حقل الدوال الجبرية

في الرياضيات ، حقل الدوال الجبرية (يُختصر غالبًا باسم حقل الدوال )${\displaystyle n}$المتغيرات على حقل${\displaystyle k}$هو امتداد حقل مُولّد بشكل نهائي${\displaystyle K/k}$والتي تتمتع بدرجة التسامي${\displaystyle n}$زيادة${\displaystyle k}$[ ^{1 ]} وبصورة مكافئة، حقل دالة جبرية ^من${\displaystyle n}$المتغيرات على${\displaystyle k}$يمكن تعريفها على أنها امتداد حقل منتهٍ للحقل${\displaystyle K=k(x_{1},\dots ,x_{n})}$من الدوال الكسرية في${\displaystyle n}$المتغيرات على${\displaystyle k}$.

على سبيل المثال، في حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle k[x,y]}$لننظر إلى المثال الذي يولده كثير الحدود غير القابل للاختزال${\displaystyle y^{2}-x^{3}}$وتشكل مجال كسور حلقة القسمة${\displaystyle k[x,y]/(y^{2}-x^{3})}$هذا حقل دالة لمتغير واحد${\displaystyle k}$ويمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي:${\displaystyle k(x)({\sqrt {x^{3}}})}$(مع الدرجة 2 على${\displaystyle k(x)}$) أو كما${\displaystyle k(y)({\sqrt[{3}]{y^{2}}})}$(مع الدرجة 3 فوق${\displaystyle k(y)}$). نرى أن درجة حقل الدالة الجبرية ليست مفهومًا محددًا جيدًا.

حقول الدوال الجبرية على${\displaystyle k}$تشكل فئة ؛ التشكلات من حقل الدالة${\displaystyle K}$ل${\displaystyle L}$هي تشاكلات الحلقة${\displaystyle f:K\to L}$مع${\displaystyle f(a)=a}$للجميع${\displaystyle a}$في${\displaystyle k}$جميع هذه التشكلات أحادية . إذا${\displaystyle K}$هو حقل دالة على${\displaystyle k}$ل${\displaystyle n}$المتغيرات، و${\displaystyle L}$هو حقل دالة في${\displaystyle m}$المتغيرات، و${\displaystyle n>m}$إذن، لا توجد تشاكلات من${\displaystyle K}$ل${\displaystyle L}$.

حقل الدوال لمجموعة متنوعة جبرية ذات بُعد${\displaystyle n}$زيادة${\displaystyle k}$هو حقل دالة جبرية لـ${\displaystyle n}$المتغيرات على${\displaystyle k}$تكون صنفان متكافئين ثنائيًا إذا وفقط إذا كانت حقول وظائفهما متماثلة (مع ملاحظة أن الأصناف غير المتماثلة قد يكون لها نفس حقل الوظيفة). يؤدي تعيين حقل الوظيفة لكل صنف إلى ازدواجية (تكافؤ متغاير) بين فئة الأصناف على${\displaystyle k}$(مع الخرائط العقلانية المهيمنة كتشاكلات) وفئة حقول الدوال الجبرية على${\displaystyle k}$يجب فهم الأصناف المذكورة هنا بالمعنى المخططي ؛ وليس بالضرورة أن يكون لها أي${\displaystyle k}$- نقاط عقلانية، مثل المنحنى${\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0}$معرفة على الأعداد الحقيقية.

القضية${\displaystyle n=1}$(المنحنيات الجبرية غير القابلة للاختزال بمعنى المخطط ) مهمة بشكل خاص، لأن كل حقل دالة لمتغير واحد على${\displaystyle k}$ينشأ كحقل دالة لمنحنى جبري إسقاطي غير قابل للاختزال، مُعرَّف بشكل فريد ( أي غير شاذ)، فوق${\displaystyle k}$في الواقع، يُنتج حقل الدوال ازدواجية بين فئة المنحنيات الجبرية الإسقاطية المنتظمة غير القابلة للاختزال (مع الخرائط المنتظمة المهيمنة كتشاكلات) وفئة حقول الدوال ذات المتغير الواحد على${\displaystyle k}$.

المجال${\displaystyle M(X)}$من الدوال الميرومورفية المعرفة على سطح ريمان متصل${\displaystyle X}$هو حقل دالة لمتغير واحد على الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$. في الحقيقة،${\displaystyle M(X)}$ينتج عن ذلك ازدواجية بين فئة أسطح ريمان المتصلة المدمجة (مع الخرائط الهولومورفية غير الثابتة كتشاكلات) وحقول الدوال ذات المتغير الواحد على${\displaystyle \mathbb {C} }$توجد علاقة مماثلة بين أسطح كلاين المتصلة المدمجة وحقول الدوال في متغير واحد على${\displaystyle \mathbb {R} }$.

تنصّ معادلة حقل الدوال على أن جميع النظريات المتعلقة بحقول الأعداد تقريبًا لها نظير في حقول الدوال ذات المتغير الواحد على حقل منتهٍ ، وغالبًا ما يكون إثبات هذه النظريات أسهل (انظر النظير لكثيرات الحدود غير القابلة للاختزال على حقل منتهٍ ). وفي سياق هذه المعادلة، يُطلق على كل من حقول الأعداد وحقول الدوال على الحقول المنتهية عادةً اسم " الحقول الشاملة ".

يُعدّ دراسة حقول الدوال على حقل منتهٍ ذا تطبيقات في علم التشفير ورموز تصحيح الأخطاء . فعلى سبيل المثال، يُعتبر حقل الدوال لمنحنى إهليلجي على حقل منتهٍ (وهو أداة رياضية مهمة في التشفير بالمفتاح العام ) حقل دوال جبري.

تلعب حقول الدوال على حقل الأعداد النسبية دورًا مهمًا أيضًا في حل مسائل غالوا العكسية .

بالنظر إلى أي حقل دالة جبرية${\displaystyle K}$زيادة${\displaystyle k}$، يمكننا اعتبار مجموعة عناصر${\displaystyle K}$والتي هي جبرية على${\displaystyle k}$تشكل هذه العناصر حقلاً، يُعرف باسم حقل الثوابت لحقل الدالة الجبرية.

على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$هو حقل دالة لمتغير واحد على${\displaystyle \mathbb {R} }$مجال ثوابتها هو${\displaystyle \mathbb {C} }$.

الأدوات الرئيسية لدراسة حقول الدوال الجبرية هي القيم المطلقة، والتقييمات، والأماكن ، وإكمالها.

بالنظر إلى حقل دالة جبرية${\displaystyle K/k}$بالنسبة لمتغير واحد، نُعرّف مفهوم حلقة التقييم لـ${\displaystyle K/k}$هذه حلقة فرعية${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ل${\displaystyle K}$الذي يحتوي${\displaystyle k}$وهو يختلف عن${\displaystyle k}$و${\displaystyle K}$، بحيث يكون لأي${\displaystyle x}$في${\displaystyle K}$لدينا${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}}$أو${\displaystyle x^{-1}\in {\mathcal {O}}}$كل حلقة تقييم من هذا القبيل هي حلقة تقييم منفصلة ، ​​ويُطلق على مثاليها الأقصى اسم مكان${\displaystyle K/k}$.

تقييم منفصل لـ${\displaystyle K/k}$هي دالة شاملة${\displaystyle v:K\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle x,y\in K}$،

• ${\displaystyle v(xy)=v(x)+v(y)}$،
• ${\displaystyle v(x+y)\geq \min\{v(x),v(y)\}}$،
• ${\displaystyle v(x)=\infty \iff x=0}$

و${\displaystyle v(a)=0}$للجميع${\displaystyle a\in k\setminus \{0\}}$.

توجد علاقات تقابلية طبيعية بين مجموعة حلقات التقييم لـ${\displaystyle K/k}$مجموعة أماكن${\displaystyle K/k}$ومجموعة التقييمات المنفصلة لـ${\displaystyle K/k}$يمكن إعطاء هذه المجموعات بنية طوبولوجية طبيعية : فضاء زاريسكي-ريمان لـ${\displaystyle K/k}$.

• حقل دالة من نوع جبري
• مجال الدالة (نظرية المخططات)
• دالة جبرية
• وحدة درينفيلد