الطرح

تخيل قطعة مستقيمة طولها b، طرفها الأيسر a وطرفها الأيمن c . انطلاقًا من a ، يتطلب الوصول إلى c خطوة b إلى اليمين . يتم تمثيل هذه الحركة إلى اليمين رياضيًا عن طريق الجمع .

أ + ب = ج .

من النقطة ج ، يتطلب الأمر ب خطوات إلى اليسار للعودة إلى النقطة أ . يتم تمثيل هذه الحركة إلى اليسار عن طريق الطرح:

ج - ب = أ .

الآن، لدينا قطعة مستقيمة مرقمة بالأرقام 1 و 2 و 3 . من الموضع 3، لا يتطلب الأمر أي خطوات إلى اليسار للبقاء عند الموضع 3، لذا 3 - 0 = 3. ويتطلب الأمر خطوتين إلى اليسار للوصول إلى الموضع 1، لذا 3 - 2 = 1. هذا الرسم غير كافٍ لوصف ما سيحدث بعد التحرك 3 خطوات إلى يسار الموضع 3. لتمثيل هذه العملية، يجب تمديد الخط.

لطرح أي عدد طبيعي ، نبدأ بخط يحتوي على جميع الأعداد الطبيعية (0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، ...). من العدد 3، نحتاج إلى ثلاث خطوات إلى اليسار للوصول إلى 0، لذا فإن 3 - 3 = 0. لكن 3 - 4 لا يزال غير صحيح، لأنه يخرج من الخط مرة أخرى. الأعداد الطبيعية ليست سياقًا مناسبًا للطرح.

الحل هو النظر إلى خط الأعداد الصحيحة (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...). بهذه الطريقة، يتطلب الأمر 4 خطوات إلى اليسار من 3 للوصول إلى −1:

3 − 4 = −1 .

عملية طرح الأعداد الطبيعية ليست عملية مغلقة : فالناتج لا يكون عددًا طبيعيًا إلا إذا كان المطروح منه أكبر من أو يساوي المطروح. على سبيل المثال، لا يمكن طرح 26 من 11 للحصول على عدد طبيعي. في هذه الحالة، يُستخدم أحد أسلوبين:

1. استنتج أن 26 لا يمكن طرحها من 11؛ يصبح الطرح دالة جزئية .
2. أعط الإجابة كعدد صحيح يمثل عددًا سالبًا ، لذا فإن نتيجة طرح 26 من 11 هي -15.

يمكن تعريف حقل الأعداد الحقيقية بتحديد عمليتين ثنائيتين فقط، وهما الجمع والضرب، بالإضافة إلى العمليات الأحادية التي تُنتج المعكوس الجمعي والمعكوس الضربي . ويمكن تعريف طرح عدد حقيقي (المطروح) من عدد حقيقي آخر (المطروح منه) على أنه جمع المطروح منه والمعكوس الجمعي للمطروح. على سبيل المثال، 3 − π = 3 + (− π ) . وبدلاً من اشتراط هذه العمليات الأحادية، يمكن اعتبار عمليتي الطرح والقسمة الثنائيتين أساسيتين .

الطرح عملية عكسية ، بمعنى أنه إذا عكسنا ترتيب حدود الفرق من اليسار إلى اليمين، فإن الناتج يكون معكوس الناتج الأصلي. ورمزياً، إذا كان a و b أي عددين، فإن

a − b = −( b − a) .

الطرح عملية غير تجميعية ، وهذا ما يظهر عند محاولة تعريف الطرح المتكرر. بشكل عام، التعبير

" أ - ب - ج "

يمكن تعريفها إما بمعنى ( أ - ب ) - ج أو أ - ( ب - ج )، لكن هذين الاحتمالين يؤديان إلى نتائج مختلفة. لحل هذه المشكلة، يجب تحديد ترتيب العمليات ، حيث يؤدي كل ترتيب إلى نتائج مختلفة.

في سياق الأعداد الصحيحة، يلعب طرح واحد دورًا خاصًا أيضًا: بالنسبة لأي عدد صحيح a ، فإن العدد الصحيح ( a - 1) هو أكبر عدد صحيح أقل من a ، والمعروف أيضًا باسم سلف a .

يمكن الإبلاغ عن التغيرات في النسب المئوية بصيغتين على الأقل: التغير النسبي والتغير في النقطة المئوية . يمثل التغير النسبي التغير النسبي بين الكميتين كنسبة مئوية، بينما يمثل التغير في النقطة المئوية ببساطة الرقم الناتج عن طرح النسبتين المئويتين. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

على سبيل المثال، لنفترض أن 30% من الأدوات المصنعة في مصنع ما معيبة. بعد ستة أشهر، أصبحت نسبة الأدوات المعيبة 20%. النسبة المئوية للتغير هي 20 % - 30% / 30 % = -1/3 = -33 % + 1 / 3 % ، بينما التغير في النقطة المئوية هو -10 نقاط مئوية .

تُدرّس معظم المدارس الأمريكية حاليًا طريقةً للطرح تعتمد على الاستلاف أو إعادة التجميع (خوارزمية التفكيك) ونظام علامات يُسمى "العلامات المساعدة". ^{[ 10 ] [ 11 ]} مع أن طريقة الاستلاف كانت معروفة ومنشورة في الكتب المدرسية سابقًا، إلا أن استخدام العلامات المساعدة في المدارس الأمريكية انتشر بعد أن نشر ويليام أ. براونيل دراسةً زعم فيها أن هذه العلامات مفيدة للطلاب الذين يستخدمون هذه الطريقة. ^{[ 12 ]} انتشر هذا النظام بسرعة، ليحل محل طرق الطرح الأخرى المستخدمة في أمريكا آنذاك.

تستخدم بعض المدارس الأوروبية طريقةً للطرح تُسمى الطريقة النمساوية، والمعروفة أيضاً بطريقة الجمع. لا يوجد استلاف في هذه الطريقة. كما توجد علامات مساعدة (علامات لتسهيل الحفظ)، وتختلف هذه العلامات من بلد لآخر. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

تُقسّم هاتان الطريقتان عملية الطرح إلى عملية طرح رقم واحد حسب قيمته المكانية. بدءًا من الرقم الأقل أهمية، يتم طرح المطروح:

s _j s _{j −1} ... s ₁

من المينوند

m _k m _{k −1} ... m ₁ ,

حيث يمثل كل من _sᵢ و mᵢ رقمًا ، يتم كتابة m₁ - _{s₁ ،} و m₂ - s₂ _، وهكذا، طالما أن _sᵢ لا يتجاوز mᵢ _. وإلا _، يتم زيادة mᵢ بمقدار 10 _، ويتم تعديل رقم آخر لتصحيح هذه الزيادة. تُصحح الطريقة الأمريكية بمحاولة إنقاص رقم المطروح mᵢ _{+ 1 بمقدار واحد (} أو بمواصلة الاستلاف من اليسار حتى يصبح هناك رقم غير صفري للاستلاف منه). أما الطريقة الأوروبية فتُصحح بزيادة رقم المطروح sᵢ _{+ 1} بمقدار واحد.

مثال: 704 - 512.

${\displaystyle {\begin{array}{rrrr}&\color {Red}-1\\&C&D&U\\&7&0&4\\&5&1&2\\\hline &1&9&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\rm {carry}}}\\\\\longleftarrow \;{\rm {Minuend}}\\\longleftarrow \;{\rm {Subtrahend}}\\\longleftarrow {\rm {Rest\;or\;Difference}}\\\end{array}}}$

المطروح منه هو 704، والمطروح منه هو 512. أرقام المطروح منه هي: م ₃ = 7 ، م ₂ = 0 ، م ₁ = 4. أرقام المطروح منه هي: س ₃ = 5 ، س ₂ = 1 ، س ₁ = 2. بدءًا من خانة الآحاد، 4 ليس أقل من 2، لذا يُكتب الفرق 2 في خانة الآحاد للناتج. في خانة العشرات، 0 أقل من 1، لذا يُزاد 0 بمقدار 10، ويُكتب الفرق مع 1، وهو 9، في خانة العشرات. تُصحح الطريقة الأمريكية الزيادة بمقدار 10 عن طريق إنقاص الرقم في خانة المئات للمطروح منه بمقدار واحد. أي أن الرقم 7 يُشطب ويُستبدل بالرقم 6. ثم تُجرى عملية الطرح في خانة المئات، حيث أن 6 لا يقل عن 5، لذا يُكتب الفرق في خانة المئات من الناتج. انتهينا الآن، والناتج هو 192.

لا تُختزل الطريقة النمساوية العدد 7 إلى 6، بل تُزيد خانة المئات في العدد المطروح بمقدار واحد. تُوضع علامة صغيرة بالقرب من هذه الخانة أو أسفلها (بحسب المدرسة). ثم تُستكمل عملية الطرح بسؤال: ما هو العدد الذي إذا أُضيف إليه 1 ثم 5، يصبح الناتج 7؟ الإجابة هي 1، وتُكتب في خانة المئات من الناتج.

ثمة جانب دقيق آخر يتمثل في أن الطالب يستخدم دائمًا جدول الطرح الذهني في الطريقة الأمريكية. أما الطريقة النمساوية، فتشجع الطالب غالبًا على استخدام جدول الجمع ذهنيًا بشكل عكسي. ففي المثال السابق، بدلًا من جمع 1 مع 5، والحصول على 6، ثم طرح الناتج من 7، يُطلب من الطالب التفكير في العدد الذي إذا أُضيف إليه 1، ثم أُضيف إليه 5، يصبح الناتج 7.

مثال: ^{[ 15 ]}

• 
  1 + ... = 3
• 
  الفرق مكتوب أسفل الخط.
• 
  9 + ... = 5 المجموع المطلوب (5) صغير جدًا.
• 
  لذا، نضيف 10 إليه ونضع 1 تحت الرقم الأعلى التالي في المطروح.
• 
  9 + ... = 15 الآن يمكننا إيجاد الفرق كما في السابق.
• 
  (4 + 1) + ... = 7
• 
  الفرق مكتوب أسفل الخط.
• 
  الفرق الكلي.

مثال:

• 
  7 − 4 = 3 هذه النتيجة مكتوبة بالقلم الرصاص فقط.
• 
  لأن الرقم التالي في المطروح منه أصغر من الرقم في المطروح منه، فإننا نطرح واحدًا من الرقم الذي كتبناه بالقلم الرصاص ونضيف عشرة ذهنيًا إلى الرقم التالي.
• 
  15 - 9 = 6
• 
  لأن الرقم التالي في المطروح منه ليس أصغر من المطروح منه، فإننا نحتفظ بهذا الرقم.
• 
  3 − 1 = 2

في هذه الطريقة، يُطرح كل رقم من المطروح من الرقم الذي فوقه بدءًا من اليمين إلى اليسار. إذا كان الرقم العلوي صغيرًا جدًا بحيث لا يمكن طرح الرقم السفلي منه، نضيف إليه 10؛ تُستعار هذه العشرة من الرقم العلوي الذي على يساره، والذي نطرح منه 1. ثم ننتقل إلى طرح الرقم التالي والاستعارة حسب الحاجة، حتى يتم طرح جميع الأرقام. مثال: ^{[ 16 ]}

• 
  3 − 1 = ...
• 
  نكتب الفرق تحت الخط.
• 
  5 − 9 = ... المطروح منه (5) صغير جدًا!
• 
  إذن، نضيف إليه 10. يتم "استعارة" الرقم 10 من الرقم الموجود على اليسار، والذي ينخفض ​​بمقدار 1.
• 
  15 − 9 = ... الآن عملية الطرح تعمل، ونكتب الفرق تحت الخط.
• 
  6 - 4 = ...
• 
  نكتب الفرق تحت الخط.
• 
  الفرق الكلي.

أحد أشكال الطريقة الأمريكية حيث يتم الاستلاف قبل الطرح. ^{[ 17 ]}

مثال:

• 
  1 - 3 = غير ممكن. نضيف 10 إلى 1. ولأن 10 "مستعارة" من 5 المجاورة، فإن 5 تُخفض بمقدار 1.
• 
  4 - 9 = غير ممكن. لذا نتابع كما في الخطوة 1.
• 
  بالعمل من اليمين إلى اليسار: 11 - 3 = 8
• 
  14 - 9 = 5
• 
  6 - 4 = 2

تختلف طريقة الفروق الجزئية عن طرق الطرح الرأسي الأخرى لعدم وجود استلاف أو ترحيل. وبدلاً من ذلك، يتم وضع إشارة الجمع أو الطرح بناءً على ما إذا كان المطروح منه أكبر أو أصغر من المطروح. ومجموع الفروق الجزئية هو الفرق الكلي. ^{[ 18 ]}

مثال:

• 
  يتم طرح العدد الأصغر من العدد الأكبر: 700 - 400 = 300 ولأن المطروح منه أكبر من المطروح منه، فإن هذا الفرق له علامة زائد.
• 
  يتم طرح العدد الأصغر من العدد الأكبر: 90 - 50 = 40 ولأن المطروح منه أصغر من المطروح، فإن هذا الفرق له إشارة سالبة.
• 
  يتم طرح العدد الأصغر من العدد الأكبر: 3 − 1 = 2 ولأن المطروح منه أكبر من المطروح، فإن هذا الفرق له إشارة زائدة.
• 
  +300 − 40 + 2 = 262