معادلة الإنتان

في الجبر ، المعادلة الانتقائية هي معادلة على الصورة التالية:

${\displaystyle ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h=0,\,}$

حيث a ≠ 0 .

الدالة الإنتانية هي دالة من الشكل

${\displaystyle f(x)=ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h\,}$

حيث a ≠ 0. بعبارة أخرى، هي دالة كثيرة الحدود من الدرجة السابعة. إذا كانت a = 0 ، فإن f تكون دالة سداسية ( b ≠ 0 )، أو دالة خماسية ( b = 0، c ≠ 0 )، وهكذا.

يمكن الحصول على المعادلة من الدالة عن طريق وضع f ( x ) = 0 .

قد تكون المعاملات a و b و c و d و e و f و g و h أعدادًا صحيحة أو أعدادًا نسبية أو أعدادًا حقيقية أو أعدادًا مركبة أو، بشكل عام، أعضاء في أي حقل أو حلقة .

نظرًا لأن درجتها فردية، تبدو الدوال السداسية مشابهة للدوال الخماسية والتكعيبية عند تمثيلها بيانيًا، باستثناء أنها قد تحتوي على قيم عظمى محلية وقيم صغرى محلية إضافية (حتى ثلاث قيم عظمى وثلاث قيم صغرى). مشتقة الدالة السداسية هي دالة سداسية ، إلا في حالة واحدة فقط عندما تكون خاصية الحلقة التي تحتوي على المعاملات قابلة للقسمة على 7.

يمكن حل بعض المعادلات من الدرجة السابعة بتحليلها إلى جذور ، بينما لا يمكن حل معادلات أخرى من الدرجة السابعة بهذه الطريقة. وقد طوّر إيفاريست غالوا تقنيات لتحديد إمكانية حل معادلة معينة باستخدام الجذور، مما أدى إلى ظهور مجال نظرية غالوا . ولإعطاء مثال على معادلة من الدرجة السابعة غير قابلة للاختزال ولكنها قابلة للحل، يمكن تعميم معادلة دي موافر الخماسية القابلة للحل للحصول على:

${\displaystyle x^{7}+7\alpha x^{5}+14\alpha ^{2}x^{3}+7\alpha ^{3}x+\beta =0\,}$،

حيث المعادلة المساعدة هي

${\displaystyle y^{2}+\beta y-\alpha ^{7}=0\,}$.

وهذا يعني أن عملية الصرف الصحي يتم الحصول عليها عن طريق إزالة u و v بين x = u + v ، uv + α = 0 و u ⁷ + v ⁷ + β = 0 .

وبناءً على ذلك، فإن الجذور السبعة لنظام الصرف الصحي تُعطى بواسطة

${\displaystyle x_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{7}]{y_{1}}}+\omega _{k}^{6}{\sqrt[{7}]{y_{2}}}}$

حيث ω _k هو أي من الجذور السبعة للوحدة . زمرة غالوا لهذه المجموعة السداسية هي الزمرة القصوى القابلة للحل من الرتبة 42. ويمكن تعميم ذلك بسهولة على أي درجات أخرى k ، ليس بالضرورة أن تكون أولية.

عائلة أخرى قابلة للحل هي،

${\displaystyle x^{7}-2x^{6}+(\alpha +1)x^{5}+(\alpha -1)x^{4}-\alpha x^{3}-(\alpha +5)x^{2}-6x-4=0\,}$

والتي تظهر أعضاؤها في قاعدة بيانات كلونر لحقول الأرقام . المميز الخاص بها هو

${\displaystyle \Delta =-4^{4}\left(4\alpha ^{3}+99\alpha ^{2}-34\alpha +467\right)^{3}\,}$

مجموعة غالوا لهذه الأحواض هي المجموعة ثنائية السطوح من الرتبة 14.

يمكن حل المعادلة السداسية العامة باستخدام زمر غالوا المتناوبة أو المتناظرة A₇ أو _S₇ . ^{[ 1 ]} تتطلب هذه المعادلات دوالًا زائدية إهليلجية ودوال ثيتا المرتبطة بها _من النوع 3 لحلها. ^{[ 1 ]} مع ذلك، لم يدرس علماء الرياضيات في القرن التاسع عشر هذه المعادلات بشكلٍ خاص عند دراستهم لحلول المعادلات الجبرية، لأن حلول المعادلات السداسية كانت قد بلغت بالفعل حدود قدراتهم الحسابية دون استخدام الحواسيب. ^{[ 1 ]}

المعادلات السبيكية هي معادلات من أدنى رتبة لا يكون من الواضح إمكانية الحصول على حلولها بتركيب دوال متصلة لمتغيرين. تمثلت المسألة الثالثة عشرة لهيلبرت في افتراض استحالة ذلك في الحالة العامة لمعادلات الدرجة السابعة. وقد حلّها فلاديمير أرنولد عام ١٩٥٧، مُثبتًا إمكانية ذلك دائمًا. ^{[ ٢ ]} مع ذلك، اعتبر أرنولد نفسه أن مسألة هيلبرت الحقيقية هي ما إذا كان من الممكن الحصول على حلول المعادلات السبيكية بتراكب دوال جبرية لمتغيرين. ^{[ ٣ ]} وحتى عام ٢٠٢٣، لا تزال هذه المسألة مفتوحة.

هناك سبع مجموعات غالوا للصرف الصحي: ^{[ 4 ]}

• تحتوي المعادلات الانتقائية القابلة للحل بواسطة الجذور على مجموعة غالوا إما المجموعة الحلقية من الرتبة 7، أو المجموعة ثنائية السطوح من الرتبة 14، أو مجموعة ميتا حلقية من الرتبة 21 أو 42. ^{[ 1 ]}
• تتكون زمرة غالوا L(3,2) (من الرتبة 168) من تباديل تسميات الرؤوس السبعة التي تحافظ على "الخطوط" السبعة في مستوى فانو . ^{[ 1 ]} تتطلب المعادلات السداسية ذات زمرة غالوا L (3,2) دوالًا إهليلجية، ولكن ليس دوالًا فوق إهليلجية، لحلها. ^{[ 1 ]}
• وإلا فإن مجموعة غالوا للخزان الملوث هي إما المجموعة المتناوبة من الرتبة${\displaystyle 7!/2=2520}$أو المجموعة المتناظرة من الرتبة${\displaystyle 7!=5040.}$

مربع مساحة الخماسي الدائري هو جذر لمعادلة سباعية معاملاتها دوال متناظرة لأضلاع الخماسي. ^{[ 5 ]} وينطبق الأمر نفسه على مربع مساحة السداسي الدائري . ^{[ 6 ]}

• الدالة التكعيبية
• دالة من الدرجة الرابعة
• الدالة الخماسية
• المعادلة الجنسية
• مختبرات الصرف الصحي