ثابت j

في الرياضيات ، الدالة الثابتة j أو الدالة j هي دالة نمطية وزنها صفر للمجموعة الخطية الخاصة${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$معرفة على النصف العلوي من المستوى المركب . وهي الدالة الوحيدة التي تكون تامة الشكل بعيدًا عن قطب بسيط عند نقطة التقاطع بحيث

$${\displaystyle j{\big (}e^{2\pi i/3}{\big )}=0,\quad j(i)=1728=12^{3}.}$$

الدوال الكسرية لـ${\displaystyle j}$هي دوال نمطية، وفي الواقع تعطي جميع الدوال النمطية ذات الوزن 0. كلاسيكيًا،${\displaystyle j}$تمت دراسة خاصية -invariant كمعاملات للمنحنيات الإهليلجية على${\displaystyle \mathbb {C} }$، ولكن لها أيضًا صلات مدهشة بتناظرات مجموعة الوحش (يشار إلى هذه الصلة باسم ضوء القمر الوحشي ).

يمكن تعريف الثابت j كدالة على النصف العلوي من المستوى المركب${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{\tau \in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (\tau )>0\}}$، بواسطة

$${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{\Delta (\tau )}}=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}}}=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{(2\pi )^{12}\,\eta (\tau )^{24}}}}$$

مع تعريف ثالث يعني${\displaystyle j(\tau )}$يمكن التعبير عنه كمكعب ، وذلك أيضاً منذ عام 1728${\displaystyle {}=12^{3}}$. لا يمكن مواصلة الدالة تحليليًا إلى ما بعد النصف العلوي من المستوى بسبب الحدود الطبيعية عند خط الأعداد الحقيقية.

الدوال المعطاة هي المميز المعياري${\displaystyle \Delta (\tau )=g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}=(2\pi )^{12}\,\eta (\tau )^{24}}$دالة إيتا لديديكيند${\displaystyle \eta (\tau )}$، والثوابت المعيارية،

$${\displaystyle g_{2}(\tau )=60G_{4}(\tau )=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-4}}$$$${\displaystyle g_{3}(\tau )=140G_{6}(\tau )=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-6}}$$

أين${\displaystyle G_{4}(\tau )}$،${\displaystyle G_{6}(\tau )}$هي متسلسلات فورييه ،

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\,E_{4}(\tau )\\[4pt]G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\,E_{6}(\tau )\end{aligned}}}$$

و${\displaystyle E_{4}(\tau )}$،${\displaystyle E_{6}(\tau )}$سلسلة أيزنشتاين ،

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\[4pt]E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}}$$

و${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$(مربع الاسم ) . ويمكن التعبير عن الثابت j مباشرةً بدلالة متسلسلة أيزنشتاين كما يلي:

$${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {E_{4}(\tau )^{3}}{E_{4}(\tau )^{3}-E_{6}(\tau )^{2}}}}$$

بدون أي عامل عددي آخر غير 1728. وهذا يعني وجود طريقة ثالثة لتعريف المميز المعياري، ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\,{\frac {E_{4}(\tau )^{3}-E_{6}(\tau )^{2}}{1728}}}$$

على سبيل المثال، باستخدام التعريفات المذكورة أعلاه و${\displaystyle \tau =2i}$ثم دالة إيتا ديديكيند${\displaystyle \eta (2i)}$له القيمة الدقيقة ،

$${\displaystyle \eta (2i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{11/8}\pi ^{3/4}}}}$$

مما يعني الأعداد المتسامية ،

$${\displaystyle g_{2}(2i)={\frac {11\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{8}}{2^{8}\pi ^{2}}},\qquad g_{3}(2i)={\frac {7\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{12}}{2^{12}\pi ^{3}}}}$$

لكنها تعطي العدد الجبري (في الواقع، عدد صحيح )،

$${\displaystyle j(2i)=1728{\frac {g_{2}(2i)^{3}}{g_{2}(2i)^{3}-27g_{3}(2i)^{2}}}=66^{3}.}$$

بشكل عام، يمكن تبرير ذلك بالنظر إلى كل τ على أنه يمثل فئة تماثل من المنحنيات الإهليلجية. كل منحنى إهليلجي E على C هو طارة معقدة، وبالتالي يمكن تحديده بشبكة من الرتبة 2؛ أي شبكة ثنائية الأبعاد من C. يمكن تدوير هذه الشبكة وتغيير حجمها (عمليات تحافظ على فئة التماثل)، بحيث يتم توليدها بواسطة 1 و τ ∈ H. تتوافق هذه الشبكة مع المنحنى الإهليلجي${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}(\tau )x-g_{3}(\tau )}$(انظر دوال فايرشتراس الإهليلجية ).

لاحظ أن j معرفة في كل مكان في H لأن المميز المعياري غير صفري. ويعود ذلك إلى أن متعددة الحدود التكعيبية المقابلة لها جذور مختلفة.

يمكن إثبات أن Δ دالة نمطية وزنها 12، وأن g² دالة _نمطية وزنها 4، وبالتالي فإن قوتها الثالثة وزنها 12 أيضًا. ومن ثم، فإن خارج قسمتهما، وبالتالي j ، دالة نمطية وزنها صفر، وتحديدًا دالة تحليلية H → C ثابتة تحت تأثير SL(2, Z ) . وبقسمة مركزها {±I} نحصل على المجموعة النمطية ، التي يمكننا تعريفها بأنها المجموعة الخطية الخاصة الإسقاطية PSL(2, Z ) .

باختيار مناسب للتحويل الذي ينتمي إلى هذه المجموعة،

$${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad ad-bc=1,}$$

يمكننا اختزال قيمة τ إلى قيمة تعطي نفس القيمة لـ j ، وتقع في المنطقة الأساسية لـ j ، والتي تتكون من قيم τ التي تحقق الشروط.

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\tau |&\geq 1\\[5pt]-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )\leq {\tfrac {1}{2}}\\[5pt]-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1\end{aligned}}}$$

عند تقييد الدالة j ( τ ) في هذه المنطقة، فإنها تأخذ كل قيمة في مجموعة الأعداد المركبة C مرة واحدة فقط. بعبارة أخرى، لكل قيمة c في C ، توجد قيمة τ فريدة في المنطقة الأساسية بحيث c = j ( τ ) . وبالتالي، تتمتع j بخاصية تحويل المنطقة الأساسية إلى المستوى المركب بأكمله.

بالإضافة إلى ذلك، فإن قيمتين τ وτ' ∈ H تُنتجان نفس المنحنى الإهليلجي إذا وفقط إذا كان τ = T(τ') لبعض T ∈ PSL(2, Z ) . هذا يعني أن j يُوفر تقابلًا من مجموعة المنحنيات الإهليلجية على C إلى المستوى المركب. ^{[ 2 ]}

باعتبارها سطح ريمان ، فإن المنطقة الأساسية لها جنس صفر ، وكل دالة نمطية ( من المستوى الأول ) هي دالة كسرية في j ؛ وبالعكس، كل دالة كسرية في j هي دالة نمطية. بعبارة أخرى، حقل الدوال النمطية هو C ( j ) .

يتمتع الثابت j بالعديد من الخصائص الرائعة:

• إذا كانت τ أي نقطة في النصف العلوي من المستوى الإهليلجي الذي يمتلك منحنى القطع الناقص المقابل له عملية ضرب مركبة (أي إذا كانت τ أي عنصر من حقل تربيعي تخيلي ذي جزء تخيلي موجب، بحيث يكون j معرفًا)، فإن j ( τ ) يكون عددًا صحيحًا جبريًا . ^{[ 3 ]} تُسمى هذه القيم الخاصة بالمعاملات الشاذة .
• إن امتداد الحقل Q [ j ( τ ), τ ]/ Q ( τ ) هو تبديلي، أي أنه يحتوي على مجموعة غالوا تبديلية .
• ليكن Λ الشبكة في C المولدة بواسطة {1، τ }. من السهل ملاحظة أن جميع عناصر Q ( τ ) التي تُثبّت Λ تحت الضرب تُشكّل حلقة ذات عناصر محايدة، تُسمى رتبة . الشبكات الأخرى ذات المولدات {1، τ ′ }، المرتبطة بنفس الرتبة، تُعرّف المرافقات الجبرية j ( τ ′ ) لـ j ( τ ) على Q ( τ ) . مُرتبةً حسب الاحتواء، فإن الرتبة القصوى الوحيدة في Q ( τ ) هي حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية لـ Q ( τ ) ، وقيم τ التي لها هذه الرتبة تُؤدي إلى امتدادات غير متفرعة لـ Q ( τ ) .

تُعد هذه النتائج الكلاسيكية نقطة انطلاق لنظرية الضرب المركب.

في عام 1937، أثبت ثيودور شنايدر النتيجة المذكورة آنفًا، وهي أنه إذا كان τ عددًا غير نسبي تربيعي في النصف العلوي من المستوى المركب، فإن j ( τ ) يكون عددًا صحيحًا جبريًا. بالإضافة إلى ذلك، أثبت أنه إذا كان τ عددًا جبريًا ولكنه ليس عددًا تربيعيًا تخيليًا، فإن j ( τ ) يكون عددًا متساميًا.

تتمتع الدالة j بالعديد من الخصائص المتسامية الأخرى. وقد افترض كورت ماهلر نتيجةً خاصةً بالتسامي تُعرف غالبًا باسم حدسية ماهلر، على الرغم من أنها أُثبتت كنتيجةٍ منطقيةٍ لنتائج يو. في. نيستيرينكو وباتريس فيليبون في تسعينيات القرن الماضي. تنص حدسية ماهلر (التي أُثبتت الآن) على أنه إذا كان τ في النصف العلوي من المستوى المركب، فإن e ^{2π iτ} و j ( τ ) لا يمكن أن يكونا جبريين في آنٍ واحد. وقد عُرفت الآن نتائج أقوى، فعلى سبيل المثال، إذا كان e ^{2π iτ} جبريًا، فإن الأعداد الثلاثة التالية مستقلة جبريًا، وبالتالي فإن اثنين منها على الأقل متساميان:

$${\displaystyle j(\tau ),{\frac {j^{\prime }(\tau )}{\pi }},{\frac {j^{\prime \prime }(\tau )}{\pi ^{2}}}}$$

ترتبط العديد من الخصائص الرائعة لـ j بتوسعها q ( توسع متسلسلة فورييه )، المكتوبة كمتسلسلة لوران بدلالة q = e ^{2π iτ} ، والتي تبدأ بما يلي:

$${\displaystyle j(\tau )=q^{-1}+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+20245856256q^{4}+\cdots }$$

لاحظ أن j لها قطب بسيط عند نقطة التقاطع، لذا فإن توسيعها q لا يحتوي على حدود أقل من q ⁻¹ .

جميع معاملات فورييه هي أعداد صحيحة، مما ينتج عنه العديد من الأعداد الصحيحة تقريبًا ، ولا سيما ثابت رامانوجان :

$${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+744.}$$

الصيغة التقريبية لمعامل q ⁿ ​​معطاة على النحو التالي

$${\displaystyle {\frac {e^{4\pi {\sqrt {n}}}}{{\sqrt {2}}\,n^{3/4}}},}$$

كما يمكن إثبات ذلك باستخدام طريقة دائرة هاردي-ليتلوود . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

لدينا

$${\displaystyle j(\tau )={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}}$$

حيث x = λ (1 − λ ) و λ هي دالة لامدا المعيارية

$${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(e^{\pi i\tau })^{4}}{\theta _{3}(e^{\pi i\tau })^{4}}}=k(\tau )^{2}}$$

نسبة دوال جاكوبي ثيتا θ _m ، وهي مربع المعامل الإهليلجي k ( τ ) . ^{[ 7 ]} قيمة j لا تتغير عند استبدال λ بأي من القيم الست للنسبة التبادلية : ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle \left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace }$$

تقع نقاط تفرع الدالة j عند {0، 1، ∞} ، لذا فإن j هي دالة بيلي . ^{[ 9 ]}

عرّف الاسم q = e ^{π iτ} ودالة جاكوبي ثيتا ،

$${\displaystyle \vartheta (0;\tau )=\vartheta _{00}(0;\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}$$

ومنها يمكن اشتقاق دوال ثيتا المساعدة، المعرفة هنا . ليكن،

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}}$$

حيث ϑ _ij و θ _n هما ترميزات بديلة، و a ⁴ − b ⁴ + c ⁴ = 0. عندئذٍ لدينا الثوابت المعيارية g ₂ و g ₃ .

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}(\tau )&={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\g_{3}(\tau )&={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54\left(abc\right)^{8}}{2}}}\\\end{aligned}}}$$

والمميز المعياري،

$${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}}$$

باستخدام دالة إيتا ديديكيند η ( τ ) . يمكن بعد ذلك حساب j ( τ ) بسرعة.

$${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}=32{\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}}{\left(abc\right)^{8}}}}$$

حتى الآن، كنا نعتبر j دالةً لمتغير مركب. مع ذلك، وباعتبارها ثابتًا لفئات التشاكل للمنحنيات الإهليلجية، يمكن تعريفها جبريًا بحتًا. ^{[ 10 ]} ليكن

$${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$$

_ليكن منحنى إهليلجيًا مستويًا على أي حقل . عندئذٍ ^، يمكننا إجراء تحويلات متتالية للحصول على المعادلة أعلاه في صورتها القياسية ^y² = 4x³ - g²x - g³ ( لاحظ أن هذا التحويل لا يمكن إجراؤه إلا عندما لا تساوي خاصية الحقل 2 أو 3). المعاملات الناتجة هي _:

$${\displaystyle {\begin{aligned}b_{2}&=a_{1}^{2}+4a_{2},\quad &b_{4}&=a_{1}a_{3}+2a_{4},\\b_{6}&=a_{3}^{2}+4a_{6},\quad &b_{8}&=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2},\\c_{4}&=b_{2}^{2}-24b_{4},\quad &c_{6}&=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6},\end{aligned}}}$$

حيث g₂ = c₄ و g₃ = _{c₆ .} ولدينا أيضًا المميز _.​

$${\displaystyle \Delta =-b_{2}^{2}b_{8}+9b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}.}$$

يمكن الآن تعريف الثابت j للمنحنى الإهليلجي على النحو التالي:

$${\displaystyle j={\frac {c_{4}^{3}}{\Delta }}}$$

في حالة كون الحقل الذي يُعرَّف عليه المنحنى ذا خاصية مختلفة عن 2 أو 3، فإن هذا يساوي

$${\displaystyle j=1728{\frac {c_{4}^{3}}{c_{4}^{3}-c_{6}^{2}}}.}$$

في حالة منحنى فايرشتراس الإهليلجي القصير${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$، وتتبسط هذه الصيغة إلى

$${\displaystyle j=1728{\frac {4a^{3}}{4a^{3}+27b^{2}}}.}$$

في حالة منحنى مونتغمري الإهليلجي${\displaystyle By^{2}=x^{3}+Ax^{2}+x}$، وهذا يُبسط إلى

$${\displaystyle j=256{\frac {(A^{2}-3)^{3}}{(A+2)(A-2)}}.}$$.

يمكن التعبير عن الدالة العكسية للمتغير j بدلالة الدالة فوق الهندسية ₂ F ₁ (انظر أيضًا مقالة معادلة بيكارد-فوكس ). وبالتحديد، عند إعطاء عدد N ، يمكن حل المعادلة j ( τ ) = N لإيجاد قيمة τ بأربع طرق على الأقل.

الطريقة الأولى : حل المعادلة السداسية في λ ،

$${\displaystyle j(\tau )={\frac {256{\bigl (}1-\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{3}}{{\bigl (}\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{2}}}={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}}$$

حيث x = λ (1 − λ ) ، و λ هي دالة لامدا المعيارية، لذا يمكن حل المعادلة السداسية كمعادلة تكعيبية في x . ثم،

$${\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;1-\lambda \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;\lambda \right)}}=i{\frac {\operatorname {M} (1,{\sqrt {1-\lambda }})}{\operatorname {M} (1,{\sqrt {\lambda }})}}}$$

لأي من القيم الست لـ λ ، حيث M هو المتوسط ​​الحسابي الهندسي . ^{[ ملاحظة 1 ]}

الطريقة الثانية : حل المعادلة الرباعية في γ ،

$${\displaystyle j(\tau )={\frac {27\left(1+8\gamma \right)^{3}}{\gamma \left(1-\gamma \right)^{3}}}}$$

ثم بالنسبة لأي من الجذور الأربعة ،

$${\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {3}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;1-\gamma \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;\gamma \right)}}}$$

الطريقة الثالثة : حل المعادلة التكعيبية في β ،

$${\displaystyle j(\tau )={\frac {64\left(1+3\beta \right)^{3}}{\beta \left(1-\beta \right)^{2}}}}$$

ثم بالنسبة لأي من الجذور الثلاثة،

$${\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {2}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;1-\beta \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;\beta \right)}}}$$

الطريقة الرابعة : حل المعادلة التربيعية في α ،

$${\displaystyle j(\tau )={\frac {1728}{4\alpha (1-\alpha )}}}$$

ثم،

$${\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;1-\alpha \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;\alpha \right)}}}$$

يُعطي أحد الجذرين τ ، ويُعطي الآخر − 1 / τ ، ولكن بما أن j ( τ ) = j (− 1 / τ ) ، فلا فرق في اختيار أي قيمة لـ α . ويمكن إيجاد الطرق الثلاث الأخيرة في نظرية رامانوجان للدوال الإهليلجية ذات القواعد البديلة.

يُستخدم الانعكاس في حسابات عالية الدقة لدورات الدوال الإهليلجية حتى عندما تصبح نسبها غير محدودة. ومن النتائج ذات الصلة إمكانية التعبير عن قيم j عند نقاط المحور التخيلي، التي تكون مقاديرها قوى للعدد 2، باستخدام الجذور التربيعية (مما يسمح بإنشاءات باستخدام الفرجار والمسطرة ). هذه النتيجة الأخيرة ليست بديهية، لأن المعادلة النمطية لـ j من الرتبة 2 هي معادلة تكعيبية. ^{[ 11 ]}

وجد الأخوان تشودنوفسكي في عام 1987، ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!\left(k!\right)^{3}\left(-640320\right)^{3k}}}}$$

أحد الأدلة التي تستخدم حقيقة أن

$${\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640320^{3}.}$$

للاطلاع على صيغ مماثلة، انظر سلسلة رامانوجان-ساتو .

ال${\displaystyle j}$لا تتأثر خاصية الثبات إلا بفئات التشاكل للمنحنيات الإهليلجية على الأعداد المركبة، أو بشكل أعم، على حقل مغلق جبريًا . أما على الحقول الأخرى، فتوجد أمثلة لمنحنيات إهليلجية لا تتأثر بهذه الخاصية.${\displaystyle j}$الثابت هو نفسه، لكنهما غير متماثلين. على سبيل المثال، ليكن${\displaystyle E_{1},E_{2}}$لتكن المنحنيات الإهليلجية المرتبطة بكثيرات الحدود

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-25x\\E_{2}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-4x,\end{aligned}}}$$

كلاهما${\displaystyle j}$ثابت${\displaystyle 1728}$ثم، النقاط المنطقية لـ${\displaystyle E_{2}}$يمكن حسابها على النحو التالي

$${\displaystyle E_{2}(\mathbb {Q} )=\{\infty ,(2,0),(-2,0),(0,0)\}}$$

منذ${\displaystyle x^{3}-4x=x(x^{2}-4)=x(x-2)(x+2)}$لا توجد حلول عقلانية مع${\displaystyle y=a\neq 0}$يمكن إثبات ذلك باستخدام صيغة كاردانو لإظهار أنه في هذه الحالة تكون حلول المعادلة${\displaystyle x^{3}-4x-a^{2}}$كلها غير عقلانية.

من ناحية أخرى، على مجموعة النقاط

$${\displaystyle \{n(-4,6):n\in \mathbb {Z} \}}$$

معادلة لـ${\displaystyle E_{1}}$يصبح${\displaystyle 36n^{2}=-64n^{3}+100n}$القسمة على${\displaystyle 4n}$للقضاء على${\displaystyle (0,0)}$الحل، الصيغة التربيعية تعطي الحلول النسبية:

$${\displaystyle n={\frac {-9\pm {\sqrt {81-4\cdot 16\cdot (-25)}}}{2\cdot 16}}={\frac {-9\pm 41}{32}}.}$$

إذا تم النظر في هذه المنحنيات على${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {10}})}$، هناك تماثل${\displaystyle E_{1}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))\cong E_{2}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))}$إرسال

$${\displaystyle (x,y)\mapsto (\mu ^{2}x,\mu ^{3}y)\ {\text{ where }}\ \mu ={\frac {\sqrt {10}}{2}}.}$$