الجبر F

تقليديًا، المجموعة هي مجموعة${\displaystyle G}$مع قانون المجموعة${\displaystyle m:G\times G\rightarrow G}$، مع${\displaystyle m(x,y)=x\cdot y}$، والتي تحقق ثلاثة بديهيات: وجود عنصر محايد، ووجود معكوس لكل عنصر من عناصر المجموعة، والترابطية.

لوضع هذا في إطار تصنيفي، عرّف أولاً المحايد والمعكوس كدوال (تشاكلات المجموعة).${\displaystyle G}$) بواسطة${\displaystyle e:1\rightarrow G}$مع${\displaystyle e(*)=1}$، و${\displaystyle i:G\rightarrow G}$مع${\displaystyle i(x)=x^{-1}}$. هنا${\displaystyle 1}$يشير إلى المجموعة التي تحتوي على عنصر واحد${\displaystyle 1=\left\{*\right\}}$مما يسمح بتحديد العناصر${\displaystyle x\in G}$مع التشكلات${\displaystyle 1\rightarrow G}$.

عندئذٍ يصبح من الممكن كتابة بديهيات المجموعة بدلالة الدوال (لاحظ كيف أن المُكمِّم الوجودي غائب):

• ${\displaystyle \forall x\in G,\forall y\in G,\forall z\in G,m(m(x,y),z)=m(x,m(y,z))}$،
• ${\displaystyle \forall x\in G,m(e(*),x)=m(x,e(*))=x}$،
• ${\displaystyle \forall x\in G,m(i(x),x)=m(x,i(x))=e(*)}$.

ويمكن التعبير عن ذلك باستخدام المخططات التبادلية: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

والآن استخدم الضرب المشترك ( الاتحاد المنفصل للمجموعات) لدمج التشاكلات الثلاثة في تشاكل واحد:${\displaystyle \alpha =e+i+m}$وفق

${\displaystyle {\begin{matrix}\alpha$ :{1}+G+G\times G&\to &G,\\*&\mapsto &1,\\x&\mapsto &x^{-1},\\(x,y)&\mapsto &x\cdot y.\end{matrix}}}

وبالتالي فإن المجموعة هي${\displaystyle F}$-الجبر حيث${\displaystyle F}$الدالة${\displaystyle F(G)=1+G+G\times G}$لكن العكس ليس صحيحاً بالضرورة. بعض${\displaystyle F}$-الجبر حيث${\displaystyle F}$الدالة${\displaystyle F(G)=1+G+G\times G}$ليست مجموعات.

يُستخدم التركيب المذكور أعلاه لتعريف كائنات المجموعة على فئة عشوائية ذات منتجات منتهية وكائن نهائي${\displaystyle 1}$عندما تقبل الفئة نواتج مشتركة منتهية ، فإن عناصر المجموعة تكون${\displaystyle F}$الجبر - على سبيل المثال، المجموعات المنتهية هي${\displaystyle F}$الجبر - في فئة المجموعات المنتهية ومجموعات لي هي${\displaystyle F}$الجبر - في فئة المشعبات الملساء مع الخرائط الملساء .

بالانتقال خطوةً إلى الأمام في الجبر الشامل ، فإن معظم البنى الجبرية هي جبر- F. على سبيل المثال، الزمر الأبيلية هي جبر- F لنفس الدالة F ( G ) = 1 + G + G × G كما هو الحال بالنسبة للزمر، مع بديهية إضافية للتبديل: m ∘ t = m ، حيث t ( x , y ) = ( y , x ) هي منقولة G × G.

المونويدات هي جبر F ذو إشارة F ( M ) = 1 + M × M. وبالمثل، فإن أنصاف الزمر هي جبر F ذو إشارة F ( S ) = S × S

تُعدّ الحلقات والمجالات والحقول أيضًا جبرًا من النوع F، ولها توقيع يتضمن قانونين: + و•: R × R → R، وعنصر محايد جمعي 0: 1 → R ، وعنصر محايد ضربي 1: 1 → R ، ومعكوس جمعي لكل عنصر -: R → R. وبما أن جميع هذه الدوال تشترك في نفس المجال المقابل R، فيمكن دمجها في دالة توقيع واحدة 1 + 1 + R + R × R + R × R → R ، مع بديهيات للتعبير عن التجميعية والتوزيعية ، وما إلى ذلك. وهذا يجعل الحلقات جبرًا من النوع F على فئة المجموعات ذات التوقيع 1 + 1 + R + R × R + R × R.

بدلاً من ذلك، يمكننا النظر إلى الدالة F ( R ) = 1 + R × R في فئة الزمر الأبيلية . في هذا السياق، يكون الضرب تشاكلاً، أي أن m ( x + y , z ) = m ( x , z ) + m ( y , z ) و m ( x , y + z ) = m ( x , y ) + m ( x , z )، وهما شرطا التوزيع تحديداً. بالتالي، الحلقة هي جبر F ذو إشارة 1 + R × R على فئة الزمر الأبيلية، والذي يحقق بديهيتين (التجميعية والعنصر المحايد للضرب).

عندما نأتي إلى الفضاءات المتجهة والوحدات النمطية ، فإن دالة التوقيع تتضمن عملية ضرب قياسية k × E → E ، ويتم تحديد التوقيع F ( E ) = 1 + E + k × E بواسطة k على فئة الحقول أو الحلقات.

يمكن اعتبار الجبر على حقل ما بمثابة جبر F ذي توقيع 1 + 1 + A + A × A + A × A + k × A على فئة المجموعات، وذي توقيع 1 + A × A على فئة الوحدات (وحدة ذات ضرب داخلي)، وذي توقيع k × A على فئة الحلقات (حلقة ذات ضرب قياسي)، عندما تكون تجميعية ووحدوية.

ليست كل البنى الرياضية جبرًا من النوع F. على سبيل المثال، يمكن تعريف مجموعة جزئية مرتبة P باستخدام مصطلحات فئوية مع تشاكل s : P × P → Ω، على مصنف كائنات فرعية (Ω = {0,1} في فئة المجموعات و s ( x , y ) = 1 تحديدًا عندما x ≤ y ). يمكن إعادة صياغة البديهيات التي تقيد التشاكل s لتعريف مجموعة جزئية مرتبة بدلالة التشاكلات. مع ذلك، بما أن المجال المقابل لـ s هو Ω وليس P ، فهو ليس جبرًا من النوع F.

مع ذلك، فإن الشبكات ، وهي ترتيبات جزئية يكون لكل عنصرين فيها حد أعلى وحد أدنى، وخاصة الترتيبات الكلية ، هي جبر F. وذلك لأنه يمكن تعريفها بشكل مكافئ بدلالة العمليات الجبرية: x ∨ y = inf( x , y ) و x ∧ y = sup( x , y )، مع مراعاة بعض البديهيات (التبديلية، والتجميعية، والامتصاص، والتماثل). وبالتالي فهي جبر F من النوع P x P + P x P. ويُقال غالبًا أن نظرية الشبكات تستند إلى كل من نظرية الترتيب والجبر الشامل.

لنأخذ الدالة كمثال${\displaystyle F:\mathrm {\bf {Set}} \to \mathrm {\bf {Set}} }$يرسل ذلك مجموعة${\displaystyle X}$ل${\displaystyle 1+X}$. هنا،${\displaystyle \mathrm {\bf {Set}} }$يشير إلى فئة المجموعات،${\displaystyle +}$يرمز إلى الناتج المشترك المعتاد الناتج عن الاتحاد المنفصل ، و${\displaystyle 1}$هو كائن نهائي (أي أي مجموعة أحادية ). ثم، المجموعة ${\displaystyle \mathbb {N} }$الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى الدالة${\displaystyle [\mathrm {zero} ,\mathrm {succ} ]:1+\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$—وهو الناتج الثانوي للوظائف${\displaystyle \mathrm {zero} :1\mapsto 0}$و${\displaystyle \mathrm {succ} :n\mapsto n+1}$— هو جبر F.