دالة لامدا معيارية

في الرياضيات ، تُعدّ دالة لامدا المعيارية λ(τ) ^{[ ملاحظة 1 ]} دالة تحليلية متناظرة للغاية على النصف العلوي من المستوى المركب . وهي ثابتة تحت التأثير الخطي الكسري لمجموعة التطابق Γ (2)، وتُولّد حقل الدوال للقسمة المناظرة، أي أنها دالة معيارية رئيسية للمنحنى المعياري X (2). عند أي نقطة τ، يمكن وصف قيمتها كنسبة تبادلية بين نقاط تفرع غطاء مزدوج متفرع للخط الإسقاطي بواسطة المنحنى الإهليلجي. $\mathbb {C} /\langle 1,\tau \rangle$ ، حيث يتم تعريف الخريطة على أنها ناتج القسمة على الانعكاس [ − 1].

التوسع q، حيث $q=e^{\pi i\tau }$ الاسم هو ، ويُعطى بواسطة:

\lambda (\tau )=16q-128q^{2}+704q^{3}-3072q^{4}+11488q^{5}-38400q^{6}+\dots

( التسلسل A115977 في OEIS )

_{من خلال جعل} دالة لامدا متناظرة تحت التأثير الكنسي للمجموعة المتناظرة S3 على X (2)، ثم تطبيعها بشكل مناسب، نحصل على دالة على النصف العلوي من المستوى تكون ثابتة تحت المجموعة النمطية الكاملة $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ وهو في الواقع ثابت كلاين المعياري j .

خصائص معيارية

الوظيفة $\lambda (\tau )$ ثابت تحت المجموعة المولدة بواسطة ^{[ 1 ]}

{\displaystyle \tau \mapsto \tau +2\

تعمل مولدات المجموعة المعيارية بواسطة ^{[ 2 ]}

{\displaystyle \tau \mapsto \tau +1\

{\displaystyle \tau \mapsto -{\frac {1}{\tau }}\

وبالتالي، فإن تأثير المجموعة المعيارية على $\lambda (\tau )$ وهي تلك الخاصة بالمجموعة غير التوافقية ، مما يعطي القيم الست للنسبة التبادلية : ^{[ 3 ]}

\left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace \ .

العلاقات مع الوظائف الأخرى

وهو مربع معامل القطع الناقص، ^{[ 4 ]} أي، $\lambda (\tau )=k^{2}(\tau )$ من حيث دالة إيتا ديديكيند $\eta (\tau )$ ودوال ثيتا ، ^{[ 4 ]}

\lambda (\tau )={\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,\eta ({\tfrac {\tau }{2}})\eta ^{2}(2\tau )}{\eta ^{3}(\tau )}}{\Bigg )}^{8}={\frac {16}{\left({\frac {\eta (\tau /2)}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+16}}={\frac {\theta _{2}^{4}(\tau )}{\theta _{3}^{4}(\tau )}}

و،

{\frac {1}{{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}}}-{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\eta ({\tfrac {\tau }{4}})}{\eta (\tau )}}\right)^{4}=2\,{\frac {\theta _{4}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}{\theta _{2}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}}

حيث ^{[ 5 ]}

\theta _{2}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}}

\theta _{3}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau n^{2}}

\theta _{4}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi i\tau n^{2}}

بدلالة أنصاف دورات دوال فايرشتراس الإهليلجية ، لنفترض $[\omega _{1},\omega _{2}]$ أن يكون زوجًا أساسيًا من الفترات مع $\tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}$ .

e_{1}=\wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right),\quad e_{2}=\wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right),\quad e_{3}=\wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)

لدينا ^{[ 4 ]}

\lambda ={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}}\,.

وبما أن قيم أنصاف الفترات الثلاث متميزة، فإن هذا يدل على أن $\lambda$ لا تأخذ القيمة 0 أو 1. ^{[ 4 ]}

العلاقة بالمتغير j هي ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

j(\tau )={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}={\frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\ .

وهو الثابت j للمنحنى الإهليلجي ذي شكل ليجندر $y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )$

منح $m\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}$ ، يترك

\tau =i{\frac {K\{1-m\}}{K\{m\}}}

أين $K$ هو التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول ذو المعامل $m=k^{2}$ . ثم

\lambda (\tau )=m.

المعادلات النمطية

المعادلة المعيارية من الدرجة $p$ (أين $p$ (عدد أولي ) هي معادلة جبرية في $\lambda (p\tau )$ و $\lambda (\tau )$ . لو $\lambda (p\tau )=u^{8}$ و $\lambda (\tau )=v^{8}$ المعادلات المعيارية من الدرجات $p=2,3,5,7$ وهي، على التوالي، ^{[ 8 ]}

(1+u^{4})^{2}v^{8}-4u^{4}=0,

u^{4}-v^{4}+2uv(1-u^{2}v^{2})=0,

u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0,

(1-u^{8})(1-v^{8})-(1-uv)^{8}=0.

الكمية $v$ (وبالتالي $u$ يمكن اعتبار ) دالة تامة الشكل على النصف العلوي من المستوى $\operatorname {Im} \tau >0$ :

{\begin{aligned}v&=\prod _{k=1}^{\infty }\tanh {\frac {(k-1/2)\pi i}{\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{(2k^{2}+k)\pi i\tau }}{\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{k^{2}\pi i\tau }}}\\&={\cfrac {{\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}}{1+{\cfrac {e^{\pi i\tau }}{1+e^{\pi i\tau }+{\cfrac {e^{2\pi i\tau }}{1+e^{2\pi i\tau }+{\cfrac {e^{3\pi i\tau }}{1+e^{3\pi i\tau }+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}

منذ $\lambda (i)=1/2$ يمكن استخدام المعادلات النمطية لإعطاء القيم الجبرية لـ $\lambda (pi)$ لأي عدد أولي $p$ [ ^ملاحظة²^] القيم الجبرية لـ $\lambda (ni)$ كما يتم تقديمها بواسطة ^{[ 9 ]}^{[ ملاحظة 3 ]}

\lambda (ni)=\prod _{k=1}^{n/2}\operatorname {sl} ^{8}{\frac {(2k-1)\varpi }{2n}}\quad (n\,{\text{even}})

\lambda (ni)={\frac {1}{2^{n}}}\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-\operatorname {sl} ^{2}{\frac {k\varpi }{n}}\right)^{2}\quad (n\,{\text{odd}})

أين $\operatorname {sl}$ هي دالة الجيب lemniscate و $\varpi$ هو ثابت اللمنيسكات .

نجمة لامدا

تعريف وحساب لامدا ستار

الوظيفة $\lambda ^{*}(x)$ ^{[ 10 ]} (حيث $x\in \mathbb {R} ^{+}$ ) يعطي قيمة معامل القطع الناقص $k$ ، والتي يكون لها التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول $K(k)$ ونظيرتها المكملة $K({\sqrt {1-k^{2}}})$ ترتبط هذه العلاقات بالعلاقة التالية:

{\frac {K\left[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]}{K[\lambda ^{*}(x)]}}={\sqrt {x}}

قيم $\lambda ^{*}(x)$ يمكن حسابها على النحو التالي:

\lambda ^{*}(x)={\frac {\theta _{2}^{2}(i{\sqrt {x}})}{\theta _{3}^{2}(i{\sqrt {x}})}}

\lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp[-(a+1/2)^{2}\pi {\sqrt {x}}]\right]^{2}\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}})\right]^{-2}

\lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} [(a+1/2)\pi {\sqrt {x}}]\right]\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}})\right]^{-1}

الوظائف $\lambda ^{*}$ و $\lambda$ ترتبط هذه العناصر ببعضها البعض على النحو التالي:

\lambda ^{*}(x)={\sqrt {\lambda (i{\sqrt {x}})}}

خصائص نجم لامدا

كل $\lambda ^{*}$ قيمة العدد النسبي الموجب هي عدد جبري موجب :

\lambda ^{*}(x)\in {\overline {\mathbb {Q} }}_{+}\quad \forall x\in \mathbb {Q} ^{+}.

$K(\lambda ^{*}(x))$ و $E(\lambda ^{*}(x))$ يمكن التعبير عن التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الثاني بصيغة مغلقة بدلالة دالة غاما لأي $x\in \mathbb {Q} ^{+}$ ، كما أثبت سيلبرغ وتشولا في عام 1949. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

التعبير التالي صالح لجميع $n\in \mathbb {N}$ :

{\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left[{\frac {2a}{n}}K\left[\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right];\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right]

أين $\operatorname {dn}$ دالة جاكوبي الإهليلجية ذات السعة دلتا بمعامل $k$ .

بمعرفة شخص واحد $\lambda ^{*}$ يمكن استخدام هذه الصيغة لحساب القيمة ذات الصلة $\lambda ^{*}$ القيم: ^{[ 9 ]}

\lambda ^{*}(n^{2}x)=\lambda ^{*}(x)^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left\{{\frac {2a-1}{n}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\right\}^{2}

أين $n\in \mathbb {N}$ و $\operatorname {sn}$ دالة جاكوبي الإهليلجية ذات سعة جيبية ومعامل $k$ .

علاقات أخرى:

\lambda ^{*}(x)^{2}+\lambda ^{*}(1/x)^{2}=1

[\lambda ^{*}(x)+1][\lambda ^{*}(4/x)+1]=2

\lambda ^{*}(4x)={\frac {1-{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}}=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[\lambda ^{*}(x)]\right\}^{2}

\lambda ^{*}(x)-\lambda ^{*}(9x)=2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{1/4}-2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{3/4}

${\begin{aligned}&a^{6}-f^{6}=2af+2a^{5}f^{5}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(f=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{8}+b^{8}-7a^{4}b^{4}=2{\sqrt {2}}ab+2{\sqrt {2}}a^{7}b^{7}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(b=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(49x)}{1-\lambda ^{*}(49x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{12}-c^{12}=2{\sqrt {2}}(ac+a^{3}c^{3})(1+3a^{2}c^{2}+a^{4}c^{4})(2+3a^{2}c^{2}+2a^{4}c^{4})\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(c=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(121x)}{1-\lambda ^{*}(121x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&(a^{2}-d^{2})(a^{4}+d^{4}-7a^{2}d^{2})[(a^{2}-d^{2})^{4}-a^{2}d^{2}(a^{2}+d^{2})^{2}]=8ad+8a^{13}d^{13}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(d=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(169x)}{1-\lambda ^{*}(169x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\end{aligned}}$

القيم الخاصة

قيم لامدا ستار للأعداد الصحيحة من النوع 4n-3:

\lambda ^{*}(1)={\frac {1}{\sqrt {2}}}

\lambda ^{*}(5)=\sin \left[{\frac {1}{2}}\arcsin \left({\sqrt {5}}-2\right)\right]

\lambda ^{*}(9)={\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})

\lambda ^{*}(13)=\sin \left[{\frac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18)\right]

\lambda ^{*}(17)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{64}}\left(5+{\sqrt {17}}-{\sqrt {10{\sqrt {17}}+26}}\right)^{3}\right]\right\}

\lambda ^{*}(21)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[(8-3{\sqrt {7}})(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})]\right\}

\lambda ^{*}(25)={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {5}}-2)(3-2{\sqrt[{4}]{5}})

\lambda ^{*}(33)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[(10-3{\sqrt {11}})(2-{\sqrt {3}})^{3}]\right\}

\lambda ^{*}(37)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[({\sqrt {37}}-6)^{3}]\right\}

\lambda ^{*}(45)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[(4-{\sqrt {15}})^{2}({\sqrt {5}}-2)^{3}]\right\}

\lambda ^{*}(49)={\frac {1}{4}}(8+3{\sqrt {7}})(5-{\sqrt {7}}-{\sqrt[{4}]{28}})\left({\sqrt {14}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {5-{\sqrt {7}}}}\right)

\lambda ^{*}(57)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[(170-39{\sqrt {19}})(2-{\sqrt {3}})^{3}]\right\}

\lambda ^{*}(73)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{64}}\left(45+5{\sqrt {73}}-3{\sqrt {50{\sqrt {73}}+426}}\right)^{3}\right]\right\}

قيم لامدا ستار للأعداد الصحيحة من النوع 4n-2:

\lambda ^{*}(2)={\sqrt {2}}-1

\lambda ^{*}(6)=(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})

\lambda ^{*}(10)=({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}

\lambda ^{*}(14)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan \left[{\frac {1}{8}}\left(2{\sqrt {2}}+1-{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}}\right)^{3}\right]\right\}

\lambda ^{*}(18)=({\sqrt {2}}-1)^{3}(2-{\sqrt {3}})^{2}

\lambda ^{*}(22)=(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}-7{\sqrt {2}})

\lambda ^{*}(30)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}]\right\}

\lambda ^{*}(34)=\tan \left\{{\frac {1}{4}}\arcsin \left[{\frac {1}{9}}({\sqrt {17}}-4)^{2}\right]\right\}

\lambda ^{*}(42)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}]\right\}

\lambda ^{*}(46)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan \left[{\frac {1}{64}}\left(3+{\sqrt {2}}-{\sqrt {6{\sqrt {2}}+7}}\right)^{6}\right]\right\}

\lambda ^{*}(58)=(13{\sqrt {58}}-99)({\sqrt {2}}-1)^{6}

\lambda ^{*}(70)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {5}}-2)^{4}({\sqrt {2}}-1)^{6}]\right\}

\lambda ^{*}(78)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[(5{\sqrt {13}}-18)^{2}({\sqrt {26}}-5)^{2}]\right\}

\lambda ^{*}(82)=\tan \left\{{\frac {1}{4}}\arcsin \left[{\frac {1}{4761}}(8{\sqrt {41}}-51)^{2}\right]\right\}

قيم لامدا ستار للأعداد الصحيحة من النوع 4n-1:

\lambda ^{*}(3)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}({\sqrt {3}}-1)

\lambda ^{*}(7)={\frac {1}{4{\sqrt {2}}}}(3-{\sqrt {7}})

\lambda ^{*}(11)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}({\sqrt {11}}+3)\left({\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1\right)^{4}

\lambda ^{*}(15)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}(3-{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}-{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {3}})

\lambda ^{*}(19)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}(3{\sqrt {19}}+13)\left[{\frac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2+{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {19}}}}-{\frac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2-{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {19}}}}-{\frac {1}{3}}(5-{\sqrt {19}})\right]^{4}

\lambda ^{*}(23)={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}(5+{\sqrt {23}})\left[{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{100-12{\sqrt {69}}}}-{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}-1){\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69}}}}+{\frac {2}{3}}\right]^{4}

\lambda ^{*}(27)={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}({\sqrt {3}}-1)^{3}\left[{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}({\sqrt[{3}]{4}}-{\sqrt[{3}]{2}}+1)-{\sqrt[{3}]{2}}+1\right]^{4}

\lambda ^{*}(39)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{16}}\left(6-{\sqrt {13}}-3{\sqrt {6{\sqrt {13}}-21}}\right)\right]\right\}

\lambda ^{*}(55)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{512}}\left(3{\sqrt {5}}-3-{\sqrt {6{\sqrt {5}}-2}}\right)^{3}\right]\right\}

قيم لامدا ستار للأعداد الصحيحة من النوع 4n:

\lambda ^{*}(4)=({\sqrt {2}}-1)^{2}

\lambda ^{*}(8)=\left({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2{\sqrt {2}}+2}}\right)^{2}

\lambda ^{*}(12)=({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{2}

\lambda ^{*}(16)=({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{4}

\lambda ^{*}(20)=\tan \left[{\frac {1}{4}}\arcsin({\sqrt {5}}-2)\right]^{2}

\lambda ^{*}(24)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})]\right\}^{2}

\lambda ^{*}(28)=(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{4}

\lambda ^{*}(32)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[\left({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2{\sqrt {2}}+2}}\right)^{2}\right]\right\}^{2}

قيم لامدا ستار للكسور النسبية:

\lambda ^{*}\left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}

\lambda ^{*}\left({\frac {1}{3}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}({\sqrt {3}}+1)

\lambda ^{*}\left({\frac {2}{3}}\right)=(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})

\lambda ^{*}\left({\frac {1}{4}}\right)=2{\sqrt[{4}]{2}}({\sqrt {2}}-1)

\lambda ^{*}\left({\frac {3}{4}}\right)={\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})({\sqrt {2}}+1){\sqrt {({\sqrt {3}}-1)^{3}}}

\lambda ^{*}\left({\frac {1}{5}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left({\sqrt {2{\sqrt {5}}-2}}+{\sqrt {5}}-1\right)

\lambda ^{*}\left({\frac {2}{5}}\right)=({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}+1)^{2}

\lambda ^{*}\left({\frac {3}{5}}\right)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}(3+{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}-{\sqrt {3}})(2+{\sqrt {3}})

\lambda ^{*}\left({\frac {4}{5}}\right)=\tan \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arcsin({\sqrt {5}}-2)\right]^{2}

ثوابت رامانوجان للفئات

ثوابت رامانوجان للفئات $G_{n}$ و $g_{n}$ يتم تعريفها على النحو التالي ^{[ 13 ]}

G_{n}=2^{-1/4}e^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+e^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right),

g_{n}=2^{-1/4}e^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-e^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right),

أين $n\in \mathbb {Q} ^{+}$ لهذا السبب $n$ ، الثوابت الخاصة بالفئة هي أعداد جبرية. على سبيل المثال

g_{58}={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}},\quad g_{190}={\sqrt {({\sqrt {5}}+2)({\sqrt {10}}+3)}}.

تشمل الهويات ذات الثوابت الخاصة بالفئة ^{[ 14 ]}

G_{n}=G_{1/n},\quad g_{n}={\frac {1}{g_{4/n}}},\quad g_{4n}=2^{1/4}g_{n}G_{n}.

ترتبط ثوابت الفئة ارتباطًا وثيقًا بالدوال النمطية لويبر ${\mathfrak {f}}$ و ${\mathfrak {f}}_{1}$ هذه هي العلاقات بين لامدا ستار وثوابت الفئة:

G_{n}=\sin\{2\arcsin[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}=1{\Big /}\left[{\sqrt[{12}]{2\lambda ^{*}(n)}}{\sqrt[{24}]{1-\lambda ^{*}(n)^{2}}}\right]

g_{n}=\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}={\sqrt[{12}]{[1-\lambda ^{*}(n)^{2}]/[2\lambda ^{*}(n)]}}

\lambda ^{*}(n)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[g_{n}^{-12}]\right\}={\sqrt {g_{n}^{24}+1}}-g_{n}^{12}

مشاركات أخرى

نظرية بيكارد الصغير

تُستخدم دالة لامدا في البرهان الأصلي لنظرية بيكارد الصغرى ، التي تنص على أن الدالة الكاملة غير الثابتة على المستوى المركب لا يمكن أن تحذف أكثر من قيمة واحدة. وقد برهن بيكارد هذه النظرية عام 1879. ^{[ 15 ]} لنفترض، إن أمكن، أن f دالة كاملة ولا تأخذ القيمتين 0 و1. بما أن λ دالة تحليلية، فإن لها معكوسًا تحليليًا محليًا ω معرفًا بعيدًا عن 0 و1 و∞. لنعتبر الدالة z → ω( f ( z )). وفقًا لنظرية المونودرومي، فإن هذه الدالة تحليلية وتحوّل المستوى المركب C إلى النصف العلوي منه. ومن هذا، يسهل بناء دالة تحليلية من C إلى قرص الوحدة، والتي يجب أن تكون ثابتة وفقًا لنظرية ليوفيل . ^{[ 16 ]}

لغو

الوظيفة $\tau \mapsto 16/\lambda (2\tau )-8$ هو Hauptmodul المعياري للمجموعة $\Gamma _{0}(4)$ ، وتوسيعها q $q^{-1}+20q-62q^{3}+\dots$ ، (التسلسل A007248 في OEIS ) حيث $q=e^{2\pi i\tau }$ ، هو الخاصية المتدرجة لأي عنصر في فئة الترافق 4C لمجموعة الوحش التي تعمل على جبر رأس الوحش .

الحواشي

^ شاندراسيخران (1985) ص 115
^ شاندراسيخران (1985) ص.109
^ شاندراسيخران (1985) ص 110
1 2 3 4 شاندراسيخران (1985) ص 108
^ شاندراسيخران (1985) ص.63
^ شاندراسيخران (1985) ص 117
↑ رانكين (1977) ص 226-228
↑ بورواين، جوناثان م.؛ بورواين، بيتر ب. (1987). باي والمتوسط الحسابي: دراسة في نظرية الأعداد التحليلية والتعقيد الحسابي ( الطبعة الأولى). وايلي-إنترساينس. ISBN 0-471-83138-7.الصفحات 103-109، 134
1 2 جاكوبي، كارل جوستاف جاكوب (1829). Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (باللاتينية).ص 42
↑ بورواين، جوناثان م.؛ بورواين، بيتر ب. (1987). باي والمتوسط الحسابي: دراسة في نظرية الأعداد التحليلية والتعقيد الحسابي ( الطبعة الأولى). وايلي-إنترساينس. ISBN 0-471-83138-7.ص 152
↑ تشاولا، س.؛ سيلبرغ، أ. (1949). " حول دالة زيتا لإبستين (1)" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 35 (7): 373. doi : 10.1073/PNAS.35.7.371 . PMC 1063041. S2CID 45071481 .
↑ تشاولا، س.؛ سيلبرغ، أ. "حول دالة زيتا لإبستين" . EuDML . ص 86-110 .
↑ بيرندت، بروس سي؛ تشان، هينغ هوات؛ تشانغ، ليانغ تشنغ (6 يونيو 1997). "ثوابت رامانوجان، صيغة كرونكر الحدية، والمعادلات النمطية" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 349 (6): 2125-2173 .
^ إيمارد ، بيير. لافون، جان بيير (1999). Autour du nombre Pi (بالفرنسية). هيرمان. رقم ISBN 2705614435.ص 240
^ شاندراسيخران (1985) ص.121
^ شاندراسيخران (1985) ص 118

مراجع

ملحوظات

↑ $\lambda (\tau )$ ليست دالة نمطية (وفقًا لتعريف ويكيبيديا)، ولكن كل دالة نمطية هي دالة كسرية في $\lambda (\tau )$ . يستخدم بعض المؤلفين تعريفًا غير مكافئ لـ "الدوال النمطية".
↑ لأي قوة أولية ، يمكننا تكرار المعادلة المعيارية من الدرجة $p$ يمكن استخدام هذه العملية لإعطاء القيم الجبرية لـ $\lambda (ni)$ لأي $n\in \mathbb {N} .$
↑ $\operatorname {sl} a\varpi$ هو جبري لكل $a\in \mathbb {Q} .$

آخر

أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين أ .، محرران (1972)، دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية ، نيويورك: منشورات دوفر ، ISBN 978-0-486-61272-0، Zbl 0543.33001
Chandrasekharan، K. (1985)، الدوال الإهليلجية ، Grundlehren der mathematischen Wissenschaften، المجلد. 281، سبرينغر-فيرلاغ ، ص 108 – 121، ISBN 3-540-15295-4، Zbl 0575.33001
كونواي، جون هورتون ؛ نورتون، سيمون (1979)، "ضوء القمر الوحشي"، نشرة جمعية لندن الرياضية ، 11 (3): 308-339 ، doi : 10.1112/blms/11.3.308 ، MR 0554399 ، Zbl 0424.20010
رانكين، روبرت أ. (1977)، الأشكال والوظائف النمطية ، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 0-521-21212-XZbl 0376.10020
راينهارت، دبليو بي؛ ووكر، بي إل (2010)، "الدالة النمطية الإهليلجية" ، في أولفر، فرانك دبليو جيه ؛ لوزير، دانيال إم؛ بويسفيرت، رونالد إف؛ كلارك، تشارلز دبليو (محررون)، دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248 .

بورواين، جيه إم وبورواين، بي بي باي والجمعية العمومية: دراسة في نظرية الأعداد التحليلية والتعقيد الحسابي. نيويورك: وايلي، الصفحات 139 و298، 1987.

كونواي، جيه إتش ونورتون، إس بي " ضوء القمر الوحشي ". نشرة جمعية لندن الرياضية 11، 308-339، 1979.

Selberg, A. and Chowla, S. “On Epstein's Zeta-Function.” J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967.

روابط خارجية

دالة لامدا معيارية في Fungrim

[C115-2] شاندراسيخران (1985) ص 115

[C109-3] شاندراسيخران (1985) ص.109

[C110-4] شاندراسيخران (1985) ص 110

[C108-5] 1 2 3 4 شاندراسيخران (1985) ص 108

[C63-6] شاندراسيخران (1985) ص.63

[C117-7] شاندراسيخران (1985) ص 117

[8] رانكين (1977) ص 226-228

[9] بورواين، جوناثان م.؛ بورواين، بيتر ب. (1987). باي والمتوسط الحسابي: دراسة في نظرية الأعداد التحليلية والتعقيد الحسابي ( الطبعة الأولى). وايلي-إنترساينس. ISBN 0-471-83138-7.الصفحات 103-109، 134

[Jacobi-11] 1 2 جاكوبي، كارل جوستاف جاكوب (1829). Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (باللاتينية).ص 42

[13] بورواين، جوناثان م.؛ بورواين، بيتر ب. (1987). باي والمتوسط الحسابي: دراسة في نظرية الأعداد التحليلية والتعقيد الحسابي ( الطبعة الأولى). وايلي-إنترساينس. ISBN 0-471-83138-7.ص 152

[14] تشاولا، س.؛ سيلبرغ، أ. (1949). " حول دالة زيتا لإبستين (1)" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 35 (7): 373. doi : 10.1073/PNAS.35.7.371 . PMC 1063041. S2CID 45071481 .

[15] تشاولا، س.؛ سيلبرغ، أ. "حول دالة زيتا لإبستين" . EuDML . ص 86-110 .

[16] بيرندت، بروس سي؛ تشان، هينغ هوات؛ تشانغ، ليانغ تشنغ (6 يونيو 1997). "ثوابت رامانوجان، صيغة كرونكر الحدية، والمعادلات النمطية" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 349 (6): 2125-2173 .

[17] إيمارد ، بيير. لافون، جان بيير (1999). Autour du nombre Pi (بالفرنسية). هيرمان. رقم ISBN 2705614435.ص 240

[18] شاندراسيخران (1985) ص.121

[19] شاندراسيخران (1985) ص 118

[1] $\lambda (\tau )$ ليست دالة نمطية (وفقًا لتعريف ويكيبيديا)، ولكن كل دالة نمطية هي دالة كسرية في $\lambda (\tau )$ . يستخدم بعض المؤلفين تعريفًا غير مكافئ لـ "الدوال النمطية".

[10] لأي قوة أولية ، يمكننا تكرار المعادلة المعيارية من الدرجة $p$ يمكن استخدام هذه العملية لإعطاء القيم الجبرية لـ $\lambda (ni)$ لأي $n\in \mathbb {N} .$

[12] $\operatorname {sl} a\varpi$ هو جبري لكل $a\in \mathbb {Q} .$

[ ملاحظة 1 ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

ملاحظة

[ 9 ]

[ ملاحظة 3 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗