دالة أورسيل

في الميكانيكا الإحصائية ، دالة أورسيل أو دالة الارتباط المتصلة هي تراكم لمتغير عشوائي . ويمكن الحصول عليها غالبًا عن طريق الجمع على مخططات فاينمان المتصلة (المجموع على جميع مخططات فاينمان يعطي دوال الارتباط ).

سميت دالة أورسيل نسبة إلى هارولد أورسيل ، الذي قدمها في عام 1927.

إذا كان X متغيرًا عشوائيًا، فإن العزوم s _n والتراكمات (نفس دوال أورسيل) u _n هي دوال لـ X مرتبطة بالصيغة الأسية :

$${\displaystyle \operatorname {E} (\exp(zX))=\sum _{n}s_{n}{\frac {z^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n}u_{n}{\frac {z^{n}}{n!}}\right)}$$

(أين${\displaystyle \operatorname {E} }$(هذا هو المتوقع ).

تُعرَّف دوال أورسيل للمتغيرات العشوائية متعددة المتغيرات بشكل مماثل لما سبق، وبنفس طريقة تعريف العزوم التراكمية متعددة المتغيرات. ^{[ 1 ]}

${\displaystyle u_{n}\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)=\left.{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\cdots {\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\log \operatorname {E} \left(\exp \sum z_{i}X_{i}\right)\right|_{z_{i}=0}}$

يتم الحصول على دوال أورسيل لمتغير عشوائي واحد X من هذه عن طريق وضع X = X ₁ = ⋯ = X _n .

تم تقديم الدفعة الأولى بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}(X_{1})={}&\operatorname {E} (X_{1})\\[1ex]u_{2}(X_{1},X_{2})={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2})-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\\[1ex]u_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3})-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2}X_{3})-\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3}X_{1})-\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{1}X_{2})\\&+2\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\\[1ex]u_{4}\left(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right)={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3}X_{4})\\&-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2}X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{1}X_{3}X_{4})\\&-\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{4})-\operatorname {E} (X_{4})\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3})\\&-\operatorname {E} (X_{1}X_{2})\operatorname {E} (X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{1}X_{3})\operatorname {E} (X_{2}X_{4})-\operatorname {E} (X_{1}X_{4})\operatorname {E} (X_{2}X_{3})\\&+2\operatorname {E} (X_{1}X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{4})+2\operatorname {E} (X_{1}X_{3})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{4})\\&+2\operatorname {E} (X_{1}X_{4})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})+2\operatorname {E} (X_{2}X_{3})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{4})\\&+2\operatorname {E} (X_{2}X_{4})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{3})+2\operatorname {E} (X_{3}X_{4})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\\&-6\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{4})\end{aligned}}}$$

أظهر بيركوس (1975) أن دوال أورسيل، التي تعتبر دوال متعددة الخطية لعدة متغيرات عشوائية، يتم تحديدها بشكل فريد حتى ثابت من خلال حقيقة أنها تتلاشى كلما أمكن تقسيم المتغيرات X _{i إلى مجموعتين مستقلتين غير فارغتين.}

• المتراكم