التراص المتقارب للكرات المتساوية

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 24 صور
الموسوعة الحرة
رسم توضيحي للتراص المتقارب للكرات المتساوية في كل من الشبكة السداسية المتراصة (يسار) والشبكة المكعبة المتمركزة على الوجوه (يمين)

في الهندسة ، يُعرف التراص المتراص للكرات المتساوية بأنه ترتيب كثيف للكرات المتطابقة في ترتيب منتظم لانهائي (أو شبكة ). وقد أثبت كارل فريدريش غاوس أن أعلى متوسط ​​كثافة - أي أكبر نسبة من الفراغ الذي تشغله الكرات - يمكن تحقيقه من خلال التراص الشبكي هو π32≈0.74048{\textstyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\approx 0.74048}يمكن تحقيق نفس كثافة التعبئة عن طريق تكديس متبادل لنفس المستويات المتراصة من الكرات، بما في ذلك الهياكل غير الدورية في اتجاه التكديس. تنص فرضية كبلر على أن هذه هي أعلى كثافة يمكن تحقيقها بأي ترتيب للكرات، سواء كان منتظمًا أو غير منتظم. وقد أثبت توماس هيلز هذه الفرضية . [ 1 ] [ 2 ] أعلى كثافة معروفة حتى الآن هي فقط للأبعاد 1 و2 و3 و8 و24. [ 3 ]

تعتمد العديد من البنى البلورية على التراص المتقارب لنوع واحد من الذرات، أو التراص المتقارب للأيونات الكبيرة مع وجود أيونات أصغر تملأ الفراغات بينها. وتتقارب الترتيبات المكعبة والسداسية في الطاقة، وقد يصعب التنبؤ بالشكل المفضل انطلاقًا من المبادئ الأساسية.

شبكات FCC و HCP

ترتيب FCC يُرى في اتجاه المحور الرباعي
لجنة الاتصالات الفيدراليةمقدم الرعاية الصحية
يمكن توجيه ترتيب FCC في مستويين مختلفين، مربع أو مثلث. ويمكن ملاحظة ذلك في المكعب الثماني الأوجه ذي الرؤوس الاثني عشر التي تمثل مواقع اثنتي عشرة كرة متجاورة حول كرة مركزية واحدة. أما ترتيب HCP فيمكن ملاحظته في التوجيه المثلثي، ولكنه يتناوب بين موقعين للكرات، في ترتيب مثلثي قائم ثنائي القبة .

توجد شبكتان منتظمتان بسيطتان تحققان أعلى متوسط ​​كثافة. تُسميان الشبكة المكعبة ذات المراكز الوجهية ( FCC ) (وتُسمى أيضًا الشبكة المكعبة ذات التراص المتراص ( CCP )) والشبكة السداسية ذات التراص المتراص ( HCP )، وذلك بناءً على تناظرهما . تعتمد كلتاهما على طبقات من الكرات مرتبة عند رؤوس تبليط مثلثي؛ ويختلفان في كيفية تكديس الطبقات فوق بعضها البعض. تُعرف الشبكة المكعبة ذات المراكز الوجهية (FCC) أيضًا لدى علماء الرياضيات بأنها تلك المُولدة بواسطة نظام الجذور A3 . [ 4 ]

مشكلة قذيفة المدفع

كرات المدفع مكدسة على قاعدة مثلثة (أمامية) ومستطيلة (خلفية) ، وكلاهما من نوع FCC الشبكي.

قام توماس هاريوت بتحليل مسألة التراص المتقارب للكرات رياضيًا لأول مرة حوالي عام 1587، بعد أن طرح عليه السير والتر رالي سؤالًا حول تكديس قذائف المدفع على السفن خلال رحلتهم الاستكشافية إلى أمريكا. [ 5 ] كانت قذائف المدفع تُكدس عادةً في إطار خشبي مستطيل أو مثلث، لتشكيل هرم ثلاثي أو رباعي الأضلاع. ينتج عن كلا الترتيبين شبكة مكعبة مركزية الأوجه، مع اختلاف في اتجاهها بالنسبة للأرض. أما التراص المتقارب السداسي فينتج عنه هرم سداسي الأضلاع بقاعدة سداسية.

مجموعات من كرات الثلج مرتبة على شكل هرم. الهرم الأمامي سداسي الشكل ومتراص بإحكام، والهرم الخلفي مكعب مركزي الوجه.

تُطرح مسألة كرات المدفع على سؤال: ما هي الترتيبات المربعة المسطحة التي يمكن تكديسها لتشكيل هرم مربع؟ وقد صاغ إدوارد لوكاس المسألة على شكل معادلة ديوفانتين.

∑ن=1شمالن2=م2{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}}

أو، على نحو مماثل،

16شمال(شمال+1)(2شمال+1)=2شمال3+3شمال2+شمال6=م2{\displaystyle {\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)={\frac {2N^{3}+3N^{2}+N}{6}}=M^{2}}

وتكهن بأن الحلول الوحيدة هيشمال=1،م=1،{\displaystyle N=1,M=1,}وشمال=24،م=70{\displaystyle N=24,M=70}. هناشمال{\displaystyle N}يمثل عدد الطبقات في الترتيب الهرمي للتكديس وم{\displaystyle M}يمثل عدد قذائف المدفع على طول حافة في الترتيب المربع المسطح.

تحديد المواقع والتباعد

في كلٍّ من الترتيبين FCC وHCP، لكل كرة اثنا عشر كرة مجاورة. ولكل كرة فجوة واحدة محاطة بست كرات ( شكل ثماني الأوجه ) ، وفجوتان أصغر محاطتان بأربع كرات (شكل رباعي الأوجه). تبلغ المسافة بين مراكز هذه الفجوات ومراكز الكرات المحيطة بها √3 / 2 للشكل رباعي الأوجه، و√2 للشكل ثماني الأوجه، عندما يكون نصف قطر الكرة 1.

بالنسبة لطبقة مرجعية ذات موضع A، يُمكن الحصول على موضعين إضافيين B وC. كل تسلسل ممكن من A وB وC دون تكرار مباشر لنفس التسلسل، ويُعطي كثافة تعبئة متساوية للكرات ذات نصف قطر مُحدد.

الأكثر انتظاماً هي

  • FCC = ABC ABC ABC... (كل طبقة ثالثة متشابهة)
  • HCP = AB AB AB AB ... (كل طبقة أخرى هي نفسها).

يوجد عدد لا حصر له من الترتيبات غير المنتظمة للمستويات (مثل ABCACBABABAC...) والتي يشار إليها أحيانًا بشكل جماعي باسم "تعبئة بارلو"، نسبة إلى عالم البلورات ويليام بارلو . [ 6 ]

في التراص المتقارب، تكون المسافة بين مراكز الكرات في المستوى xy عبارة عن تبليط بسيط يشبه خلية النحل، بمسافة بين مراكز الكرات تساوي قطر كرة واحدة. المسافة بين مراكز الكرات، عند إسقاطها على المحور z (الرأسي)، هي:

يقذفZ=6⋅د3≈0.81649658د،{\displaystyle {\text{pitch}}_{Z}={\sqrt {6}}\cdot {d \over 3}\approx 0.816\,496\,58d,}

حيث d هو قطر الكرة؛ وهذا يتبع من الترتيب الرباعي الأوجه للكرات المتراصة.

عدد التنسيق لـ HCP و FCC هو 12 ومعاملات التعبئة الذرية (APFs) الخاصة بهما تساوي الرقم المذكور أعلاه، 0.74.التعبئة المكعبة الأقرب (CCP) والتعبئة السداسية الأقرب (HCP)

توليد الشبكة

مقارنة بين HCP و FCC
الشكل  1: الشبكة السداسية المتراصة (يسار) والشبكة المكعبة المتمركزة على الوجوه (يمين). يظهر المخطط الخارجي لكل شبكة برافي باللون الأحمر. تشير الأحرف إلى الطبقات المتشابهة. توجد طبقتان "أ" في مصفوفة الشبكة السداسية المتراصة، حيث تكون جميع الكرات في نفس الموضع. أما الطبقات الثلاث في الشبكة المكعبة المتمركزة على الوجوه فهي مختلفة. تجدر الإشارة إلى أنه يمكن تحويل تكديس الشبكة المكعبة المتمركزة على الوجوه إلى تكديس الشبكة السداسية المتراصة عن طريق إزاحة الكرة العلوية، كما هو موضح بالمخطط المتقطع.
في الشكل  2، تناول توماس هاريوت، حوالي عام 1585، لأول مرة الجوانب الرياضية لترتيب كرات المدفع أو رصة كرات المدفع، والتي تتميز بشبكة مكعبة مركزية الوجوه (FCC). لاحظ كيف تتلامس الكرتان المواجهتان للمشاهد في الصف الثاني من الأعلى مع الكرة نفسها في الصف الذي يليهما. لا يحدث هذا في شبكة سداسية متراصة (HCP) (الترتيب الأيسر في الشكل  1 أعلاه، والشكل 4  أدناه ).
الشكل 3: يظهر هنا شكل معدل من مجموعة كرات المدفع حيث تمت إضافة ثلاث كرات إضافية لإظهار جميع الكرات الثمانية في المستويات الثلاثة العليا من شبكة FCC الموضحة في الشكل  1 .
الشكل 4: يوضح هذا الشكل جميع الكرات الإحدى عشرة لشبكة HCP الموضحة في الشكل  1. يكمن الاختلاف بين هذه المجموعة والطبقات الثلاث العلوية من مجموعة كرات المدفع في الطبقة السفلية، التي تدور بزاوية نصف قطر الكرة (60 درجة). لاحظ كيف أن الكرتين المواجهتين للمشاهد في الطبقة الثانية من الأعلى لا تتلامسان مع الكرة نفسها في الطبقة التي تليها.
الشكل 5: يساعد هذا العرض المتحرك في توضيح الشكل الهرمي ثلاثي الجوانب ( رباعي الأوجه ) لترتيب كرة المدفع.

عند تكوين أي شبكة تعبئة كروية، أول ما يُلاحظ هو أنه عند تلامس كرتين، يمكن رسم خط مستقيم من مركز إحداهما إلى مركز الأخرى، متقاطعًا مع نقطة التلامس. وبالتالي، فإن المسافة بين المركزين على طول أقصر مسار، أي هذا الخط المستقيم، ستكون r₁ + r₂ ، حيث r₁ هو نصف قطر الكرة الأولى و r₂ هو نصف قطر الكرة الثانية. في التعبئة المتقاربة ، تشترك جميع الكرات في نصف قطر واحد، r . لذلك، ستكون المسافة بين مركزين 2r .  

شبكة HCP بسيطة

رسم متحرك لتوليد شبكة التراص المتراص. ملاحظة: إذا وُضعت طبقة ثالثة (غير موضحة) فوق الطبقة الأولى مباشرةً، فسيتم بناء شبكة التراص السداسي المتراص (HCP). أما إذا وُضعت الطبقة الثالثة فوق ثقوب في الطبقة الأولى، فسيتم إنشاء شبكة التراص المكعب المتمركز على الوجوه (FCC).

لتشكيل رصّ سداسي متراص للكرات بنمط ABAB-...، ستكون إحداثيات الشبكة هي مراكز الكرات. لنفترض أن الهدف هو ملء صندوق بالكرات وفقًا لهذا النمط. سيوضع الصندوق في فضاء الإحداثيات x - y - z .

أولًا، شكّل صفًا من الكرات. تقع مراكزها جميعًا على خط مستقيم. يختلف إحداثيها السيني بمقدار 2r، لأن المسافة بين كل مركزين متلامسين للكرات هي 2r . أما الإحداثيان الصادي والعيني فيتساويان. ولتبسيط الأمر، لنفترض أن الكرات تمثل الصف الأول، وأن إحداثياتها الصادية والعينية هي r، بحيث تقع أسطحها على المستوى الصفري. ستكون إحداثيات مراكز الصف الأول كالتالي: ( 2r , r , r ) ، ( 4r , r , r ) ، ( 6r , r , r ) ، ( 8r , r , r ) ، ...          

الآن، شكّل الصف التالي من الكرات. مرة أخرى، ستقع جميع المراكز على خط مستقيم بفارق إحداثيات س يساوي 2r ، ولكن سيكون هناك إزاحة بمقدار r في اتجاه س بحيث يتطابق مركز كل كرة في هذا الصف مع إحداثي س لنقطة تلامس كرتين في الصف الأول. هذا يسمح لكرات الصف الجديد بالانزلاق أقرب إلى الصف الأول حتى تلامس جميع كرات الصف الجديد كرتين من الصف الأول. بما أن الكرات الجديدة تلامس كرتين، فإن مراكزها تُشكّل مثلثًا متساوي الأضلاع مع مركزي الكرتين المجاورتين. أطوال الأضلاع جميعها تساوي 2r ، لذا فإن فرق الارتفاع أو إحداثي ص بين الصفوف هو √3r . بالتالي ، سيكون لهذا الصف إحداثيات المركز النوني ، بدءًا من 0، وهي ( 2n + 1 ) r ، r + √3r ، r :

( r , r + √ 3 r , r ), (3 r , r + √ 3 r , r ), (5 r , r + √ 3 r , r ), ...            

الكرة الأولى في هذا الصف لا تلامس سوى كرة واحدة في الصف الأصلي، لكن موقعها يتبع نفس النمط مع بقية الصف.

يتبع الصف التالي هذا النمط من إزاحة الإحداثي السيني بمقدار r والإحداثي الصادي بمقدار √3 . أضف صفوفًا حتى تصل إلى حدود المربع القصوى للإحداثيين السيني والصادي .

في نمط التراص ABAB-...، تتطابق إحداثيات المستويات الكروية ذات الأرقام الفردية تمامًا باستثناء اختلاف بسيط في إحداثيات المحور z ، بينما تتشارك المستويات الكروية ذات الأرقام الزوجية نفس إحداثيات المحورين x و y . يتم تشكيل كلا النوعين من المستويات باستخدام النمط المذكور أعلاه، ولكن نقطة بداية الكرة الأولى في الصف الأول ستكون مختلفة.

باستخدام المستوى الموصوف أعلاه بدقة باعتباره المستوى رقم 1، المستوى A، ضع كرة فوق هذا المستوى بحيث تلامس ثلاث كرات في المستوى A. الكرات الثلاث متلامسة بالفعل، مُشكّلةً مثلثًا متساوي الأضلاع، وبما أنها جميعًا تلامس الكرة الجديدة، فإن مراكزها الأربعة تُشكّل رباعي أوجه منتظم . [ 7 ] جميع أضلاعه تساوي 2r لأن جميع الأضلاع تتكون من كرتين متلامستين. ارتفاعه، أو الفرق في الإحداثي z بين "المستويين"، هو √6r² / 3 . هذا ، بالإضافة إلى الإزاحات في الإحداثيين x و y ، يُعطي مراكز الصف الأول في المستوى B:

( r , r + 1 ⁄ √ 3 r , r + 2 √ 2/3 r ), (3 r , r + 1 ⁄ √ 3 r , r + 2 √ 2/3 r ), (5 r , r + 1 ⁄ √ 3 r , r + 2 √ 2/3 r ), ...                  

تتبع إحداثيات الصف الثاني النمط الموصوف أعلاه وهي كالتالي:

(2 r , r + 4 ⁄ √ 3 r , r + 2 √ 2/3 r ), (4 r , r + 4 ⁄ √ 3 r , r + 2 √ 2/3 r ), (6 r , r + 4 ⁄ √ 3 r , r + 2 √ 2/3 r ), ...                  

الفرق إلى المستوى التالي، المستوى A، هو مرة أخرى 2 √ 2/3 r في اتجاه z وإزاحة في x و y لمطابقة إحداثيات x و y للمستوى A الأول. [ 8 ]

بشكل عام، يمكن كتابة إحداثيات مراكز الكرات على النحو التالي:

[2أنا+((ج + ك)مود2)3ج+كمود23223ك]ر{\displaystyle {\begin{bmatrix}2i+{\bigl (}(j\ +\ k){\bmod {2}}{\bigr )}\\{\sqrt {3}}j+{\frac {k{\bmod {2}}}{\sqrt {3}}}\\2{\sqrt {\frac {2}{3}}}k\\\end{bmatrix}}r}

حيث i و j و k هي مؤشرات تبدأ من 0 للإحداثيات x و y و z .

مؤشرات ميلر

مؤشر ميلر-برافيه لشبكة HCP

يمكن وصف الخصائص البلورية لأنظمة HCP، مثل المتجهات وعائلات المستويات الذرية، باستخدام ترميز مؤشر ميلر رباعي القيم ( hkil )، حيث يشير المؤشر الثالث i إلى مكون متدهور ولكنه ملائم يساوي −h −  k . تفصل بين اتجاهات المؤشرات h و i و k زاوية 120 درجة، وبالتالي فهي ليست متعامدة؛ أما المكون l فهو متعامد مع اتجاهات المؤشرات h و i و k . 

ملء المساحة المتبقية

تُعدّ التعبئة المكعبة المتمركزة على الوجوه (FCC) والتعبئة السداسية المتراصة (HCP) أكثر أنواع التعبئة كثافةً المعروفة للكرات المتساوية ذات التناظر الأعلى (أصغر وحدات التكرار). توجد أنواع تعبئة كروية أكثر كثافة ، لكنها تتضمن تعبئة كروية غير متساوية . تتطلب كثافة التعبئة 1، التي تملأ الفراغ تمامًا، أشكالًا غير كروية، مثل خلايا النحل .

يؤدي استبدال كل نقطة تلامس بين كرتين بحافة تصل بين مركزي الكرتين المتلامستين إلى تكوين رباعيات الأوجه وثمانيات الأوجه متساوية في طول الحافة. ​​ينتج عن ترتيب FCC شكل قرص العسل رباعي الأوجه-ثماني الأوجه . وينتج عن ترتيب HCP شكل قرص العسل رباعي الأوجه-ثماني الأوجه المُدار . أما إذا أُضيفت إلى كل كرة النقاط الأقرب إليها في الفضاء من أي كرة أخرى، فسينتج الشكلان الثنائيان لهذين الشكلين: شكل قرص العسل المعيني ذو الاثني عشر وجهًا في حالة FCC، وشكل قرص العسل شبه المعيني ذو الاثني عشر وجهًا في حالة HCP.

تظهر فقاعات كروية في الماء والصابون بترتيب مكعب مركزي الوجوه (FCC) أو سداسي متراص (HCP) عندما يتسرب الماء من الفراغات بين الفقاعات. يقترب هذا النمط أيضًا من شكل قرص العسل المعيني ذي الاثني عشر وجهًا أو قرص العسل شبه المعيني ذي الاثني عشر وجهًا . مع ذلك، فإن هذه الرغوات ذات المحتوى السائل المنخفض جدًا تكون غير مستقرة، لأنها لا تخضع لقوانين بلاتو . أما رغوة كلفن ورغوة وير-فيلان فهما أكثر استقرارًا، إذ تتميزان بطاقة سطحية أقل في حالة المحتوى السائل المنخفض جدًا. [ 9 ]

توجد نوعان من الفراغات البينية التي تخلفها التكوينات السداسية المكتظة (hcp) والمكعبة المتمركزة على الوجوه (fcc): فراغ رباعي الأوجه وفراغ ثماني الأوجه. يحيط بالفراغ رباعي الأوجه أربع كرات، ثلاث منها في طبقة واحدة وكرة واحدة من الطبقة التالية. بينما يحيط بالفراغ ثماني الأوجه ست كرات، ثلاث منها في طبقة واحدة وثلاث في الطبقة التالية. غالبًا ما تُوصف هياكل العديد من المركبات الكيميائية البسيطة، على سبيل المثال، بدلالة ذرات صغيرة تشغل فراغات رباعية أو ثمانية الأوجه في أنظمة مكتظة تتكون من ذرات أكبر.

تتشكل البنى الطبقية من خلال تناوب المستويات الثمانية السطوح الفارغة والمملوءة. تسمح طبقتان ثمانيتا السطوح عادةً بأربعة ترتيبات هيكلية يمكن ملؤها إما بنظام تعبئة سداسي متراص (hcp) أو نظام تعبئة مكعب مركزي الوجوه (fcc). عند ملء الثقوب رباعية السطوح، يؤدي الملء الكامل إلى مصفوفة حقل مكعب مركزي الوجوه. في الخلايا الوحدوية، قد يؤدي ملء الثقوب أحيانًا إلى مصفوفات متعددة السطوح ذات مزيج من طبقات سداسية متراصة ومكعب مركزي الوجوه. [ 10 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ هيلز، تي سي (1998). "نظرة عامة على حدسية كبلر". arXiv : math/9811071v2 .
  2. ↑ سزبيرو، جورج (2003). "الرياضيات: هل البرهان متين؟" . مجلة نيتشر . 424 (6944): 12-13 . Bibcode : 2003Natur.424...12S . doi : 10.1038/424012a . PMID 12840727 . 
  3. ↑ كوهن، هـ.؛ كومار، أ.؛ ميلر، س.د.؛ رادشينكو، د.؛ فيازوفسكا، م. (2017). "مسألة تعبئة الكرات في البعد 24". حوليات الرياضيات . 185 (3): 1017-1033 . arXiv : 1603.06518 . doi : 10.4007/annals.2017.185.3.8 . S2CID 119281758 . 
  4. ↑ كونواي، جون هورتون ؛ سلون، نيل جيمس ألكسندر ؛ باناي، إيتشي (1999). تعبئة الكرات، والشبكات، والمجموعات . سبرينغر. القسم 6.3. ISBN 9780387985855.
  5. ↑ دارلينج، ديفيد. "مشكلة قذيفة المدفع" . موسوعة الإنترنت للعلوم .
  6. ↑ بارلو، ويليام (1883). "الطبيعة المحتملة للتناظر الداخلي للبلورات" . مجلة نيتشر . 29 (738): 186-188 . Bibcode : 1883Natur..29..186B . doi : 10.1038/029186a0 .
  7. ↑ "حول التعبئة الكروية" . Grunch.net . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12-06-2014 .
  8. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "التعبئة السداسية المتراصة" . عالم الرياضيات .
  9. ^ كانتات، إيزابيل . كوهين أدد، سيلفي؛ إلياس، فلورنسا؛ جرانر، فرانسوا؛ هوهلر، رينهارد. فلاتمان، روث؛ بيتوا ، أوليفييه (2013). الرغاوي والبنية والديناميكيات . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. رقم ISBN 9780199662890.
  10. ↑ وودوارد، باتريك م.؛ كارين، بافيل؛ إيفانز، جون س.و.؛ فوغت، توماس (2021). كيمياء مواد الحالة الصلبة . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 9780521873253.
  • كريشنا، ب.؛ باندي، د. (1981). البنى ذات التراص المتقارب (ملف PDF) . الاتحاد الدولي لعلم البلورات، لجنة كتيبات تعليم علم البلورات. المجلد  5. كارديف، ويلز: مطبعة جامعة كارديف. ISBN 0-906449-08-1.