامل، يمكن سحبه خارج التكامل مما ينتج عنه: سؤال=ρq،0∫VدV=ρ0V{\displaystyle Q=\rho _{q,0}\int _{V}\,dV=\rho _{0}V} لذا، سؤال=Vρq،0.{\displaystyle Q=V\rho _{q,0}.}

تتبع البراهين المكافئة لكثافة الشحنة الخطية وكثافة الشحنة السطحية نفس الحجج المذكورة أعلاه.

رسوم منفصلة

بالنسبة لشحنة نقطية واحدة q عند الموضع r 0 داخل منطقة من الفضاء ثلاثي الأبعاد R ، مثل الإلكترون ، يمكن التعبير عن كثافة الشحنة الحجمية بواسطة دالة ديراك دلتا : ρq(ر)=qدلتا(ر-ر0){\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})} حيث يمثل r الموضع الذي يتم حساب الشحنة فيه.

وكما هو الحال دائمًا، فإن تكامل كثافة الشحنة على منطقة من الفضاء هو الشحنة الموجودة في تلك المنطقة. تتمتع دالة دلتا بخاصية الإزاحة لأي دالة f . ∫Rد3رو(ر)دلتا(ر-ر0)=و(ر0){\displaystyle \int _{R}d^{3}\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=f(\mathbf {r} _{0})} لذا تضمن دالة دلتا أنه عند تكامل كثافة الشحنة على R ، تكون الشحنة الكلية في R هي q : سؤال=∫Rد3رρq=∫Rد3رqدلتا(ر-ر0)=q∫Rد3ردلتا(ر-ر0)=q{\displaystyle Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\rho _{q}=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q}

يمكن توسيع هذا ليشمل N من حاملات الشحنة النقطية المنفصلة. كثافة الشحنة للنظام عند نقطة r هي مجموع كثافات الشحنة لكل شحنة qᵢ عند الموضع rᵢ ، حيث i = 1، 2، ...، N : ρq(ر)=∑أنا=1شمال qأنادلتا(ر-رأنا){\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})}

تضمن دالة دلتا لكل شحنة q i في المجموع، δ ( r − r i )، أن تكامل كثافة الشحنة على R يعيد الشحنة الكلية في R : سؤال=∫Rد3ر∑أنا=1شمال qأنادلتا(ر-رأنا)=∑أنا=1شمال qأنا∫Rد3ردلتا(ر-رأنا)=∑أنا=1شمال qأنا{\displaystyle Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}}

إذا كانت جميع حاملات الشحنة لها نفس الشحنة q (بالنسبة للإلكترونات q = − e ، وهي شحنة الإلكترون )، فيمكن التعبير عن كثافة الشحنة من خلال عدد حاملات الشحنة لكل وحدة حجم، n ( r )، بواسطة ρq(ر)=qن(ر).{\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=qn(\mathbf {r} )\,.}

تُستخدم معادلات مماثلة لكثافات الشحنة الخطية والسطحية.

كثافة الشحنة في النسبية الخاصة

في النسبية الخاصة ، يعتمد طول قطعة من السلك على سرعة الراصد بسبب انكماش الطول ، وبالتالي فإن كثافة الشحنة تعتمد أيضًا على السرعة. وقد وصف أنتوني فرينش [ 7 ] كيف تنشأ قوة المجال المغناطيسي لسلك يحمل تيارًا كهربائيًا من كثافة الشحنة النسبية هذه. واستخدم (ص 260) مخطط مينكوفسكي ليُظهر "كيف يبدو سلك متعادل يحمل تيارًا كهربائيًا وكأنه يحمل كثافة شحنة صافية كما يُرصد في إطار مرجعي متحرك". وعندما تُقاس كثافة الشحنة في إطار مرجعي متحرك، تُسمى كثافة الشحنة الذاتية . [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]

اتضح أن كثافة الشحنة ρ وكثافة التيار J تتحولان معًا كمتجه تيار رباعي تحت تحويلات لورنتز .

كثافة الشحنة في ميكانيكا الكم

في ميكانيكا الكم ، ترتبط كثافة الشحنة ρq بدالة الموجة ψ ( r ) بالمعادلة التالية :ρq(ر)=q|ψ(ر)|2{\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}}حيث q هي شحنة الجسيم، و | ψ ( r ) | ² = ψ *( r )، و ψ ( r ) هي دالة كثافة الاحتمال ، أي احتمال وجود جسيم عند النقطة r لكل وحدة حجم . عند تطبيع دالة الموجة، يكون متوسط ​​الشحنة في المنطقة r ∈ R هوسؤال=∫Rq|ψ(ر)|2د3ر{\displaystyle Q=\int _{R}q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }حيث يمثل d 3 r مقياس التكامل على فضاء الموضع ثلاثي الأبعاد.

بالنسبة لنظام من الفرميونات المتطابقة، تُعطى الكثافة العددية كمجموع كثافة الاحتمال لكل جسيم في  :

ن(ر)=∑أنا⟨ψ|دلتا3(ر-رأنا′)|ψ⟩{\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{i}\langle \psi |\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}')|\psi \rangle }

ن(ر)=∑أنا∫د3ر2⋯∫د3رشمالΨ*(ر،ر2،...،رأنا=ر′،...،رشمال)Ψ(ر،ر2،...،رأنا=ر′،...،رشمال).{\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{i}\int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{N}\,\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} ',\dots ,\mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} ',\dots ,\mathbf {r} _{N}).}

باستخدام شرط التناظر:ن(ر)=شمال∫د3ر2⋯∫د3رشمالΨ*(ر،ر2،...،رشمال)Ψ(ر،ر2،...،رشمال).{\displaystyle n(\mathbf {r} )=N\int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{N}\,\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N}).}أينρq(ر)=q⋅ن(ر){\textstyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\cdot n(\mathbf {r} )}تعتبر كثافة الشحنة.

تُكتب طاقة الوضع لنظام ما على النحو التالي:⟨ψ|يو|ψ⟩=∫V(ر)ن(ر)دلتا3ر{\displaystyle \langle \psi |U|\psi \rangle =\int V(\mathbf {r} )n(\mathbf {r} )\delta ^{3}\mathbf {r} }وبالتالي، تُستنتج طاقة التنافر بين الإلكترونات في ظل هذه الظروف على النحو التالي:يوهـهـ[ن]=ج[ن]=12∫دلتا3ر′∫دلتا3ر((هـن(ر))(هـن(ر′))|ر-ر′|)=12∫دلتا3ر′∫دلتا3ر(ρ(ر)ρ(ر′)|ر-ر′|){\displaystyle U_{ee}[n]=J[n]={\frac {1}{2}}\int \delta ^{3}\mathbf {r} '\int \delta ^{3}\mathbf {r} \left({\frac {(en(\mathbf {r} ))(en(\mathbf {r} '))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {1}{2}}\int \delta ^{3}\mathbf {r} '\int \delta ^{3}\mathbf {r} \left({\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)}لاحظ أن هذا يستثني طاقة التبادل للنظام، وهي ظاهرة ميكانيكية كمية بحتة، ويجب حسابها بشكل منفصل.

ثم يتم حساب الطاقة باستخدام طريقة هارتري-فوك على النحو التالي:

هـ[ن]=أنا+ج-ك{\displaystyle E[n]=I+J-K}

حيث تمثل I الطاقة الحركية والكامنة للإلكترونات الناتجة عن الشحنات الموجبة، و J طاقة التفاعل بين الإلكترونات، و K طاقة التبادل بين الإلكترونات. [ 11 ] [ 12 ]

طلب

تظهر كثافة الشحنة في معادلة استمرارية التيار الكهربائي، وكذلك في معادلات ماكسويل . وهي المصدر الرئيسي للمجال الكهرومغناطيسي ؛ فعندما يتحرك توزيع الشحنة، يقابل ذلك كثافة تيار . تؤثر كثافة شحنة الجزيئات على العمليات الكيميائية وعمليات الفصل. فعلى سبيل المثال، تؤثر كثافة الشحنة على الروابط المعدنية والروابط الهيدروجينية . [ 13 ] أما في عمليات الفصل مثل الترشيح النانوي ، فتؤثر كثافة شحنة الأيونات على رفضها بواسطة الغشاء. [ 14 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بي إم ويلان، إم جيه هودجسون (1978). المبادئ الأساسية للفيزياء (  الطبعة الثانية). جون موراي. ISBN 0-7195-3382-1.
  2. ↑ "الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية، ملاحظات الدورة، الفصل 2، ص 15-16" (ملف PDF) . MIT OpenCourseware . معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. 2007. تم الاطلاع عليه في 3 ديسمبر 2017 .
  3. ↑ سيرواي، ريموند أ.؛ جويت، جون و. (2013). الفيزياء للعلماء والمهندسين، المجلد 2، الطبعة التاسعة . سينجايج ليرنينج. ص 704. ISBN  9781133954149.
  4. 1 2 بورسيل، إدوارد (22-09-2011). الكهرباء والمغناطيسية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 9781107013605.
  5. 1 2 آي. إس. جرانت؛ دبليو آر فيليبس (2008). الكهرومغناطيسية ( الطبعة الثانية). فيزياء مانشستر، جون وايلي وأولاده. ISBN  978-0-471-92712-9.
  6. 1 2 3 4 د. ج. غريفيث (2007). مقدمة في الديناميكا الكهربائية ( الطبعة الثالثة). بيرسون إديوكيشن، دورلينج كيندرسلي. ISBN  978-81-7758-293-2.
  7. ↑ فرينش، أ. (1968). "8: النسبية والكهرباء". النسبية الخاصة . دبليو دبليو نورتون . ص 229-265 . 
  8. ↑ مولد، ريتشارد أ. (2001). "قوة لورنتز". النسبية الأساسية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا . ISBN 0-387-95210-1.
  9. ↑ لودن، ديريك ف. (2012). مقدمة في حساب الموترات: النسبية وعلم الكونيات . شركة كورير. ص 74. ISBN  978-0-486-13214-3.
  10. ↑ فانديرليند، جاك (2006). "11.1: الجهد الرباعي وقانون كولوم". النظرية الكهرومغناطيسية الكلاسيكية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 314. ISBN  1-4020-2700-1.
  11. ↑ ساكوراي، جون جون؛ نابوليتانو، جيم (2021). ميكانيكا الكم الحديثة ( الطبعة الثالثة). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 443-453 . ISBN   978-1-108-47322-4.
  12. ↑ ليتلجون، روبرت ج. "طريقة هارتري-فوك في الذرات" (PDF) .
  13. ↑ آر جيه جيليسبي وبي إل إيه بوبيلير (2001). "الترابط الكيميائي والهندسة الجزيئية". العلوم والتكنولوجيا البيئية . 52 (7). مطبعة جامعة أكسفورد: 4108-4116 . Bibcode : 2018EnST...52.4108E . doi : 10.1021/acs.est.7b06400 . PMID 29510032 . 
  14. ↑ رازي إبشتاين، إيفياتار شاولسكي، نادير ديزج، ديفيد م. وارسنجر، مناحيم إليميليخ (2018). "استبعاد دونان المعتمد على كثافة الشحنة الأيونية في الترشيح النانوي للأنيونات أحادية التكافؤ". العلوم والتكنولوجيا البيئية . 52 (7): 4108-4116 . Bibcode : 2018EnST...52.4108E . doi : 10.1021/acs.est.7b06400 . PMID 29510032 . {{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )

للمزيد من القراءة

  • - توزيعات الشحنة المكانية