دالة بيتا (الفيزياء)

دالة بيتا ذات الحلقة الواحدة في الديناميكا الكهربائية الكمومية (QED) هي

• ${\displaystyle \beta (e)={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}~,}$

أو، على نحو مماثل،

• ${\displaystyle \beta (\alpha )={\frac {2\alpha ^{2}}{3\pi }}~,}$

مكتوبة بدلالة ثابت البنية الدقيقة بالوحدات الطبيعية، α = e ² /4π . ^{[ 10 ]}

تُشير دالة بيتا هذه إلى أن الاقتران يزداد مع ازدياد مستوى الطاقة، وأن الديناميكا الكهربائية الكمية (QED) تُصبح ذات اقتران قوي عند الطاقات العالية. في الواقع، يبدو أن الاقتران يصبح لانهائيًا عند طاقة محدودة، مما يُؤدي إلى ظهور قطب لاندو . مع ذلك، لا يُمكن توقع أن تُعطي دالة بيتا الاضطرابية نتائج دقيقة عند الاقتران القوي، ولذا يُرجح أن يكون قطب لاندو ناتجًا عن تطبيق نظرية الاضطراب في حالة لم تعد صالحة فيها.

دالة بيتا ذات الحلقة الواحدة في الديناميكا اللونية الكمومية مع${\displaystyle n_{f}}$النكهات و${\displaystyle n_{s}}$البوزونات الملونة العددية هي

${\displaystyle \beta (g)=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}~,}$

أو

${\displaystyle \beta (\alpha _{s})=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {\alpha _{s}^{2}}{2\pi }}~,}$

مكتوبة بدلالة α _s =${\displaystyle g^{2}/4\pi }$.

بافتراض أن n _{_s} = 0، إذا كان n_{_f} ≤ 16، فإن دالة بيتا الناتجة تُشير إلى أن الاقتران يتناقص مع ازدياد مستوى الطاقة، وهي ظاهرة تُعرف بالحرية التقاربية . وعلى العكس، يزداد الاقتران مع انخفاض مستوى الطاقة. هذا يعني أن الاقتران يصبح كبيرًا عند الطاقات المنخفضة، ولا يمكن الاعتماد على نظرية الاضطراب.

بينما مجموعة القياس (يانغ-ميلز) لـ QCD هي${\displaystyle \mathrm {SU} (3)}$وبما أنه يحدد 3 ألوان، يمكننا تعميم ذلك على أي عدد من الألوان.${\displaystyle N_{c}}$، مع مجموعة قياس${\displaystyle G=\mathrm {SU} (N_{c})}$ثم بالنسبة لمجموعة القياس هذه، مع فرميونات ديراك في تمثيل${\displaystyle R_{f}}$ل${\displaystyle G}$وباستخدام القيم العددية المركبة في التمثيل${\displaystyle R_{s}}$دالة بيتا ذات الحلقة الواحدة هي

${\displaystyle \beta (g)=-\left({\frac {11}{3}}C_{2}(G)-{\frac {1}{3}}n_{s}T(R_{s})-{\frac {4}{3}}n_{f}T(R_{f})\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}~,}$

أين${\displaystyle C_{2}(G)}$كازيمير التربيعي​${\displaystyle G}$و${\displaystyle T(R)}$وهو ثابت كازيمير آخر مُعرَّف بواسطة${\displaystyle Tr(T_{R}^{a}T_{R}^{b})=T(R)\delta ^{ab}}$للمولدات${\displaystyle T_{R}^{a,b}}$من جبر لي في التمثيل R. (بالنسبة لفيرميونات فايل أو ماجورانا ، استبدل${\displaystyle 4/3}$بواسطة${\displaystyle 2/3}$وبالنسبة للكميات العددية الحقيقية، استبدل${\displaystyle 1/3}$بواسطة${\displaystyle 1/6}$.) بالنسبة لحقول القياس ( أي الغلوونات)، بالضرورة في المرافق لـ${\displaystyle G}$،${\displaystyle C_{2}(G)=N_{c}}$؛ بالنسبة للفيرميونات في التمثيل الأساسي (أو المضاد للأساسي) لـ${\displaystyle G}$،${\displaystyle T(R)=1/2}$ثم بالنسبة لـ QCD، مع${\displaystyle N_{c}=3}$، وتختزل المعادلة أعلاه إلى تلك المدرجة لدالة بيتا للديناميكا اللونية الكمومية.

تم التوصل إلى هذه النتيجة الشهيرة بشكل شبه متزامن في عام 1973 على يد هيو ديفيد بوليتزر ، ^{[ 11 ]} وديفيد غروس وفرانك ويلكزك ، ^{[ 12 ]} وحصل الثلاثة على جائزة نوبل في الفيزياء عام 2004. وبدون علم هؤلاء المؤلفين، كان جيرارد هوفت قد أعلن عن النتيجة في تعليق عقب محاضرة ألقاها كورت سيمانزيك في اجتماع صغير في مرسيليا في يونيو 1972، لكنه لم ينشرها قط. ^{[ 13 ]}

في النموذج القياسي ، ترتبط الكواركات واللبتونات ببوزون هيغز بروابط يوكاوا . تحدد هذه الروابط كتلة الجسيم. معظم روابط يوكاوا للكواركات واللبتونات صغيرة مقارنةً برابطة يوكاوا للكوارك العلوي . تتغير قيم روابط يوكاوا هذه تبعًا لمستوى الطاقة الذي تُقاس عنده، من خلال تغيرات مستمرة . تُحدد ديناميكيات روابط يوكاوا للكواركات بواسطة معادلة مجموعة إعادة التطبيع .

${\displaystyle \mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)}$،

أين${\displaystyle g_{3}}$هو اقتران مقياس اللون (وهو دالة لـ${\displaystyle \mu }$والمرتبط بالحرية التقاربية ) و${\displaystyle y}$يمثل ثابت اقتران يوكاوا. تصف هذه المعادلة كيفية تغير ثابت اقتران يوكاوا مع مقياس الطاقة.${\displaystyle \mu }$.

تكون اقترانات يوكاوا للكواركات العلوية والسفلية والساحرة والغريبة والسفلية صغيرة عند مستوى الطاقة العالي للغاية للتوحيد الكبير .${\displaystyle \mu \approx 10^{15}}$GeV. لذلك،${\displaystyle y^{2}}$يمكن إهمال هذا الحد في المعادلة أعلاه. وبحل المعادلة، نجد أن${\displaystyle y}$تزداد قليلاً عند مستويات الطاقة المنخفضة التي تتولد عندها كتل الكواركات بواسطة هيغز،${\displaystyle \mu \approx 100}$GeV.

من ناحية أخرى، حلول هذه المعادلة للقيم الأولية الكبيرة${\displaystyle y}$يؤدي ذلك إلى اقتراب الطرف الأيمن بسرعة من قيم أصغر كلما انخفضنا في مقياس الطاقة. ثم تثبت المعادلة أعلاه${\displaystyle y}$إلى اقتران QCD${\displaystyle g_{3}}$يُعرف هذا باسم النقطة شبه الثابتة (في نطاق الأشعة تحت الحمراء) لمعادلة مجموعة إعادة التطبيع لثابت اقتران يوكاوا. ^{[ 14 ] [ 15 ]} بغض النظر عن القيمة الابتدائية لثابت الاقتران، إذا كانت كبيرة بما يكفي، فستصل إلى قيمة هذه النقطة شبه الثابتة، ومن ثم يتم التنبؤ بكتلة الكوارك المقابلة.

أظهرت دراسات مجموعة إعادة التطبيع في النموذج القياسي الأدنى للتناظر الفائق (MSSM) للتوحيد الكبير ونقاط هيغز-يوكاوا الثابتة نتائج مشجعة للغاية، مؤكدةً أن النظرية تسير في الاتجاه الصحيح. مع ذلك، لم يظهر حتى الآن أي دليل على وجود جسيمات MSSM المتوقعة في التجارب التي أُجريت في مصادم الهادرونات الكبير .