نظام غير محدد

في الرياضيات ، يُعتبر نظام المعادلات الخطية أو نظام المعادلات متعددة الحدود غير محدد إذا كان عدد المعادلات أقل من عدد المجاهيل ^{[ 1 ]} (على عكس النظام المحدد بشكل زائد ، حيث يكون عدد المعادلات أكبر من عدد المجاهيل). ويمكن شرح هذا المصطلح باستخدام مفهوم عدّ القيود . يُمكن اعتبار كل مجهول درجة حرية متاحة ، بينما تُعتبر كل معادلة مُضافة إلى النظام قيدًا يُقيّد درجة حرية واحدة.

لذا، تحدث الحالة الحرجة (بين التحديد الزائد والتحديد الناقص) عندما يتساوى عدد المعادلات مع عدد المتغيرات الحرة. فلكل متغير يمنح درجة حرية، يوجد قيد مقابل يزيل درجة حرية. ويحتوي النظام غير المحدد على قيود إضافية ليست معادلات، مثل حصر الحلول في الأعداد الصحيحة. ^{[ 2 ]} أما حالة التحديد الناقص ، فتحدث عندما يكون النظام مقيدًا بشكل ناقص، أي عندما يفوق عدد المجاهيل عدد المعادلات.

النظام الخطي غير المحدد إما ليس له حل أو له عدد لا نهائي من الحلول.

على سبيل المثال،

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=1\\x+y+z&=0\end{aligned}}}$

هو نظام غير محدد بدون أي حل؛ ويُقال إن أي نظام معادلات ليس له حل غير متسق . من ناحية أخرى، النظام

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=1\\x+y+2z&=3\end{aligned}}}$

المعادلة متسقة ولها عدد لا نهائي من الحلول، مثل ( س ، ص ، ع ) = (1، -2، 2) ، (2، -3، 2) ، و (3، -4، 2) . يمكن تحديد جميع هذه الحلول بطرح المعادلة الأولى من الثانية، لإثبات أن جميع الحلول تحقق الشرط ع = 2 ؛ وباستخدام هذا الشرط في أي من المعادلتين، يتضح أن أي قيمة لـ ص ممكنة، حيث س = -1 - ص .

وبشكل أكثر تحديدًا، وفقًا لنظرية روشيه-كابيلي ، فإن أي نظام من المعادلات الخطية (سواء كان غير محدد أو غير محدد) يكون غير متسق إذا كانت رتبة المصفوفة الموسعة أكبر من رتبة مصفوفة المعاملات . أما إذا كانت رتبتا هاتين المصفوفتين متساويتين، فلا بد أن يكون للنظام حل واحد على الأقل؛ وبما أن هذه الرتبة في النظام غير المحدد تكون بالضرورة أقل من عدد المجاهيل، فإن عدد الحلول يكون لانهائيًا، ويكون الحل العام ذا k من المعاملات الحرة، حيث k هو الفرق بين عدد المتغيرات والرتبة.

توجد خوارزميات لتحديد ما إذا كان لنظام المعادلات غير المحدد حلول، وإذا كان له حلول، للتعبير عن جميع الحلول كدوال خطية لـ k من المتغيرات (نفس قيمة k المذكورة سابقًا). أبسط هذه الخوارزميات هي طريقة غاوس للحذف . انظر قسم "نظام المعادلات الخطية" لمزيد من التفاصيل.

يحتوي النظام الخطي غير المحدد المتجانس (حيث جميع الحدود الثابتة تساوي صفرًا) دائمًا على حلول غير تافهة (بالإضافة إلى الحل التافه حيث تكون جميع المجاهيل صفرًا). يوجد عدد لا نهائي من هذه الحلول، والتي تُشكل فضاءً متجهيًا ، بُعده هو الفرق بين عدد المجاهيل ورتبة مصفوفة النظام.

تمتد الخاصية الرئيسية للأنظمة الخطية غير المحددة، وهي إما عدم وجود حل أو وجود عدد لا نهائي من الحلول، إلى أنظمة المعادلات متعددة الحدود بالطريقة التالية.

يُقال إن نظام المعادلات متعددة الحدود الذي يحتوي على عدد من المعادلات أقل من عدد المجاهيل غير محدد . إما أن يكون له عدد لا نهائي من الحلول المركبة (أو، بشكل أعم، حلول في حقل مغلق جبريًا ) أو يكون غير متسق. يكون غير متسق إذا وفقط إذا كان 0 = 1 عبارة عن توليفة خطية (بمعاملات متعددة الحدود) من المعادلات (وهذا ما يُعرف بنظرية هيلبرت للأصفار ). إذا كان لنظام غير محدد مكون من t معادلة في n متغير ( حيث t < n ) حلول، فإن مجموعة جميع الحلول المركبة هي مجموعة جبرية ذات بُعد لا يقل عن n - t . إذا تم اختيار النظام غير المحدد عشوائيًا، فإن البُعد يساوي n - t باحتمال واحد.

بشكل عام، يمتلك نظام المعادلات الخطية غير المحدد عددًا لا نهائيًا من الحلول، إن وُجدت. مع ذلك، في مسائل التحسين التي تخضع لقيود المساواة الخطية، يكون حل واحد فقط هو المهم، وهو الحل الذي يُعطي أعلى أو أدنى قيمة لدالة الهدف .

تُحدد بعض المسائل أن متغيرًا واحدًا أو أكثر مُقيد بأخذ قيم صحيحة. ويؤدي قيد العدد الصحيح إلى مسائل البرمجة العددية الصحيحة ومعادلات ديوفانتين ، والتي قد يكون لها عدد محدود فقط من الحلول.

ثمة نوع آخر من القيود، يظهر في نظرية الترميز ، وخاصة في رموز تصحيح الأخطاء ومعالجة الإشارات (مثل الاستشعار المضغوط )، ويتمثل في حد أعلى لعدد المتغيرات التي قد تختلف عن الصفر. في رموز تصحيح الأخطاء، يتوافق هذا الحد مع الحد الأقصى لعدد الأخطاء التي يمكن تصحيحها في آن واحد.

• نظام مُفرط التحديد
• التنظيم (الرياضيات)