ازدواجية الحجر

تنطلق هذه النظرية من حقيقة أن كل فضاء طوبولوجي يتميز بمجموعة من النقاط X ونظام Ω( X ) من المجموعات المفتوحة لعناصر X ، أي مجموعة جزئية من مجموعة القوى لـ X. من المعروف أن Ω( X ) لها خصائص مميزة: فهي شبكة كاملة تُعطى فيها القيم العليا والدنيا المحدودة باتحادات المجموعات وتقاطعات المجموعات المحدودة، على التوالي. علاوة على ذلك، فهي تحتوي على كل من X والمجموعة الفارغة . وبما أن تضمين Ω( X ) في شبكة القوى لـ X يحافظ على القيم الدنيا المحدودة والقيم العليا العشوائية، فإن Ω( X ) ترث قانون التوزيع التالي:

${\displaystyle x\wedge \bigvee S=\bigvee \{\,x\wedge s:s\in S\,\},}$

لكل عنصر (مجموعة مفتوحة) x ولكل مجموعة جزئية S من Ω( X ). لذا، فإن Ω( X ) ليست شبكة كاملة عشوائية، بل هي جبر هيتينغ كامل (يُسمى أيضًا إطارًا أو موضعًا - تُستخدم هذه التسميات بشكل أساسي لتمييز عدة فئات لها نفس فئة الكائنات ولكن بتشاكلات مختلفة: تشاكلات الإطار، وتشاكلات الموضع، وتشاكلات جبر هيتينغ الكامل). الآن، يتبادر إلى الذهن سؤال بديهي: إلى أي مدى يتميز الفضاء الطوبولوجي بموضعه من المجموعات المفتوحة؟

كما أُشير سابقًا، يمكننا التوسع أكثر. تحتوي فئة الفضاءات الطوبولوجية Top على الدوال المتصلة كتشاكلات، حيث تكون الدالة f متصلة إذا كانت ^الصورة العكسية f⁻¹ ( O ) لأي مجموعة مفتوحة في المجال المقابل لـ f مفتوحة في مجال f . بالتالي، فإن أي دالة متصلة f من فضاء X إلى فضاء Y تُعرّف تطبيقًا عكسيًا f⁻¹ من Ω( Y ) إلى Ω( X ). علاوة على ذلك، من السهل التحقق من أن f⁻¹ (مثل أي تطبيق صورة عكسي) يحافظ على التقاطعات المحدودة والاتحادات العشوائية، وبالتالي فهو تشاكل للأطر . إذا عرّفنا Ω( f ) = ^{f⁻¹ ،} فإن Ω تصبح دالة متغايرة من فئة Top إلى فئة Frm ^للأطر وتشاكلات الأطر. باستخدام أدوات نظرية الفئات، فإن مهمة إيجاد توصيف للفضاءات الطوبولوجية من حيث شبكات المجموعات المفتوحة الخاصة بها تعادل إيجاد دالة من Frm إلى Top وهي مترافقة مع Ω.

يهدف هذا القسم إلى تعريف دالة pt من Frm إلى Top ، والتي تعكس، بمعنى ما، عملية Ω، وذلك بتخصيص مجموعة من النقاط pt( L ) (ومن هنا جاء الرمز pt) لكل منطقة L ، مع طوبولوجيا مناسبة. ولكن كيف يمكننا استعادة مجموعة النقاط من المنطقة فقط، على الرغم من أنها ليست شبكة من المجموعات؟ من المؤكد أنه لا يمكن توقع أن تتمكن pt، بشكل عام، من إعادة إنتاج جميع العناصر الأصلية لفضاء طوبولوجي من شبكة مجموعاته المفتوحة فقط - على سبيل المثال، جميع المجموعات ذات الطوبولوجيا غير المنفصلة تُنتج (حتى التشاكل) نفس المنطقة، بحيث تختفي المعلومات المتعلقة بالمجموعة المحددة. ومع ذلك، لا تزال هناك تقنية معقولة للحصول على "نقاط" من منطقة، وهو ما يُعد مثالًا على بناء أساسي لنظريات الازدواجية من نوع ستون.

لنبدأ بالنظر إلى نقاط الفضاء الطوبولوجي X. قد يميل المرء عادةً إلى اعتبار نقطة من X عنصرًا x من المجموعة X ، ولكن في الواقع يوجد وصف أكثر فائدة لدراستنا الحالية. أي نقطة x تُنتج دالة متصلة p( _x) من الفضاء الطوبولوجي ذي العنصر الواحد 1 (جميع مجموعاته الجزئية مفتوحة) إلى الفضاء X ، وذلك بتعريف p( _x) (1) = x . وبالعكس، فإن أي دالة من 1 إلى X تُحدد بوضوح نقطة واحدة: العنصر الذي "تشير" إليه. لذلك، يمكن وصف مجموعة نقاط الفضاء الطوبولوجي، بشكل مكافئ، بأنها مجموعة الدوال من 1 إلى X.

عند استخدام الدالة Ω للانتقال من فضاء Top إلى فضاء Frm ، تُفقد جميع العناصر النظرية للمجموعات في الفضاء، ولكن - باستخدام فكرة أساسية من نظرية الفئات - يمكن العمل أيضًا على فضاءات الدوال . في الواقع، أي "نقطة" p( _x) : 1 → X في فضاء Top تُحوّل إلى تشاكل Ω( p( _x )) : Ω( X ) → Ω(1). إن شبكة المجموعة المفتوحة للفضاء الطوبولوجي ذي العنصر الواحد Ω(1) هي ببساطة (متماثلة مع) الموضع ذي العنصرين 2 = { 0, 1 } حيث 0 < 1. بعد هذه الملاحظات، يبدو من المعقول تعريف مجموعة نقاط الموضع L على أنها مجموعة تشاكلات الإطار من L إلى 2. ومع ذلك، لا يوجد ضمان بأن كل نقطة من الموضع Ω( X ) تتطابق تطابقًا تامًا مع نقطة من الفضاء الطوبولوجي X (لنأخذ مرة أخرى الطوبولوجيا غير المنفصلة، ​​التي تحتوي شبكة المجموعة المفتوحة فيها على "نقطة" واحدة فقط).

قبل تحديد الطوبولوجيا المطلوبة على pt( X )، يجدر بنا توضيح مفهوم نقطة في منطقة ما. يشير المنظور المذكور أعلاه إلى اعتبار نقطة في منطقة ما L بمثابة تشاكل إطاري p من L إلى 2. لكن هذه التشاكلات تتميز بشكل مكافئ بالصورة العكسية لعنصري 2. من خصائص التشاكلات الإطارية، يمكن استنتاج أن p⁻¹ (0) هي مجموعة دنيا (لأن p مجموعة رتيبة )، تحتوي على أكبر عنصر aₚ = ^√p⁻¹ (0) (لأن _p يحافظ على القيم العليا العشوائية). بالإضافة إلى ذلك، فإن المثالي الرئيسي ^p⁻¹ (0) هو مثالي أولي لأن p يحافظ على القيم الدنيا المحدودة ، وبالتالي فإن ^aₚ هو عنصر أولي عند نقطة التقاطع ^{. الآن} _، فإن معكوس المجموعة لـ p⁻¹ ( 0) المعطى بواسطة p⁻¹ ( ¹ ) هو مرشح أولي تمامًا لأن p⁻¹ ( ⁰ ) مثالي أولي رئيسي. اتضح أن جميع هذه الأوصاف تحدد بشكل فريد تشاكل الإطار الأولي. نلخص ما يلي:

يمكن وصف نقطة من موقع L بشكل مكافئ على النحو التالي:

• تشاكل إطاري من L إلى 2
• مثال أولي رئيسي لـ L
• عنصر أولي من L
• مرشح أولي تمامًا من النوع L.

لكل هذه الأوصاف مكانها ضمن النظرية، ومن الملائم التبديل بينها حسب الحاجة.

الآن وقد أصبح لدينا مجموعة من النقاط لأي موقع، يبقى علينا تزويد هذه المجموعة بطوبولوجيا مناسبة لتحديد الجزء الكائن من الدالة pt. ويتم ذلك بتعريف المجموعات المفتوحة لـ pt( L ) على النحو التالي:

φ( a ) = { p ∈ pt( L ) | ص ( أ ) = 1 },

لكل عنصر a من L. هنا، اعتبرنا نقاط L بمثابة تشاكلات، ولكن يمكن بالطبع صياغة تعريف مماثل لجميع التوصيفات المكافئة الأخرى. يمكن إثبات أن وضع Ω(pt( L )) = {φ( a ) | a ∈ L } يُنتج بالفعل فضاءً طوبولوجيًا (pt( L ), Ω(pt( L ))). من الشائع اختصار هذا الفضاء بـ pt( L ).

أخيرًا، يمكن تعريف النقطة pt على تشاكلات Frm بشكل شبه قياسي بتعريف، بالنسبة لتشاكل إطار g من L إلى M ، pt( g ): pt( M ) → pt( L ) كما يلي: pt( g )( p ) = p o g . بعبارة أخرى، نحصل على تشاكل من L إلى 2 (نقطة من L ) بتطبيق التشاكل g للانتقال من L إلى M قبل تطبيق التشاكل p الذي ينقل من M إلى 2. مرة أخرى، يمكن صياغة هذا رسميًا باستخدام الأوصاف الأخرى لنقاط الموضع أيضًا - على سبيل المثال، حساب ( p o g ) ⁻¹ (0).

كما ذُكر سابقًا، فإن pt و Ω ليستا عادةً معكوسين. عمومًا، لا يكون X متماثلًا طوبولوجيًا مع pt(Ω( X ))، ولا يكون L متماثلًا ترتيبيًا مع Ω(pt( L )). مع ذلك، عند تعريف طوبولوجيا pt( L ) أعلاه، طُبِّقَ تطبيق φ من L إلى Ω(pt( L )). هذا التطبيق هو في الواقع تشاكل إطاري _. على العكس، يمكننا تعريف دالة متصلة ψ من X إلى pt(Ω( X )) بوضع ψ( x ) = Ω( _px ) ، حيث px هي ببساطة الدالة المميزة للنقطة x من 1 إلى X كما وُصِفَ سابقًا. هناك وصف آخر مناسب يتمثل في اعتبار نقاط منطقة ما عناصر أولية للتقاطع. في هذه الحالة، لدينا ψ( x ) = X \ Cl{ x }، حيث Cl{ x } تُشير إلى الإغلاق الطوبولوجي للمجموعة { x }، و \ هو ببساطة فرق المجموعة.

في هذه المرحلة لدينا بالفعل بيانات أكثر من كافية للحصول على النتيجة المرجوة: تحدد الدوال Ω و pt اقترانًا بين الفئتين Top و Loc = Frm ^op ، حيث pt هو المرافق الأيمن لـ Ω والتحويلات الطبيعية ψ و φ ^op توفر الوحدة والوحدة المرافقة المطلوبة، على التوالي.

لا يُمثل الاقتران المذكور أعلاه تكافؤًا بين الفئتين Top و Loc (أو، بصورة مكافئة، ازدواجية بين Top و Frm ). لذلك، من الضروري أن يكون كل من ψ و φ متماثلين في فئتيهما.

بالنسبة للفضاء X ، يكون ψ: X → pt(Ω( X )) تماثلًا شكليًا إذا وفقط إذا كان تقابليًا . باستخدام خاصية العناصر الأولية للتقاطع في شبكة المجموعات المفتوحة، يتضح أن هذا صحيح إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة مفتوحة أولية للتقاطع من الشكل X \ Cl{ x } لنقطة x وحيدة . أو بعبارة أخرى، كل مجموعة مغلقة أولية للوصل هي إغلاق لنقطة وحيدة، حيث يمكن استبدال "أولية للوصل" بـ (غير قابلة للاختزال) نظرًا لوجودنا في شبكة توزيعية. تُسمى الفضاءات التي تتمتع بهذه الخاصية بالفضاءات الرصينة .

على النقيض من ذلك، بالنسبة لمكان L ، فإن الدالة φ: L → Ω(pt( L )) تكون شاملة دائمًا. وتكون أيضًا أحادية إذا وفقط إذا كان بالإمكان فصل أي عنصرين a و b من L، حيث a لا يساوي أو يقل عن b، بنقاط من ذلك المكان، وذلك على النحو التالي:

إذا لم يكن a ≤ b ، فإن هناك نقطة p في pt( L ) بحيث يكون p( a ) = 1 و p( b ) = 0.

إذا تحقق هذا الشرط لجميع عناصر الموقع، فإن الموقع يكون مكانيًا ، أو يُقال إنه يحتوي على نقاط كافية. (انظر أيضًا فئة النقاط الجيدة لشرط مماثل في فئات أكثر عمومية).

أخيرًا، يمكن التحقق من أنه لكل فضاء X ، فإن Ω( X ) فضاء، ولكل موقع L ، فإن pt( L ) موقع رصين. ومن ثم، يترتب على ذلك أن اقتران Top و Loc المذكور أعلاه يقتصر على تكافؤ الفئتين الفرعيتين الكاملتين Sob للفضاءات الرصينة و SLoc للمواقع المكانية. وتُستكمل هذه النتيجة الرئيسية بملاحظة أنه بالنسبة للدالة pt o Ω، فإن إرسال كل فضاء إلى نقاط شبكة مجموعته المفتوحة يكون مترافقًا يساريًا مع دالة التضمين من Sob إلى Top . بالنسبة للفضاء X ، يُسمى pt(Ω( X )) عملية رصينته . حالة الدالة Ω o pt متناظرة، ولكن لا يُستخدم اسم خاص لهذه العملية بشكل شائع.