نظرية الاضطراب (ميكانيكا الكم)

في ميكانيكا الكم ، تُعدّ نظرية الاضطراب مجموعة من مخططات التقريب المرتبطة مباشرةً بالاضطراب الرياضي ، والتي تُستخدم لوصف نظام كمومي معقد بدلالة نظام أبسط ومعروف. وتتلخص الفكرة في البدء بنظام بسيط معروف الحل الرياضي له (مثل معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن ). ${\hat {H}}|\Psi \rangle =E|\Psi \rangle$ ) وإضافة هاميلتوني "مُزعج" إضافي ( $H'$ ) يمثل اضطرابًا ضعيفًا للنظام المعروف بالنسبة للهاميلتوني الأصلي ( $H_{0}$ ) للنظام المعروف (أي ${\hat {H}}=H_{0}+H'$ إذا كان الاضطراب صغيرًا، فيمكن التعبير عن مستويات الطاقة والحالات الذاتية الجديدة للنظام المضطرب على أنها "تصحيحات" لمستويات الطاقة والحالات الذاتية المعروفة للنظام الأبسط. ويمكن إجراء هذه التصحيحات بمقادير أصغر تدريجيًا حتى الوصول إلى رتبة n، وهي رتبة صغيرة جدًا لدرجة أنها تُهمل بالنسبة لدقة التقريب.

الهاميلتونيان التقريبي

تُعدّ نظرية الاضطراب أداةً مهمةً لوصف الأنظمة الكمومية التي لا تملك حلولًا دقيقة. فالأنظمة ذات الحلول الدقيقة المعروفة، مثل ذرة الهيدروجين ، والمذبذب التوافقي الكمومي ، والجسيم في صندوق ، تُعتبر أنظمةً مثاليةً وقد لا تصف الأنظمة المشابهة وصفًا دقيقًا. تستخدم نظرية الاضطراب الحلول المعروفة لتوليد حلول لأنظمة أكثر تعقيدًا، وذلك من خلال استخدام تقريبات لهاملتونيان النظام .

تطبيق نظرية الاضطراب

تُطبق نظرية الاضطراب إذا تعذر حل المشكلة المطروحة بدقة، ولكن يمكن صياغتها عن طريق إضافة مصطلح "صغير" إلى الوصف الرياضي للمشكلة القابلة للحل بدقة.

على سبيل المثال، بإضافة جهد كهربائي اضطرابي إلى النموذج الكمي لذرة الهيدروجين ، يمكن حساب الانزياحات الطفيفة في خطوط طيف الهيدروجين الناتجة عن وجود مجال كهربائي ( تأثير ستارك ). لكن هذه النتائج تقريبية فقط، لأن مجموع جهد كولوم مع جهد خطي غير مستقر (لا توجد حالات ارتباط حقيقية) على الرغم من أن زمن النفق الكمي ( معدل الاضمحلال ) طويل جدًا. يظهر هذا عدم الاستقرار على شكل اتساع في خطوط طيف الطاقة، وهو ما تعجز نظرية الاضطراب عن محاكاته بالكامل.

إنّ التعبيرات الناتجة عن نظرية الاضطراب ليست دقيقة تمامًا، ولكنها قد تؤدي إلى نتائج دقيقة طالما كان معامل التوسع، ولنقل $α$ ، صغيرًا جدًا. عادةً ما تُعبَّر النتائج بدلالة متسلسلات قوى محدودة في $α$ ، والتي تبدو وكأنها تتقارب إلى القيم الدقيقة عند جمعها إلى رتبة أعلى. مع ذلك، بعد رتبة معينة $n ~ 1/ α$ ، تصبح النتائج أسوأ بشكل متزايد لأن المتسلسلات عادةً ما تكون متباعدة ( متسلسلات تقاربية ). توجد طرق لتحويلها إلى متسلسلات متقاربة، والتي يمكن تقييمها لمعاملات التوسع الكبيرة، وأكثرها كفاءة هي الطريقة التباينية . عمليًا، غالبًا ما تتقارب متسلسلات الاضطراب المتقاربة ببطء، بينما تعطي متسلسلات الاضطراب المتباعدة أحيانًا نتائج جيدة، مقارنةً بالحل الدقيق، عند رتبة أقل. ^{[ 1 ]}

في نظرية الديناميكا الكهربائية الكمومية (QED)، التي تُعالج فيها تفاعلات الإلكترون والفوتون بطريقة اضطرابية، وُجد أن حساب العزم المغناطيسي للإلكترون يتوافق مع النتائج التجريبية بدقة تصل إلى أحد عشر منزلة عشرية. ^[²^] في نظرية الديناميكا الكهربائية الكمومية وغيرها من نظريات الحقول الكمومية ، تُستخدم تقنيات حسابية خاصة تُعرف باسم مخططات فاينمان لجمع حدود متسلسلة القوى بشكل منهجي.

القيود

اضطرابات كبيرة

لا يمكن وصف بعض الأنظمة باضطراب صغير يُفرض على نظام بسيط. تتطلب نظرية الاضطراب اضطرابات صغيرة. في الديناميكا اللونية الكمومية ، على سبيل المثال، لا يمكن معالجة تفاعل الكواركات مع حقل الغلوون بطريقة اضطرابية عند الطاقات المنخفضة لأن ثابت الاقتران (معامل التوسع) يصبح كبيرًا جدًا، مما يخالف شرط أن تكون التصحيحات صغيرة.

الحالات غير الأدياباتية

تعجز نظرية الاضطراب أيضًا عن وصف الحالات التي لا تتولد بشكل أديباتي من "النموذج الحر"، بما في ذلك الحالات المقيدة والظواهر الجماعية المختلفة مثل السوليتونات . قد يُنشئ نظام من الجسيمات الحرة (أي غير المتفاعلة)، عند إدخال تفاعل جاذب إليه، مجموعة جديدة تمامًا من الحالات الذاتية التي تُقابل مجموعات من الجسيمات المرتبطة ببعضها البعض. يُمكن إيجاد مثال على هذه الظاهرة في الموصلية الفائقة التقليدية ، حيث يؤدي التجاذب بين إلكترونات التوصيل، بوساطة الفونونات، إلى تكوين أزواج إلكترونية مترابطة تُعرف بأزواج كوبر . تعجز نظرية الاضطراب عن وصف هذه الحالات لعدم وجود نظير للجسيم المقيد في النموذج غير المضطرب، ولأن طاقة السوليتون تتناسب عكسيًا مع معامل التمدد. قد تُطبق مخططات تقريبية أخرى، مثل طريقة التباين وتقريب WKB، على هذه الحالات.

حسابات معقدة

لقد خُففت مشكلة الأنظمة غير الاضطرابية إلى حد ما بفضل ظهور الحواسيب الحديثة . وأصبح من الممكن عمليًا الحصول على حلول عددية غير اضطرابية لبعض المسائل، باستخدام أساليب مثل نظرية الكثافة الوظيفية . وقد أفادت هذه التطورات بشكل خاص مجال الكيمياء الكمومية . ^{[ 3 ]} كما استُخدمت الحواسيب لإجراء حسابات نظرية الاضطراب بدقة فائقة، وهو ما أثبت أهميته في فيزياء الجسيمات لتوليد نتائج نظرية يمكن مقارنتها بالتجارب.

نظرية الاضطراب غير المعتمدة على الزمن

تُعدّ نظرية الاضطراب غير المعتمدة على الزمن إحدى فئتين من نظريات الاضطراب، والأخرى هي نظرية الاضطراب المعتمدة على الزمن (انظر القسم التالي). في نظرية الاضطراب غير المعتمدة على الزمن، يكون هاميلتونيان الاضطراب ساكنًا (أي لا يعتمد على الزمن). قدّم إرفين شرودنغر نظرية الاضطراب غير المعتمدة على الزمن في ورقة بحثية عام 1926، ^{[ 4 ]} بعد فترة وجيزة من طرحه لنظرياته في ميكانيكا الموجات. في هذه الورقة، أشار شرودنغر إلى أعمال سابقة للورد رايلي ، ^{[ 5 ]} الذي درس الاهتزازات التوافقية لوتر مُضطرب بفعل عدم تجانس طفيف. لهذا السبب، تُعرف هذه النظرية غالبًا باسم نظرية اضطراب رايلي-شرودنغر . ^{[ 6 ]} ويمكن تقسيم نظرية الاضطراب غير المعتمدة على الزمن إلى نظرية اضطراب غير مُنحلة ونظرية اضطراب مُنحلة.

نظرية الاضطراب غير المنحلة

تصحيحات الدرجة الأولى

تبدأ العملية بهاملتوني غير مضطرب $H 0$ ، والذي يُفترض أنه لا يعتمد على الزمن. ^{[ 7 ]} وله مستويات طاقة وحالات ذاتية معروفة، ناتجة عن معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن :

$H_{0}\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(0)}\right\rangle ,\qquad n=1,2,3,\cdots$

لتبسيط الأمور، يُفترض أن الطاقات منفصلة. تشير الأرقام العلوية $(0)$ إلى أن هذه الكميات مرتبطة بالنظام غير المضطرب. لاحظ استخدام ترميز برا-كيت .

ثم يُدخل اضطراب على الهاميلتوني. ليكن $V$ هاميلتونيًا يُمثل اضطرابًا فيزيائيًا ضعيفًا، مثل طاقة الوضع الناتجة عن مجال خارجي. بالتالي، فإن $V$ هو شكليًا مؤثر هيرميتي . ليكن $λ$ مُعاملًا لا بُعديًا يأخذ قيمًا تتراوح باستمرار من 0 (بدون اضطراب) إلى 1 (الاضطراب الكامل). الهاميلتوني المُضطرب هو:

$H=H_{0}+\lambda V$

تُعطى مستويات الطاقة والحالات الذاتية للهاميلتوني المضطرب مرة أخرى بواسطة معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن، $\left(H_{0}+\lambda V\right)|n\rangle =E_{n}|n\rangle .$

الهدف هو التعبير عن $E n$ و $|n\rangle$ من حيث مستويات الطاقة والحالات الذاتية للهاميلتوني القديم. إذا كان الاضطراب ضعيفًا بما فيه الكفاية، فيمكن كتابتها على شكل متسلسلة قوى (ماكلورين) في $λ$ . ${\begin{aligned}E_{n}&=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots \\[1ex]|n\rangle &=\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\lambda ^{2}\left|n^{(2)}\right\rangle +\cdots \end{aligned}}$ أين ${\begin{aligned}E_{n}^{(k)}&={\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}E_{n}}{d\lambda ^{k}}}{\bigg |}_{\lambda =0}\\[1ex]\left|n^{(k)}\right\rangle &=\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}|n\rangle }{d\lambda ^{k}}}\right|_{\lambda =0.}\end{aligned}}$

عندما $k = 0$ ، تؤول هذه القيم إلى قيمها الأصلية غير المضطربة، والتي تمثل الحد الأول في كل متسلسلة. ولأن الاضطراب ضعيف، فإن مستويات الطاقة والحالات الذاتية لا تنحرف كثيرًا عن قيمها الأصلية غير المضطربة، وتتناقص الحدود بسرعة مع ازدياد الرتبة.

يؤدي إدخال متسلسلة القوى في معادلة شرودنغر إلى:

$\left(H_{0}+\lambda V\right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\cdots \right)=\left(E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\cdots \right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\cdots \right).$

يؤدي توسيع هذه المعادلة ومقارنة معاملات كل قوة من قوى $λ$ إلى سلسلة لانهائية من المعادلات الآنية . معادلة الرتبة الصفرية هي ببساطة معادلة شرودنغر للنظام غير المضطرب. $H_{0}\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(0)}\right\rangle .$

المعادلة من الدرجة الأولى هي $H_{0}\left|n^{(1)}\right\rangle +V\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(1)}\right\rangle +E_{n}^{(1)}\left|n^{(0)}\right\rangle .$

العمل من خلال $\langle n^{(0)}|$ ، يلغي الحد الأول في الطرف الأيسر الحد الأول في الطرف الأيمن. (تذكر أن الهاميلتوني غير المضطرب هيرميتي ). وهذا يؤدي إلى إزاحة الطاقة من الدرجة الأولى. $E_{n}^{(1)}=\left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle .$ هذا ببساطة هو القيمة المتوقعة لهاملتونيان الاضطراب بينما يكون النظام في الحالة الذاتية غير المضطربة.

يمكن تفسير هذه النتيجة على النحو التالي: بافتراض تطبيق الاضطراب، ولكن النظام يبقى في الحالة الكمومية $|n^{(0)}\rangle$ وهي حالة كمومية صالحة، وإن لم تعد حالة طاقة ذاتية. يتسبب الاضطراب في زيادة متوسط طاقة هذه الحالة بمقدار $\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$ ومع ذلك، فإن انزياح الطاقة الحقيقي يختلف قليلاً، لأن الحالة الذاتية المضطربة ليست هي نفسها تمامًا $|n^{(0)}\rangle$ . يتم إعطاء هذه التحولات الإضافية من خلال التصحيحات من الدرجة الثانية وما فوق للطاقة.

قبل حساب تصحيحات حالة الطاقة الذاتية، يجب معالجة مسألة التطبيع. بافتراض أن $\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle =1,$ لكن نظرية الاضطراب تفترض أيضاً أن $\langle n|n\rangle =1$ .

ثم في الرتبة الأولى بالنسبة لـ $λ$ ، يجب أن يكون ما يلي صحيحًا: $\left(\left\langle n^{(0)}\right|+\lambda \left\langle n^{(1)}\right|\right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle \right)=1$ $\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle +\lambda \left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle +{\cancel {\lambda ^{2}\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle }}=1$ $\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle +\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle =0.$

يتم حذف الحد 𝜆 2 ^في توسعات الدرجة الأولى.

بما أن الطور الكلي غير محدد في ميكانيكا الكم، فإنه دون فقدان للعمومية ، يمكن افتراض أنه في النظرية غير المعتمدة على الزمن $\langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle$ هو حقيقي تماماً. لذلك، $\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle =\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle =-\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle ,$ مما يؤدي إلى $\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle =0.$

للحصول على تصحيح الدرجة الأولى لحالة الطاقة الذاتية، يتم إدخال تعبير تصحيح الطاقة من الدرجة الأولى مرة أخرى في النتيجة الموضحة أعلاه، مما يؤدي إلى مساواة معاملات الدرجة الأولى لـ $λ$ .

يمكن أيضًا الحصول على التصحيح من الدرجة الأولى لحالة الطاقة الذاتية من خلال الاعتبارات التالية. باستخدام تحليل المتطابقة : ${\begin{aligned}V\left|n^{(0)}\right\rangle &=\left(\sum _{k}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|\right)V\left|n^{(0)}\right\rangle \\&=\left(\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|\right)V\left|n^{(0)}\right\rangle +\left(\left|n^{(0)}\right\rangle \left\langle n^{(0)}\right|\right)V\left|n^{(0)}\right\rangle \\&=\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle +E_{n}^{(1)}\left|n^{(0)}\right\rangle ,\end{aligned}}$ حيث $|k^{(0)}\rangle$ تقع في المتمم المتعامد لـ $|n^{(0)}\rangle$ ، أي المتجهات الذاتية الأخرى.

وبالتالي، يمكن التعبير عن معادلة الدرجة الأولى على النحو التالي $\left(E_{n}^{(0)}-H_{0}\right)\left|n^{(1)}\right\rangle =\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle .$

لنفترض أن مستوى الطاقة من الرتبة الصفرية ليس متدهورًا ، أي أنه لا توجد حالة ذاتية لـ $H 0$ في المتمم المتعامد لـ $|n^{(0)}\rangle$ مع الطاقة $E_{n}^{(0)}$ بعد إعادة تسمية فهرس الجمع الوهمي أعلاه باسم $k'$ ، أي $k\neq n$ يمكن اختيارها وضرب معادلة الدرجة الأولى في $\langle k^{(0)}|$ أعطِ $\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)\left\langle k^{(0)}\right.\left|n^{(1)}\right\rangle =\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle .$

ما سبق $\langle k^{(0)}|n^{(1)}\rangle$ هو، بحكم التعريف، عنصر التصحيح من الدرجة الأولى $|n^{(1)}\rangle$ على امتداد $|k^{(0)}\rangle$ وبالتالي، في أساس $H 0$ ، $|n^{(1)}\rangle$ يمكن التعبير عنها على النحو التالي: $\left|n^{(1)}\right\rangle =\sum _{k\neq n}{\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}\left|k^{(0)}\right\rangle .$

يُساهم كل من حالات الطاقة الذاتية الأخرى $k$ $\neq n في$ التغير من الدرجة الأولى في حالة الطاقة الذاتية رقم n . ويتناسب كل حد مع عنصر المصفوفة. $\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$ وهو مقياس لمدى تأثير الاضطراب في مزج الحالة الذاتية $n$ مع الحالة الذاتية $k$ ؛ كما أنه يتناسب عكسيًا مع فرق الطاقة بين الحالتين الذاتيتين $k$ و $n$ ، مما يعني أن الاضطراب يشوه الحالة الذاتية بدرجة أكبر كلما زاد عدد الحالات الذاتية عند طاقات متقاربة. ويكون التعبير شاذًا إذا كانت أي من هذه الحالات لها نفس طاقة الحالة $n$ ، ولهذا السبب تم افتراض عدم وجود انحلال. وتشير الصيغة المذكورة أعلاه للحالات الذاتية المضطربة أيضًا إلى أنه لا يمكن استخدام نظرية الاضطراب بشكل صحيح إلا عندما يكون المقدار المطلق لعناصر مصفوفة الاضطراب صغيرًا مقارنةً بالفروق المقابلة في مستويات الطاقة غير المضطربة، أي $|\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle |\ll |E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}|.$

التصحيحات من الدرجة الثانية وما فوقها

تُحسب الانحرافات ذات الرتب الأعلى بإجراء مماثل، على الرغم من أن الحسابات تصبح شاقة للغاية ضمن هذه الصيغة. ويعطي اصطلاح التطبيع، الذي ينص على أن تكون متجهات الحالة الكاملة لمعادلة شرودنغر المضطربة متعامدة،

$2\operatorname {Re} (\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(2)}\right\rangle )+\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle =0.$

سنُضيف طورًا إلى متجه الحالة الكامل لمعادلة شرودنغر المضطربة، مما سيؤدي إلى احتواء الحد الأول على جزء حقيقي فقط. ^{[ 8 ]} حتى الرتبة الثانية، تكون تعابير الطاقات والحالات الذاتية (المُعَيَّرة) كما يلي:

$E_{n}^{(2)}(\lambda )=E_{n}^{(0)}+\lambda \left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}{\frac {\left|\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle \right|^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+O(\lambda ^{3})$

${\begin{aligned}|n^{(2)}(\lambda )\rangle =\left|n^{(0)}\right\rangle &+\lambda \sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}\sum _{\ell \neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|\ell ^{(0)}\right\rangle \left\langle \ell ^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)\left(E_{n}^{(0)}-E_{\ell }^{(0)}\right)}}\\[1ex]&-\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle \left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}}-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}\left|n^{(0)}\right\rangle \sum _{k\neq n}{\frac {|\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle |^{2}}{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}}+O(\lambda ^{3}).\end{aligned}}$ إذا تم اعتماد تسوية وسيطة (بمعنى آخر، إذا كان مطلوبًا أن $\langle n^{(0)}|n(\lambda )\rangle =1$ ثم نحصل على صيغة مطابقة تقريبًا لتصحيح الرتبة الثانية للتصحيح المذكور أعلاه مباشرةً. وللدقة، في حالة التطبيع الوسيط، يُحذف الحد الأخير.

وبتوسيع العملية أكثر، يمكن إثبات أن تصحيح الطاقة من الدرجة الثالثة هو ^{[ 9 ]}

$E_{n}^{(3)}=\sum _{k\neq n}\sum _{m\neq n}{\frac {\langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle \langle m^{(0)}|V|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}\right)\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)}}-\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle \sum _{m\neq n}{\frac {|\langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle |^{2}}{\left(E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}\right)^{2}}}.$

تصحيحات للرتبة الخامسة (الطاقات) والرتبة الرابعة (الحالات) في تدوين مختصر

إذا أدخلنا الترميز،

$V_{nm}\equiv \langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle ,$ $E_{nm}\equiv E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)},$

عندئذٍ يمكن كتابة تصحيحات الطاقة حتى الرتبة الخامسة على النحو التالي

${\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=V_{nn}\\E_{n}^{(2)}&={\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}\\E_{n}^{(3)}&={\frac {V_{nk_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}-V_{nn}{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}}}\\E_{n}^{(4)}&={\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}}}-{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{4}}^{2}}}+V_{nn}^{2}{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{3}}}\\&={\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}}}-E_{n}^{(2)}{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{2}}}-2V_{nn}{\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}}}+V_{nn}^{2}{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{3}}}\\E_{n}^{(5)}&={\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}-{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}-{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {V_{nk_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}\\&\quad -V_{nn}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{5}}^{2}}}+V_{nn}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}}}+2V_{nn}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{3}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}\\&\quad +V_{nn}^{2}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{3}E_{nk_{5}}}}+V_{nn}^{2}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{5}}^{2}}}+V_{nn}^{2}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{5}}^{3}}}-V_{nn}^{3}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{4}}}\\&={\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-2E_{n}^{(2)}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}-{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {V_{nk_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}\\&\quad +V_{nn}\left(-2{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}+{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}}}+2E_{n}^{(2)}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{3}}}\right)\\&\quad +V_{nn}^{2}\left(2{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{3}E_{nk_{5}}}}+{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{5}}^{2}}}\right)-V_{nn}^{3}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{4}}}\end{aligned}}$ ويمكن كتابة الحالات حتى الدرجة الرابعة ${\begin{aligned}|n^{(1)}\rangle &={\frac {V_{k_{1}n}}{E_{nk_{1}}}}|k_{1}^{(0)}\rangle \\|n^{(2)}\rangle &=\left({\frac {V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{1}}E_{nk_{2}}}}-{\frac {V_{nn}V_{k_{1}n}}{E_{nk_{1}}^{2}}}\right)|k_{1}^{(0)}\rangle -{\frac {1}{2}}{\frac {V_{nk_{1}}V_{k_{1}n}}{E_{k_{1}n}^{2}}}|n^{(0)}\rangle \\|n^{(3)}\rangle &={\Bigg [}-{\frac {V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{k_{1}n}E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}+{\frac {V_{nn}V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{k_{1}n}E_{nk_{2}}}}\left({\frac {1}{E_{nk_{1}}}}+{\frac {1}{E_{nk_{2}}}}\right)-{\frac {|V_{nn}|^{2}V_{k_{1}n}}{E_{k_{1}n}^{3}}}+{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}V_{k_{1}n}}{E_{k_{1}n}E_{nk_{2}}}}\left({\frac {1}{E_{nk_{1}}}}+{\frac {1}{2E_{nk_{2}}}}\right){\Bigg ]}|k_{1}^{(0)}\rangle \\&\quad +{\Bigg [}-{\frac {V_{nk_{2}}V_{k_{2}k_{1}}V_{k_{1}n}+V_{k_{2}n}V_{k_{1}k_{2}}V_{nk_{1}}}{2E_{nk_{2}}^{2}E_{nk_{1}}}}+{\frac {|V_{nk_{1}}|^{2}V_{nn}}{E_{nk_{1}}^{3}}}{\Bigg ]}|n^{(0)}\rangle \\|n^{(4)}\rangle &={\Bigg [}{\frac {V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{3}k_{4}}V_{k_{4}k_{2}}+V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{2}k_{4}}}{2E_{k_{1}n}E_{k_{2}k_{3}}^{2}E_{k_{2}k_{4}}}}-{\frac {V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{3}k_{4}}V_{k_{4}n}V_{k_{1}k_{2}}}{E_{k_{1}n}E_{k_{2}n}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}}}+{\frac {V_{k_{1}k_{2}}}{E_{k_{1}n}}}\left({\frac {|V_{k_{2}k_{3}}|^{2}V_{k_{2}k_{2}}}{E_{k_{2}k_{3}}^{3}}}-{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}V_{k_{2}n}}{E_{k_{3}n}^{2}E_{k_{2}n}}}\right)\\&\quad +{\frac {V_{nn}V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{3}n}V_{k_{2}k_{3}}}{E_{k_{1}n}E_{nk_{3}}E_{k_{2}n}}}\left({\frac {1}{E_{nk_{3}}}}+{\frac {1}{E_{k_{2}n}}}+{\frac {1}{E_{k_{1}n}}}\right)+{\frac {|V_{k_{2}n}|^{2}V_{k_{1}k_{3}}}{E_{nk_{2}}E_{k_{1}n}}}\left({\frac {V_{k_{3}n}}{E_{nk_{1}}E_{nk_{3}}}}-{\frac {V_{k_{3}k_{1}}}{E_{k_{3}k_{1}}^{2}}}\right)-{\frac {V_{nn}\left(V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{1}k_{3}}V_{k_{2}k_{1}}+V_{k_{3}k_{1}}V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{1}k_{2}}\right)}{2E_{k_{1}n}E_{k_{1}k_{3}}^{2}E_{k_{1}k_{2}}}}\\&\quad +{\frac {|V_{nn}|^{2}}{E_{k_{1}n}}}\left({\frac {V_{k_{1}n}V_{nn}}{E_{k_{1}n}^{3}}}+{\frac {V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{k_{2}n}^{3}}}\right)-{\frac {|V_{k_{1}k_{2}}|^{2}V_{nn}V_{k_{1}n}}{E_{k_{1}n}E_{k_{1}k_{2}}^{3}}}{\Bigg ]}|k_{1}^{(0)}\rangle +{\frac {1}{2}}\left[{\frac {V_{nk_{1}}V_{k_{1}k_{2}}}{E_{nk_{1}}E_{k_{2}n}^{2}}}\left({\frac {V_{k_{2}n}V_{nn}}{E_{k_{2}n}}}-{\frac {V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}}}\right)\right.\\&\quad \left.-{\frac {V_{k_{1}n}V_{k_{2}k_{1}}}{E_{k_{1}n}^{2}E_{nk_{2}}}}\left({\frac {V_{k_{3}k_{2}}V_{nk_{3}}}{E_{nk_{3}}}}+{\frac {V_{nn}V_{nk_{2}}}{E_{nk_{2}}}}\right)+{\frac {|V_{nk_{1}}|^{2}}{E_{k_{1}n}^{2}}}\left({\frac {3|V_{nk_{2}}|^{2}}{4E_{k_{2}n}^{2}}}-{\frac {2|V_{nn}|^{2}}{E_{k_{1}n}^{2}}}\right)-{\frac {V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{3}k_{1}}|V_{nk_{1}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{1}}E_{nk_{2}}}}\right]|n^{(0)}\rangle \end{aligned}}$

يجب جمع جميع الحدود التي تتضمن $k j$ $على k j$ بحيث لا يتلاشى المقام.

من الممكن ربط تصحيح الرتبة k للطاقة $E n$ بدالة الارتباط المتصلة بنقاط $k$ للاضطراب $V$ في الحالة $|n^{(0)}\rangle$ . ل $k=2$ ، يجب مراعاة تحويل لابلاس العكسي $\rho _{n,2}(s)$ من مُعامل الارتباط ثنائي النقاط: $\langle n^{(0)}|V(\tau )V(0)|n^{(0)}\rangle -\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle ^{2}=\mathrel {\mathop {:} } \int _{\mathbb {R} }\!ds\;\rho _{n,2}(s)\,e^{-(s-E_{n}^{(0)})\tau }$ أين $V(\tau )=e^{H_{0}\tau }Ve^{-H_{0}\tau }$ يمثل المؤثر المسبب للاضطراب $V$ في صورة التفاعل، ويتطور في الزمن الإقليدي. ثم $E_{n}^{(2)}=-\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {ds}{s-E_{n}^{(0)}}}\,\rho _{n,2}(s).$

توجد صيغ مماثلة لجميع الرتب في نظرية الاضطراب، مما يسمح بالتعبير عن $E_{n}^{(k)}$ بدلالة تحويل لابلاس العكسي $\rho _{n,k}$ دالة الارتباط المتصلة $\langle n^{(0)}|V(\tau _{1}+\ldots +\tau _{k-1})\dotsm V(\tau _{1}+\tau _{2})V(\tau _{1})V(0)|n^{(0)}\rangle _{\text{conn}}=\langle n^{(0)}|V(\tau _{1}+\ldots +\tau _{k-1})\dotsm V(\tau _{1}+\tau _{2})V(\tau _{1})V(0)|n^{(0)}\rangle -{\text{subtractions}}.$

وبعبارة أدق، إذا كتبنا $\langle n^{(0)}|V(\tau _{1}+\ldots +\tau _{k-1})\dotsm V(\tau _{1}+\tau _{2})V(\tau _{1})V(0)|n^{(0)}\rangle _{\text{conn}}=\int _{\mathbb {R} }\,\prod _{i=1}^{k-1}ds_{i}\,e^{-(s_{i}-E_{n}^{(0)})\tau _{i}}\,\rho _{n,k}(s_{1},\ldots ,s_{k-1})\,$ ثم يتم إعطاء إزاحة الطاقة من الرتبة $k بواسطة$ ^{[ 10 ]}

$E_{n}^{(k)}=(-1)^{k-1}\int _{\mathbb {R} }\,\prod _{i=1}^{k-1}{\frac {ds_{i}}{s_{i}-E_{n}^{(0)}}}\,\rho _{n,k}(s_{1},\ldots ,s_{k-1}).$

نظرية الاضطراب المتدهور

لنفترض أن حالتين أو أكثر من حالات الطاقة الذاتية للهاميلتوني غير المضطرب متطابقة . إن إزاحة الطاقة من الرتبة الأولى غير محددة بدقة، إذ لا توجد طريقة فريدة لاختيار أساس لحالات الطاقة الذاتية للنظام غير المضطرب. ستُحدث حالات الطاقة الذاتية المختلفة لطاقة معينة اضطرابات بطاقات مختلفة، أو قد لا تمتلك أي مجموعة متصلة من الاضطرابات على الإطلاق.

ويتجلى ذلك في حساب الحالة الذاتية المضطربة من خلال حقيقة أن المؤثر $E_{n}^{(0)}-H_{0}$ ليس لها معكوس محدد جيداً.

لنرمز بـ $D$ إلى الفضاء الجزئي الذي تشكله هذه الحالات الذاتية المتساوية في الطاقة. مهما كان الاضطراب صغيرًا، فإن فروق الطاقة بين الحالات الذاتية للمصفوفة $H$ $في الفضاء الجزئي المتساوي في الطاقة D$ لا تساوي صفرًا، مما يضمن المزج الكامل لبعض هذه الحالات على الأقل . عادةً، تنقسم القيم الذاتية، وتصبح الفضاءات الذاتية بسيطة (أحادية البعد)، أو على الأقل ذات بُعد أصغر من D.

لن تكون الاضطرابات الناجحة "صغيرة" مقارنةً بأساس D المختار بشكل سيئ . بدلاً من ذلك، نعتبر الاضطراب "صغيراً" إذا كانت الحالة الذاتية الجديدة قريبة من الفضاء الجزئي $D.$ يجب أن يكون الهاميلتوني الجديد قطريًا في $D$ ، أو بتعبير أدق، تباينًا طفيفًا في D. تُشكّل هذه الحالات الذاتية المضطربة في $D$ الآن أساسًا لتوسيع الاضطراب. $|n\rangle =\sum _{k\in D}\alpha _{nk}|k^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle .$

بالنسبة للاضطراب من الدرجة الأولى، نحتاج إلى حل الهاميلتوني المضطرب المقيد بالفضاء الفرعي المنحط $D$ ، $V|k^{(0)}\rangle =\epsilon _{k}|k^{(0)}\rangle +{\text{small}}\qquad \forall |k^{(0)}\rangle \in D,$ في آن واحد لجميع الحالات الذاتية المنحلة، حيث $\epsilon _{k}$ هي تصحيحات من الدرجة الأولى لمستويات الطاقة المتدهورة، و"صغير" هو متجه من $O(\lambda )$ متعامد مع D. وهذا يعادل تحويل المصفوفة إلى مصفوفة قطرية. $\langle k^{(0)}|V|l^{(0)}\rangle =V_{kl}\qquad \forall \;|k^{(0)}\rangle ,|l^{(0)}\rangle \in D.$

هذا الإجراء تقريبي، لأننا أهملنا الحالات خارج الفضاء الفرعي $D$ ("الصغيرة"). انقسام الطاقات المتساوية $\epsilon _{k}$ يُلاحظ ذلك عمومًا. على الرغم من أن الانقسام قد يكون طفيفًا، $O(\lambda )$ ، بالمقارنة مع نطاق الطاقات الموجودة في النظام، فإنها تعتبر بالغة الأهمية في فهم تفاصيل معينة، مثل الخطوط الطيفية في تجارب رنين الدوران الإلكتروني .

يمكن إيجاد التصحيحات ذات الرتبة الأعلى الناتجة عن حالات ذاتية أخرى خارج $D$ بنفس الطريقة المتبعة في الحالة غير المنحلة. $\left(E_{n}^{(0)}-H_{0}\right)|n^{(1)}\rangle =\sum _{k\not \in D}\left(\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle \right)|k^{(0)}\rangle .$

المؤثر الموجود على الجانب الأيسر ليس منفردًا عند تطبيقه على الحالات الذاتية خارج $D$ ، لذلك يمكننا كتابة $|n^{(1)}\rangle =\sum _{k\not \in D}{\frac {\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}|k^{(0)}\rangle ,$ لكن التأثير على الحالات المنحطة هو من $O(\lambda )$ .

ينبغي التعامل مع الحالات شبه المتساوية الطاقة بنفس الطريقة، عندما لا تتجاوز فروق طاقة هاميلتون الأصلية الاضطراب في الفضاء الفرعي شبه المتساوي الطاقة. ويُمكن إيجاد تطبيق لذلك في نموذج الإلكترون شبه الحر ، حيث يؤدي التعامل السليم مع شبه التساوي إلى فجوة طاقة حتى مع الاضطرابات الصغيرة. أما الحالات الذاتية الأخرى، فستؤدي فقط إلى إزاحة الطاقة المطلقة لجميع الحالات شبه المتساوية الطاقة في آنٍ واحد.

انحطاطٌ بلغ ذروته

دعونا نأخذ في الاعتبار حالات الطاقة الذاتية المنحلة واضطرابًا يرفع الانحلال تمامًا إلى الدرجة الأولى من التصحيح.

يُرمز إلى الهاميلتوني المضطرب بـ ${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+\lambda {\hat {V}}\,,$ أين ${\hat {H}}_{0}$ هو الهاميلتوني غير المضطرب، ${\hat {V}}$ هو عامل الاضطراب، و $0<\lambda <1$ هو معامل الاضطراب.

دعونا نركز على انحطاط $n$ الطاقة غير المضطربة رقم - $E_{n}^{(0)}$ سنرمز إلى الحالات غير المضطربة في هذا الفضاء الفرعي المنحط بـ $\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ والحالات الأخرى غير المضطربة كما $\left|\psi _{m}^{(0)}\right\rangle$ ، أين $k$ هو مؤشر الحالة غير المضطربة في الفضاء الفرعي المنحط و $m\neq n$ يمثل جميع حالات الطاقة الذاتية الأخرى ذات الطاقات المختلفة عن $E_{n}^{(0)}$ التدهور التدريجي بين الولايات الأخرى مع $\forall m\neq n$ هذا لا يغير من حججنا. جميع الولايات $\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ بقيم مختلفة من $k$ مشاركة نفس الطاقة $E_{n}^{(0)}$ عندما لا يكون هناك اضطراب، أي عندما $\lambda =0$ الطاقات $E_{m}^{(0)}$ من بين الولايات الأخرى $\left|\psi _{m}^{(0)}\right\rangle$ مع $m\neq n$ جميعها مختلفة عن $E_{n}^{(0)}$ ، ولكن ليس بالضرورة فريدة، أي ليس بالضرورة مختلفة دائمًا فيما بينها.

بواسطة $V_{nl,nk}$ و $V_{m,nk}$ ، نرمز إلى عناصر المصفوفة لمؤثر الاضطراب ${\hat {V}}$ في أساس الحالات الذاتية غير المضطربة. نفترض أن متجهات الأساس $\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ يتم اختيار عناصر المصفوفة في الفضاء الفرعي المنحط بحيث $V_{nl,nk}\equiv \left\langle \psi _{nl}^{(0)}\right|{\hat {V}}\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ تكون قطرية. بافتراض أيضًا أن الانحلال قد رُفع تمامًا إلى الرتبة الأولى، أي أن $E_{nl}^{(1)}\neq E_{nk}^{(1)}$ لو $l\neq k$ لدينا الصيغ التالية لتصحيح الطاقة من الرتبة الثانية في $\lambda$ $E_{nk}=E_{n}^{0}+\lambda V_{nk,nk}+\lambda ^{2}\sum \limits _{m\neq n}{\frac {\left|V_{m,nk}\right|^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}+{\mathcal {O}}(\lambda ^{3})\,,$ وبالنسبة لتصحيح الحالة من الدرجة الأولى في $\lambda$ $\left|\psi _{nk}\right\rangle =\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle +\lambda \sum \limits _{m\neq n}{\frac {V_{m,nk}}{E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}}}\left(-\left|\psi _{m}^{(0)}\right\rangle +\sum \limits _{l\neq k}{\frac {V_{nl,m}}{E_{nl}^{(1)}-E_{nk}^{(1)}}}\left|\psi _{nl}^{(0)}\right\rangle \right)+{\mathcal {O}}(\lambda ^{2})\,.$

لاحظ أن التصحيح من الدرجة الأولى للحالة هنا متعامد مع الحالة غير المضطربة، $\left\langle \psi _{nk}^{(0)}|\psi _{nk}^{(1)}\right\rangle =0\,.$

تعميم لحالة المعلمات المتعددة

تعميم نظرية الاضطراب غير المعتمدة على الزمن إلى الحالة التي توجد فيها معلمات صغيرة متعددة $x^{\mu }=(x^{1},x^{2},\cdots )$ يمكن صياغة λ بدلاً من ذلك بشكل أكثر منهجية باستخدام لغة الهندسة التفاضلية ، والتي تحدد بشكل أساسي مشتقات الحالات الكمومية وتحسب التصحيحات الاضطرابية عن طريق أخذ المشتقات بشكل متكرر عند النقطة غير المضطربة.

الهاميلتوني ومؤثر القوة

من وجهة نظر الهندسة التفاضلية، يُعتبر الهاميلتوني المُعَلم دالةً مُعرَّفةً على مشعب المعاملات ، والذي يُحدد كل مجموعة معينة من المعاملات. $(x^{1},x^{2},\cdots )$ إلى مؤثر هيرميتي $H (xμ)$ يعمل على فضاء هيلبرت . يمكن أن تكون المعاملات هنا مجالًا خارجيًا، أو قوة تفاعل، أو معاملات محركة في $الانتقال$ الطوري الكمومي . ليكن $E (n (xμ))$ و $|n(x^{\mu })\rangle$ لتكن الطاقة الذاتية والحالة الذاتية رقم $n للمصفوفة$ $H (xμ)$ على التوالي. بلغة الهندسة التفاضلية، $الحالات$ $|n(x^{\mu })\rangle$ تشكل حزمة متجهة فوق مشعب المعاملات، حيث يمكن تعريف مشتقات هذه الحالات. تهدف نظرية الاضطراب إلى الإجابة على السؤال التالي: معطى $E_{n}(x_{0}^{\mu })$ و $|n(x_{0}^{\mu })\rangle$ عند نقطة مرجعية غير مضطربة $x_{0}^{\mu }$ كيفية تقدير $E n (x μ)$ و $|n(x^{\mu })\rangle$ عند $x μ$ بالقرب من تلك النقطة المرجعية.

دون الإخلال بعمومية المسألة، يمكن تغيير نظام الإحداثيات، بحيث تكون نقطة المرجع $x_{0}^{\mu }=0$ يُحدد أن يكون هو نقطة الأصل. ويُستخدم الهاميلتوني ذو المعاملات الخطية التالي بشكل متكرر $H(x^{\mu })=H(0)+x^{\mu }F_{\mu }.$

إذا اعتُبرت المعاملات $x و$ $μ إحداثيات معممة، فينبغي تعريف Fμ على أنها مؤثرات القوة المعممة المرتبطة بتلك الإحداثيات. تشير المؤشرات المختلفة μ$ $إلى$ القوى المختلفة $على$ امتداد $اتجاهات$ $مختلفة$ في فضاء المعاملات. على سبيل المثال، إذا كان $xμ يرمز$ $إلى$ المجال المغناطيسي الخارجي في اتجاه $μ$ ، فإن $Fμ$ يمثل المغنطة في الاتجاه نفسه.

نظرية الاضطراب كتوسيع متسلسلة القوى

تعتمد صحة نظرية الاضطراب على الافتراض الأديباتي، الذي يفترض أن الطاقات الذاتية والحالات الذاتية للهاميلتوني هي دوال سلسة للمعاملات بحيث يمكن حساب قيمها في المنطقة المجاورة في متسلسلات القوى (مثل توسيع تايلور ) للمعاملات:

${\begin{aligned}E_{n}(x^{\mu })&=E_{n}+x^{\mu }\partial _{\mu }E_{n}+{\frac {1}{2!}}x^{\mu }x^{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }E_{n}+\cdots \\[1ex]\left|n(x^{\mu })\right\rangle &=\left|n\right\rangle +x^{\mu }\left|\partial _{\mu }n\right\rangle +{\frac {1}{2!}}x^{\mu }x^{\nu }\left|\partial _{\mu }\partial _{\nu }n\right\rangle +\cdots \end{aligned}}$

هنا $، يرمز \partialμ$ إلى المشتقة بالنسبة إلى $xμ .$ عند تطبيقها على الحالة $|\partial _{\mu }n\rangle$ ينبغي فهمها على أنها $المشتقة$ المتغيرة إذا كانت حزمة المتجهات مزودة بوصلة غير معدومة . تُحسب جميع الحدود على الجانب الأيمن من المتسلسلة عند $xμ$ $= 0$ ، على سبيل المثال $En \equiv En (0)$ و $|n\rangle \equiv |n(0)\rangle$ سيتم اعتماد هذا الاصطلاح في جميع أنحاء هذا القسم الفرعي، وهو افتراض أن جميع الدوال التي لا يُذكر اعتمادها على المعاملات صراحةً تُحسب عند نقطة الأصل. قد تتقارب متسلسلة القوى ببطء أو حتى لا تتقارب عندما تكون مستويات الطاقة متقاربة. ينهار افتراض التقارب الأديباتي عند وجود انحلال في مستويات الطاقة، وبالتالي لا تنطبق نظرية الاضطراب في هذه الحالة.

نظريات هيلمان-فاينمان

يمكن حساب متسلسلة القوى المذكورة أعلاه بسهولة إذا وُجدت طريقة منهجية لحساب المشتقات لأي رتبة. باستخدام قاعدة السلسلة ، يمكن اختزال المشتقات إلى مشتقة واحدة إما للطاقة أو للحالة. تُستخدم نظريات هيلمان-فاينمان لحساب هذه المشتقات. تُعطي نظرية هيلمان-فاينمان الأولى مشتقة الطاقة. $\partial _{\mu }E_{n}=\langle n|\partial _{\mu }H|n\rangle$

تعطي نظرية هيلمان-فاينمان الثانية مشتقة الحالة (التي تم حلها بواسطة الأساس الكامل مع $m \neq n$ )، $\langle m|\partial _{\mu }n\rangle ={\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}},\qquad \langle \partial _{\mu }m|n\rangle ={\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{m}-E_{n}}}.$

بالنسبة للهاميلتوني ذي المعاملات الخطية، $فإن \partial μ H$ يمثل ببساطة عامل القوة المعمم $F μ$ .

يمكن اشتقاق النظريات ببساطة عن طريق تطبيق $المؤثر$ التفاضلي $\partialμ$ على طرفي معادلة شرودنغر $H|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,$ والذي ينص على

$\partial _{\mu }H|n\rangle +H|\partial _{\mu }n\rangle =\partial _{\mu }E_{n}|n\rangle +E_{n}|\partial _{\mu }n\rangle .$

ثم تتداخل مع الولاية $\langle m|$ من اليسار واستخدام معادلة شرودنغر $\langle m|H=\langle m|E_{m}$ مرة أخرى،

$\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle +E_{m}\langle m|\partial _{\mu }n\rangle =\partial _{\mu }E_{n}\langle m|n\rangle +E_{n}\langle m|\partial _{\mu }n\rangle .$

بافتراض أن الحالات الذاتية للهاميلتوني تشكل دائمًا أساسًا متعامدًا $\langle m|n\rangle =\delta _{mn}$ يمكن مناقشة حالتي $m = n$ و $m \neq n$ بشكل منفصل. تؤدي الحالة الأولى إلى النظرية الأولى، بينما تؤدي الحالة الثانية إلى النظرية الثانية، ويمكن إثبات ذلك مباشرةً بإعادة ترتيب الحدود. وباستخدام القواعد التفاضلية التي تنص عليها نظريات هيلمان-فاينمان، يمكن حساب التصحيح الاضطرابي للطاقات والحالات بشكل منهجي.

تصحيح الطاقة والحالة

بالنسبة للرتبة الثانية، يكون تصحيح الطاقة كما يلي

$E_{n}(x^{\mu })=\langle n|H|n\rangle +\langle n|\partial _{\mu }H|n\rangle x^{\mu }+\Re \sum _{m\neq n}{\frac {\langle n|\partial _{\nu }H|m\rangle \langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}x^{\mu }x^{\nu }+\cdots ,$ أين $\Re$ يرمز إلى دالة الجزء الحقيقي . تُعطى المشتقة من الرتبة الأولى $\partialμ$ $\partialE n مباشرةً$ من خلال نظرية هيلمان-فاينمان الأولى. وللحصول على المشتقة من الرتبة الثانية $\partialμ$ $\partialν \partialE n ، يُطبَّق$ المؤثر التفاضلي $\partialμ$ على نتيجة المشتقة من الرتبة الأولى $.$ $\langle n|\partial _{\nu }H|n\rangle$ ، والتي تنص على

$\partial _{\mu }\partial _{\nu }E_{n}=\langle \partial _{\mu }n|\partial _{\nu }H|n\rangle +\langle n|\partial _{\mu }\partial _{\nu }H|n\rangle +\langle n|\partial _{\nu }H|\partial _{\mu }n\rangle .$

لاحظ أنه بالنسبة لهاملتوني ذي معلمات خطية، لا توجد مشتقة ثانية $\partialμ / \partialνH = 0 على$ مستوى المؤثر. حل مشتقة الحالة بإدخال المجموعة الكاملة للأساس $.$ $\partial _{\mu }\partial _{\nu }E_{n}=\sum _{m}\left(\langle \partial _{\mu }n|m\rangle \langle m|\partial _{\nu }H|n\rangle +\langle n|\partial _{\nu }H|m\rangle \langle m|\partial _{\mu }n\rangle \right),$ بعد ذلك، يمكن حساب جميع الأجزاء باستخدام نظريات هيلمان-فاينمان. من حيث مشتقات لي، $\langle \partial _{\mu }n|n\rangle =\langle n|\partial _{\mu }n\rangle =0$ وفقًا لتعريف الاتصال لحزمة المتجهات، يمكن استبعاد الحالة $m = n$ من عملية الجمع، مما يتجنب تفرد مقام الطاقة. ويمكن تطبيق الإجراء نفسه على المشتقات ذات الرتب الأعلى، والتي تُستخلص منها تصحيحات الرتب الأعلى.

ينطبق نفس المخطط الحسابي على تصحيح الحالات. وتكون النتيجة من الدرجة الثانية كما يلي: ${\begin{aligned}\left|n\left(x^{\mu }\right)\right\rangle =|n\rangle &+\sum _{m\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}|m\rangle x^{\mu }\\&+\left(\sum _{m\neq n}\sum _{l\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|l\rangle \langle l|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})(E_{n}-E_{l})}}|m\rangle -\sum _{m\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle \langle n|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})^{2}}}|m\rangle -{\frac {1}{2}}\sum _{m\neq n}{\frac {\langle n|\partial _{\mu }H|m\rangle \langle m|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})^{2}}}|n\rangle \right)x^{\mu }x^{\nu }+\cdots .\end{aligned}}$

ستُستخدم مشتقات الطاقة ومشتقات الحالة في الاستنتاج. عند مواجهة مشتقة حالة، يتم حلها بإدخال مجموعة الأساس الكاملة، وعندها يُمكن تطبيق نظرية هيلمان-فاينمان. ولأن التفاضل يُمكن حسابه بشكل منهجي، يُمكن برمجة أسلوب توسيع المتسلسلة لتصحيحات الاضطراب على أجهزة الكمبيوتر باستخدام برامج معالجة رمزية مثل Mathematica .

هاميلتوني فعال

ليكن $H (0)$ الهاميلتوني المقيد تمامًا إما في الفضاء الفرعي منخفض الطاقة ${\mathcal {H}}_{L}$ أو في الفضاء الفرعي عالي الطاقة ${\mathcal {H}}_{H}$ بحيث لا يوجد عنصر مصفوفة في $H (0)$ يربط بين الفضاءات الفرعية ذات الطاقة المنخفضة والفضاءات الفرعية ذات الطاقة العالية، أي $\langle m|H(0)|l\rangle =0$ لو $m\in {\mathcal {H}}_{L},l\in {\mathcal {H}}_{H}$ لنفترض أن $Fμ = \partialμH هي حدود الاقتران التي تربط بين الفضاءات الفرعية. عندئذٍ ،$ عند دمج درجات الحرية ذات الطاقة العالية، يصبح الهاميلتوني الفعال في الفضاء الفرعي ذي الطاقة المنخفضة كما يلي ^[¹¹^] $.$

$H_{mn}^{\text{eff}}\left(x^{\mu }\right)=\langle m|H|n\rangle +\delta _{nm}\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle x^{\mu }+{\frac {1}{2!}}\sum _{l\in {\mathcal {H}}_{H}}\left({\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|l\rangle \langle l|\partial _{\nu }H|n\rangle }{E_{m}-E_{l}}}+{\frac {\langle m|\partial _{\nu }H|l\rangle \langle l|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{l}}}\right)x^{\mu }x^{\nu }+\cdots .$

هنا $m,n\in {\mathcal {H}}_{L}$ تقتصر هذه القيم على فضاء الطاقة المنخفضة. ويمكن استنتاج النتيجة المذكورة أعلاه من خلال توسيع متسلسلة القوى لـ $\langle m|H(x^{\mu })|n\rangle$ .

من الممكن، بشكل رسمي، تعريف هاميلتوني فعال يعطي بدقة حالات الطاقة المنخفضة والدوال الموجية. ^{[ 12 ]} عملياً، عادةً ما يكون هناك حاجة إلى نوع من التقريب (نظرية الاضطراب).

نظرية الاضطراب المعتمدة على الزمن

طريقة تغيير الثوابت

تدرس نظرية الاضطراب المعتمدة على الزمن، التي بدأها بول ديراك وطورها لاحقًا جون أرشيبالد ويلر وريتشارد فاينمان وفريمان دايسون ، ^{[ 13 ]} تأثير الاضطراب المعتمد على الزمن $V (t) المطبق على هاميلتوني$ $H₀$ غير المعتمد على الزمن $.$ ^{[ 14 ]} وهي أداة بالغة الأهمية لحساب خصائص أي نظام فيزيائي . تُستخدم هذه النظرية للوصف الكمي لظواهر متنوعة، مثل تشتت البروتون-بروتون، والتأين الضوئي للمواد، وتشتت الإلكترونات عن عيوب الشبكة في الموصلات، وتشتت النيوترونات عن النوى، والحساسية الكهربائية للمواد، ومقاطع امتصاص النيوترونات في المفاعلات النووية، وغير ذلك الكثير. ^{[ 13 ]}

بما أن الهاميلتوني المضطرب يعتمد على الزمن، فإن مستويات طاقته وحالاته الذاتية تعتمد عليه أيضاً. لذا، تختلف أهداف نظرية الاضطراب المعتمدة على الزمن قليلاً عن أهداف نظرية الاضطراب غير المعتمدة على الزمن. ويهتم الباحثون بالكميات التالية:

القيمة المتوقعة المعتمدة على الزمن لبعض المتغيرات القابلة للملاحظة $A$ ، لحالة أولية معينة.
معاملات التوسع المعتمدة على الزمن ( بالنسبة لحالة معينة معتمدة على الزمن) لتلك الحالات الأساسية التي تمثل متجهات الطاقة الذاتية (المتجهات الذاتية) في النظام غير المضطرب.

الكمية الأولى مهمة لأنها تُنتج النتيجة الكلاسيكية لقياس $A$ الذي يُجرى على عدد كبير من نسخ النظام المُضطرب. على سبيل المثال، يمكننا اعتبار $A$ إزاحة الإلكترون في ذرة الهيدروجين باتجاه المحور $x ، وفي هذه الحالة، تُعطي القيمة المتوقعة، عند ضربها بمعامل مناسب،$ الاستقطاب العازل لغاز الهيدروجين المتغير مع الزمن. باختيار مناسب للاضطراب (أي جهد كهربائي متذبذب)، يُمكن حساب سماحية التيار المتردد للغاز.

تُعنى الكمية الثانية باحتمالية شغل كل حالة ذاتية مع تغير الزمن. وهذا مفيدٌ بشكلٍ خاص في فيزياء الليزر ، حيث يُهتم بمعرفة توزيعات الحالات الذرية المختلفة في الغاز عند تطبيق مجال كهربائي متغير مع الزمن. كما تُفيد هذه الاحتمالات في حساب "التوسع الكمي" لخطوط الطيف (انظر توسع الخط ) واضمحلال الجسيمات في فيزياء الجسيمات والفيزياء النووية .

سنتناول بإيجاز المنهجية الكامنة وراء صياغة ديراك لنظرية الاضطراب المعتمدة على الزمن. اختر أساسًا للطاقة ${|n\rangle }$ بالنسبة للنظام غير المضطرب. (نحذف الرموز العلوية (0) للحالات الذاتية، لأنه ليس من المفيد الحديث عن مستويات الطاقة والحالات الذاتية للنظام المضطرب.)

إذا كان النظام غير المضطرب حالة ذاتية (للهاميلتوني) $|j\rangle$ عند الزمن $t$ = 0، تتغير حالته في الأوقات اللاحقة بمقدار طور واحد فقط (في صورة شرودنغر ، حيث تتطور متجهات الحالة مع مرور الوقت وتكون المؤثرات ثابتة). $|j(t)\rangle =e^{-iE_{j}t/\hbar }|j\rangle ~.$

الآن، لنُعرّف هاميلتونيًا مُضطربًا يعتمد على الزمن $V (t)$ . هاميلتوني النظام المُضطرب هو $H=H_{0}+V(t)~.$ يترك $|\psi (t)\rangle$ تشير إلى الحالة الكمومية للنظام المضطرب عند الزمن $t$ . وهي تخضع لمعادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن. $H|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ~.$

يمكن التعبير عن الحالة الكمومية في كل لحظة كمزيج خطي من الأساس الذاتي الكامل لـ $|n\rangle$ :

|\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle ~,

1

حيث يتم تحديد الدوال المركبة $c n (t)$ s التي سنشير إليها باسم $السعات$ (بالمعنى الدقيق للكلمة، هي السعات في صورة ديراك ).

لقد استخرجنا بشكل صريح عوامل الطور الأسية $\exp(-iE_{n}t/\hbar )$ على الجانب الأيمن. هذا مجرد اصطلاح، ويمكن القيام به دون الإخلال بعمومية الأمر. والسبب الذي يدفعنا إلى بذل هذا الجهد هو أنه عندما يبدأ النظام في الحالة $|j\rangle$ وفي حالة عدم وجود اضطراب، فإن السعات لها الخاصية الملائمة التي، لجميع $قيم t$ ، $c j (t)$ = 1 و $c n (t)$ = 0 إذا كان $n \neq j$ .

مربع السعة المطلقة $c n (t)$ هو احتمال أن يكون النظام في الحالة $n$ عند الزمن $t$ ، لأن $\left|c_{n}(t)\right|^{2}=\left|\langle n|\psi (t)\rangle \right|^{2}~.$

بإدخال القيم في معادلة شرودنغر واستخدام حقيقة أن ∂/∂t يعمل وفقًا لقاعدة الضرب ، نحصل على $\sum _{n}\left(i\hbar {\frac {dc_{n}}{dt}}-c_{n}(t)V(t)\right)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle =0~.$

بحل المتطابقة أمام $V$ والضرب في الأقواس $\langle n|$ على اليسار، يمكن اختزال ذلك إلى مجموعة من المعادلات التفاضلية المترابطة للسعات، ${\frac {dc_{n}}{dt}}={\frac {-i}{\hbar }}\sum _{k}\langle n|V(t)|k\rangle \,c_{k}(t)\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t/\hbar }~.$

حيث استخدمنا المعادلة ( 1 ) لتقييم المجموع على $n$ في الحد الثاني، ثم استخدمنا حقيقة أن $\langle k|\Psi (t)\rangle =c_{k}(t)e^{-iE_{k}t/\hbar }$ .

تؤدي عناصر المصفوفة $V$ دورًا مشابهًا لما هو عليه في نظرية الاضطراب غير المعتمدة على الزمن، إذ تتناسب مع معدل تغير السعات بين الحالات. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن اتجاه التغير يتغير بفعل عامل الطور الأسي. على مدى فترات زمنية أطول بكثير من فرق الطاقة $E k - E n$ ، يدور الطور حول الصفر عدة مرات. إذا كان التغير الزمني لـ $V$ بطيئًا بما يكفي، فقد يتسبب ذلك في تذبذب سعات الحالة. (على سبيل المثال، تُعد هذه التذبذبات مفيدة للتحكم في الانتقالات الإشعاعية في الليزر ).

حتى هذه المرحلة، لم نُجرِ أي تقريبات، لذا فإن هذه المجموعة من المعادلات التفاضلية دقيقة. من خلال تحديد القيم الابتدائية المناسبة $c n (t)$ ، يُمكننا من حيث المبدأ إيجاد حل دقيق (أي غير اضطرابي). يُمكن تحقيق ذلك بسهولة عندما يكون هناك مستويان فقط للطاقة ( $n$ = 1، 2)، وهذا الحل مفيد لنمذجة أنظمة مثل جزيء الأمونيا .

مع ذلك، يصعب إيجاد حلول دقيقة عند وجود مستويات طاقة متعددة، ولذا يُلجأ إلى الحلول التقريبية. ويمكن الحصول على هذه الحلول من خلال التعبير عن المعادلات بصيغة تكاملية. $c_{n}(t)=c_{n}(0)-{\frac {i}{\hbar }}\sum _{k}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,c_{k}(t')\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }~.$

يؤدي استبدال هذا التعبير لـ $c n$ بشكل متكرر في الجانب الأيمن إلى حل تكراري. $c_{n}(t)=c_{n}^{(0)}+c_{n}^{(1)}+c_{n}^{(2)}+\cdots$ حيث يكون، على سبيل المثال، الحد من الدرجة الأولى $c_{n}^{(1)}(t)={\frac {-i}{\hbar }}\sum _{k}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,c_{k}^{(0)}\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }~.$ وبنفس التقريب، يمكن حذف عملية الجمع في التعبير أعلاه لأنه في الحالة غير المضطربة $c_{k}^{(0)}=\delta _{kn}$ حتى يكون لدينا $c_{n}^{(1)}(t)={\frac {-i}{\hbar }}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }~.$

ويترتب على ذلك العديد من النتائج الأخرى، مثل قاعدة فيرمي الذهبية ، التي تربط معدل الانتقالات بين الحالات الكمومية بكثافة الحالات عند طاقات معينة؛ أو سلسلة دايسون ، التي تم الحصول عليها من خلال تطبيق الطريقة التكرارية على عامل التطور الزمني ، وهو أحد نقاط البداية لطريقة مخططات فاينمان .

طريقة سلسلة دايسون

يمكن إعادة تنظيم الاضطرابات المتغيرة مع الزمن باستخدام تقنية متسلسلة دايسون . معادلة شرودنغر $H(t)|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi (t)\rangle }{\partial t}}$ الحل الرسمي $|\psi (t)\rangle =T\exp {\left[-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'H(t')\right]}|\psi (t_{0})\rangle ~,$ حيث $T$ هو عامل ترتيب الوقت، $TA(t_{1})A(t_{2})={\begin{cases}A(t_{1})A(t_{2})&t_{1}>t_{2}\\A(t_{2})A(t_{1})&t_{2}>t_{1}\end{cases}}~.$ وبالتالي، يمثل الدالة الأسية متسلسلة دايسون التالية ، $|\psi (t)\rangle =\left[1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}H(t_{1})-{\frac {1}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}H(t_{1})H(t_{2})+\ldots \right]|\psi (t_{0})\rangle ~.$ لاحظ أنه في الحد الثاني، فإن العامل 1/2! يلغي تمامًا المساهمة المزدوجة الناتجة عن عامل ترتيب الوقت، إلخ.

ضع في اعتبارك مسألة الاضطراب التالية $[H_{0}+\lambda V(t)]|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi (t)\rangle }{\partial t}}~,$ بافتراض أن المعامل $λ$ صغير وأن المشكلة $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ تم حل المشكلة.

قم بإجراء التحويل الوحدوي التالي على صورة التفاعل (أو صورة ديراك)، $|\psi (t)\rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t-t_{0})}|\psi _{I}(t)\rangle ~.$ وبالتالي، تتبسط معادلة شرودنغر إلى $\lambda e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t-t_{0})}V(t)e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t-t_{0})}|\psi _{I}(t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi _{I}(t)\rangle }{\partial t}}~,$ لذا يتم حلها من خلال متسلسلة دايسون المذكورة أعلاه . $|\psi _{I}(t)\rangle =\left[1-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}V(t_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}-{\frac {\lambda ^{2}}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}V(t_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{2}-t_{0})}V(t_{2})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{2}-t_{0})}+\ldots \right]|\psi (t_{0})\rangle ~,$ كسلسلة اضطراب ذات قيمة $λ$ صغيرة .

باستخدام حل المسألة غير المضطربة $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ و $\sum _{n}|n\rangle \langle n|=1$ (لتبسيط الأمر، افترض طيفًا منفصلاً تمامًا)، ينتج عنه، من الدرجة الأولى، $|\psi _{I}(t)\rangle =\left[1-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\sum _{m}\sum _{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\langle m|V(t_{1})|n\rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{n}-E_{m})(t_{1}-t_{0})}|m\rangle \langle n|+\ldots \right]|\psi (t_{0})\rangle ~.$

وبالتالي، فإن النظام، في البداية في حالة غير مضطربة $|\alpha \rangle =|\psi (t_{0})\rangle$ ، بفضل الاضطراب يمكن أن ينتقل إلى الحالة $|\beta \rangle$ سعة احتمالية الانتقال المقابلة للرتبة الأولى هي $A_{\alpha \beta }=-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\langle \beta |V(t_{1})|\alpha \rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{\alpha }-E_{\beta })(t_{1}-t_{0})}~,$ كما هو مفصل في القسم السابق - في حين يتم توفير احتمال الانتقال المقابل إلى متصل بواسطة قاعدة فيرمي الذهبية .

على سبيل المثال، تجدر الإشارة إلى أن نظرية الاضطراب غير المعتمدة على الزمن مُنظَّمة أيضًا ضمن متسلسلة دايسون لنظرية الاضطراب المعتمدة على الزمن. ولتوضيح ذلك، اكتب مُؤثِّر التطور الوحدوي، المُستنتج من متسلسلة دايسون المذكورة أعلاه ، على النحو التالي: $U(t)=1-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}V(t_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}-{\frac {\lambda ^{2}}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}V(t_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{2}-t_{0})}V(t_{2})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{2}-t_{0})}+\cdots$ واعتبر الاضطراب $V$ مستقلاً عن الزمن.

استخدام حل الهوية $\sum _{n}|n\rangle \langle n|=1$ مع $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ للحصول على طيف منفصل نقي، اكتب ${\begin{aligned}U(t)=1&-\left[{\frac {i\lambda }{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\sum _{m}\sum _{n}\langle m|V|n\rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{n}-E_{m})(t_{1}-t_{0})}|m\rangle \langle n|\right]\\[5mu]&-\left[{\frac {\lambda ^{2}}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\sum _{m}\sum _{n}\sum _{q}e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{n}-E_{m})(t_{1}-t_{0})}\langle m|V|n\rangle \langle n|V|q\rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{q}-E_{n})(t_{2}-t_{0})}|m\rangle \langle q|\right]+\cdots \end{aligned}}$

من الواضح أنه في الرتبة الثانية، يجب إجراء عملية الجمع على جميع الحالات الوسيطة. افترض $t_{0}=0$ والحد التقاربي للأزمنة الأكبر. وهذا يعني أنه عند كل مساهمة من سلسلة الاضطراب، يجب إضافة عامل ضربي. $e^{-\epsilon t}$ في الدوال التكاملية لقيم $ε$ الصغيرة كيفما كانت. وبالتالي، فإن النهاية $t \to \infty$ تعيد الحالة النهائية للنظام عن طريق إزالة جميع الحدود المتذبذبة، مع الإبقاء على الحدود العلمانية. وبذلك، يمكن حساب التكاملات، وفصل الحدود القطرية عن الحدود الأخرى ينتج ${\begin{aligned}U(t)=1&-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\sum _{n}\langle n|V|n\rangle t-{\frac {i\lambda ^{2}}{\hbar }}\sum _{m\neq n}{\frac {\langle n|V|m\rangle \langle m|V|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}t-{\frac {1}{2}}{\frac {\lambda ^{2}}{\hbar ^{2}}}\sum _{m,n}\langle n|V|m\rangle \langle m|V|n\rangle t^{2}+\cdots \\&+\lambda \sum _{m\neq n}{\frac {\langle m|V|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}|m\rangle \langle n|+\lambda ^{2}\sum _{m\neq n}\sum _{q\neq n}\sum _{n}{\frac {\langle m|V|n\rangle \langle n|V|q\rangle }{(E_{n}-E_{m})(E_{q}-E_{n})}}|m\rangle \langle q|+\cdots \end{aligned}}$ حيث تُعطي السلسلة الزمنية العلمانية القيم الذاتية للمسألة المضطربة المحددة أعلاه، بشكل تكراري؛ بينما يُعطي الجزء المتبقي الثابت زمنيًا التصحيحات للدوال الذاتية الثابتة المذكورة أعلاه أيضًا ( $|n(\lambda )\rangle =U(0;\lambda )|n\rangle )$ .)

يمكن تطبيق عامل التطور الوحدوي على الحالات الذاتية العشوائية للمسألة غير المضطربة، وفي هذه الحالة، ينتج عنه سلسلة علمانية تتحقق في الأوقات الصغيرة.

نظرية الاضطراب القوي

وبطريقة مماثلة لما هو عليه الحال بالنسبة للاضطرابات الصغيرة، من الممكن تطوير نظرية اضطراب قوية. لنأخذ معادلة شرودنغر كالمعتاد.

$H(t)|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi (t)\rangle }{\partial t}}$

ونتناول مسألة وجود متسلسلة دايسون ثنائية تنطبق في حالة تزايد حجم الاضطراب. يمكن الإجابة على هذا السؤال بالإيجاب ^{[ 15 ]} ، والمتسلسلة هي المتسلسلة الأديباتية المعروفة ^{[ 16 ]} . هذا النهج عام جدًا ويمكن إثباته على النحو التالي: لنفترض مسألة الاضطراب.

$[H_{0}+\lambda V(t)]|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi (t)\rangle }{\partial t}}$

عندما تؤول $λ إلى اللانهاية$ ، يكون هدفنا إيجاد حل على الصورة التالية:

$|\psi \rangle =|\psi _{0}\rangle +{\frac {1}{\lambda }}|\psi _{1}\rangle +{\frac {1}{\lambda ^{2}}}|\psi _{2}\rangle +\ldots$

لكن التعويض المباشر في المعادلة أعلاه لا يُنتج نتائج مفيدة. يمكن تعديل هذا الوضع بإعادة ضبط مقياس متغير الزمن كما يلي: $\tau =\lambda t$ إنتاج المعادلات ذات المعنى التالية

${\begin{aligned}V(t)|\psi _{0}\rangle &=i\hbar {\frac {\partial |\psi _{0}\rangle }{\partial \tau }}\\[1ex]V(t)|\psi _{1}\rangle +H_{0}|\psi _{0}\rangle &=i\hbar {\frac {\partial |\psi _{1}\rangle }{\partial \tau }}\\[1ex]&\;\,\vdots \end{aligned}}$

يمكن حل هذه المسألة بمجرد معرفة حل المعادلة الرئيسية . لكننا نعلم أنه في هذه الحالة يمكننا استخدام التقريب الأديباتي . عندما $V(t)$ لا يعتمد على الزمن، فنحصل على متسلسلة ويغنر-كيركوود التي تُستخدم غالبًا في الميكانيكا الإحصائية . في الواقع، في هذه الحالة نقدم التحويل الوحدوي

$|\psi (t)\rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t-t_{0})}|\psi _{F}(t)\rangle$

يُعرّف ذلك صورة حرة لأننا نحاول التخلص من حد التفاعل. الآن، وبطريقة مزدوجة فيما يتعلق بالاضطرابات الصغيرة، علينا حل معادلة شرودنغر.

$e^{{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t-t_{0})}H_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t-t_{0})}|\psi _{F}(t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi _{F}(t)\rangle }{\partial t}}$

ونلاحظ أن معامل التوسع $λ$ يظهر فقط في الدالة الأسية، وبالتالي فإن متسلسلة دايسون المقابلة ، وهي متسلسلة دايسون ثنائية ، تكون ذات معنى عند قيم $λ$ الكبيرة .

$|\psi _{F}(t)\rangle =\left[1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}e^{{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t_{1}-t_{0})}H_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t_{1}-t_{0})}-{\frac {1}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}e^{{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t_{1}-t_{0})}H_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t_{1}-t_{0})}e^{{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t_{2}-t_{0})}H_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t_{2}-t_{0})}+\cdots \right]|\psi (t_{0})\rangle .$

بعد إعادة التحجيم في الوقت المناسب $\tau =\lambda t$ يمكننا أن نرى أن هذه بالفعل سلسلة في $1/\lambda$ وهذا يبرر تسمية متسلسلة دايسون الثنائية . والسبب هو أننا حصلنا على هذه المتسلسلة ببساطة عن طريق تبديل $H₀$ و $V$ $،$ ويمكننا الانتقال من إحداهما إلى الأخرى بتطبيق هذا التبديل. وهذا ما يُسمى بمبدأ الازدواجية في نظرية الاضطراب. $H_{0}=p^{2}/2m$ ينتج عن ذلك، كما سبق ذكره، متسلسلة ويغنر-كيركوود التي تمثل توسيعًا تدرجيًا. متسلسلة ويغنر-كيركوود هي متسلسلة شبه كلاسيكية ذات قيم ذاتية معطاة تمامًا كما في تقريب ويغنر-كيركوود . ^{[ 17 ]}

أمثلة

مثال على نظرية الاضطراب من الدرجة الأولى - طاقة الحالة الأرضية للمذبذب الرباعي

لنفترض وجود مذبذب توافقي كمومي مع اضطراب جهد من الدرجة الرابعة وهاملتوني $H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}+\lambda x^{4}.$

الحالة الأرضية للمذبذب التوافقي هي $\psi _{0}=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-\alpha x^{2}/2}$ ( $\alpha =m\omega /\hbar$ )، وطاقة الحالة الأرضية غير المضطربة هي $E_{0}^{(0)}={\tfrac {1}{2}}\hbar \omega$

باستخدام صيغة التصحيح من الدرجة الأولى، نحصل على $E_{0}^{(1)}=\lambda \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\int e^{-\alpha x^{2}/2}x^{4}e^{-\alpha x^{2}/2}dx=\lambda \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha ^{2}}}\int e^{-\alpha x^{2}}dx,$ أو $E_{0}^{(1)}=\lambda \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha ^{2}}}\left({\frac {\pi }{\alpha }}\right)^{\frac {1}{2}}=\lambda {\frac {3}{4}}{\frac {1}{\alpha ^{2}}}={\frac {3}{4}}{\frac {\hbar ^{2}\lambda }{m^{2}\omega ^{2}}}.$

مثال على نظرية الاضطراب من الرتبة الأولى والثانية - البندول الكمومي

لنفترض البندول الكمومي الرياضي ذو الهاميلتوني $H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}-\lambda \cos \phi$ مع طاقة الوضع $-\lambda \cos \phi$ يُعتبر الاضطراب أي $V=-\cos \phi .$

الدوال الموجية الكمومية المعيارية غير المضطربة هي دوال الدوار الصلب، وتُعطى بالعلاقة التالية: $\psi _{n}(\phi )={\frac {e^{in\phi }}{\sqrt {2\pi }}},$ والطاقات $E_{n}^{(0)}={\frac {\hbar ^{2}n^{2}}{2ma^{2}}}.$

التصحيح الأول للطاقة للدوار بسبب طاقة الوضع هو $E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{2\pi }}\int e^{-in\phi }\cos \phi e^{in\phi }=-{\frac {1}{2\pi }}\int \cos \phi =0.$

باستخدام صيغة التصحيح من الدرجة الثانية، نحصل على $E_{n}^{(2)}={\frac {ma^{2}}{2\pi ^{2}\hbar ^{2}}}\sum _{k}{\frac {\left|\int e^{-ik\phi }\cos \phi e^{in\phi }\,d\phi \right|^{2}}{n^{2}-k^{2}}},$ أو $E_{n}^{(2)}={\frac {ma^{2}}{2\hbar ^{2}}}\sum _{k}{\frac {\left|\left(\delta _{n,1-k}+\delta _{n,-1-k}\right)\right|^{2}}{n^{2}-k^{2}}},$ أو $E_{n}^{(2)}={\frac {ma^{2}}{2\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{2n-1}}+{\frac {1}{-2n-1}}\right)={\frac {ma^{2}}{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{4n^{2}-1}}.$

الطاقة الكامنة كاضطراب

عندما تكون الحالة غير المضطربة عبارة عن حركة حرة لجسيم ذي طاقة حركية $E$ حل معادلة شرودنغر $\nabla ^{2}\psi ^{(0)}+k^{2}\psi ^{(0)}=0$ يتوافق مع الموجات المستوية ذات العدد الموجي ${\textstyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}}$ إذا كانت هناك طاقة كامنة ضعيفة $U(x,y,z)$ في التقريب الأول، يتم وصف الحالة المضطربة الموجودة في الفضاء بالمعادلة التالية: $\nabla ^{2}\psi ^{(1)}+k^{2}\psi ^{(1)}={\frac {2mU}{\hbar ^{2}}}\psi ^{(0)},$ الذي يكون تكامله الخاص هو ^{[ 18 ]} $\psi ^{(1)}(x,y,z)=-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int \psi ^{(0)}U(x',y',z'){\frac {e^{ikr}}{r}}\,dx'dy'dz',$ أين $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}$ في الحالة ثنائية الأبعاد، يكون الحل هو $\psi ^{(1)}(x,y)=-{\frac {im}{2\hbar ^{2}}}\int \psi ^{(0)}U(x',y')H_{0}^{(1)}(kr)\,dx'dy',$ أين $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}$ و $H_{0}^{(1)}$ هي دالة هانكل من النوع الأول . في الحالة أحادية البعد، يكون الحل هو $\psi ^{(1)}(x)=-{\frac {im}{\hbar ^{2}}}\int \psi ^{(0)}U(x'){\frac {e^{ikr}}{k}}\,dx',$ أين $r=|x-x'|$ .

التطبيقات

دورة رابي – ظاهرة ميكانيكية كمية
قاعدة فيرمي الذهبية – صيغة معدل الانتقال
مطيافية دوران الميون – تقنية تجريبية في الفيزياء
الارتباط الزاوي المضطرب

مراجع

↑ سيمون، باري (1982). "الرتب الكبيرة وقابلية جمع نظرية اضطراب القيم الذاتية: نظرة عامة رياضية". المجلة الدولية للكيمياء الكمية . 21 : 3-25 . doi : 10.1002/qua.560210103 .
↑ أوياما، تاتسومي؛ هاياكاوا، ماساشي؛ كينوشيتا، تويتشيرو؛ نيو، ماكيكو (2012). "العزم المغناطيسي الشاذ للبتونات من الرتبة العاشرة في نظرية الكهروديناميكا الكمية: رؤوس من الرتبة الثامنة تحتوي على استقطاب فراغي من الرتبة الثانية". مجلة Physical Review D. 85 ( 3) 033007. arXiv : 1110.2826 . Bibcode : 2012PhRvD..85c3007A . doi : 10.1103/PhysRevD.85.033007 . S2CID 119279420 .
↑ فان موريك، ت.؛ بوهل، م.؛ غايجو، م.-ب. (10 فبراير 2014). "نظرية الكثافة الوظيفية في الكيمياء والفيزياء وعلم الأحياء" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية أ: العلوم الرياضية والفيزيائية والهندسية . 372 (2011) 20120488. رمز Bibcode : 2014RSPTA.37220488V . doi : 10.1098 / rsta.2012.0488 . PMC 3928866. PMID 24516181 .
^ شرودنجر، إي. (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem" [ التكميم باعتباره مشكلة ذات قيمة ذاتية ] . أنالين دير فيزيك (في المانيا). 80 (13): 437– 490. بيب كود : 1926AnP...385..437S . دوى : 10.1002/andp.19263851302 .
↑ رايلي، جيه دبليو إس (1894). نظرية الصوت . المجلد الأول (الطبعة الثانية ). لندن: ماكميلان. الصفحات 115-118 . ISBN 978-1-152-06023-4.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
↑ سليمانباسيتش، تين؛ أونصال، ميثات (2018-07-01). "جوانب من نظرية الاضطراب في ميكانيكا الكم: حزمة BenderWuMathematica®" . مجلة اتصالات فيزياء الحاسوب . 228 : 273-289 . Bibcode : 2018CoPhC.228..273S . doi : 10.1016/j.cpc.2017.11.018 . ISSN 0010-4655 . S2CID 46923647 .
↑ ساكوراي، جيه جيه، ونابليتانو، جيه. (1964، 2011). ميكانيكا الكم الحديثة (الطبعة الثانية)، أديسون ويسلي، رقم ISBN 978-0-8053-8291-4الفصل الخامس
↑ واينبرغ، ستيفن (2015). محاضرات في ميكانيكا الكم ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ص 184. ISBN 978-1-107-11166-0.
↑ لاندو، إل دي؛ ليفشيتز، إي إم (1977). ميكانيكا الكم: النظرية غير النسبية ( الطبعة الثالثة). دار بيرغامون للنشر. ISBN 978-0-08-019012-9.
↑ هوغرفورست م، مينيري م، بينيدونيس ج، صالحي وزيري ك (2021). "اقتطاع هاميلتونيان في فضاء دي سيتر المضاد". مجلة فيزياء الطاقة العالية . 2021 (8) 63. arXiv : 2104.10689 . Bibcode : 2021JHEP...08..063H . doi : 10.1007/JHEP08(2021)063 . S2CID 233346724 .
↑ بير، جينادي ليفيكوفيتش؛ بيكوس، غريغوري إزيكيليفيتش (1974). "الفصل 15: نظرية الاضطراب للحالة المنحلة" . التناظر والتأثيرات الناجمة عن الإجهاد في أشباه الموصلات . وايلي. ISBN 978-0-470-07321-6.
↑ سوليفيريز، كارلوس إي. (1981). "النظرية العامة للهاميلتونيان الفعال" . مجلة Physical Review A. 24 ( 1): 4–9 . Bibcode : 1981PhRvA..24....4S . doi : 10.1103/PhysRevA.24.4 – عبر Academia.Edu.
1 2 ديك، راينر (2020)، "الاضطرابات المعتمدة على الزمن في ميكانيكا الكم"، في ديك، راينر (محرر)، ميكانيكا الكم المتقدمة: المواد والفوتونات ، نصوص الدراسات العليا في الفيزياء، تشام: دار نشر سبرينغر الدولية، ص 265-310 ، doi : 10.1007/978-3-030-57870-1_13 ، ISBN 978-3-030-57870-1
↑ ألبرت ميسيا (1966). ميكانيكا الكم ، نورث هولاند، جون وايلي وأولاده. ISBN 0486409244جي جي ساكوراي (1994). ميكانيكا الكم الحديثة (أديسون-ويسلي) ISBN 9780201539295.
↑ فراسكا، م. (1998). "الازدواجية في نظرية الاضطراب والتقريب الكمي الأديباتي". مجلة Physical Review A. 58 ( 5): 3439–3442 . arXiv : hep-th/9801069 . Bibcode : 1998PhRvA..58.3439F . doi : 10.1103/PhysRevA.58.3439 . S2CID 2699775 .
↑ مصطفى زاده، أ. (1997). "التقريب الكمي الأديباتي والطور الهندسي". مجلة Physical Review A. 55 ( 3): 1653-1664 . arXiv : hep-th/9606053 . Bibcode : 1997PhRvA..55.1653M . doi : 10.1103/PhysRevA.55.1653 . S2CID 17059815 .
↑ فراسكا، ماركو (2007). "النظام الكمومي المضطرب بشدة هو نظام شبه كلاسيكي". وقائع الجمعية الملكية أ: العلوم الرياضية والفيزيائية والهندسية . 463 (2085): 2195-2200 . arXiv : hep-th/0603182 . Bibcode : 2007RSPSA.463.2195F . doi : 10.1098/rspa.2007.1879 . S2CID 19783654 .
↑ ليفشيتز، إي إم، و إل دي، وسايكس لانداو (جيه بي). (1965). ميكانيكا الكم؛ النظرية غير النسبية. دار بيرغامون للنشر.

روابط خارجية

"L1.1 المسألة العامة. نظرية الاضطراب غير المنحلة" . يوتيوب . MIT OpenCourseWare. ١٤ فبراير ٢٠١٩. مؤرشف من الأصل في ١٢ ديسمبر ٢٠٢١.(محاضرة ألقاها بارتون زويباخ )
"L1.2 إعداد المعادلات الاضطرابية" . يوتيوب . MIT OpenCourseWare. 14 فبراير 2019. مؤرشف من الأصل في 12 ديسمبر 2021.
الفيزياء الكمية عبر الإنترنت - نظرية الاضطراب

[1] سيمون، باري (1982). "الرتب الكبيرة وقابلية جمع نظرية اضطراب القيم الذاتية: نظرة عامة رياضية". المجلة الدولية للكيمياء الكمية . 21 : 3-25 . doi : 10.1002/qua.560210103 .

[2] أوياما، تاتسومي؛ هاياكاوا، ماساشي؛ كينوشيتا، تويتشيرو؛ نيو، ماكيكو (2012). "العزم المغناطيسي الشاذ للبتونات من الرتبة العاشرة في نظرية الكهروديناميكا الكمية: رؤوس من الرتبة الثامنة تحتوي على استقطاب فراغي من الرتبة الثانية". مجلة Physical Review D. 85 ( 3) 033007. arXiv : 1110.2826 . Bibcode : 2012PhRvD..85c3007A . doi : 10.1103/PhysRevD.85.033007 . S2CID 119279420 .

[3] فان موريك، ت.؛ بوهل، م.؛ غايجو، م.-ب. (10 فبراير 2014). "نظرية الكثافة الوظيفية في الكيمياء والفيزياء وعلم الأحياء" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية أ: العلوم الرياضية والفيزيائية والهندسية . 372 (2011) 20120488. رمز Bibcode : 2014RSPTA.37220488V . doi : 10.1098 / rsta.2012.0488 . PMC 3928866. PMID 24516181 .

[4] شرودنجر، إي. (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem" [ التكميم باعتباره مشكلة ذات قيمة ذاتية ] . أنالين دير فيزيك (في المانيا). 80 (13): 437– 490. بيب كود : 1926AnP...385..437S . دوى : 10.1002/andp.19263851302 .

[5] رايلي، جيه دبليو إس (1894). نظرية الصوت . المجلد الأول (الطبعة الثانية ). لندن: ماكميلان. الصفحات 115-118 . ISBN 978-1-152-06023-4.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[6] سليمانباسيتش، تين؛ أونصال، ميثات (2018-07-01). "جوانب من نظرية الاضطراب في ميكانيكا الكم: حزمة BenderWuMathematica®" . مجلة اتصالات فيزياء الحاسوب . 228 : 273-289 . Bibcode : 2018CoPhC.228..273S . doi : 10.1016/j.cpc.2017.11.018 . ISSN 0010-4655 . S2CID 46923647 .

[7] ساكوراي، جيه جيه، ونابليتانو، جيه. (1964، 2011). ميكانيكا الكم الحديثة (الطبعة الثانية)، أديسون ويسلي، رقم ISBN 978-0-8053-8291-4الفصل الخامس

[8] واينبرغ، ستيفن (2015). محاضرات في ميكانيكا الكم ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ص 184. ISBN 978-1-107-11166-0.

[9] لاندو، إل دي؛ ليفشيتز، إي إم (1977). ميكانيكا الكم: النظرية غير النسبية ( الطبعة الثالثة). دار بيرغامون للنشر. ISBN 978-0-08-019012-9.

[10] هوغرفورست م، مينيري م، بينيدونيس ج، صالحي وزيري ك (2021). "اقتطاع هاميلتونيان في فضاء دي سيتر المضاد". مجلة فيزياء الطاقة العالية . 2021 (8) 63. arXiv : 2104.10689 . Bibcode : 2021JHEP...08..063H . doi : 10.1007/JHEP08(2021)063 . S2CID 233346724 .

[11] بير، جينادي ليفيكوفيتش؛ بيكوس، غريغوري إزيكيليفيتش (1974). "الفصل 15: نظرية الاضطراب للحالة المنحلة" . التناظر والتأثيرات الناجمة عن الإجهاد في أشباه الموصلات . وايلي. ISBN 978-0-470-07321-6.

[12] سوليفيريز، كارلوس إي. (1981). "النظرية العامة للهاميلتونيان الفعال" . مجلة Physical Review A. 24 ( 1): 4–9 . Bibcode : 1981PhRvA..24....4S . doi : 10.1103/PhysRevA.24.4 – عبر Academia.Edu.

[:0-13] 1 2 ديك، راينر (2020)، "الاضطرابات المعتمدة على الزمن في ميكانيكا الكم"، في ديك، راينر (محرر)، ميكانيكا الكم المتقدمة: المواد والفوتونات ، نصوص الدراسات العليا في الفيزياء، تشام: دار نشر سبرينغر الدولية، ص 265-310 ، doi : 10.1007/978-3-030-57870-1_13 ، ISBN 978-3-030-57870-1

[14] ألبرت ميسيا (1966). ميكانيكا الكم ، نورث هولاند، جون وايلي وأولاده. ISBN 0486409244جي جي ساكوراي (1994). ميكانيكا الكم الحديثة (أديسون-ويسلي) ISBN 9780201539295.

[fra1-15] فراسكا، م. (1998). "الازدواجية في نظرية الاضطراب والتقريب الكمي الأديباتي". مجلة Physical Review A. 58 ( 5): 3439–3442 . arXiv : hep-th/9801069 . Bibcode : 1998PhRvA..58.3439F . doi : 10.1103/PhysRevA.58.3439 . S2CID 2699775 .

[most-16] مصطفى زاده، أ. (1997). "التقريب الكمي الأديباتي والطور الهندسي". مجلة Physical Review A. 55 ( 3): 1653-1664 . arXiv : hep-th/9606053 . Bibcode : 1997PhRvA..55.1653M . doi : 10.1103/PhysRevA.55.1653 . S2CID 17059815 .

[fra2-17] فراسكا، ماركو (2007). "النظام الكمومي المضطرب بشدة هو نظام شبه كلاسيكي". وقائع الجمعية الملكية أ: العلوم الرياضية والفيزيائية والهندسية . 463 (2085): 2195-2200 . arXiv : hep-th/0603182 . Bibcode : 2007RSPSA.463.2195F . doi : 10.1098/rspa.2007.1879 . S2CID 19783654 .

[18] ليفشيتز، إي إم، و إل دي، وسايكس لانداو (جيه بي). (1965). ميكانيكا الكم؛ النظرية غير النسبية. دار بيرغامون للنشر.

[ 1 ]

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[

[ 12 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗