رقم مهذب

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 7 صور
الموسوعة الحرة
مخطط يونغ الذي يمثل بصريًا توسيعًا مهذبًا 15  =  4  +  5  +  6

في نظرية الأعداد ، يُعرَّف العدد المهذب بأنه عدد صحيح موجب يُمكن كتابته كمجموع عددين صحيحين موجبين متتاليين أو أكثر. أما العدد الصحيح الموجب الذي لا يُعدّ مهذبًا فيُسمى غير مهذب . [ 1 ] [ 2 ] الأعداد غير المهذبة هي قوى العدد اثنين ، بينما الأعداد المهذبة هي الأعداد الطبيعية التي ليست قوى للعدد اثنين.

تُسمى الأعداد المهذبة أيضًا بالأعداد المتدرجة، لأن مخططات يونغ التي تُمثل بيانيًا تقسيمات العدد المهذب إلى أعداد صحيحة متتالية (في التدوين الفرنسي لرسم هذه المخططات) تُشبه السلالم . [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] إذا كانت جميع الأعداد في المجموع أكبر من واحد، تُسمى الأعداد الناتجة بالأعداد شبه المنحرفة، لأنها تُمثل أنماطًا من النقاط مُرتبة على شكل شبه منحرف . [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]

لقد درس سيلفستر [ 13 ] ، وماسون [ 14 ] [ 15 ] ، وليفيك [ 16 ] ، والعديد من المؤلفين المعاصرين الآخرين، مسألة تمثيل الأعداد كمجموع أعداد صحيحة متتالية، وحساب عدد التمثيلات من هذا النوع. [ 1 ] [ 2 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] وتصف الأعداد المهذبة الأعداد الممكنة لأضلاع مضلعات راينهارت . [ 24 ]

أمثلة وتوصيف

الأرقام القليلة الأولى المهذبة هي

3، 5، 6، 7، 9، 10، 11، 12، 13، 14، 15، 17، 18، 19، 20، 21، 22، 23، 24، 25، 26، 27، 28، 29، 30، 31، 33، 34، 35، 36، 37، 38، 39، 40، 41، 42، 43، 44، 45، 46، 47، 48، 49، 50، ... (التسلسل A138591 في OEIS ) .

الأعداد غير المهذبة هي بالضبط قوى العدد اثنين . [ 13 ] ويترتب على نظرية لامبيك-موسر أن العدد المهذب رقم n هو f ( n  + 1)، حيث

و(ن)=ن+⌊سجل2⁡(ن+سجل2⁡ن)⌋.{\displaystyle f(n)=n+\left\lfloor \log _{2}\left(n+\log _{2}n\right)\right\rfloor .}

الأدب

يُعرَّف أدب العدد الموجب بأنه عدد الطرق التي يمكن بها التعبير عنه كمجموع أعداد صحيحة متتالية. لكل عدد صحيح x ، يساوي أدب x عدد القواسم الفردية لـ x الأكبر من واحد. [ 13 ] أدب الأعداد 1، 2، 3، ... هو

0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 1, 3, ... (التسلسل A069283 في OEIS ) .

على سبيل المثال، درجة أدب العدد 9 هي 2 لأنه يحتوي على قاسمين فرديين، هما 3 و9، وله تمثيلان مهذبان.

9 = 2 + 3 + 4 = 4 + 5؛

تُعتبر درجة أدب العدد 15 هي 3، لأنه يحتوي على ثلاثة قواسم فردية، وهي 3 و5 و15، و(كما هو معروف لدى لاعبي الكريبج ) [ 25 ] ثلاث تمثيلات مهذبة

15 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8.

إحدى الطرق السهلة لحساب درجة أدب عدد موجب هي تحليل العدد إلى عوامله الأولية ، ثم أخذ قوى جميع العوامل الأولية الأكبر من 2، وإضافة 1 إلى كل منها، وضرب الأعداد الناتجة مع بعضها البعض، ثم طرح 1. على سبيل المثال، العدد 90 له درجة أدب 5 لأن90=2×32×51{\displaystyle 90=2\times 3^{2}\times 5^{1}}قوتا العددين 3 و5 هما 2 و1 على التوالي، وبتطبيق هذه الطريقة(2+1)×(1+1)-1=5{\displaystyle (2+1)\times (1+1)-1=5}.

بناء تمثيلات مهذبة من قواسم فردية

لتوضيح العلاقة بين القواسم الفردية والتمثيلات المهذبة، لنفترض أن العدد x له قاسم فردي y  > 1. عندئذٍ، فإن y من الأعداد الصحيحة المتتالية التي تتمركز حول x / y (بحيث يكون متوسط ​​قيمتها x / y ) يكون مجموعها x :

x=∑أنا=xy-y-12xy+y-12أنا.{\displaystyle x=\sum _{i={\frac {x}{y}}-{\frac {y-1}{2}}}^{{\frac {x}{y}}+{\frac {y-1}{2}}}i.}

قد تكون بعض حدود هذا المجموع صفرًا أو سالبة. مع ذلك، إذا كان أحد الحدود صفرًا، فيمكن حذفه، ويمكن استخدام أي حدود سالبة لإلغاء الحدود الموجبة، مما يؤدي إلى تمثيل مُبسّط لـ x . (يتوافق شرط أن يكون y  > 1 مع شرط أن يحتوي التمثيل المُبسّط على أكثر من حد واحد؛ تطبيق نفس البناء على y  =  1 سيؤدي فقط إلى التمثيل البسيط ذي الحد الواحد x  = x ). على سبيل المثال، العدد المُبسّط x = 14 له قاسم فردي واحد غير تافه، وهو 7. لذلك فهو مجموع 7 أعداد متتالية مركزها 14/7 = 2.     

14 = (2 − 3) + (2 − 2) + (2 − 1) + 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3).

يلغي الحد الأول، -1، الحد اللاحق +1، ويمكن حذف الحد الثاني، صفر، مما يؤدي إلى التمثيل المهذب

14 = 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) = 2 + 3 + 4 + 5.

على النقيض، يمكن تكوين أي تمثيل مهذب للعدد x من هذا البناء. إذا كان التمثيل يحتوي على عدد فردي من الحدود، فإن x / y هو الحد الأوسط، بينما إذا كان يحتوي على عدد زوجي من الحدود وكانت قيمته الدنيا m، فيمكن تمديده بطريقة فريدة إلى متتالية أطول بنفس المجموع وعدد فردي من الحدود، وذلك بإضافة الأعداد 2m -  1  التالية: -( m  -  1)، -( m  -  2)، ...، -1، 0، 1، ...، m  -  2، m  -  1. بعد هذا التمديد، يكون x / y هو الحد الأوسط مرة أخرى. من خلال هذا البناء، يمكن وضع التمثيلات المهذبة للعدد وقواسمه الفردية الأكبر من واحد في تناظر أحادي ، مما يُعطي برهانًا تقابليًا لتوصيف الأعداد المهذبة والتهذيب. [ 13 ] [ 26 ] وبشكل أعم، تُعطي الفكرة نفسها تطابقًا ثنائيًا بين، من جهة، التمثيلات كمجموع أعداد صحيحة متتالية (مما يسمح بالصفر والأعداد السالبة والتمثيلات ذات الحد الواحد) ومن جهة أخرى، القواسم الفردية (بما في ذلك 1). [ 15 ]

ينص تعميم آخر لهذه النتيجة على أنه لأي قيمة n ، فإن عدد تقسيمات n إلى أعداد فردية ذات k قيم مميزة يساوي عدد تقسيمات n إلى أعداد مميزة ذات k سلاسل متتالية قصوى من الأعداد المتتالية. [ 13 ] [ 27 ] [ 28 ] السلسلة المتتالية هنا هي قيمة واحدة أو أكثر متتالية بحيث لا تشكل القيمتان المتتاليتان الأكبر والأصغر منها جزءًا من التقسيم؛ على سبيل المثال، يحتوي التقسيم 10  =  1  +  4  +  5 على سلسلتين، هما 1 و4  +  5. التمثيل المهذب له سلسلة متتالية واحدة، والتقسيم ذو القيمة الواحدة d يكافئ تحليل n إلى عوامله الأولية كحاصل ضرب d ⋅ ( n / d )، لذا فإن الحالة الخاصة k  =  1 لهذه النتيجة تؤكد مرة أخرى التكافؤ بين التمثيلات المهذبة والعوامل الفردية (بما في ذلك في هذه الحالة التمثيل التافه n  = n والعامل الفردي التافه 1).  

الأعداد شبه المنحرفة

إذا بدأ التمثيل المهذب بالرقم 1، فإن الرقم المُمثَّل يكون رقمًا مثلثيًا

تين=ن(ن+1)2=1+2+⋯+ن.{\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}=1+2+\cdots +n.}

وإلا، فهو الفرق بين عددين مثلثيين غير متتاليين

أنا+(أنا+1)+(أنا+2)+⋯+ج=تيج-تيأنا-1(ج>أنا≥2).{\displaystyle i+(i+1)+(i+2)+\cdots +j=T_{j}-T_{i-1}\quad (j>i\geq 2).}

تُسمى هذه الحالة الثانية بالعدد شبه المنحرف. [ 12 ] يمكن أيضًا النظر في الأعداد المهذبة غير شبه المنحرفة. هذه الأعداد الوحيدة هي الأعداد المثلثية التي لها قاسم فردي واحد غير تافه، لأنه بالنسبة لهذه الأعداد، وفقًا للتقابل الموصوف سابقًا، يتوافق القاسم الفردي مع التمثيل المثلثي، ولا يمكن أن يكون هناك تمثيلات مهذبة أخرى. وبالتالي، يجب أن يكون للعدد المهذب غير شبه المنحرف شكل قوة للعدد اثنين مضروبة في عدد أولي فردي. وكما لاحظ جونز ولورد، [ 12 ] يوجد نوعان فقط من الأعداد المثلثية بهذا الشكل:

  1. الأعداد الزوجية الكاملة 2n - 1 ( 2n -  1 )  المُكوَّنة  من حاصل ضرب عدد أولي من أعداد ميرسين 2n - 1 في نصف أقرب قوة للعدد اثنين ، و 
  2. حاصل ضرب 2 n  −  1 (2 n  + 1) في عدد أولي من فيرما 2 n  + 1 مع نصف أقرب قوة للعدد اثنين.

(المتتالية A068195 في OEIS ) . على سبيل المثال، العدد الكامل 28  =  2³ - 1 (2³ - 1 ) والعدد 136 = 2⁴ - 1   ( 2⁴ + 1) كلاهما من هذا النوع من الأعداد المهذبة. يُفترض وجود عدد لا نهائي من أعداد ميرسين الأولية، وفي هذه الحالة يوجد أيضًا عدد لا نهائي من الأعداد المهذبة من هذا النوع .        

مراجع

  1. 1 2 آدامز، كين (مارس 1993)، "ما مدى أدب x ؟"، مجلة الرياضيات ، 77 (478): 79-80 ، doi : 10.2307/3619263 ، JSTOR 3619263 ، S2CID 171530924  .
  2. 1 2 غريغز، تيري س. (ديسمبر 1991)، "الأعداد غير المهذبة"، المجلة الرياضية ، 75 (474): 442-443 ، doi : 10.2307/3618630 ، JSTOR 3618630 ، S2CID 171681914  .
  3. ↑ ماسون، جون؛ بيرتون، ليون ؛ ستايسي، كاي (1982)، التفكير الرياضي ، أديسون-ويسلي، ISBN 978-0-201-10238-3.
  4. ↑ ستايسي، ك .؛ غروفز، س. (1985)، استراتيجيات حل المشكلات ، ملبورن: لاتيتيود.
  5. ^ ستايسي، ك . Scott، N. (2000)، "التوجه إلى البنية العميقة عند تجربة الأمثلة: مفتاح لحل المشكلات بنجاح"، في Carillo، J.؛ Contreras، LC (eds.)، حل المشكلات في Albores del Siglo XXI: رؤية دولية من منظورات متعددة ومستويات تعليمية (PDF) ، هويلفا، إسبانيا: Hergue، الصفحات من 119 إلى 147، أرشفة من النسخة الأصلية (PDF) بتاريخ 2008-07-26 .
  6. ↑ غامر، كارلتون؛ رودر، ديفيد دبليو؛ واتكينز، جون جيه (1985)، "الأعداد شبه المنحرفة"، مجلة الرياضيات ، 58 (2): 108-110 ، doi : 10.2307/2689901 ، JSTOR 2689901 .
  7. ^ جان ، تشارلز إ. (مارس 1991)، " Les nombres trapézoïdaux" (الفرنسية) ، Bulletin de l'AMQ : 6–11.
  8. ↑ هاغارد، بول دبليو؛ موراليس، كيلي إل (1993)، "اكتشاف العلاقات والأنماط من خلال استكشاف الأعداد شبه المنحرفة"، المجلة الدولية للتعليم الرياضي في العلوم والتكنولوجيا ، 24 (1): 85-90 ، doi : 10.1080/0020739930240111.
  9. ↑ فينبرغ-ماكبراين، كارول (1996)، "حالة الأعداد شبه المنحرفة"، معلم الرياضيات ، 89 (1): 16-24 ، doi : 10.5951/MT.89.1.0016.
  10. ↑ سميث، جيم (1997)، "الأعداد شبه المنحرفة"، الرياضيات في المدرسة ، 5 : 42.
  11. ↑ فيرهوف، ت. (1999)، "الترتيبات المستطيلة وشبه المنحرفة" ، مجلة متواليات الأعداد الصحيحة ، 2 : 16، رمز Bibcode : 1999JIntS...2...16V ، المقالة 99.1.6.
  12. 1 2 3 جونز، كريس؛ لورد، نيك (1999)، "توصيف الأعداد غير شبه المنحرفة"، المجلة الرياضية ، 83 (497): 262-263 ، doi : 10.2307/3619053 ، JSTOR 3619053 ، S2CID 125545112  .
  13. 1 2 3 4 5 سيلفستر، جيه جيه ؛ فرانكلين، إف (1882)، "نظرية بنائية للتقسيمات، مرتبة في ثلاثة فصول، تفاعل وخروج" ، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 5 (1): 251-330 ، doi : 10.2307/2369545 ، JSTOR 2369545 في كتاب "الأوراق الرياضية المجمعة لجيمس جوزيف سيلفستر" (ديسمبر 1904) ، قام إتش إف بيكر بتحريره. يعرف سيلفستر فئة التقسيم إلى أعداد صحيحة متميزة على أنها عدد كتل الأعداد الصحيحة المتتالية في التقسيم، لذلك في تدوينه، يكون التقسيم المهذب من الدرجة الأولى.
  14. ↑ ماسون، تي إي ( 1911)، "حول تمثيلات العدد كمجموع أعداد صحيحة متتالية"، وقائع أكاديمية إنديانا للعلوم : 273-274.
  15. 1 2 ماسون، توماس إي. (1912)، "حول تمثيل عدد صحيح كمجموع أعداد صحيحة متتالية"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 19 (3): 46-50 ، doi : 10.2307/2972423 ، JSTOR 2972423 ، MR 1517654  .
  16. ↑ ليفيك، دبليو جيه (1950)، "حول التمثيلات كمجموع أعداد صحيحة متتالية"، المجلة الكندية للرياضيات ، 2 : 399-405 ، doi : 10.4153/CJM-1950-036-3 ، MR 0038368 ، S2CID 124093945  ،
  17. ↑ بونغ، ​​واي يان (2007)، "مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية"، مجلة الرياضيات الجامعية ، 38 (2): 119-123 ، arXiv : math/0701149 ، Bibcode : 2007math......1149P ، doi : 10.1080/07468342.2007.11922226 ، MR 2293915 ، S2CID 14169613  .
  18. ↑ بريت، مايكل جيه سي؛ فرادين، ليلي؛ فيليبس، كاثي؛ فيلدمان، ديما؛ كوبر، ليون ن. (2005)، "حول مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية"، مجلة الرياضيات التطبيقية الفصلية ، 63 (4): 791-792 ، doi : 10.1090/S0033-569X-05-00991-1 ، MR 2187932 .
  19. ↑ فرينزن، سي إل (1997)، "برهان بدون كلمات: مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة المتتالية"، مجلة الرياضيات ، 70 (4): 294، doi : 10.1080/0025570X.1997.11996560 ، JSTOR 2690871 ، MR 1573264  .
  20. ↑ جاي، روبرت (1982)، "مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية" (ملف PDF) ، مجلة فيبوناتشي الفصلية ، 20 (1): 36-38 ، doi : 10.1080/00150517.1982.12430026 ، Zbl 0475.10014 .
  21. ↑ أبوستول، توم م. (2003)، "مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة المتتالية"، المجلة الرياضية ، 87 (508): 98-101 ، doi : 10.1017/S002555720017216X ، JSTOR 3620570 ، S2CID 125202845  .
  22. ↑ بريليب، روبرت و.؛ كوينزي، نوربرت ج. (1975)، "مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة المتتالية"، معلم الرياضيات ، 68 (1): 18-21 ، doi : 10.5951/MT.68.1.0018.
  23. ↑ باركر، جون (1998)، "مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية"، الرياضيات في المدرسة ، 27 ( 2): 8-11.
  24. ↑ موسينغهوف، مايكل ج. (2011)، "حصر المضلعات متساوية الأقطار ومتساوية المحيط"، مجلة نظرية التوافيق ، السلسلة أ، 118 (6): 1801-1815 ، doi : 10.1016/j.jcta.2011.03.004 ، MR 2793611 
  25. ↑ غراهام، رونالد ؛ كنوت، دونالد ؛ باتاشنيك، أورين (1988)، "المسألة 2.30"، الرياضيات الملموسة ، أديسون-ويسلي، ص 65، ISBN  978-0-201-14236-5.
  26. ↑ فاديرلند، بول ؛ جاي، ريتشارد ك.؛ لارسون، لورين سي. (2002)، حلّال المشكلات الفضولي ، الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 205-206 ، ISBN  978-0-88385-806-6.
  27. ↑ أندروز، جي إي (1966)، "حول تعميمات نظرية تقسيم أويلر"، مجلة ميشيغان الرياضية ، 13 (4): 491-498 ، doi : 10.1307/mmj/1028999609 ، MR 0202617 .
  28. ↑ راماماني، ف.؛ فينكاتاتشالينجار، ك. (1972)، "حول نظرية تقسيم لسيلفستر"، مجلة ميشيغان الرياضية ، 19 (2): 137-140 ، doi : 10.1307/mmj/1029000844 ، MR 0304323 .
  • الأعداد المهذبة ، المركز الوطني لأبحاث اللغة الإنجليزية، جامعة كامبريدج، ديسمبر 2002
  • تقديم Runsums ، بقلم ر. نوت.
  • هل يوجد نمط معين لمجموعة الأعداد شبه المنحرفة؟ سؤال اليوم على موقع Intellectualism.org، 2 أكتوبر 2003. مع رسم بياني يوضح الأعداد شبه المنحرفة مُرمّزة بالألوان حسب عدد الحدود في مفكوكاتها.