متغير الحالة

متغير الحالة هو أحد مجموعة المتغيرات الرياضية التي تستخدم لوصف "حالة" النظام، على سبيل المثال النظام الديناميكي أو النظام الديناميكي الحراري .

بشكل بديهي، تُعرَّف حالة النظام بأنها الحد الأدنى من المعلومات اللازمة لوصف خصائصه الحالية (على الأقل من وجهة نظر معينة ضمن قرار نمذجة النظام وفصله عن بيئته؛ فإذا تم نمذجة مجموعة من الأنظمة، حيث يتم تمييزها بواسطة معلمات، فإن هذه المعلمات لا تُعتبر عادةً متغيرات حالة للأنظمة، بل معلمات خارجية للنظام. على سبيل المثال، تُعد الكتل الفيزيائية أو ثوابت الاقتران الفيزيائية المستخدمة لوصف قوة التفاعل معلمات خارجية للنظام، وليست متغيرات حالة له). ^{[ 1 ]}

في النموذج الرياضي، تُعتبر الكميات القابلة للرصد المحدودة غالبًا عناصر من جبر الكميات القابلة للرصد . ^{[ 2 ]} أي، إذا تم نمذجة الكميات القابلة للرصد المحدودة، التي يمكن جمع قيمها وضربها، باستخدام عناصر ذاتية الترافق من جبر Cstar ، فإن الحالة تكون عنصرًا موجبًا مُعَيَّرًا من ثنائي الجبر (دالة خطية متصلة ρ): إذا كان النظام في حالة${\textstyle \rho }$، ثم قابل للملاحظة${\textstyle A}$يوفر قيمة مُلاحظة${\textstyle \rho (A)=<\rho ,A>}$(الأقواس)${\textstyle <.,.>}$(يشير إلى اقتران الازدواجية بين الفضاء المزدوج للجبر والجبر نفسه.) على سبيل المثال، إذا كانت الكمية القابلة للملاحظة دالة${\textstyle f}$من فضاء الحالة إلى الأعداد الحقيقية، ثم تقييم الدالة عند نقطة ما${\textstyle x}$يوفر الدولة${\textstyle \rho _{x}}$مع${\textstyle <\rho _{x},f>=f(x)}$وهي دالة تقييم النقطة عند النقطة x. في هذا الوصف، تُعرَّف دوال الحالة المحدودة بأنها كميات قابلة للرصد محدودة. من الممكن توسيع هذا المفهوم ليشمل كميات قابلة للرصد غير محدودة (أمثلة في الفيزياء: مُركِّبة الموضع في الفضاء الكامل، أو مُركِّبة الزخم) ^{[ 3 ]} للحالة المجردة العامة، وبالتالي لدوال حالة غير محدودة أكثر عمومية. غالبًا ما يُمكن اختيار مجموعة قصوى من الكميات القابلة للرصد المتوافقة والمتبادلة والمستقلة، والتعبير عن الكميات القابلة للرصد المتوافقة الأخرى كدوال لهذه الكميات؛ عندئذٍ يكون المرء قد اختار التعبير عن جميع الكميات القابلة للرصد المتوافقة كدوال للكميات القابلة للرصد المستقلة، والتي تُصبح متغيرات حالة مستقلة .

للاطلاع على تعريف وأمثلة لحالات النظام الديناميكي الحراري، انظر الحالة الديناميكية الحرارية .

في الديناميكا الحرارية ، تُعرَّف متغيرات الحالة فيزيائيًا بأنها خصائص واسعة النطاق أو سمات إجمالية لنظام ما، تُقدِّم وصفًا ماكروسكوبيًا لحالاته. ^{[ 4 ] [ 5 ]} وبشكل عام، تشترك متغيرات الحالة في الخصائص التالية:

• وهي لا تنطوي على أي افتراضات خاصة تتعلق ببنية المادة أو المجالات أو الإشعاع.
• إنها قليلة العدد اللازمة لوصف النظام.
• إنها أساسية، كما تشير إليه إدراكاتنا الحسية.
• يمكن قياسها بشكل مباشر بشكل عام. ^{[ 4 ]}

الجبر الكلاسيكي للكميات القابلة للرصد هو جبر تبديلي ( أبيلي )، بينما جبر الكميات القابلة للرصد الكمي هو جبر غير تبديلي. ^{[ 6 ]}

يُستخلص الوصف الديناميكي الحراري العياني للأنظمة الكمومية المجهرية كحد ديناميكي حراري للنظام المجهري، ويُستخلص جبرٌ مُناظرٌ للكميات القابلة للرصد، مما يسمح بتعريف الكميات القابلة للرصد العيانية. ويمكن التمييز بين الكميات القابلة للرصد العيانية المجردة والكميات القابلة للرصد كدوال حالة ديناميكية حرارية كما يلي: بالنسبة لحالة عيانية محددة، يُستخدم تمثيل GNS للحصول على تمثيل لجبر الكميات القابلة للرصد كمؤثرات خطية على فضاء هيلبرت، ويُختار جبر أبلي أقصى للكميات القابلة للرصد المتوافقة، ويُطبق تحويل جيلفاند لجبر C* الأبلي لتمثيل الكميات القابلة للرصد المجردة كدوال على فضاء تمثيل الحالات (فضاء جيلفاند). وبشكل عام، يعتمد هذا الوصف كدوال على فضاء جيلفاند على الحالة العيانية المختارة، وبالتالي فهو يعتمد على التمثيل. وتُحدد معادلات الحالة علاقات معينة بين هذه الدوال، وبالتالي قد تُعرّف مجموعة متنوعة من الحالات كمجموعة مُعرّفة بمعادلات للمتغيرات. غالبًا ما يكون هذا التنوع محدود الأبعاد، ويمكن وصفه باختيار دوال حالة قابلة للملاحظة كمتغيرات حالة مستقلة ، والتعبير عن دوال الحالة الأخرى كدوال لهذه المتغيرات المستقلة. وبهذا المعنى، تُستخدم متغيرات الحالة المستقلة لتمثيل تنوع الحالات كدوال من نطاقها إلى تنوع الحالات ، بينما دوال الحالة العامة هي دوال من مجموعة الحالات إلى الأعداد الحقيقية (أو المركبة). ويُعبّر تركيب هذه الدوال عن قيم المتغيرات القابلة للملاحظة العامة كدوال لمتغيرات الحالة المستقلة، مما يجعلها متغيرات حالة تابعة .

فعلى سبيل المثال، يؤدي وصف نظام ديناميكي حراري باستخدام المجموعة الكنسية للأنظمة المجهرية في الحد الديناميكي الحراري إلى توفير متغيرات حالة مستقلة${\displaystyle T,V,N}$(درجة الحرارة، الحجم، عدد الجسيمات) وفقًا للصيغة${\displaystyle dF=-SdT-pdV-\mu dN}$للطاقة الحرة الديناميكية الحرارية${\displaystyle F=E-TS}$حيث S = الإنتروبيا، E = الطاقة الداخلية، μ = الجهد الكيميائي. يمكن التعبير عن جميع متغيرات الحالة الأخرى كدوال لـ T وV وN: بالنسبة لغاز مثالي أحادي الذرة ، فإن معادلة حالة الضغط هي قانون الغاز المثالي ، ويصبح الضغط متغير حالة تابعًا ، ومعادلة الإنتروبيا هي معادلة ساكور-تترود ، ويمكن الحصول على الطاقة الداخلية بتطبيق قانون جول الثاني ، ويتم حساب الجهد الكيميائي باستخدام جهد جيبس ​​كما هو موضح في قسم الجهود الديناميكية الحرارية من مقالة الغاز المثالي .

تعتمد جميع هذه المتغيرات على الحالات فقط، وليس على تاريخ كيفية الوصول إلى تلك الحالة. هذه خاصية مهمة تجعلها متغيرات حالة ، على عكس متغيرات العملية (أو بالأحرى: كميات العملية)، التي لا يمكن الحديث عن بلوغها قيمة معينة عندما يكون النظام في حالة معينة. انظر قسم الأمثلة غير الصحيحة أدناه.

في نظرية الأنظمة الديناميكية، يُقال إن النماذج الديناميكية التي تتكون من معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى مقترنة تكون في شكل متغير الحالة. ^{[ 7 ]}

• في الأنظمة الميكانيكية ، تعتبر إحداثيات الموضع وسرعات الأجزاء الميكانيكية متغيرات حالة نموذجية؛ بمعرفة هذه المتغيرات، من الممكن تحديد الحالة المستقبلية للأجسام في النظام.
• في الديناميكا الحرارية ، يُعدّ متغير الحالة متغيرًا مستقلًا لدالة الحالة . ومن الأمثلة على ذلك الطاقة الداخلية ، والمحتوى الحراري ، ودرجة الحرارة ، والضغط ، والحجم ، والإنتروبيا . أما الحرارة والشغل فليسا دالتين للحالة، بل دالتين للعملية .
• في الدوائر الإلكترونية / الكهربائية ، تُعتبر جهود العقد والتيارات المارة عبر مكونات الدائرة عادةً متغيرات الحالة. في أي دائرة كهربائية، يتساوى عدد متغيرات الحالة مع عدد عناصر التخزين (المستقلة)، وهي المحاثات والمكثفات. متغير الحالة للمحث هو التيار المار فيه، بينما متغير الحالة للمكثف هو الجهد عبره.
• في نماذج النظام البيئي ، تعتبر أحجام التجمعات السكانية (أو تركيزات) النباتات والحيوانات والموارد (المغذيات والمواد العضوية) متغيرات حالة نموذجية.

• في الديناميكا الحرارية ، لا تُعتبر الحرارة متغير حالة. لا يوجد نظام يخزن الحرارة. ^{[ 8 ]} لا يمكن الحديث عن "كمية الحرارة الحالية للنظام". الحرارة متغير عملية ، يصف أنماط انتقال الطاقة عندما يُغير النظام حالته. وباعتبارها دالة عملية ، فإن الحرارة تعتمد على عملية تغير النظام، وليس فقط على حالته الحالية.
• في الديناميكا الحرارية ، لا يُعتبر الشغل (الميكانيكي) متغير حالة. الشغل هو نمط آخر من أنماط نقل الطاقة عندما يغير النظام حالته.

في هندسة التحكم وغيرها من مجالات العلوم والهندسة، تُستخدم متغيرات الحالة لتمثيل حالات نظام عام. تُسمى مجموعة التوليفات الممكنة لقيم متغيرات الحالة فضاء حالة النظام. تُسمى المعادلات التي تربط الحالة الحالية للنظام بأحدث مدخلاته وحالاته السابقة معادلات الحالة، بينما تُسمى المعادلات التي تُعبر عن قيم متغيرات الخرج بدلالة متغيرات الحالة والمدخلات معادلات الخرج. كما هو موضح أدناه، يمكن التعبير عن معادلات الحالة ومعادلات الخرج لنظام خطي ثابت زمنيًا باستخدام مصفوفات المعاملات : A و B و C و D.

${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{N\times N},\quad B\in \mathbb {R} ^{N\times L},\quad C\in \mathbb {R} ^{M\times N},\quad D\in \mathbb {R} ^{M\times L},}$

حيث N و L و M هي أبعاد المتجهات التي تصف الحالة والمدخلات والمخرجات على التوالي.