الهندسة غير الأبيلية

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 3 صور
الموسوعة الحرة

الهندسة اللابيلية هي نظرية في الهندسة الحسابية تصف كيفية مساهمة المجموعة الجبرية الأساسية لنوع حسابي معين X ، أو أي شكل هندسي ذي صلة، في استعادة X. وقد توصل يورغن نوكيرش ، وماساتوشي غوندوز إيكيدا ، وكينكيتشي إيواساوا ، وكوجي أوشيدا ( نظرية نوكيرش-أوتشيدا ، 1969) إلى أولى النتائج المتعلقة بحقول الأعداد ومجموعات غالوا المطلقة الخاصة بها ، وذلك قبل التخمينات التي وضعها ألكسندر غروتينديك حول المنحنيات الزائدية فوق حقول الأعداد . وكما ورد في رسالة إلى فالتينغز (1983؛ انظر أيضًا Esquisse d'un Programme عام 1984)، فقد تناولت هذه التخمينات كيفية تطابق التشاكلات الطوبولوجية بين مجموعتين حسابيتين أساسيتين لمنحنيين زائديين فوق حقول الأعداد مع الدوال بين المنحنيات. تم حل النسخة الأولى من حدسية غروتينديك غير الأبيلية بواسطة هيرواكي ناكامورا وأكيو تاماغاوا (للمنحنيات الأفينية)، ثم أكملها شينيتشي موتشيزوكي . [ 1 ]

تطورت النظرية منذ ذلك الحين إلى أشكال متنوعة (أشكال مطلقة، وأحادية التبادلية، وتوافقية) وتفاعلات متعددة مع نظرية الأعداد ، والهندسة الجبرية ، والطوبولوجيا منخفضة الأبعاد . [ 2 ] [ 3 ]

صياغة تخمين غروتينديك حول المنحنيات

تمت صياغة "المسألة اللابدائية" على النحو التالي:

ما مقدار المعلومات المتعلقة بفئة التشاكل للتنوع X الموجودة في معرفة المجموعة الأساسية إيتال [ 4 ]؟

ومن الأمثلة الملموسة على ذلك حالة المنحنيات، التي قد تكون أفينية أو إسقاطية. لنفترض وجود منحنى زائدي C ، أي مكمل n نقطة في منحنى جبري إسقاطي من النوع g ، يُفترض أنه أملس وغير قابل للاختزال، معرف على حقل K مولد نهائيًا (على حقله الأولي )، بحيث

2-2ز-ن<0{\displaystyle 2-2g-n<0}.

افترض غروتينديك أن المجموعة الجبرية الأساسية G للمجموعة C ، وهي مجموعة منتهية ، تحدد C نفسها (أي أن فئة التشاكل لـ G تحدد فئة التشاكل لـ C ). وقد أثبت موتشيزوكي ذلك. [ 5 ] ومن الأمثلة على ذلك حالةز=0{\displaystyle g=0}( الخط الإسقاطي ) ون=4{\displaystyle n=4}عندما تُحدد فئة التشاكل لـ C بنسبة التبادل في K للنقاط الأربع المحذوفة (تقريبًا، حيث يوجد ترتيب للنقاط الأربع في نسبة التبادل، ولكن ليس في النقاط المحذوفة). [ 6 ] توجد أيضًا نتائج لحالة K كحقل محلي . [ 7 ]

الهندسة أحادية التبادلية

قدّم شينيتشي موتشيزوكي وطوّر الهندسة أحادية التبادلية ، وهي منهجية تستعيد، بالنسبة لفئة معينة من المنحنيات الزائدية على حقول الأعداد أو حقول أخرى، المنحنى من مجموعته الجبرية الأساسية . نُشرت النتائج الرئيسية للهندسة أحادية التبادلية في كتاب موتشيزوكي "مواضيع في الهندسة التبادلية المطلقة" الجزء الأول (2012)، والجزء الثاني (2013)، والجزء الثالث (2015). [ 8 ]

النهج المعاكس للهندسة أحادية التبادل هو الهندسة ثنائية التبادل ، وهو مصطلح صاغه موتشيزوكي في "مواضيع في الهندسة التبادلية المطلقة III" للإشارة إلى النهج الكلاسيكي.

تتناول الهندسة أحادية التبادلية أنواعًا محددة (نوع بيلي تحديدًا) من المنحنيات الزائدية على حقول الأعداد والحقول المحلية. تُوسّع هذه النظرية الهندسة التبادلية بشكل كبير، وهدفها الرئيسي هو بناء خوارزميات تُنتج المنحنى، حتى التشاكل، من المجموعة الأساسية الإيتالية لهذا المنحنى. على وجه الخصوص، تُنتج هذه النظرية، ولأول مرة، استعادةً داليةً متزامنةً لحقل الأعداد الأساسي وإكماله، من المجموعة الأساسية لفئة كبيرة من المنحنيات الإهليلجية المثقوبة على حقول الأعداد. [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] ترتبط نظرية تايخمولر الشاملة لشينيتشي موتشيزوكي ارتباطًا وثيقًا بالهندسة أحادية التبادلية وتستخدم نتائجها المختلفة في صورتها المطلقة. [ 12 ]

الهندسة التوافقية غير التبديلية

قدّم شينيتشي موتشيزوكي أيضًا الهندسة التوافقية اللابيلية التي تتناول مسائل المنحنيات الزائدية وغيرها من المخططات ذات الصلة على الحقول المغلقة جبريًا. نُشرت النتائج الأولى في بحث موتشيزوكي بعنوان "نسخة توافقية من حدسية غروتينديك " (2007) و"حول التشكّل التوافقي للمنحنيات الزائدية" (2010). لاحقًا، طُبّق هذا المجال على المنحنيات الزائدية بواسطة يويتشيرو هوشي وموتشيزوكي في سلسلة من أربعة أبحاث بعنوان "مواضيع متعلقة بالهندسة التوافقية اللابيلية للمنحنيات الزائدية" (2012-2013).

يهتم علم الهندسة التوافقية اللاأبيلية بإعادة بناء الكائنات المخططة أو الحلقية من بيانات تركيبية أولية. ويعود أصل هذا العلم إلى بعض الأفكار التوافقية المتعلقة بحساب مجموعات الجدائل وجبر لي الخاص بها، كما طرحها ماكوتو ماتسوموتو وآخرون [ 13 ] ، ثم لاحقًا إلى براهين موتشيزوكي لتخمين غروتينديك. وتقدم بعض نتائج الهندسة التوافقية اللاأبيلية براهين بديلة لحالات جزئية من تخمين غروتينديك دون استخدام نظرية هودج p-adic . كما يساعد هذا العلم في دراسة جوانب مختلفة من مجموعة غروتينديك-تيشمولر ومجموعات غالوا المطلقة لحقول الأعداد [ 14 ] والحقول المحلية ذات الخصائص المختلطة [ 15 ] .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ شينيتشي موتشيزوكي، هيروآكا ناكامورا، أكيو تاماغاوا، "تخمين غروتينديك للمجموعات الأساسية للمنحنيات الجبرية"، سوغاكو إكسبوزيشن (ترجمة الجمعية الرياضية الأمريكية الإنجليزية) (14) 1، الجمعية الرياضية الأمريكية: 31-53، http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/rhino/NTM300.pdf (2001)
  2. ↑ كولاس، بنيامين؛ موروتاني، تاكاهيرو؛ ياماغوتشي، ناغانوري (أغسطس 2025). "تناظرات الفضاءات والأعداد - الهندسة اللاأبيلية". arXiv : 2508.01588 [ math.NT ].
  3. ↑ كولاس، بنيامين (فبراير 2025). "الهندسة الحسابية اللابدائية - هندسة جديدة للأشكال والأعداد: نظرية تايخمولر الشاملة أو ما وراء رؤية غروتينديك " . مجلة لوباتشيفسكي للرياضيات . 45 (10). سبرينغر نيتشر: 4954-4979 . doi : 10.1134/S1995080224600894 . hdl : 2433/301079 .
  4. ↑ شنابس، ليلى (1997). "مسيرة غروتينديك الطويلة عبر نظرية غالوا"" . في: شنيبس؛ لوشاك، بيير (محرران). تأثيرات غالوا الهندسية. 1. سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن. المجلد  242. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . الصفحات 59-66 . MR 1483109 .  
  5. ↑ موتشيزوكي، شينيتشي (1996). "تخمين غروتينديك المحدود للمنحنيات الزائدية المغلقة على حقول الأعداد". مجلة العلوم الرياضية، جامعة طوكيو . 3 (3): 571-627 . hdl : 2261/1381 . MR 1432110 . 
  6. ↑ إيهارا، ياسوتاكا ؛ ناكامورا، هيروآكي (1997). "بعض الأمثلة التوضيحية للهندسة غير التبادلية في الأبعاد العالية" (ملف PDF) . في: شنابس، ليلى ؛ لوشاك، بيير (محرران). تأثيرات غالوا الهندسية. 1. سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن. المجلد 242. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . الصفحات 127-138 . MR 1483114 .   
  7. ↑ موتشيزوكي، شينيتشي (2003). "الهندسة اللابيلية المطلقة للمنحنيات الكنسية" (ملف PDF) . دوكومنتا ماثيماتيكا . سلسلة دوكومنتا ماثيماتيكا. مجلد إضافي، عيد ميلاد كازويا كاتو الخمسين: 609-640 . doi : 10.4171/dms/3/17 . ISBN 978-3-936609-21-9MR 2046610 .​ 
  8. ↑ هوشي، يويتشيرو، مقدمة في الهندسة أحادية التبادل (PDF) ستظهر في وقائع مؤتمر "المجموعات الأساسية في الهندسة الحسابية"، باريس، فرنسا 2016.(موقع ذو صلة بـ "الهندسة أحادية التبادلية" في Semantic Scholar))
  9. ↑ موتشيزوكي، شينيتشي (2012). "مواضيع في الهندسة اللابيلية المطلقة 1". مجلة العلوم الرياضية، جامعة طوكيو . 19 : 139-242 .
  10. ↑ موتشيزوكي، شينيتشي (2013). "مواضيع في الهندسة اللابيلية المطلقة II". مجلة العلوم الرياضية، جامعة طوكيو . 20 : 171-269 .
  11. ↑ موتشيزوكي، شينيتشي (2015). "مواضيع في الهندسة اللابيلية المطلقة III". مجلة العلوم الرياضية، جامعة طوكيو . 22 : 939-1156 .
  12. ↑ موتشيزوكي، شينيتشي (2021). "نظرية تايخمولر الشاملة I، II، III، IV". منشورات معهد البحوث للعلوم الرياضية 57 : 3-723 . doi : 10.4171 /prims/57-1-1 .
  13. ^ ماتسوموتو، ماكوتو (1996). "تمثيلات جالوا على مجموعات جديلة محددة على منحنيات" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 474 : 169 – 219.
  14. ^ كولاس ، بنيامين (2026-03-03). “وجهات نظر أنابيلية في نظرية جالوا-تيشمولر”. أرخايف : 2603.02848 [ math.AG ].
  15. ↑ "الهندسة التوافقية غير التبديلية والمواضيع ذات الصلة، ورشة عمل RIMS، 5-9 يوليو 2021" .