دالة ويبر المعيارية

في الرياضيات ، تعتبر الدوال النمطية لـ Weber عائلة من ثلاث دوال f و f ₁ و f ₂ ، ^{[ ملاحظة 1 ]} درسها هاينريش مارتن ويبر .

يترك${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$حيث τ عنصر من النصف العلوي للمستوى . عندئذٍ تكون دوال ويبر هي

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(\tau )&=q^{-{\frac {1}{48}}}\prod _{n>0}(1+q^{n-1/2})={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta (2\tau )}}=e^{-{\frac {\pi i}{24}}}{\frac {\eta {\big (}{\frac {\tau +1}{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )&=q^{-{\frac {1}{48}}}\prod _{n>0}(1-q^{n-1/2})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )&={\sqrt {2}}\,q^{\frac {1}{24}}\prod _{n>0}(1+q^{n})={\frac {{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}}$

هذه هي أيضاً التعريفات الواردة في ورقة ديوك البحثية بعنوان "الكسور المستمرة والدوال النمطية" . ^{[ ملاحظة 2 ]} الدالة${\displaystyle \eta (\tau )}$دالة إيتا الخاصة بـ Dedekind هي${\displaystyle (e^{2\pi i\tau })^{\alpha }}$ينبغي تفسير ذلك على النحو التالي${\displaystyle e^{2\pi i\tau \alpha }}$. الأوصاف على النحو التالي${\displaystyle \eta }$تشير نواتج القسمة مباشرةً إلى

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\tau ){\mathfrak {f}}_{1}(\tau ){\mathfrak {f}}_{2}(\tau )={\sqrt {2}}.}$

التحويل τ  →  –1/ τ يثبت f ويبدل f ₁ و f _2. لذلك فإن الفضاء المتجهي المركب ثلاثي الأبعاد ذو الأساس f و f ₁ و f ₂ يتم التأثير عليه بواسطة المجموعة SL ₂ ( Z ).

أو دع${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$كن الاسم ،

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(q)&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1+q^{2n-1})={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta (2\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{1}(q)&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1-q^{2n-1})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{2}(q)&={\sqrt {2}}\,q^{\frac {1}{12}}\prod _{n>0}(1+q^{2n})={\frac {{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}}$

لقد تغير شكل حاصل الضرب اللانهائي قليلاً. ولكن بما أن حاصل قسمة إيتا يبقى كما هو، فإن${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{i}(\tau )={\mathfrak {f}}_{i}(q)}$طالما أن الثاني يستخدم الاسم${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$تتمثل فائدة الشكل الثاني في إظهار الروابط والترميز المتسق مع دوال رامانوجان G و g ودوال جاكوبي ثيتا ، وكلاهما يستخدم الاسم بشكل تقليدي.

لا يزال يستخدم الاسم${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$عرّف دالتي رامانوجان G و g على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}2^{1/4}G_{n}&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1+q^{2n-1})={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta (2\tau )}},\\2^{1/4}g_{n}&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1-q^{2n-1})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}}$

تُظهر معاملات إيتا ارتباطها بدالتي ويبر الأوليين بشكل واضح. في هذا المثال، افترض${\displaystyle \tau ={\sqrt {-n}}.}$ثم،

${\displaystyle {\begin{aligned}2^{1/4}G_{n}&={\mathfrak {f}}(q)={\mathfrak {f}}(\tau ),\\2^{1/4}g_{n}&={\mathfrak {f}}_{1}(q)={\mathfrak {f}}_{1}(\tau ).\end{aligned}}}$

وجد رامانوجان العديد من العلاقات بين${\displaystyle G_{n}}$و${\displaystyle g_{n}}$مما يعني وجود علاقات مماثلة بين${\displaystyle {\mathfrak {f}}(q)}$و${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{1}(q)}$على سبيل المثال، هويته،

${\displaystyle (G_{n}^{8}-g_{n}^{8})(G_{n}\,g_{n})^{8}={\tfrac {1}{4}},}$

يؤدي إلى

${\displaystyle {\big [}{\mathfrak {f}}^{8}(q)-{\mathfrak {f}}_{1}^{8}(q){\big ]}{\big [}{\mathfrak {f}}(q)\,{\mathfrak {f}}_{1}(q){\big ]}^{8}={\big [}{\sqrt {2}}{\big ]}^{8}.}$

قام رامانوجان أيضًا بجدولة العديد من قيم n${\displaystyle G_{n}}$بالنسبة لـ n الفردي ، و${\displaystyle g_{n}}$بالنسبة لـ n الزوجية . وهذا يعطي تلقائيًا العديد من التقييمات الصريحة لـ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(q)}$و${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{1}(q)}$على سبيل المثال، باستخدام${\displaystyle \tau ={\sqrt {-5}},\,{\sqrt {-13}},\,{\sqrt {-37}}}$، وهي بعض المميزات الخالية من المربعات ذات رقم الفئة 2،

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{5}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{1/4},\\G_{13}&=\left({\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}\right)^{1/4},\\G_{37}&=\left(6+{\sqrt {37}}\right)^{1/4},\end{aligned}}}$

ويمكن للمرء أن يحصل بسهولة${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\tau )=2^{1/4}G_{n}}$من هذه الأمثلة، بالإضافة إلى الأمثلة الأكثر تعقيدًا الموجودة في دفاتر رامانوجان.

وسيط دوال ثيتا الكلاسيكية لجاكوبي هو الاسم التقليدي${\displaystyle q=e^{\pi i\tau },}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{10}(0;\tau )&=\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[2pt]\vartheta _{00}(0;\tau )&=\theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\;=\;{\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {\tau }{2}}\right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {\tau +1}{2}}\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\vartheta _{01}(0;\tau )&=\theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {\tau }{2}}\right)}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}}$

قسمتها على${\displaystyle \eta (\tau )}$مع ملاحظة أن${\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {-\pi i}{\,12}}\eta (\tau +1)}$إذن فهي مجرد مربعات لدوال ويبر${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{i}(q)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\theta _{2}(q)}{\eta (\tau )}}&={\mathfrak {f}}_{2}(q)^{2},\\[4pt]{\frac {\theta _{4}(q)}{\eta (\tau )}}&={\mathfrak {f}}_{1}(q)^{2},\\[4pt]{\frac {\theta _{3}(q)}{\eta (\tau )}}&={\mathfrak {f}}(q)^{2},\end{aligned}}}$

مع إدراج دوال ثيتا ذات الرموز الزوجية أولاً عن قصد. باستخدام متطابقة جاكوبي المعروفة مع الرموز الزوجية على الجانب الأيسر،

${\displaystyle \theta _{2}(q)^{4}+\theta _{4}(q)^{4}=\theta _{3}(q)^{4};}$

لذلك،

${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{2}(q)^{8}+{\mathfrak {f}}_{1}(q)^{8}={\mathfrak {f}}(q)^{8}.}$

الجذور الثلاثة للمعادلة التكعيبية

${\displaystyle j(\tau )={\frac {(x-16)^{3}}{x}}}$

حيث j ( τ ) هي دالة j، ويتم إعطاؤها بواسطة${\displaystyle x_{i}={\mathfrak {f}}(\tau )^{24},-{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{24},-{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{24}}$أيضًا، بما أن

${\displaystyle j(\tau )=32{\frac {{\Big (}\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}{\Big )}^{3}}{{\Big (}\theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4}(q){\Big )}^{8}}}}$

وباستخدام تعريفات دوال ويبر بدلالة دوال جاكوبي ثيتا، بالإضافة إلى حقيقة أن${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{2}(q)^{2}\,{\mathfrak {f}}_{1}(q)^{2}\,{\mathfrak {f}}(q)^{2}={\frac {\theta _{2}(q)}{\eta (\tau )}}{\frac {\theta _{4}(q)}{\eta (\tau )}}{\frac {\theta _{3}(q)}{\eta (\tau )}}=2}$، ثم

${\displaystyle j(\tau )=\left({\frac {{\mathfrak {f}}(\tau )^{16}+{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{16}+{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{16}}{2}}\right)^{3}=\left({\frac {{\mathfrak {f}}(q)^{16}+{\mathfrak {f}}_{1}(q)^{16}+{\mathfrak {f}}_{2}(q)^{16}}{2}}\right)^{3}}$

منذ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{i}(\tau )={\mathfrak {f}}_{i}(q)}$ولها نفس الصيغ بدلالة دالة إيتا ديديكيند${\displaystyle \eta (\tau )}$.

• سلسلة رامانوجان-ساتو، المستوى 4

• ديوك، ويليام (2005)، الكسور المستمرة والدوال النمطية (ملف PDF) ، نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات 42
• ويبر ، هاينريش مارتن (1981) [1898]، Lehrbuch der Algebra (في المانيا)، المجلد.  3 (  الطبعة الثالثة)، نيويورك: AMS Chelsea Publishing، ISBN 978-0-8218-2971-4
• يوي، نوريكو؛ زاغير، دون (1997)، "حول القيم المفردة لدوال ويبر النمطية"، رياضيات الحساب ، 66 (220): 1645-1662 ، doi : 10.1090/S0025-5718-97-00854-5 ، MR 1415803