مكون الهوية

في الرياضيات ، وتحديداً نظرية الزمر ، يشير عنصر الوحدة في الزمرة G (المعروف أيضاً باسم عنصر الوحدة ) إلى عدة مفاهيم وثيقة الصلة بأكبر مجموعة فرعية متصلة من G تحتوي على عنصر الوحدة.

في طوبولوجيا المجموعات النقطية ، ^{يُعرَّف} العنصر المحايد للمجموعة الطوبولوجية G بأنه العنصر المتصل G₀ من G الذي يحتوي على العنصر المحايد للمجموعة. أما العنصر المحايد للمسار للمجموعة الطوبولوجية G فهو عنصر المسار من G الذي يحتوي على العنصر المحايد للمجموعة.

في الهندسة الجبرية ، ^{يُعرَّف} العنصر المحايد لمجموعة جبرية G على حقل k بأنه العنصر المحايد للفضاء الطوبولوجي الأساسي. ويمكن تعريف العنصر المحايد لمخطط مجموعة G على مخطط أساسي S ، بشكل تقريبي، _بأنه مخطط المجموعة G₀ الذي يكون ليفه فوق النقطة s من S هو العنصر المتصل Gₛ₀ لليف Gₛ _، ^وهي مجموعة جبرية. ^{[ 1 ]}

المكون المحايد G₀ لمجموعة طوبولوجية أو جبرية G هو مجموعة جزئية طبيعية مغلقة من G. ^وهي مغلقة لأن المكونات مغلقة دائمًا . وهي مجموعة جزئية لأن الضرب والانعكاس في مجموعة طوبولوجية أو جبرية هما عمليتان متصلتان بحكم التعريف. علاوة على ذلك، لأي تشاكل ذاتي متصل a من G، لدينا

a ( G ⁰ ) = G ⁰ .

وبالتالي، فإن G ⁰ هي مجموعة فرعية مميزة (طوبولوجية أو جبرية) من G ، لذا فهي طبيعية.

وبناءً على الحجة نفسها المذكورة أعلاه، فإنّ عنصر المسار المحايد لمجموعة طوبولوجية هو أيضاً مجموعة جزئية طبيعية (وهي سمة مميزة للمجموعة الجزئية الطوبولوجية). قد يكون هذا العنصر أصغر عموماً من عنصر المسار المحايد (لأنّ اتصال المسار شرط أقوى من الاتصال)، لكنهما يتفقان إذا كانت المجموعة G متصلة مسارياً محلياً.

ليس بالضرورة أن يكون العنصر المحايد G₀ لمجموعة طوبولوجية G مفتوحًا في G. في الواقع، قد يكون لدينا G₀ ⁼ { e }، وفي هذه الحالة تكون G منفصلة تمامًا . مع ذلك، فإن العنصر المحايد لفضاء متصل مساريًا محليًا (على سبيل المثال، ^زمرة لي ) يكون دائمًا مفتوحًا، لأنه يحتوي على جوار متصل مساريًا لـ { e }؛ وبالتالي فهو مجموعة مغلقة مفتوحة .

تُسمى مجموعة القسمة G / G₀ مجموعة المكونات أو مجموعة مكونات ^G. عناصرها هي المكونات المتصلة لـ G. تكون مجموعة المكونات G / G₀ مجموعة منفصلة إذا وفقط إذا ^كانت G₀ مفتوحة. إذا كانت G مجموعة جبرية من النوع المنتهي ، مثل مجموعة جبرية أفينية ، فإن G / G₀ تكون في ^الواقع مجموعة منتهية ^.

يمكن تعريف مجموعة مكونات المسار بشكل مماثل على أنها مجموعة مكونات المسار (ناتج قسمة G على مكون المسار المحايد)، وعمومًا تكون مجموعة المكونات ناتج قسمة مجموعة مكونات المسار، ولكن إذا كانت G متصلة محليًا عبر المسارات، فإن هاتين المجموعتين تتطابقان. ويمكن أيضًا وصف مجموعة مكونات المسار بأنها مجموعة التماثل الصفرية .${\displaystyle \pi _{0}(G,e).}$

• مجموعة الأعداد الحقيقية غير الصفرية مع الضرب ( R *,•) لها مكونان ومجموعة المكونات هي ({1, − 1},•).
• لنفترض مجموعة الوحدات U في حلقة الأعداد المركبة المنقسمة . في الطوبولوجيا العادية للمستوى { z = x + j y  : x , y ∈ R }، تُقسّم U إلى أربعة مكونات بواسطة الخطين y = x و y = − x حيث لا يوجد معكوس لـ z . عندئذٍ U₀ = { ^z : | y | < x }. في هذه الحالة ، تكون مجموعة مكونات U متماثلة مع مجموعة كلاين الرباعية . 
• المكون المحايد للمجموعة الجمعية ( Z _p ,+) للأعداد الصحيحة p-adic هو المجموعة الفردية {0}، لأن Z _p منفصلة تمامًا.
• مجموعة ويل لمجموعة جبرية اختزالية G هي مجموعة المكونات لمجموعة التطبيع لسطح حلقي أقصى لـ G.
• لنفترض مخطط المجموعة μ₂ ₌ Spec( Z [ x ]/( x² ^- 1)) للجذور الثانية للوحدة المعرّف على المخطط الأساسي Spec( Z ). طوبولوجيًا، يتكون μₙ _من نسختين من المنحنى Spec( Z ) ملتصقتين عند النقطة (أي المثالية الأولية ) 2. لذلك، فإن _μₙ متصل كفضاء طوبولوجي، وبالتالي كمخطط. مع ذلك، لا يساوي μ₂ _عنصره المحايد لأن الليف فوق كل نقطة من Spec( Z ) باستثناء 2 يتكون من نقطتين منفصلتين.

تقبل المجموعة الجبرية G على حقل طوبولوجي K طوبولوجيتين طبيعيتين: طوبولوجيا زاريسكي والطوبولوجيا الموروثة من K. غالبًا ما يتغير عنصر الوحدة في G تبعًا للطوبولوجيا. على سبيل المثال، المجموعة الخطية العامة GL_{_n} ( R ) متصلة كمجموعة جبرية، ولكنها تحتوي على عنصرين مساريين كمجموعة لي، وهما مصفوفات المحدد الموجب ومصفوفات المحدد السالب. أي مجموعة جبرية متصلة على حقل محلي غير أرخميدسي K تكون منفصلة تمامًا في طوبولوجيا K ، وبالتالي يكون عنصر الوحدة فيها تافهًا.

• ديمازور، م . جروتينديك، A. ، جيل، P .؛ Polo, P. (eds.)، Schémas en groupes (SGA 3)، I: Propriétés Générales des Schémas en Groupesطبعة منقحة ومُعلّقة من النسخة الأصلية الصادرة عام 1970.