الدالة الخماسية

في الرياضيات ، الدالة من الدرجة الخامسة هي دالة على الصورة التالية:

g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f,\,

حيث $a$ و $b$ و $c$ و $d$ و $e$ و $f$ عناصر من حقل ، عادةً ما يكون حقل الأعداد النسبية أو الأعداد الحقيقية أو الأعداد المركبة ، و $a$ قيمة غير صفرية. بعبارة أخرى، تُعرَّف الدالة الخماسية بواسطة متعددة حدود من الدرجة الخامسة.

نظرًا لأن درجتها فردية، فإن الدوال الخماسية العادية تبدو مشابهة للدوال التكعيبية العادية عند تمثيلها بيانيًا، باستثناء أنها قد تحتوي على قيمة عظمى محلية إضافية وقيمة صغرى محلية إضافية. مشتقة الدالة الخماسية هي دالة رباعية .

بوضع $g (x) = 0$ وافتراض أن $a \neq 0$ ينتج معادلة من الدرجة الخامسة على الشكل التالي:

ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0.\,

كان حل المعادلات من الدرجة الخامسة بدلالة الجذور ( الجذور النونية ) مشكلة رئيسية في الجبر منذ القرن السادس عشر، عندما تم حل المعادلات من الدرجة الثالثة والرابعة ، وحتى النصف الأول من القرن التاسع عشر، عندما تم إثبات استحالة وجود مثل هذا الحل العام باستخدام نظرية أبيل-روفيني .

إيجاد جذور متعددة الحدود من الدرجة الخامسة

يُعد إيجاد جذور (أصفار) متعددة الحدود المعطاة مشكلة رياضية بارزة.

يمكن دائمًا حل المعادلات الخطية والتربيعية والتكعيبية والرباعية بدلالة الجذور والعمليات الحسابية الأساسية على المعاملات، بغض النظر عما إذا كانت الجذور نسبية أو غير نسبية ، حقيقية أو مركبة؛ إذ توجد صيغ رياضية تُعطي الحلول المطلوبة. مع ذلك، لا يوجد تعبير جبري (أي بدلالة الجذور) لحلول المعادلات الخماسية العامة التي تعتمد على الأعداد النسبية؛ تُعرف هذه الحقيقة بنظرية أبيل-روفيني ، التي طُرحت لأول مرة عام 1799 وأُثبتت بالكامل عام 1824. تنطبق هذه النتيجة أيضًا على المعادلات من الدرجات الأعلى. مثال على $معادلة$ خماسية لا يمكن التعبير عن جذورها بدلالة الجذور هو $x⁵$ $-$ $x$ $+ 1 = 0$ .

يمكن حساب التقريبات العددية لجذور المعادلات من الدرجة الخامسة باستخدام خوارزميات إيجاد جذور كثيرات الحدود . على الرغم من إمكانية حل بعض المعادلات من الدرجة الخامسة بدلالة الجذور، إلا أن الحل يكون معقدًا للغاية بحيث لا يمكن استخدامه عمليًا.

المعادلات الخماسية القابلة للحل

$يمكن حل بعض المعادلات من$ الدرجة الخامسة باستخدام الجذور. وتشمل هذه المعادلات المعادلات من الدرجة الخامسة المعرفة بواسطة متعددة حدود قابلة $للاختزال$ ، مثل $x⁵ - x⁴ - x + 1 = (x² + 1)(x + 1)(x - 1) ²$ . على سبيل المثال، لقد تم إثبات ^{[ 1 ]} أن

x^{5}-xr=0

يكون لها حلول في الجذور إذا وفقط إذا كان لها حل صحيح أو كان r أحد القيم ±15 أو ±22440 أو ±2759640، وفي هذه الحالات تكون متعددة الحدود قابلة للاختزال.

بما أن حل المعادلات الخماسية القابلة للاختزال يختزل مباشرةً إلى حل كثيرات حدود من درجة أقل، فإن ما تبقى من هذا القسم سيقتصر على دراسة المعادلات الخماسية غير القابلة للاختزال، وسيشير مصطلح "خماسي" فقط إلى المعادلات الخماسية غير القابلة للاختزال. وبالتالي، فإن المعادلة الخماسية القابلة للحل هي كثيرة حدود خماسية غير قابلة للاختزال يمكن التعبير عن جذورها بدلالة الجذور.

لتوصيف المعادلات الخماسية القابلة للحل، وبشكل أعم، كثيرات الحدود القابلة للحل من الدرجات الأعلى، طور إيفاريست غالوا تقنيات أدت إلى ظهور نظرية الزمر ونظرية غالوا . وبتطبيق هذه التقنيات، وجد آرثر كايلي معيارًا عامًا لتحديد ما إذا كانت أي معادلة خماسية معطاة قابلة للحل. ^{[ 2 ]} هذا المعيار هو التالي. ^{[ 3 ]}

بالنظر إلى المعادلة

ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,

يُعطي تحويل تشيرنهاوس x $= y - b / 5 a ، الذي$ يُخفّض الحدّ الخامس (أي يُزيل الحدّ من الدرجة الرابعة)، $المعادلة$

y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0,

أين

\begin{aligned}p&=\frac{5ac-2b^{2}}{5a^{2}}\\[4pt]q&=\frac{25a^{2}d-15abc+4b^{3}}{25a^{3}}\\[4pt]r&=\frac{125a^{3}e-50a^{2}bd+15ab^{2}c-3b^{4}}{125a^{4}}\\[4pt]s&=\frac{3125a^{4}f-625a^{3}be+125a^{2}b^{2}d-25ab^{3}c+4b^{5}}{3125a^{5}}}\end{aligned}}}

يمكن حل كلتا المعادلتين من الدرجة الخامسة باستخدام الجذور إذا وفقط إذا كانتا قابلتين للتحليل إلى معادلات من درجات أقل بمعاملات نسبية أو إلى متعددة الحدود $P 2 - 1024 z Δ$ ، والتي تسمىللمُحلِّل الخاص بكايلي جذر نسبي في $z$ ، حيث

{\begin{aligned}P={}&z^{3}-z^{2}(20r+3p^{2})-z(8p^{2}r-16pq^{2}-240r^{2}+400sq-3p^{4})\\[4pt]&-p^{6}+28p^{4}r-16p^{3}q^{2}-176p^{2}r^{2}-80p^{2}sq+224prq^{2}-64q^{4}\\[4pt]&+4000ps^{2}+320r^{3}-1600rsq\end{aligned}}

و

\begin{aligned}\Delta = ... r²s² - 3750pqs³ + 825p²q²s² + 2250q²rs² + 108q⁵s - 27q⁴r² - 630pq³rs + 16p³q³s - 4p³q²r²

تُمكّننا نتيجة كايلي من اختبار ما إذا كانت المعادلة من الدرجة الخامسة قابلة للحل. إذا كانت كذلك، فإن إيجاد جذورها يُعدّ مسألة أكثر صعوبة، وتتمثل في التعبير عن الجذور بدلالة الجذور التي تتضمن معاملات المعادلة من الدرجة الخامسة والجذر النسبي لمُحلِّل كايلي.

في عام 1888، وصف جورج باكستون يونغ كيفية حل معادلة من الدرجة الخامسة قابلة للحل، دون تقديم صيغة صريحة؛ ^{[ 4 ]} وفي عام 2004، كتب دانيال لازارد صيغة من ثلاث صفحات. ^{[ 5 ]}

كوينتيكس على طريقة برينغ-جيرارد

هناك العديد من التمثيلات البارامترية للمعادلات الخماسية القابلة للحل من الشكل $x 5 + ax + b = 0$ ، والتي تسمى شكل برينغ-جيرارد .

خلال النصف الثاني من القرن التاسع عشر، قدم جون ستيوارت غلاشين وجورج باكستون يونغ وكارل رونج هذا التوصيف البارامتري: معادلة من الدرجة الخامسة غير قابلة للاختزال ذات معاملات نسبية في صيغة برينغ-جيرارد قابلة للحل إذا وفقط إذا كان $a = 0$ أو يمكن كتابتها

x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x+{\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}=0

حيث $μ$ و $ν$ أعداد نسبية.

في عام 1994، قدم بلير سبيرمان وكينيث إس. ويليامز بديلاً،

x^{5}+{\frac {5e^{4}(4c+3)}{c^{2}+1}}x+{\frac {-4e^{5}(2c-11)}{c^{2}+1}}=0.

يمكن ملاحظة العلاقة بين معلمات عامي 1885 و1994 من خلال تعريف التعبير

b={\frac {4}{5}}\left(a+20\pm 2{\sqrt {(20-a)(5+a)}}\right)

أين $a=5{\tfrac {4\nu +3}{\nu ^{2}+1}}$ ⁠ . استخدام الحالة السالبة للجذر التربيعي ينتج، بعد تغيير مقياس المتغيرات، المعلمة الأولى بينما الحالة الموجبة تعطي الثانية.

الاستبدال $c=-{\tfrac {m}{\ell ^{5}}},$ ⁠ ⁠ $e={\tfrac {1}{\ell }}$ في نموذج سبيرمان -ويليامز، يسمح هذا النموذج بعدم استبعاد الحالة الخاصة $a = 0$ ، مما يعطي النتيجة التالية:

إذا كان $a$ و $b عددين نسبيين،$ $فإن$ المعادلة $x⁵ + ax + b = 0$ قابلة للحل باستخدام الجذور إذا كان طرفها الأيسر ناتج ضرب كثيرات حدود من الدرجة أقل من 5 بمعاملات نسبية، أو إذا وُجد عددان نسبيان ℓ و $m$ بحيث

a={\frac {5\ell (3\ell ^{5}-4m)}{m^{2}+\ell ^{10}}}\qquad b={\frac {4(11\ell ^{5}+2m)}{m^{2}+\ell ^{10}}}.

جذور معادلة خماسية قابلة للحل

تكون معادلة متعددة الحدود قابلة للحل باستخدام الجذور إذا كانت زمرة غالوا الخاصة بها زمرة قابلة للحل . في حالة المعادلات الخماسية غير القابلة للاختزال، تكون زمرة غالوا زمرة جزئية من الزمرة المتناظرة $S⁵$ لجميع تباديل مجموعة مكونة من خمسة عناصر، وهي قابلة للحل إذا وفقط إذا كانت زمرة جزئية من الزمرة $F⁵$ ، من الرتبة $20$ $،$ المولدة بواسطة التباديل الدورية (1 2 3 $4$ $5)$ و $(1 2 4 3)$ .

إذا كانت المعادلة من الدرجة الخامسة قابلة للحل، فيمكن تمثيل أحد الحلول بتعبير جبري يتضمن جذرًا خامسًا وجذرين تربيعيين على الأكثر، وعادةً ما يكونان متداخلين . ويمكن الحصول على الحلول الأخرى إما بتغيير الجذر الخامس أو بضرب جميع مرات ظهور الجذر الخامس بنفس قوة جذر خامس أولي للوحدة ، مثل

e^{i{\frac {2\pi }{5}}}={\frac {{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{4}}.

في الواقع، يمكن الحصول على جميع الجذور الخماسية الأولية الأربعة للوحدة عن طريق تغيير إشارات الجذور التربيعية بشكل مناسب؛ أي التعبير

{\frac {\alpha {\sqrt {-10-2\beta {\sqrt {5}}}}+\beta {\sqrt {5}}-1}{4}},

أين $\alpha ,\beta \in \{-1,1\}$ ، ينتج عنه الجذور الخمسة الأولية الأربعة المتميزة للوحدة.

يستنتج من ذلك أنه قد يلزم أربعة جذور تربيعية مختلفة لكتابة جميع جذور معادلة من الدرجة الخامسة قابلة للحل. حتى بالنسبة للجذر الأول الذي يتضمن على الأكثر جذرين تربيعيين، فإن التعبير عن الحلول بدلالة الجذور يكون عادةً معقدًا للغاية. ومع ذلك، عندما لا يكون هناك حاجة إلى جذر تربيعي، قد يكون شكل الحل الأول بسيطًا نسبيًا، كما هو الحال في المعادلة $x⁵$ $-$ $5x⁴ + 30x³ - 50x² + 55x - 21 = 0$ ، والتي يكون حلها الحقيقي الوحيد $هو$

x=1+{\sqrt[{5}]{2}}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{2}+\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{3}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{4}.

مثال على حل أكثر تعقيدًا (وإن كان بسيطًا بما يكفي لذكره هنا) هو الجذر الحقيقي الوحيد للمعادلة $x⁵ - 5x + 12 = 0.$ $لنفترض$ أن $a$ $= \sqrt2φ⁻¹ ، و$ b $= \sqrt2φ$ $،$ $و$ c $= 4\sqrt5 ، حيث$ φ $= 1 + \sqrt5$ $/$ $2$ $هي$ $النسبة$ الذهبية . إذن $،$ الحل الحقيقي الوحيد $x$ $=$ $-1.84208...$ يُعطى بالعلاقة $التالية$ $:$

-cx={\sqrt[{5}]{(a+c)^{2}(bc)}}+{\sqrt[{5}]{(-a+c)(bc)^{2}}}+{\sqrt[{5}]{(a+c)(b+c)^{2}}}-{\sqrt[{5}]{(-a+c)^{2}(b+c)}}\,,

أو، على نحو مماثل، عن طريق

x={\sqrt[{5}]{y_{1}}}+{\sqrt[{5}]{y_{2}}}+{\sqrt[{5}]{y_{3}}}+{\sqrt[{5}]{y_{4}}}\,,

حيث $تمثل$ $yᵢ$ الجذور الأربعة للمعادلة الرباعية

y^{4}+4y^{3}+{\frac {4}{5}}y^{2}-{\frac {8}{5^{3}}}y-{\frac {1}{5^{5}}}=0\,.

بشكلٍ أعم، إذا كانت المعادلة $P (x) = 0$ من الدرجة الأولية $p$ ذات المعاملات النسبية قابلةً للحل باستخدام الجذور، فإنه يُمكن تعريف معادلة مساعدة $Q (y) = 0$ من الدرجة $p - 1$ ، ذات معاملات نسبية أيضًا، بحيث يكون كل جذر من جذور $P$ هو مجموع الجذور من الرتبة $p$ لجذور $Q.$ وقد قدّم جوزيف لويس لاغرانج هذه الجذور من الرتبة $p$ ، وتُسمى نواتج ضربها في $p$ عادةً بمُحَلِّلات لاغرانج . يُمكن استخدام حساب $Q$ وجذورها لحل $P$ $($ $x$ $) = 0.$ مع ذلك، قد لا يُمكن حساب هذه الجذور من الرتبة $p$ بشكلٍ مستقل (إذ سيُنتج ذلك $p$ $p$ $- 1$ جذرًا بدلًا من $p$ ). لذا، يتطلب الحل الصحيح التعبير عن جميع هذه $الجذور$ من الرتبة p بدلالة أحدها. تُبيّن نظرية غالوا أن هذا ممكنٌ نظريًا دائمًا، حتى لو كانت الصيغة الناتجة كبيرةً جدًا بحيث لا تُفيد.

من الممكن أن تكون بعض جذور المعادلة $Q$ أعدادًا نسبية (كما في المثال الأول من هذا القسم) أو أن يكون بعضها الآخر صفرًا. في هذه الحالات، تكون صيغة حساب الجذور أبسط بكثير، كما هو الحال بالنسبة للمعادلة الخماسية القابلة للحل من نوع دي موافر .

x^{5}+5ax^{3}+5a^{2}x+b=0\,,

حيث تحتوي المعادلة المساعدة على جذرين صفريين، وتختزل، بتحليلهما إلى عامل مشترك، إلى المعادلة التربيعية.

y^{2}+by-a^{5}=0\,,

بحيث تُعطى الجذور الخمسة للمعادلة الخماسية لـ de Moivre بواسطة

x_{k}=\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}-{\frac {a}{\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}}},

حيث يمثل yᵢ أي جذر للمعادلة التربيعية المساعدة، و _ω أي من الجذور الخمسة الأولية الأربعة للوحدة . ويمكن تعميم ذلك بسهولة لإنشاء معادلة تربيعية قابلة للحل ، ومعادلة أخرى من الدرجات الفردية، وليست بالضرورة أولية.

مسائل خماسية أخرى قابلة للحل

هناك عدد لا نهائي من المعادلات الخماسية القابلة للحل في شكل برينغ-جيرارد والتي تم تحديد معالمها في قسم سابق.

باستثناء تغيير حجم المتغير، يوجد بالضبط خمس معادلات خماسية قابلة للحل من الشكل $x^{5}+ax^{2}+b$ ، وهي ^{[ 6 ]} (حيث s هو عامل قياس):

x^{5}-2s^{3}x^{2}-{\frac {s^{5}}{5}}

x^{5}-100s^{3}x^{2}-1000s^{5}

x^{5}-5s^{3}x^{2}-3s^{5}

x^{5}-5s^{3}x^{2}+15s^{5}

x^{5}-25s^{3}x^{2}-300s^{5}

قدم باكسون يونغ (1888) عدداً من الأمثلة على المعادلات الخماسية القابلة للحل:

$x^{5}-10x^{3}-20x^{2}-1505x-7412$
$x^{5}+{\frac {625}{4}}x+3750$
$x^{5}-{\frac {22}{5}}x^{3}-{\frac {11}{25}}x^{2}+{\frac {462}{125}}x+{\frac {979}{3125}}$
$x^{5}+20x^{3}+20x^{2}+30x+10$	$~\qquad ~$ جذر: ${\sqrt[{5}]{2}}-{\sqrt[{5}]{2}}^{2}+{\sqrt[{5}]{2}}^{3}-{\sqrt[{5}]{2}}^{4}$
$x^{5}-20x^{3}+250x-400$
$x^{5}-5x^{3}+{\frac {85}{8}}x-{\frac {13}{2}}$
$x^{5}+{\frac {20}{17}}x+{\frac {21}{17}}$
$x^{5}-{\frac {4}{13}}x+{\frac {29}{65}}$
$x^{5}+{\frac {10}{13}}x+{\frac {3}{13}}$
$x^{5}+110(5x^{3}+60x^{2}+800x+8320)$
$x^{5}-20x^{3}-80x^{2}-150x-656$
$x^{5}-40x^{3}+160x^{2}+1000x-5888$
$x^{5}-50x^{3}-600x^{2}-2000x-11200$
$x^{5}+110(5x^{3}+20x^{2}-360x+800)$
$x^{5}-20x^{3}+170x+208$

يمكن إنشاء سلسلة لانهائية من المعادلات الخماسية القابلة للحل، والتي تكون جذورها عبارة عن مجموع الجذور $النونية$ للوحدة ، حيث $n = 10 k + 1$ هو عدد أولي :

$x^{5}+x^{4}-4x^{3}-3x^{2}+3x+1$		الجذور: $2\cos \left({\frac {2k\pi }{11}}\right)$
$x^{5}+x^{4}-12x^{3}-21x^{2}+x+5$		جذر: $\sum _{k=0}^{5}e^{\frac {2i\pi 6^{k}}{31}}$
$x^{5}+x^{4}-16x^{3}+5x^{2}+21x-9$		جذر: $\sum _{k=0}^{7}e^{\frac {2i\pi 3^{k}}{41}}$
$x^{5}+x^{4}-24x^{3}-17x^{2}+41x-13$	$~\qquad ~$	جذر: $\sum _{k=0}^{11}e^{\frac {2i\pi (21)^{k}}{61}}$
$x^{5}+x^{4}-28x^{3}+37x^{2}+25x+1$		جذر: $\sum _{k=0}^{13}e^{\frac {2i\pi (23)^{k}}{71}}$

يوجد أيضاً نوعان من المعادلات الخماسية القابلة للحل ذات المعاملات: معادلة كوندو-برومر الخماسية،

x^{5}+(a-3)\,x^{4}+(-a+b+3)\,x^{3}+(a^{2}-a-1-2b)\,x^{2}+b\,x+a=0

وتعتمد الأسرة على المعايير $a,\ell ,m$

x^{5}-5\,p\left(2\,x^{3}+a\,x^{2}+b\,x\right)-p\,c=0

أين

p={\tfrac {1}{4}}\left[\,\ell ^{2}(4m^{2}+a^{2})-m^{2}\,\right]\;,

b=\ell \,(4m^{2}+a^{2})-5p-2m^{2}\;,

c={\tfrac {1}{2}}\left[\,b(a+4m)-p(a-4m)-a^{2}m\,\right]\;.

السبب غير القابل للاختزال

على غرار المعادلات التكعيبية ، توجد معادلات خماسية قابلة للحل لها خمسة جذور حقيقية، وجميع حلولها الجذرية تتضمن جذورًا لأعداد مركبة. هذا هو السبب غير القابل للاختزال للمعادلة الخماسية، والذي نوقش في كتاب دوميت. ^{[ 7 ]}^{: ص 17.} في الواقع، إذا كانت جميع جذور المعادلة الخماسية غير القابلة للاختزال حقيقية، فلا يمكن التعبير عن أي جذر بدلالة الجذور الحقيقية فقط (كما هو الحال بالنسبة لجميع درجات كثيرات الحدود التي ليست قوى للعدد 2).

ما وراء الراديكاليين

في حوالي عام 1835، برهن جيرارد على إمكانية حل المعادلات الخماسية باستخدام الجذور الفائقة (المعروفة أيضًا بجذور برينغ )، $وهي$ الجذر الحقيقي الوحيد للمعادلة $t⁵ + t - a = 0$ للأعداد الحقيقية $a$ . وفي عام 1858، أظهر شارل هيرميت إمكانية وصف جذر برينغ بدلالة دوال جاكوبي ثيتا ودوالها الإهليلجية النمطية المرتبطة بها ، وذلك باستخدام منهج مشابه للمنهج الأكثر شيوعًا لحل المعادلات التكعيبية باستخدام الدوال المثلثية . وفي نفس الفترة تقريبًا، طور ليوبولد كرونكر ، باستخدام نظرية الزمر ، طريقة أبسط لاستنتاج نتيجة هيرميت، كما فعل فرانشيسكو بريوشي . لاحقًا، ابتكر فيليكس كلاين طريقة تربط بين تناظرات المجسم العشري الوجوه ، ونظرية غالوا ، والدوال النمطية الإهليلجية التي تظهر في حل هيرميت، مُقدمًا تفسيرًا لسبب ظهورها أصلًا، وطوّر حله الخاص بدلالة الدوال الهندسية الفائقة المعممة . ^{[ 8 ]} وتحدث ظواهر مماثلة في الدرجة $7$ ( المعادلات السداسية ) و $11$ ، كما درسها كلاين وناقشها في تناظر المجسم العشري الوجوه § الهندسات ذات الصلة .

حل باستخدام جذور برينغ

يُختزل تحويل تشيرنهاوس ، الذي يمكن حسابه عن طريق حل معادلة من الدرجة الرابعة ، المعادلة العامة من الدرجة الخامسة على النحو التالي:

x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,

إلى الشكل الطبيعي برينغ-جيرارد $x 5 - x + t = 0$ .

لا يمكن التعبير عن جذور هذه المعادلة باستخدام الجذور. مع ذلك، في عام 1858، نشر تشارلز هيرميت أول حل معروف لهذه المعادلة بدلالة الدوال الإهليلجية . ^{[ 9 ]} وفي نفس الفترة تقريبًا، توصل فرانشيسكو بريوشي ^{[ 10 ]} وليوبولد كرونكر ^{[ 11 ]} إلى حلول مكافئة.

انظر إلى "Bring radical" للحصول على تفاصيل حول هذه الحلول وبعض الحلول ذات الصلة.

تطبيق على الميكانيكا السماوية

إن إيجاد مواقع نقاط لاغرانج لمدار فلكي تكون فيه كتل كلا الجسمين غير مهملة يتطلب حل معادلة من الدرجة الخامسة.

وبشكل أدق، فإن مواقع L ₂ و L ₁ هي حلول للمعادلات التالية، حيث توفر قوى الجاذبية لكتلتين على كتلة ثالثة (على سبيل المثال، الشمس والأرض على أقمار صناعية مثل جايا وتلسكوب جيمس ويب الفضائي عند L ₂ وسوهو عند L _{1 )}قوة الجذب المركزي للقمر الصناعي اللازمة ليكون في مدار متزامن مع الأرض حول الشمس :

{\frac {GmM_{S}}{(R\pm r)^{2}}}\pm {\frac {GmM_{E}}{r^{2}}}=m\omega ^{2}(R\pm r)

تشير علامة ± إلى L ₂ و L ₁ على التوالي؛ G هو ثابت الجاذبية ، ω هي السرعة الزاوية ، r هي المسافة بين القمر الصناعي والأرض، R هي المسافة بين الشمس والأرض (أي المحور شبه الرئيسي لمدار الأرض)، و m و M _E و M _S هي الكتل على التوالي للقمر الصناعي والأرض والشمس .

باستخدام قانون كبلر الثالث $\omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{P^{2}}}={\frac {G(M_{S}+M_{E})}{R^{3}}}$ وإعادة ترتيب جميع الحدود ينتج عنه الدرجة الخامسة

ar^{5}+br^{4}+cr^{3}+dr^{2}+er+f=0

مع:

{\begin{aligned}&a=\pm (M_{S}+M_{E}),\\&b=+(M_{S}+M_{E})3R,\\&c=\pm (M_{S}+M_{E})3R^{2},\\&d=+(M_{E}\mp M_{E})R^{3}\ ({\text{thus }}d=0{\text{ for }}L_{2}),\\&e=\pm M_{E}2R^{4},\\&f=\mp M_{E}R^{5}.\end{aligned}}

بحل هاتين المعادلتين من الدرجة الخامسة، نحصل على _r $= 1.501 \times$ 10⁹ $م$ $لـ$ L₂ و r $=$ $1.491 \times$ $10⁹$ $م$ لـ L₁ _. عادةً ما تُعطى نقاط لاغرانج بين الشمس والأرض L₂ و L₁ على بُعد 1.5 مليون كيلومتر _منالأرض _.

إذا كانت كتلة الجسم الأصغر ( ME ₎ أصغر بكثير من كتلة الجسم الأكبر ( MS )، فإنه يمكن اختزال المعادلة من الدرجة الخامسة بشكل كبير، ويكون L1 _و_L2 عند _نصف قطر كرة هيل تقريبًا ، كما هو موضح في:

r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{E}}{3M_{S}}}}

وهذا يعطي أيضًا $r = 1.5 \times 10 9 م$ للأقمار الصناعية عند L ₁ و L ₂ في نظام الشمس والأرض.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ إيليا، م.؛ فيليبوني، ب. (1998). "معادلات شكل برينغ-جيرارد، والنسبة الذهبية، وأعداد فيبوناتشي المربعة" (ملف PDF) . مجلة فيبوناتشي الفصلية . 36 (3): 282-286 .
↑ أ. كايلي، "حول معادلة مساعدة جديدة في نظرية المعادلات من الرتبة الخامسة"، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن 151 : 263-276 (1861) doi : 10.1098/rstl.1861.0014
↑ تم استخلاص هذه الصيغة لنتيجة كايلي من ورقة لازارد (2004).
↑ جورج باكستون يونغ، "معادلات من الدرجة الخامسة قابلة للحل بمعاملات قابلة للقياس"، المجلة الأمريكية للرياضيات 10 : 99-130 (1888)، JSTOR 2369502
↑ لازارد (2004 ، ص 207)
↑ إلكيز، نوام. "ثلاثيات الحدود ax ⁿ + bx + c مع مجموعات غالوا مثيرة للاهتمام" . جامعة هارفارد .
↑ ديفيد س. دوميت، حل المعادلات الخماسية القابلة للحل، مؤرشف بتاريخ 7 مارس 2012 في أرشيف الإنترنت
↑ ( Klein 1888 ) ؛ تم تقديم شرح حديث في ( Tóth 2002 ، القسم 1.6، موضوع إضافي: نظرية كلاين عن المجسم العشري الوجوه، ص 66 )
^ هيرميت ، تشارلز (1858). "حول دقة المعادلة الخمس درجات". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . السادس والأربعون (الأول): 508-515 .
^ بريوشي ، فرانشيسكو (1858). "طريقة كرونيكر لحل المعادلات الخمس". اتي دلي. R. Istituto Lombardo di Scienze، Lettere ed Arti . ط : 275 - 282.
^ كرونيكر ، ليوبولد (1858). "حول حل معادلة الدرجة الخامسة، ملحق برسالة موجهة إلى M. Hermite". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . السادس والأربعون (الأول): 1150- 1152.

مراجع

تشارلز هيرميت، "حول حل معادلة الخمس درجات"، أعمال تشارلز هيرميت ، 2 :5–21، غوتييه فيلار، 1908.
كلاين، فيليكس (1888). محاضرات حول المجسم العشري الوجوه وحل معادلات الدرجة الخامسة . ترجمة جورج جافين موريس. تروبنر وشركاه. ISBN 0-486-49528-0.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
ليوبولد كرونيكر، "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré، extrait d'une letter adressée à M. Hermite"، Comptes Rendus de l'Académie des Sciences ، 46 :1:1150–1152 1858.
بلير سبيرمان وكينيث إس. ويليامز، "توصيف الخماسيات القابلة للحل $x 5 + ax + b$ ، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 101 : 986-992 (1994).
إيان ستيوارت، نظرية غالوا، الطبعة الثانية، تشابمان وهول، 1989. ISBN 0-412-34550-1يناقش نظرية غالوا بشكل عام بما في ذلك إثبات عدم قابلية حل المعادلة الخماسية العامة.
يورغ بيورزدورف ، نظرية غالوا للمبتدئين: منظور تاريخي ، الجمعية الأمريكية للرياضيات، 2006. ISBN 0-8218-3817-2يقدم الفصل 8 ( حل المعادلات من الدرجة الخامسة في Wayback Machine (تمت أرشفته في 31 مارس 2010) ) وصفًا لحل المعادلات الخماسية القابلة للحل $x$ $5$ $+$ $cx$ $+$ $d$ .
فيكتور إس. أدامتشيك وديفيد جيه. جيفري، "التحويلات متعددة الحدود لتشيرنهاوس، وبرينغ وجيرارد"، نشرة ACM SIGSAM ، المجلد 37، العدد 3، سبتمبر 2003، الصفحات 90-94.
إهرنفريد والتر فون تشيرنهاوس، "طريقة لإزالة جميع الحدود الوسيطة من معادلة معينة،" نشرة ACM SIGSAM ، المجلد. 37، العدد 1، مارس 2003، الصفحات من 1 إلى 3.
لازارد ، دانيال (2004). “حل الخماسيات في الجذور”. في أولاف أرنفين لاودال ؛ راجني بيني (محرران). تراث نيلز هنريك أبيل . برلين. ص 207 – 225. ISBN 3-540-43826-2تمت أرشفة هذا النص من المصدر الأصلي في 6 يناير 2005.{{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
توث، غابور (2002)، مجموعات موبيوس المحدودة، والغمر الأدنى للكرات، والمعاملات

روابط خارجية

Mathworld - المعادلة الخماسية - مزيد من التفاصيل حول طرق حل المعادلات الخماسية.
حل المعادلات الخماسية القابلة للحل مؤرشف في 2012-03-07 في Wayback Machine - طريقة لحل المعادلات الخماسية القابلة للحل من ابتكار ديفيد إس. دوميت.
طريقة لإزالة جميع الحدود الوسيطة من معادلة معينة - ترجمة إنجليزية حديثة لورقة تشيرنهاوس البحثية لعام 1683.
بروس بارتليت: المنحنى الخماسي، والمجسم العشري الوجوه، والمنحنيات الإهليلجية ، إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات (أبريل 2024)

[1] إيليا، م.؛ فيليبوني، ب. (1998). "معادلات شكل برينغ-جيرارد، والنسبة الذهبية، وأعداد فيبوناتشي المربعة" (ملف PDF) . مجلة فيبوناتشي الفصلية . 36 (3): 282-286 .

[2] أ. كايلي، "حول معادلة مساعدة جديدة في نظرية المعادلات من الرتبة الخامسة"، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن 151 : 263-276 (1861) doi : 10.1098/rstl.1861.0014

[3] تم استخلاص هذه الصيغة لنتيجة كايلي من ورقة لازارد (2004).

[4] جورج باكستون يونغ، "معادلات من الدرجة الخامسة قابلة للحل بمعاملات قابلة للقياس"، المجلة الأمريكية للرياضيات 10 : 99-130 (1888)، JSTOR 2369502

[5] لازارد (2004 ، ص 207)

[6] إلكيز، نوام. "ثلاثيات الحدود ax ⁿ + bx + c مع مجموعات غالوا مثيرة للاهتمام" . جامعة هارفارد .

[7] ديفيد س. دوميت، حل المعادلات الخماسية القابلة للحل، مؤرشف بتاريخ 7 مارس 2012 في أرشيف الإنترنت

[8] ( Klein 1888 ) ؛ تم تقديم شرح حديث في ( Tóth 2002 ، القسم 1.6، موضوع إضافي: نظرية كلاين عن المجسم العشري الوجوه، ص 66 )

[hermite-9] هيرميت ، تشارلز (1858). "حول دقة المعادلة الخمس درجات". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . السادس والأربعون (الأول): 508-515 .

[10] بريوشي ، فرانشيسكو (1858). "طريقة كرونيكر لحل المعادلات الخمس". اتي دلي. R. Istituto Lombardo di Scienze، Lettere ed Arti . ط : 275 - 282.

[11] كرونيكر ، ليوبولد (1858). "حول حل معادلة الدرجة الخامسة، ملحق برسالة موجهة إلى M. Hermite". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . السادس والأربعون (الأول): 1150- 1152.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗