الجذر النوني

في الرياضيات ، الجذر النوني للعدد x هو العدد r الذي إذا ضُرب في نفسه n مرة ، ينتج عنه x : $${\displaystyle r^{n}=\underbrace {r\times r\times \dotsb \times r} _{n{\text{ factors}}}=x.}$$يُسمى العدد الصحيح الموجب n الدليل أو الدرجة ، والعدد x الذي يُستخرج جذره يُسمى المجذور. يُسمى الجذر من الدرجة 2 الجذر التربيعي ، والجذر من الدرجة 3 الجذر التكعيبي . تُشار إلى الجذور ذات الدرجات الأعلى باستخدام الأعداد الترتيبية ، مثل الجذر الرابع ، والجذر العشرين ، وهكذا. يُسمى حساب الجذر النوني استخراج الجذر .

يُكتب الجذر النوني لـ x على النحو التالي:${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$باستخدام رمز الجذر${\displaystyle {\sqrt {\phantom {x}}}}$الجذر التربيعي يُكتب عادةً على النحو التالي :${\displaystyle {\sqrt {x}}}$، مع حذف الدرجة. بأخذ الجذر النوني لعدد ما، لقيمة ثابتة${\displaystyle n}$، هو معكوس رفع عدد إلىالقوة n ، ^{[ 1 ]} ويمكن كتابته كأس كسري :

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.}$$

بالنسبة لعدد حقيقي موجب x ،${\displaystyle {\sqrt {x}}}$يرمز إلى الجذر التربيعي الموجب لـ x و${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$يرمز إلى الجذر الحقيقي الموجب من الرتبة n . على سبيل المثال، 3 هو جذر تربيعي لـ 9 ، لأن 3² = 9 ^، و -3 هو أيضًا جذر تربيعي لـ 9 ، لأن (-3) ^² = 9. ^{[ 2 ]} العدد الحقيقي السالب -x ليس له جذور تربيعية حقيقية، ولكن عندما يُعامل x كعدد مركب، فإنه يمتلك جذرين تربيعيين تخيليين .${\displaystyle +i{\sqrt {x}}}$و​​${\displaystyle -i{\sqrt {x}}}$، حيث i هي الوحدة التخيلية .

بشكل عام، أي عدد مركب غير صفري له n جذرًا مركبًا مختلفًا من الرتبة n ، موزعة بالتساوي حول دائرة مركبة ذات قيمة مطلقة ثابتة . ( الجذر النوني للعدد 0 هو صفر بتعدد n ، وتؤول هذه الدائرة إلى نقطة). وبالتالي، يمكن اعتبار استخراج الجذور النونية للعدد المركب x دالة متعددة القيم . اصطلاحًا ، تُسمى القيمة الرئيسية لهذه الدالة بالجذر الرئيسي ويُرمز لها بـ ⁠${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$يُعتبر الجذر النوني ذو الجزء الحقيقي الأكبر، وفي حالة خاصة عندما يكون x عددًا حقيقيًا سالبًا، يُعتبر الجذر النوني ذو الجزء التخيلي الموجب. وبالتالي ، فإن الجذر الرئيسي لعدد حقيقي موجب هو أيضًا عدد حقيقي موجب. وكدالة ، يكون الجذر الرئيسي متصلًا في كامل المستوى المركب ، باستثناء المحور الحقيقي السالب.تُسمى الجذور النونية للعدد 1 بجذور الوحدة ، وتلعب دورًا أساسيًا في مجالات رياضية متنوعة، مثل نظرية الأعداد ، ونظرية المعادلات ، وتحويل فورييه .

يُشار أحيانًا إلى الجذر غير المُحلَّل، وخاصةً الجذر الذي يستخدم رمز الجذر، باسم الجذر الأصم ^{[ 3 ]} أو الجذر ^{[ 4 ]} . أي تعبير يحتوي على جذر، سواء كان جذرًا تربيعيًا أو جذرًا تكعيبيًا أو جذرًا أعلى، يُسمى تعبيرًا جذريًا ، وإذا لم يحتوي على دوال متسامية أو أعداد متسامية، يُسمى تعبيرًا جبريًا .

أظهر البابليون، منذ عام 1800 قبل الميلاد، تقريبات عددية للكميات غير النسبية، مثل الجذر التربيعي للعدد 2 ، على ألواح طينية، بدقة تصل إلى ستة منازل عشرية، كما في اللوح YBC 7289. [ ^{5 ] تتضمن} الألواح المسمارية من لارسا جداول للجذور التربيعية والتكعيبية للأعداد الصحيحة. ^{[ 6 ]} يُرجح أن يكون هيباسوس الفيثاغوري أول من أثبت عدم نسبية √2 . ^{[ 7 ]} ثم يصف أفلاطون في محاورته ثيائيتيتوس كيف أثبت ثيودوروس القيرواني (حوالي 400 قبل الميلاد) عدم نسبية √2.${\displaystyle {\sqrt {3}}}$،${\displaystyle {\sqrt {5}}}$إلخ. حتى${\displaystyle {\sqrt {17}}}$^{[ 8 ]} في القرن الأول الميلادي، ابتكر هيرون الإسكندري طريقة تكرارية لحساب الجذر التربيعي ، وهي في الواقع حالة خاصة من طريقة نيوتن الأكثر عمومية . ^{[ 9 ]}

يعود مصطلح " الجذر الأصم " إلى الخوارزمي ( حوالي 825 م)، الذي أشار إلى الأعداد النسبية وغير النسبية بـ"المسموعة" و"غير المسموعة" على التوالي. وقد أدى ذلك لاحقًا إلى ترجمة الكلمة العربية " أصم" ( بمعنى " أصم " أو "أبكم")، والتي كانت تُستخدم للدلالة على "العدد غير النسبي"، إلى اللاتينية بكلمة " surdus " (بمعنى "أصم" أو "أبكم"). وقد استخدم كل من جيرارد الكريموني ( حوالي 1150 م)، وفيبوناتشي (1202م)، ثم روبرت ريكورد (1551م) هذا المصطلح للإشارة إلى "الجذور غير النسبية غير المحلولة"، أي التعبيرات من الشكل${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$، حيث${\displaystyle n}$و${\displaystyle r}$هي أعداد صحيحة، والتعبير بأكمله يدل على عدد غير نسبي. ^{[ 10 ]} الأعداد غير النسبية من الشكل${\displaystyle \pm {\sqrt {a}},}$أين${\displaystyle a}$إذا كانت أعدادًا نسبية، فإنها تسمى "أعدادًا صماء تربيعية خالصة"؛ أما الأعداد غير النسبية فهي من الشكل ${\displaystyle a\pm {\sqrt {b}}}$، أين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$تُسمى الأعداد النسبية بالأعداد الجذرية التربيعية المختلطة . ^{[ 11 ]} ويُطلق على عملية إيجاد الجذور النونية مصطلح قديم من أواخر القرن الخامس عشر يُسمى " التجذير" ، ^{[ 12 ] [ 13 ]} والجذر غير المُحلَّل يُسمى "الجذر الجذري" . ^{[ 4 ]}

في القرن الرابع عشر، استخدم جمشيد الكاشي تقنية تكرارية تُعرف الآن باسم طريقة روفيني-هورنر لاستخراج الجذور النونية لأي عدد n . وقد استُخدمت هذه التقنية منذ القدم لتحديد الجذور التربيعية، ثم استخدمها الصينيون وكوشيار بن لبان خلال القرن العاشر لتحديد الجذور التكعيبية. ^{[ 14 ]} في عام 1665، اكتشف إسحاق نيوتن نظرية ذات الحدين العامة ، التي تُحوّل الجذر النوني إلى متسلسلة لانهائية . ^{[ 15 ]} واستنادًا إلى المنهج الذي طوره فرانسوا فييت ، ابتكر نيوتن طريقة تكرارية لحل دالة غير خطية من الشكل التالي:${\displaystyle f(x)=0}$والتي يمكن استخدامها لاستخراج الجذر النوني . وقد طُوِّرت هذه التقنية لاحقًا على يد جوزيف رافسون ، وأصبحت تُعرف باسم طريقة نيوتن-رافسون . ^{[ 16 ]} في عام 1690، قدّم ميشيل رول الترميز${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$للجذر النوني للقيمة a . ^{[ 17 ]}

في عام ١٦٢٩، اقترح ألبرت جيرار النظرية الأساسية للجبر ، لكنه لم ينجح في تقديم برهان لها. ^{[ ١٨ ]} تنص هذه النظرية على أن كل متعددة حدود ذات متغير واحد من الدرجة n لها n جذرًا. ^{[ ١٩ ]} علاوة على ذلك، فإن متعددة الحدود ذات المعاملات المركبة لها جذر مركب واحد على الأقل. وبصورة مكافئة، تنص النظرية على أن حقل الأعداد المركبة مغلق جبريًا . من بين علماء الرياضيات البارزين الذين عملوا على برهان هذه النظرية خلال القرنين الثامن عشر والتاسع عشر ، دالمبير ، وغوس ، وبولزانو ، وويرستراس ، ويُنسب الفضل عادةً إلى غوس في تقديم أول برهان صحيح. من نتائج هذا البرهان أن أي جذر من الرتبة n لعدد حقيقي أو مركب يقع على المستوى المركب . ^{[ ٢٠ ] [ ٢١ ]}

عرف علماء الرياضيات اليونانيون القدماء كيفية استخدام الفرجار والمسطرة لرسم طول يساوي الجذر التربيعي لطول مُعطى، عند وجود خط مساعد طوله وحدة واحدة. وفي عام 1837، أثبت بيير وانتزل أنه لا يمكن رسم الجذر النوني لطول مُعطى إذا لم يكن ن قوة للعدد 2. ^{[ 22 ]}

الجذور الأربعة من الرتبة الرابعة للعدد -1، والتي لا يوجد منها عدد حقيقي

الجذور الثلاثة الثالثة للعدد -1، أحدها عدد حقيقي سالب

الجذر النوني للعدد x ، حيث n عدد صحيح موجب، هو أي من الأعداد الحقيقية أو المركبة n التي يكون أسها النوني هو x :

$${\displaystyle r^{n}=x.}$$

لكل عدد حقيقي موجب x جذر واحد موجب من الرتبة n ، يُسمى الجذر الرئيسي من الرتبة n ، والذي يُكتب على النحو التالي:${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$[ ^{23 ]} عندما تكون ^قيمة n تساوي 2، يُسمى هذا الجذر التربيعي الرئيسي، ويُحذف n . ويمكن أيضًا تمثيل الجذر النوني باستخدام الأسس على النحو التالي: x ^1/n . ^{[ 2 ]}

بالنسبة للقيم الزوجية لـ n ، فإن الأعداد الموجبة لها جذر نوني سالب ، بينما الأعداد السالبة ليس لها جذر نوني حقيقي . أما بالنسبة للقيم الفردية لـ n ، فإن كل عدد سالب x له جذر نوني سالب حقيقي . ^{[ 23 ]} على سبيل المثال، العدد -2 له جذر خامس حقيقي.${\displaystyle {\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots }$لكن العدد -2 ليس له أي جذور سادسة حقيقية.

لكل عدد غير صفري x ، حقيقي أو مركب ، n جذرًا مركبًا مختلفًا من الرتبة n . ^{[ 24 ]} (في حالة x الحقيقي، يشمل هذا العدد أي جذور حقيقية من الرتبة n ). الجذر المركب الوحيد للصفر هو صفر.

الجذور النونية لجميع الأعداد تقريبًا (جميع الأعداد الصحيحة باستثناء القوى النونية ، وجميع الأعداد النسبية باستثناء نواتج قسمة قوتين نونيتين ) هي أعداد غير نسبية . ^{[ 25 ]} على سبيل المثال،

$${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.414213562\ldots }$$

جميع الجذور النونية للأعداد النسبية هي أعداد جبرية ، وجميع الجذور النونية للأعداد الصحيحة هي أعداد صحيحة جبرية .

الجذور التربيعية

الجذر التربيعي للعدد x هو العدد r الذي إذا تم تربيعه يصبح x :

$${\displaystyle r^{2}=x.}$$

لكل عدد حقيقي موجب جذران تربيعيان، أحدهما موجب والآخر سالب. على سبيل المثال، الجذران التربيعيان للعدد 25 هما 5 و -5. يُعرف الجذر التربيعي الموجب أيضًا بالجذر التربيعي الرئيسي ، ^{[ 2 ]} ويُرمز إليه بعلامة الجذر.

$${\displaystyle {\sqrt {25}}=5.}$$

بما أن مربع كل عدد حقيقي غير سالب، فإن الأعداد السالبة ليس لها جذور تربيعية حقيقية. ^{[ 26 ]} مع ذلك، لكل عدد حقيقي سالب جذران تربيعيان تخيليان . على سبيل المثال، الجذران التربيعيان للعدد -25 هما 5i و -5i ، حيث يمثل i عددًا مربعه -1 .

الجذور التكعيبية

الجذر التكعيبي للعدد x هو عدد r مكعبه يساوي x :

$${\displaystyle r^{3}=x.}$$

Every real number x has exactly one real cube root,^[2] written ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$. For example,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{8}}&=2\\{\sqrt[{3}]{-8}}&=-2.\end{aligned}}}$$

Every real number has two additional complex cube roots.^[27][28]

Expressing the degree of an nth root in its exponent form, as in ${\displaystyle x^{1/n}}$, makes it easier to manipulate powers and roots. If ${\displaystyle a}$ is a non-negative real number,^[26]

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=(a^{m})^{1/n}=a^{m/n}=(a^{1/n})^{m}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}.}$$

Every non-negative number has exactly one non-negative real nth root, and so the rules for operations with surds involving non-negative radicands ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ are straightforward within the real numbers:^[26]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{محاذاة}}}$$

Subtleties can occur when taking the nth roots of negative or complex numbers. For instance:

$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad }$$

but, rather,

$${\displaystyle \quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.}$$

Since the rule ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}}$ strictly holds for non-negative real radicands only, its application leads to the inequality in the first step above.^[29]

A non-nested radical expression is said to be in simplified form if no factor of the radicand can be written as a power greater than or equal to the index; there are no fractions inside the radical sign; and there are no radicals in the denominator.^[30]

For example, to write the radical expression ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {32/5}}}$ in simplified form, we can proceed as follows. First, look for a perfect square under the square root sign and remove it:

$${\displaystyle {\sqrt {\frac {32}{5}}}={\sqrt {\frac {16\cdot 2}{5}}}={\sqrt {16}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{5}}}=4{\sqrt {\frac {2}{5}}}}$$

Next, there is a fraction under the radical sign, which we change as follows:

$${\displaystyle 4{\sqrt {\frac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}}$$

Finally, we remove the radical from the denominator as follows:

$${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}}$$

When there is a denominator involving surds it is always possible to find a factor to multiply both numerator and denominator by to simplify the expression.^[31][32] For instance using the factorization of the sum of two cubes:

$${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}.}$$

Simplifying radical expressions involving nested radicals can be quite difficult. In particular, denesting is not always possible, and when possible, it may involve advanced Galois theory. Moreover, when complete denesting is impossible, there is no general canonical form such that the equality of two numbers can be tested by simply looking at their canonical expressions.

For example, it is not obvious that

$${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}.}$$

The above can be derived through:

$${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}}$$

Let ${\displaystyle r=p/q}$, with p and q coprime and positive integers. Then ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}={\sqrt[{n}]{p}}/{\sqrt[{n}]{q}}}$ is rational if and only if both ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{p}}}$ and ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{q}}}$هي أعداد صحيحة، مما يعني أن كلاً من p و q هما قوتان من الرتبة n لعدد صحيح ما.

يمكن تمثيل الجذر أو الأصل بواسطة نظرية ذات الحدين المعممة :

$${\displaystyle (1+x)^{s/t}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{m!}}\prod _{k=0}^{m-1}\left({\frac {s}{t}}-k\right)}$$

مع${\displaystyle |x|<1}$يمكن اشتقاق هذا التعبير من متسلسلة ذات الحدين . ^{[ 33 ]} بالنسبة للجذر النوني ، يصبح هذا التعبير كما يلي:

$${\displaystyle (1+x)^{\frac {1}{n}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{m!}}\prod _{k=0}^{m-1}\left({\frac {1}{n}}-k\right)}$$

للأرقام${\displaystyle r\geq 2}$اختر قيمة${\displaystyle p}$بحيث

$${\displaystyle {\frac {r}{p^{n}}}-1=x',{\text{ where }}|x'|<1}$$

ثم، وفقًا لما سبق، قم بحل المعادلة التالية:

$${\displaystyle r^{\frac {1}{n}}=p(1+x')^{\frac {1}{n}}}$$

على سبيل المثال، لـ${\displaystyle r=30}$و${\displaystyle n=2}$، يختار${\displaystyle p=5}$^{[ 33 ]}

$${\displaystyle {\frac {30}{5^{2}}}-1={\frac {5}{25}}=.2}$$

$${\displaystyle {\sqrt {30}}=5{\sqrt {1+.2}}=5\left[1+{\frac {1}{2}}(.2)^{1}-{\frac {1}{8}}(.2)^{2}+{\frac {1}{16}}(.2)^{3}-\cdots \right]\approx 5.4775}$$

تُستخدم الجذور من الرتبة N للتحقق من تقارب متسلسلة القوى باستخدام اختبار الجذر . ^{[ 34 ]}

كل عدد مركب غير الصفر له n جذر مختلف من الرتبة n . ^{[ 24 ]}

الجذور التربيعية

الجذران التربيعيان لعدد مركب هما دائمًا سالبان لبعضهما البعض. ^{[ 40 ]} على سبيل المثال، الجذران التربيعيان للعدد -4 هما 2i و -2 i ، والجذران التربيعيان للعدد i هما

$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).}$$

إذا عبرنا عن عدد مركب في شكل قطبي ، فيمكن الحصول على الجذر التربيعي عن طريق أخذ الجذر التربيعي لنصف القطر وتقسيم الزاوية على اثنين: ^{[ 41 ]}

$${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}=\pm {\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}.}$$

يمكن اختيار الجذر الرئيسي لعدد مركب بطرق مختلفة، على سبيل المثال

$${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}={\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}}$$

والذي يُدخل قطعًا فرعيًا في المستوى المركب على طول المحور الحقيقي الموجب مع الشرط 0  ≤ θ < 2 π    ، أو على طول المحور الحقيقي السالب مع − π  < θ ≤ π    .

باستخدام الفرع الأول (الأخير) قم بتقسيم الجذر التربيعي الرئيسي${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {z}}}$خرائط${\displaystyle \scriptstyle z}$إلى نصف المستوى ذي الجزء التخيلي (الحقيقي) غير السالب. يُفترض وجود قطع الفرع الأخير مسبقًا في البرامج الرياضية مثل ماتلاب أو سايلاب .

جذور الوحدة

للعدد 1 عدد n من الجذور المختلفة من الرتبة n في المستوى المركب، ^{[ 24 ]} وهي:

$${\displaystyle 1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},}$$

أين

$${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right).}$$

تتوزع هذه الجذور بانتظام حول دائرة الوحدة في المستوى المركب، بزوايا هي مضاعفات لـ${\displaystyle 2\pi /n}$على سبيل المثال، الجذران التربيعيان للوحدة هما 1 و -1، والجذر الرابع للوحدة هو 1.${\displaystyle i}$، -1، و${\displaystyle -i}$ونتيجة لهذا التناظر، فإن مجموع الجذور النونية للوحدة يساوي صفرًا. ^{[ 42 ]}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{{\frac {2\pi i}{n}}k}=0}$$

الجذور النونية

لكل عدد مركب n جذرًا مختلفًا من الرتبة n في المستوى المركب. ^{[ 24 ]} وهذه هي

$${\displaystyle \eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},}$$

حيث η هو جذر واحد من الرتبة n ، و1، ω ، ω² ^، ... ωⁿ⁻¹ هي الجذور من الرتبة n للعدد ^1. وبالتالي، بما أنها جميعًا مضروبة في نفس العدد القياسي η ، ^فإن مجموع الجذور من الرتبة n يساوي صفرًا. ^{[ 42 ]} على سبيل المثال، الجذور الأربعة المختلفة من الرتبة الرابعة للعدد 2 هي    

$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{and}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.}$$

في الشكل القطبي ، يمكن إيجاد جذر واحد من الرتبة n من نظرية ديمويفر : ^{[ 43 ]}

$${\displaystyle z^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{i\theta /n}=r^{\frac {1}{n}}\cdot \left(\cos \left({\frac {\theta }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\theta }{n}}\right)\right)}$$

هنا، r هو مقدار (المعيار، ويسمى أيضًا القيمة المطلقة ) العدد الذي يُراد إيجاد جذره؛ إذا كان بالإمكان كتابة العدد على النحو التالي:${\displaystyle a+ib}$ثم${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$. ال${\displaystyle \theta }$هي الزاوية المتكونة عند الدوران حول نقطة الأصل عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور الأفقي الموجب إلى شعاع يمتد من نقطة الأصل إلى الرقم؛ ولها الخصائص التالية:

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {a}{r}},\sin \theta ={\frac {b}{r}},{\text{ and }}\tan \theta ={\frac {b}{a}}.}$

وبالتالي، يمكن تقسيم إيجاد الجذور النونية في المستوى المركب إلى خطوتين. أولاً، مقدار جميع الجذور النونية هو الجذر النوني لمقدار العدد الأصلي. ثانياً، الزاوية بين المحور الأفقي الموجب وشعاع من نقطة الأصل إلى أحد الجذور النونية هي${\displaystyle \theta /n}$، أين${\displaystyle \theta }$الزاوية معرفة بنفس الطريقة للعدد الذي يُؤخذ جذره. علاوة على ذلك، فإن جميع الجذور النونية n تقع بزوايا متساوية البعد عن بعضها البعض، كما هو مُثبت في نظرية الجذر النوني ^{[ 44 ]} .

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}\cdot \left(\cos \left({\frac {\theta +2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\theta +2\pi k}{n}}\right)\right){\text{ for }}k=0,1,2,\ldots ,n-1.}$

إذا كان n عددًا زوجيًا، فإن الجذور النونية للعدد المركب ، وعددها زوجي، تأتي في أزواج معكوسة جمعية ، بحيث إذا كان العدد r₁ أحد الجذور النونية _، فإن r₂ = -r₁ هو _جذر نوني آخر _. وذلك لأن رفع معامل الأخير -1 إلى القوة النونية لـ n الزوجي يعطي 1: أي أن ( ^-r₁ ) ₙ ⁼ ₍ -1 ₎ ^ₙ × r₁ₙ ⁼ _r₁ₙ .

كما هو الحال مع الجذور التربيعية، فإن الصيغة أعلاه لا تحدد دالة متصلة على كامل المستوى المركب، ولكن بدلاً من ذلك يكون لها قطع فرعي عند النقاط التي تكون فيها θ  / n غير متصلة. 

جذر متعدد الحدود​​${\displaystyle p(x)}$هو رقم​${\displaystyle a}$بحيث​​${\displaystyle p(a)=0}$الجذر النونيلعدد ما​${\displaystyle a}$⁠ هو بحكم التعريف جذر لكثير الحدود ⁠${\displaystyle x^{n}-a}$الأعداد الجبرية هي الأعدادالتي تمثل جذور كثيرات الحدود.

تُعبّر الصيغة التربيعية عن جذور كثيرات الحدود التربيعية بدلالة الجذور التربيعية. خلال القرن السادس عشر، اكتشف جيرولامو كاردانو وعلماء رياضيات إيطاليون آخرون أنه، بالمثل، يمكن دائمًا التعبير عن جذور كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة والرابعة بدلالة الجذور النونية (انظر المعادلة التكعيبية والمعادلة الرباعية ). ^{[ 45 ]}

خلال القرنين التاليين، بُذلت جهودٌ كبيرةٌ لدراسة إمكانية التعبير عن كل عدد جبري بدلالة الجذور. في عام ١٨٢٤، أثبت برهان نظرية أبيل-روفيني عدم وجود صيغة عامة للدرجة الخامسة. ^{[ ٤٦ ]} لم يستبعد هذا تمامًا إمكانية التعبير عن جذور كثيرات الحدود بدلالة الجذور بصيغٍ تعتمد على كل كثيرة حدود على حدة. على سبيل المثال، كثيرة الحدود من الدرجة الخامسة

${\displaystyle p(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})(x-a_{3})(x-a_{4})(x-a_{5})=0}$

له جذور راديكالية${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{5}.}$أظهرت نظرية غالوا ، التي طُرحت عام 1830، أن هناك كثيرات حدود من الدرجة الخامسة وما فوق لا يمكن التعبير عن جذورها بدلالة الجذور، وأبسط مثال على ذلك هو${\displaystyle \textstyle x^{5}-x-1}$[ 47 ^] انظر الدالة الخماسية § الدوال الخماسية القابلة للحل ونظرية غالوا § مثال ^على دالة خماسية غير قابلة للحل . باختصار، لا تكفي الجذور دائمًا للتعبير عن جذور كثيرات الحدود ^.  

على الرغم من هذه العقبة، تُثبت نظرية ديمويفر أنه يمكن دائمًا استخراج الجذر النوني لعدد ما، حتى بالنسبة للدالة الخماسية.${\displaystyle x^{5}-a}$[ ^{43 ]} تُحل النتيجتان التاليتان، اللتان أُثبتتا في القرن التاسع عشر، مشكلاتٍ أساسيةً تتعلق بجذور كثيرات الحدود، والتي طُرحت في القرن السابع عشر. ^تنص النظرية الأساسية للجبر على أن لكل كثيرة حدود جذورًا مركبة . ^{[ 19 ]} توجد أعداد، تُسمى الأعداد المتسامية ، ليست جذورًا لكثيرات الحدود. العدد π مثالٌ على هذا النوع من الأعداد المتسامية. ^{[ 48 ]}

قد يكون من غير الواضح سبب وجود أي رقم${\displaystyle a^{n}}$للمعادلة n جذرًا وليس جذرًا رئيسيًا واحدًا فقط. ولتوضيح ذلك، بالنسبة للجذر الرئيسي a للمتغير x مرفوعًا للأس n ، تتحقق العلاقة متعددة الحدود التالية: $${\displaystyle p(x)=x^{n}-a^{n}=0}$$ يمكن تحليل هذه المعادلة متعددة الحدود على النحو التالي: ^{[ 49 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}p(x)&=x^{n}-a^{n}\\&=(x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+a^{2}x^{n-3}+\cdots +a^{n-1})\\&=(x-a)\left(\sum _{k=0}^{n-1}x^{n-k-1}a^{k}\right)\\\end{aligned}}}$$ وبالتالي، فإن متعددة الحدود${\displaystyle p(x)}$يساوي صفرًا عندما تكون قيمة x مساوية لـ a ، أو لأي قيمة x التي تحل المعادلة: ^{[ 50 ]}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}x^{n-k-1}a^{k}=0}$$ بحسب النظرية الأساسية للجبر، فإن هذه السلسلة${\displaystyle n-1}$الجذور، ليصبح المجموع الكلي${\displaystyle n}$.

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle n=3}$و${\displaystyle a=1}$ثم أوجد الجذور التكعيبية للعدد 1 ^{[ 51 ]}

$${\displaystyle p(x)=x^{3}-1^{3}=(x-1)(x^{2}+x^{1}+1)=0}$$

وبالتالي فإن الجذر الأول هو${\displaystyle x=1}$ويمكن اشتقاق الجذرين الآخرين باستخدام المعادلة التربيعية مع${\displaystyle a=b=c=1}$^{[ 52 ]}

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4}}}{2}}={\frac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}}$$

افترض أن${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$هو عدد نسبي. أي أنه يمكن اختزاله إلى كسر.${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$، حيث أن a و b عددان صحيحان بدون عامل مشترك.

هذا يعني أن${\displaystyle x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$.

بما أن x عدد صحيح،${\displaystyle a^{n}}$و${\displaystyle b^{n}}$يجب أن تشترك في عامل مشترك إذا${\displaystyle b\neq 1}$وهذا يعني أنه إذا${\displaystyle b\neq 1}$،${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$ليست في أبسط صورة. لذا يجب أن تساوي b 1.

منذ${\displaystyle 1^{n}=1}$و${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$،${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}}$.

هذا يعني أن${\displaystyle x=a^{n}}$وبالتالي،${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=a}$وهذا يعني أن${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$عدد صحيح. وبما أن x ليس قوة ن كاملة ، فهذا مستحيل.${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$غير منطقي. ^{[ 25 ]}

• المتوسط ​​الهندسي
• الجذر الثاني عشر للعدد اثنين