حساب التفاضل والتكامل بالقضيب

كان حساب القضبان، أو ما يُعرف أيضًا بحساب القضبان، الطريقة الميكانيكية للحساب الخوارزمي باستخدام قضبان العد في الصين من فترة الممالك المتحاربة إلى عهد أسرة مينغ ، قبل أن يتم استبدال قضبان العد تدريجيًا بالمعداد الأكثر ملاءمة وسرعة . وقد لعب حساب القضبان دورًا محوريًا في تطور الرياضيات الصينية إلى ذروتها في عهد أسرتي سونغ ويوان ، وبلغ ذروته باختراع المعادلات متعددة الحدود التي تصل إلى أربعة مجاهيل في أعمال تشو شيجي .

تتكون الأدوات الأساسية لإجراء حساب التفاضل والتكامل بالعصي من حزمة من عصي العد ولوحة عد . تُصنع عصي العد عادةً من أعواد الخيزران، بطول يتراوح بين 12  و15 سم، وقطر يتراوح بين 2 و4 ملم، وأحيانًا من عظام الحيوانات، أو من العاج واليشم (للتجار الميسورين). أما لوحة العد، فقد تكون سطح طاولة، أو لوحًا خشبيًا بشبكة أو بدونها، موضوعًا على الأرض أو على الرمل.  

في عام 1971، اكتشف علماء الآثار الصينيون حزمة من قضبان عدّ العظام الحيوانية المحفوظة جيدًا، والمخزنة في كيس حريري، في مقبرة بمقاطعة تشيان يانغ في مقاطعة شانشي، ويعود تاريخها إلى النصف الأول من عهد أسرة هان (206 ق.م. - 8 م). وفي عام 1975، تم اكتشاف حزمة من قضبان عدّ الخيزران.

ازدهر استخدام قضبان العد لحساب التفاضل والتكامل بالقضبان في فترة الممالك المتحاربة ، على الرغم من عدم العثور على أي قطع أثرية أقدم من عهد أسرة هان الغربية (النصف الأول من أسرة هان ؛ ومع ذلك، فقد اكتشف علماء الآثار قطعًا برمجية لحساب التفاضل والتكامل بالقضبان تعود إلى فترة الممالك المتحاربة )؛ وبما أن برامج حساب التفاضل والتكامل بالقضبان لا بد أنها كانت مصاحبة لأجهزة حساب التفاضل والتكامل بالقضبان، فلا شك في أن حساب التفاضل والتكامل بالقضبان كان مزدهرًا بالفعل خلال فترة الممالك المتحاربة منذ أكثر من 2200 عام.

كان البرنامج الرئيسي المطلوب لحساب العوارض عبارة عن جدول ضرب عشري موضعي بسيط مكون من 45 عبارة يستخدم في الصين منذ العصور القديمة، ويسمى جدول التسعة والتسعة ، والذي كان يتم حفظه عن ظهر قلب من قبل التلاميذ والتجار والمسؤولين الحكوميين والرياضيين على حد سواء.

يعتمد حساب الأضلاع على مبدأ الجمع. على عكس الأرقام العربية ، تتمتع الأرقام المُمثلة بأضلاع العد بخاصية الجمع. تتضمن عملية الجمع تحريك الأضلاع ميكانيكيًا دون الحاجة إلى حفظ جدول الجمع . هذا هو الفرق الأكبر مع الأرقام العربية، إذ لا يمكن جمع 1 و2 معًا لتكوين 3، أو 2 و3 معًا لتكوين 5.

توضح الصورة المجاورة خطوات إضافة 3748 إلى 289:

1. ضع العدد المضاف 3748 في الصف الأول، والعدد المضاف 289 في الصف الثاني.
2. احسب من اليسار إلى اليمين، بدءًا من الرقم 2 من أصل 289.
3. اطرح قضيبين من الأسفل وأضفهما إلى 7 في الأعلى ليصبح المجموع 9.
4. انقل قضيبين من الأعلى إلى الأسفل بمقدار 8، وانقل أحدهما للأمام إلى 9، والذي يصبح صفرًا وينتقل إلى 3 ليصبح 4، ثم أزل 8 من الصف السفلي.
5. انقل قضيبًا واحدًا من 8 في الصف العلوي إلى 9 في الصف السفلي لتشكيل قضيب واحد إلى الصف التالي، وأضف قضيبًا واحدًا إلى قضيبين في الصف العلوي لتكوين 3 قضبان، الصف العلوي الأيسر 7.
6. النتيجة 3748 + 289 = 4037

تتغير القضبان في المضاف طوال عملية الجمع، بينما "تختفي" القضبان في المضاف في الأسفل.

وصف سونزي سوانجينغ بالتفصيل خوارزمية الضرب. على اليسار خطوات حساب 38 × 76:

1. ضع المضروب في الأعلى، والمضروب فيه في الأسفل. قم بمحاذاة خانة الآحاد في المضروب مع أعلى خانة في المضروب فيه. اترك مساحة في المنتصف للتسجيل.
2. ابدأ الحساب من أعلى خانة في العدد المضروب (في المثال، احسب 30 × 76، ثم 8 × 76). باستخدام جدول الضرب ، 3 × 7 = 21. ضع 21 في خانة "العشرات" في المنتصف، بحيث يكون الرقم 1 محاذيًا لخانة العشرات في العدد المضروب (فوق 7). ثم، 3 × 6 = 18، ضع 18 كما هو موضح في الصورة. بعد ضرب العدد المضروب بالكامل في العدد 3، أزل خانة "العشرات".
3. حرك المضاعف خانة واحدة إلى اليمين. غيّر الرقم 7 إلى الشكل الأفقي، والرقم 6 إلى الشكل الرأسي.
4. ٨ × ٧ = ٥٦، ضع ٥٦ في الصف الثاني في المنتصف، مع محاذاة خانة الآحاد مع الأرقام المضروبة في المضاعف. اطرح ٧ من المضاعف لأنه مضروب بالفعل.
5. ٨ × ٦ = ٤٨، بإضافة ٤ إلى ٦ من الخطوة السابقة نحصل على ١٠، نحتفظ بالباقي ١. نطرح ٨ من خانة الآحاد في المضروب، ونطرح ٦ من خانة الآحاد في المضاعف.
6. اجمع 2380 و 508 في المنتصف، مما ينتج عنه 2888: وهو الناتج.

يوضح الرسم المتحرك على اليسار خطوات حساب 309 / 7 = 44 1 / 7 .

1. ضع المقسوم، 309، في الصف الأوسط والمقسوم عليه ، 7، في الصف السفلي. اترك مساحة للصف العلوي.
2. حرك المقسوم عليه، 7، خانة واحدة إلى اليسار، ليصبح شكله أفقيًا.
3. باستخدام جدول الضرب والقسمة الصيني ، فإن 30 ÷ 7 يساوي 4 والباقي 2. ضع الناتج، 4، في الصف العلوي والباقي، 2، في الصف الأوسط.
4. حرك المقسوم عليه خانة واحدة إلى اليمين، ليصبح عموديًا. ٢٩ ÷ ٧ يساوي ٤ والباقي ١. ضع ناتج القسمة، ٤، في الأعلى، واترك المقسوم عليه في مكانه. ضع الباقي في الصف الأوسط مكان المقسوم في هذه الخطوة. والنتيجة هي أن ناتج القسمة هو ٤٤ والباقي ١

نُقلت خوارزمية سنزي للقسمة كاملةً من الخوارزمي إلى الدول الإسلامية من مصادر هندية عام 825م. تُرجم كتاب الخوارزمي إلى اللاتينية في القرن الثالث عشر الميلادي. تطورت خوارزمية سنزي لاحقًا إلى قسمة جالي في أوروبا. كانت خوارزمية القسمة في كتاب أبي الحسن الإقليدي (925م) " كتاب الفصول في الحساب الهندي" وفي كتاب كوشيار بن لبان ( القرن الحادي عشر الميلادي) " مبادئ الحساب الهندوسي " مطابقةً لخوارزمية سنزي.

في حالة وجود باقٍ في قسمة الأعداد العشرية ذات القيمة المكانية ، يجب ترك كل من الباقي والمقسوم عليه في مكانهما، أحدهما فوق الآخر. في ملاحظات ليو هوي على كتاب جيوتشانغ سوانشو (القرن الثاني قبل الميلاد)، يُسمى العدد العلوي "شي" (实)، بينما يُسمى العدد السفلي "فا" (法). في كتاب سونزي سوانجينغ ، يُسمى العدد العلوي "زي" (子) أو "فينزي" (أي ابن الكسر)، ويُسمى العدد السفلي "مو" (母) أو "فينمو" (أي أم الكسر). يُستخدم مصطلحا "فينزي" و"فينمو" في اللغة الصينية الحديثة للدلالة على البسط والمقام على التوالي . كما هو موضح على اليمين، 1 هو باقي البسط، و7 هو مقسوم عليه المقام، مُشكلين الكسر 1/7 . ناتج قسمة 309 على 7 هو 44 + 1 / 7. استخدم ليو هوي الكثير من العمليات الحسابية التي تتضمن الكسور في كتابه " هايداو سوانجينغ " .

تم نقل هذا الشكل من الكسور، الذي يحتوي على بسط في الأعلى ومقام في الأسفل بدون خط أفقي بينهما، إلى البلدان العربية في كتاب يعود تاريخه إلى عام 825 ميلادي من تأليف الخوارزمي عبر الهند، وكان مستخدماً في كتاب "المفتاح الحسابي" لأبي الحسن الإقليدي في القرن العاشر الميلادي وفي كتاب جمشيد الكاشي في القرن الخامس عشر الميلادي.

إضافة

١/٣ + ٢/٥​​​​​​​​

• ضع البسطين 1 و2 على الجانب الأيسر من لوحة العد، وضع المقامين 3 و5 على الجانب الأيمن.
• اضرب 1 في 5، و2 في 3 لتحصل على 5 و6، ثم استبدل البسط بضرب الطرفين المقابل.
• اضرب المقامين 3 × 5 = 15، وضع الناتج في أسفل اليمين.
• اجمع البسطين 5 و 6 = 11، وضعهما في أعلى يمين لوحة العد.
• النتيجة : ١/٣ + ٢/٥ = ١١/١٥​​​​​​​​​​​

الطرح

8 / 9 - 1 / 5​​​​

• ضع الرقم الموجود على القضيب للبسطين 1 و8 على الجانب الأيسر من لوحة العد
• ضع قضبان المقامين 5 و 9 على الجانب الأيمن من لوحة العد
• اضرب طرفي المعادلة: 1 × 9 = 9، 5 × 8 = 40، ثم استبدل البسطين المتناظرين.
• اضرب المقامين 5 × 9 = 45، ثم ضع 45 في أسفل يمين لوحة العد، وأعد المقام إلى مكانه 5.
• اطرح 40 - 9 = 31، وضع الناتج في أعلى اليمين.
• النتيجة : 8 / 9 - 1 / 5 = 31 / 45​​​​​

الضرب

3 1/3 × 5 2/5​​​​​​​

• قم بترتيب قضبان العد لـ 3 1 / 3 و 5 2 / 5 على لوحة العد وفقًا لتنسيق جدول shang, shi, fa .
• مجموع ضرب شانغ في فا يساوي شي: 3 × 3 + 1 = 10؛ 5 × 5 + 2 = 27
• شي مضروبة في شي: 10 × 27 = 270
• fa مضروبة في fa: 3 × 5 = 15
• شي مقسومة على فا : 3 1/3 × 5 2/5 = 18​​

العامل المشترك الأعلى واختزال الكسور

وُضِعَت خوارزمية إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين وتبسيط الكسر في كتاب "جيو تشانغ سوانشو" . يُحَصَّل القاسم المشترك الأكبر عن طريق القسمة المتتالية مع وجود باقٍ حتى يصبح آخر باقيين متطابقين. يُوضِّح الرسم المتحرك على اليمين خوارزمية إيجاد القاسم المشترك الأكبر للعدد 32,450,625 / 59,056,400 وتبسيط الكسر .

في هذه الحالة، القاسم المشترك الأكبر هو 25.

اقسم البسط والمقام على 25. الكسر المختزل هو 1,298,025 / 2,362,256 .

الاستيفاء

استخدم عالم التقويم والرياضيات هي تشنغتيان (何承天) طريقة استيفاء الكسور ، المسماة "مواءمة قاسم اليوم" (调日法)، للحصول على قيمة تقريبية أفضل من القيمة القديمة ، وذلك عن طريق الجمع المتكرر للبسط والمقام - كسر "أضعف" مع كسر "أقوى". ^{[ 5 ]} ويمكن الحصول على قيمة π الأسطورية لزو تشونغ تشي = 355 / 113 باستخدام طريقة هي تشنغتيان. ^{[ 6 ]}

الفصل الثامن: المصفوفات المستطيلة من كتاب Jiuzhang suanshu ، قدم خوارزمية لحل نظام المعادلات الخطية بطريقة الحذف : ^{[ 7 ]}

المسألة 8-1: لنفترض أن لدينا 3 حزم من الحبوب عالية الجودة، وحزمتين من الحبوب متوسطة الجودة، وحزمة واحدة من الحبوب منخفضة الجودة، بوزن إجمالي قدره 39 دُو. ولدينا أيضًا حزمتان، و3 حزم، وحزمة واحدة من الحبوب نفسها، بوزن إجمالي قدره 34 دُو؛ ولدينا أيضًا حزمة واحدة، وحزمتان، و3 حزم من الحبوب نفسها، بوزن إجمالي قدره 26 دُو.

أوجد كمية الحبوب ذات الجودة العالية والمتوسطة والرديئة. في الجبر، يمكن التعبير عن هذه المسألة في نظام من ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل.

${\displaystyle {\begin{cases}3x+2y+z=39\\2x+3y+z=34\\x+2y+3z=26\end{cases}}}$

تم حل هذه المشكلة في لعبة Jiuzhang suanshu باستخدام قضبان العد الموضوعة على لوحة العد في شكل جدولي مشابه لمصفوفة 3x4:

جودة	العمود الأيسر	العمود المركزي	العمود الأيمن
قمة
واسطة
قليل
شي

الخوارزمية:

1. اضرب العمود الأوسط في أعلى قيمة جودة في العمود الأيمن.
2. اطرح العمود الأيمن من العمود الأوسط بشكل متكرر، حتى يصبح الرقم العلوي للعمود الأوسط = 0.
3. اضرب قيمة العمود الأيسر بقيمة الصف العلوي من العمود الأيمن.
4. اطرح العمود الأيمن من العمود الأيسر بشكل متكرر، حتى يصبح الرقم العلوي في العمود الأيسر = 0.
5. بعد تطبيق خوارزمية الحذف المذكورة أعلاه على العمود المركزي المختزل والعمود الأيسر، تم اختزال المصفوفة إلى شكل مثلث.

جودة	العمود الأيسر	العمود المركزي	العمود الأيمن
قمة
واسطة
قليل
شي

كمية عبوة واحدة من الحبوب منخفضة الجودة${\displaystyle ={\frac {99}{36}}=2{\frac {3}{4}}}$

ومنها يمكن معرفة كمية حزمة واحدة من الحبوب عالية الجودة والمتوسطة الجودة بسهولة:

• عبوة واحدة من حبوب الإفطار عالية الجودة = 9 دولارات${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$
• عبوة واحدة من حبوب الإفطار متوسطة الحجم = 4 ضعف${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$

تم وصف خوارزمية استخراج الجذر التربيعي في كتاب Jiuzhang suanshu ومع اختلاف طفيف في المصطلحات في كتاب Sunzi Suanjing .

يُظهر الرسم المتحرك خوارزمية استخراج قيمة تقريبية للجذر التربيعي باستخدام حساب العُقد${\displaystyle {\sqrt {234567}}\approx 484{\tfrac {311}{968}}}$من الخوارزمية الواردة في الفصل الثاني، المسألة رقم 19 من كتاب سونزي سوانجينغ:

الآن لدينا مربع مساحته 234567، أوجد طول أحد أضلاع المربع . ^{[ 8 ]}

الخوارزمية كالتالي:

• ضع الرقم 234567 على لوحة العد، في الصف الثاني من الأعلى، المسمى shi
• قم بوضع علامة رقم 1 في الموضع 10000 في الصف الرابع باسم شيا فا
• قدّر الرقم الأول للجذر التربيعي بأنه الرقم 4 في خانة العد، وضعه في خانة المئات (الصف العلوي) .
• اضرب شانغ 4 في شيافا 1، وضع الناتج 4 في الصف الثالث المسمى فانغ فا
• اضرب shang في fang ثم اطرح الناتج 4 × 4 = 16 من shi : 23 - 16 = 7، ويبقى الرقم 7.
• قم بمضاعفة الرقم 4 ليصبح 8، ثم حركه موضعًا واحدًا إلى اليمين، وقم بتغيير الرقم 8 العمودي إلى الرقم 8 الأفقي بعد تحريكه إلى اليمين.
• حرك شيا فا موضعين إلى اليمين.
• قدّر الرقم الثاني من كلمة "shang" بـ 8: ضع الرقم 8 في الموضع العاشر في الصف العلوي.
• اضرب شيا فا بالرقم الجديد من شانغ ، ثم أضفه إلى فانغ فا

.

• 8 مكالمات 8 = 64، اطرح 64 من الرقم "74" في الصف العلوي، تاركًا قضيبًا واحدًا عند الرقم الأكثر أهمية.
• ضاعف الرقم الأخير من فانغ فا 8، وأضفه إلى 80 = 96
• حرك فانغ فا 96 موضعًا واحدًا إلى اليمين، غيّر الاصطلاح؛ حرك شيا فا "1" موضعين إلى اليمين.
• قدّر الرقم الثالث من كلمة "شانغ" بـ 4.
• اضرب الرقم الجديد من shang 4 في xia fa 1، ثم اجمعه مع fang fa لتحصل على 964.
• اطرح تباعًا 4 × 9 = 36، و4 × 6 = 24، و4 × 4 = 16 من العدد shi ، فيتبقى 311
• ضاعف الرقم الأخير 4 من كلمة "fang fa" ليصبح 8، ثم ادمجه مع كلمة "fang fa".
• نتيجة${\displaystyle {\sqrt {234567}}\approx 484{\tfrac {311}{968}}}$

قام عالم الرياضيات جيا شيان من سلالة سونغ الشمالية بتطوير خوارزمية جمعية ضربية لاستخراج الجذر التربيعي ، حيث استبدل عملية "المضاعفة" التقليدية لـ "fang fa" بإضافة رقم shang إلى رقم fang fa ، مع نفس التأثير.

قدم كتاب Jiuzhang suanshu vol iv "shaoguang" خوارزمية لاستخراج الجذر التكعيبي.

"هذا هو السبب في أن هذا هو السبب وراء ذلك."

المسألة 19: لدينا مكعب χ طول ضلعه 1860867، ما هو طول أحد أضلاعه  ؟ الإجابة: 123 χ.

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1860867}}=123}$

ابتكر عالم الرياضيات جيا شيان، من سلالة سونغ الشمالية، طريقةً مشابهةً لشكلٍ مُبسّطٍ من مخطط هورنر لاستخراج الجذر التكعيبي. يُظهر الرسم المتحرك على اليمين خوارزمية جيا شيان لحل المسألة رقم 19 في كتاب جيوتشانغ سوانشو، المجلد 4.

ابتكر عالم الرياضيات جيا شيان، من سلالة سونغ الشمالية، مخطط هورنر لحل معادلة بسيطة من الدرجة الرابعة على النحو التالي:

${\displaystyle x^{4}=a}$

قام عالم الرياضيات تشين جيوشاو، من أسرة سونغ الجنوبية، بتحسين طريقة هورنر التي وضعها جيا شيان لحل المعادلات متعددة الحدود حتى الدرجة العاشرة. فيما يلي خوارزمية الحل

${\displaystyle -x^{4}+15245x^{2}-6262506.25=0}$في كتابه "الرسالة الرياضية في تسعة أقسام" المجلد 6 المسألة 2. ^{[ 9 ]}

تم ترتيب هذه المعادلة من الأسفل إلى الأعلى باستخدام قضبان العد على لوحة العد في شكل جدولي.

0	شانغ	جذر
626250625	شي	ثابت
0	فانغ	معامل x
15245	شانغ ليان	معامل إيجابي لـ${\displaystyle x^{2}}$⁠
0	فو ليان	معامل سالب لـ${\displaystyle x^{2}}$⁠
0	شيا ليان	معامل ⁠${\displaystyle x^{3}}$⁠
1	يي يو	معامل سالب لـ${\displaystyle x^{4}}$⁠

الخوارزمية:

1. رتب المعاملات في شكل جدول، ثابت عند shi، معامل x عند shang lian، معامل ⁠${\displaystyle x^{4}}$at yi yu;align the numbers at unit rank.
2. تقدم شانغ ليان رتبتين
3. تقدم يي يو ثلاث مراتب
4. تقدير شانغ = 20
5. دع شيا ليان = شانغ * يي يو
6. دع فو ليان = شانغ * يي يو
7. دمج فو ليان مع شانغ ليان
8. دع فانغ = شانغ * شانغ ليان
9. اطرح shang*fang من shi
10. أضف shang * yi yu إلى xia lian
11. اسحب شيا ليان 3 صفوف، واسحب يي يو 4 صفوف
12. الرقم الثاني من كلمة شانغ هو 0
13. دمج شانغ ليان في فانغ
14. دمج يي يو في شيا ليان
15. أضف يي يو إلى فو ليان، واطرح الناتج من فانغ، واجعل الناتج هو المقام
16. أوجد العامل المشترك الأكبر = 25 وبسط الكسر${\displaystyle {\frac {32450625}{59056400}}}$
17. حل${\displaystyle x=20{\frac {1298205}{2362256}}}$

قام عالم الرياضيات لي تشي، من أسرة يوان ، بتطوير حساب القضبان إلى تيان يوان شو

مثال: لي تشي سييوان هايجينغ، المجلد الثاني، المسألة 14، معادلة ذات مجهول واحد:

${\displaystyle -x^{2}-680x+96000=0}$

元

قام عالم الرياضيات تشو شيجي بتطوير حساب التفاضل والتكامل على شكل قضيب ليشمل المعادلات متعددة الحدود من 2 إلى أربعة مجاهيل.

على سبيل المثال، كثيرات الحدود ذات ثلاثة مجاهيل:

المعادلة 1:${\displaystyle -yzy^{2}*x-x+xyz=0}$

太

المعادلة 2:${\displaystyle -y-z+xx^{2}+xz=0}$

المعادلة 3:${\displaystyle y^{2}-z^{2}+x^{2}=0;}$

太

بعد حذف مجهولين متتاليين، تم اختزال معادلة متعددة الحدود ذات ثلاثة مجاهيل إلى معادلة متعددة الحدود ذات مجهول واحد:

${\displaystyle x^{4}-6x^{3}+4x^{2}+6x-5=0}$

تم حل المسألة x=5؛

وهذا يتجاهل 3 إجابات أخرى، اثنتان منها مكررتان.

• الرياضيات الصينية
• عد القضبان

• لام لاي يونغ (蓝丽蓉) آنج تيان سي (洪天赐)، خطوات عابرة، العالم العلمي ISBN 981-02-3696-4
• جان كلود مارتزلوف، تاريخ الرياضيات الصينية، رقم ISBN 978-3-540-33782-9