مساحة منحنية

يشير مصطلح الفضاء المنحني غالبًا إلى هندسة مكانية ليست "مسطحة"، حيث يكون للفضاء المسطح انحناء معدوم ، كما هو موضح في الهندسة الإقليدية . ^{[ 1 ]} يمكن وصف الفضاءات المنحنية عمومًا باستخدام الهندسة الريمانية ، على الرغم من إمكانية وصف بعض الحالات البسيطة بطرق أخرى.

تلعب الفضاءات المنحنية دورًا أساسيًا في النسبية العامة ، حيث يُصوَّر الجاذبية غالبًا على أنها زمكان منحني . ^{[ 2 ]} يُعدّ مقياس فريدمان-لوميتر-روبرتسون-ووكر مقياسًا منحنيًا يُشكّل الأساس الحالي لوصف تمدد الكون وشكله . ولأن الفوتونات عديمة الكتلة ومع ذلك تتأثر بالجاذبية، فإن التفسير يجب أن يكون شيئًا آخر غير كتلة الفوتونات. ومن هنا، ينشأ الاعتقاد بأن الأجسام الكبيرة تُقوِّس الفضاء، وبالتالي فإن الضوء، عند انتقاله في الفضاء المنحني، سيبدو خاضعًا للجاذبية . هو ليس كذلك، ولكنه يخضع لانحناء الفضاء.

من الأمثلة الشائعة للفضاء المنحني سطح الكرة. فبينما تبدو الكرة ثلاثية الأبعاد من منظورنا المألوف، إلا أنه إذا اقتصر وجود جسم ما على سطحها، فإنه لا يملك سوى بُعدين للحركة. ويمكن وصف سطح الكرة وصفًا كاملًا ببعدين، فمهما بدا السطح خشنًا، فهو في النهاية مجرد سطح، أي الحد الخارجي ثنائي الأبعاد لحجم ما. حتى سطح الأرض، ذو التعقيد الكسري، ليس سوى حد ثنائي الأبعاد على طول الحافة الخارجية لحجم ما. ^{[ 3 ]}

من السمات المميزة للفضاء المنحني انحرافه عن نظرية فيثاغورس .

${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}\neq dl^{2}}$.

يمكن استعادة العلاقة الفيثاغورية في كثير من الأحيان بوصف الفضاء ببعد إضافي. لنفترض أن لدينا فضاءً ثلاثي الأبعاد غير إقليدي بإحداثيات${\displaystyle \left(x',y',z'\right)}$لأنه ليس مسطحاً

${\displaystyle dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}\neq dl'^{2}\,}$.

لكن إذا وصفنا الآن الفضاء ثلاثي الأبعاد بأربعة أبعاد (${\displaystyle x,y,z,w}$يمكننا اختيار الإحداثيات بحيث

${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dw^{2}=dl^{2}\,}$.

لاحظ أن الإحداثي${\displaystyle x}$لا يُساوي الإحداثي${\displaystyle x'}$.

لكي تكون الإحداثيات الرباعية الأبعاد وصفًا صحيحًا للفضاء ثلاثي الأبعاد الأصلي، يجب أن يكون لها نفس عدد درجات الحرية . وبما أن الإحداثيات الأربع لها أربع درجات حرية، فلا بد من وضع قيد عليها. يمكننا اختيار قيد بحيث تتحقق نظرية فيثاغورس في الفضاء الرباعي الأبعاد الجديد.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}={\textrm {constant}}\,}$.

يمكن أن يكون الثابت موجبًا أو سالبًا. ولتسهيل الأمر، يمكننا اختيار الثابت ليكون

${\displaystyle \kappa ^{-1}R^{2}}$أين${\displaystyle R^{2}\,}$الوضع الحالي إيجابي و${\displaystyle \kappa \equiv \pm 1}$.

يمكننا الآن استخدام هذا القيد للتخلص من الإحداثي الرابع الاصطناعي${\displaystyle w}$مشتق معادلة القيد هو

${\displaystyle xdx+ydy+zdz+wdw=0\,}$مما يؤدي إلى${\displaystyle dw=-w^{-1}(xdx+ydy+zdz)\,}$.

التوصيل${\displaystyle dw}$بإدخالها في المعادلة الأصلية نحصل على

${\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+{\frac {(xdx+ydy+zdz)^{2}}{\kappa ^{-1}R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}}$.

هذا الشكل عادة ما يكون غير جذاب بشكل خاص، ولذلك يتم تطبيق تحويل الإحداثيات في كثير من الأحيان:${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi }$،${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \phi }$،${\displaystyle z=r\cos \theta }$باستخدام تحويل الإحداثيات هذا

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

يمكن وصف هندسة الفضاء ذي الأبعاد n باستخدام الهندسة الريمانية . ويمكن وصف الفضاء المتجانس والمتناحي باستخدام المقياس التالي :

${\displaystyle dl^{2}=e^{-\lambda (r)}{dr^{2}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}$.

يؤول هذا إلى الفضاء الإقليدي عندما${\displaystyle \lambda =0}$لكن يمكن القول إن الفضاء " مسطح " عندما تكون جميع مكونات موتر ويل صفرية. في ثلاثة أبعاد، يتحقق هذا الشرط عندما يكون موتر ريتشي (${\displaystyle R_{ab}}$) يساوي المقياس مضروبًا في قيمة ريتشي القياسية (${\displaystyle R}$(لا ينبغي الخلط بينها وبين حرف R في القسم السابق). أي${\displaystyle R_{ab}=g_{ab}R}$. حساب هذه المكونات من المقياس يعطي أن

${\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-kr^{2}\right)}$أين${\displaystyle k\equiv {\frac {R}{2}}}$.

وهذا يعطي المقياس التالي:

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-k{r^{2}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

أين${\displaystyle k}$يمكن أن تكون القيمة صفرًا أو موجبة أو سالبة، وهي غير محدودة بـ ±1.

يمكن وصف الفضاء المتجانس والمتساوي الخواص بالمقياس التالي :

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

في حالة كون ثابت الانحناء (${\displaystyle R}$عندما تصبح قيمة ) كبيرة إلى ما لا نهاية، يتم إرجاع فضاء إقليدي مسطح . وهذا في الأساس مماثل لوضع${\displaystyle \kappa }$إلى الصفر. إذا${\displaystyle \kappa }$إذا لم يكن الناتج صفرًا، فإن الفضاء ليس إقليديًا.${\displaystyle \kappa =+1}$يُقال إن الفضاء مغلق أو بيضاوي . عندما${\displaystyle \kappa =-1}$يقال إن الفضاء مفتوح أو زائدي .

المثلثات التي تقع على سطح فضاء مفتوح يكون مجموع زواياها أقل من 180 درجة. أما المثلثات التي تقع على سطح فضاء مغلق فيكون مجموع زواياها أكبر من 180 درجة. ومع ذلك، فإن حجمها ليس كذلك .${\displaystyle (4/3)\pi r^{3}}$.

• فضاء CAT( k )
• انحناء غير إيجابي

• محاضرات فاينمان في الفيزياء، المجلد الثاني، الفصل 42: الفضاء المنحني
• باباستافريديس، جون ج. (1999). " الأسطح العامة ذات الأبعاد n (الريمانية)" . حساب الموترات والديناميكا التحليلية . بوكا راتون: مطبعة CRC. ص 211-218 . ISBN  0-8493-8514-8.

• الفضاءات المنحنية ، محاكاة للأكوان متعددة الترابط، من تطوير جيفري ويكس.