مجموعة مفتوحة عادية

مجموعة فرعية${\displaystyle S}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$تُسمى المجموعة مجموعة مفتوحة منتظمة إذا كانت مساوية لداخل إغلاقها ؛ أو بتعبير رمزي، إذا${\displaystyle \operatorname {Int} ({\overline {S}})=S}$أو، على نحو مماثل، إذا${\displaystyle \partial ({\overline {S}})=\partial S,}$أين${\displaystyle \operatorname {Int} S,}$${\displaystyle {\overline {S}}}$و${\displaystyle \partial S}$تشير هذه الرموز، على التوالي، إلى الداخل والإغلاق والحدود لـ${\displaystyle S.}$^{[ 1 ]}

مجموعة فرعية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle X}$تُسمى المجموعة مجموعة مغلقة منتظمة إذا كانت مساوية لإغلاق داخلها؛ ويُعبر عنها رمزياً بـ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}$أو، على نحو مماثل، إذا${\displaystyle \partial (\operatorname {Int} S)=\partial S.}$^{[ 1 ]}

لو${\displaystyle \mathbb {R} }$لها طوبولوجيا إقليدية معتادة ، ثم المجموعة المفتوحة${\displaystyle S=(0,1)\cup (1,2)}$ليست مجموعة مفتوحة عادية، لأن${\displaystyle \operatorname {Int} ({\overline {S}})=(0,2)\neq S.}$كل فترة مفتوحة في${\displaystyle \mathbb {R} }$هي مجموعة مفتوحة منتظمة، وكل فترة مغلقة غير منعدمة (أي فترة مغلقة تحتوي على نقطتين مختلفتين على الأقل) هي مجموعة مغلقة منتظمة. عنصر منفرد${\displaystyle \{x\}}$هي مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle \mathbb {R} }$لكنها ليست مجموعة مغلقة عادية لأن داخلها عبارة عن مجموعة فارغة${\displaystyle \varnothing ,}$لهذا السبب.${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} \{x\}}}={\overline {\varnothing }}=\varnothing \neq \{x\}.}$

مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$تكون مجموعة مفتوحة منتظمة إذا وفقط إذا كانت مكملتها في${\displaystyle X}$هي مجموعة مغلقة منتظمة. ^{[ 2 ]} كل مجموعة مفتوحة منتظمة هي مجموعة مفتوحة ، وكل مجموعة مغلقة منتظمة هي مجموعة مغلقة .

مجموعة فرعية${\displaystyle G}$في فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$تكون مجموعة مفتوحة منتظمة إذا وفقط إذا${\displaystyle G=\operatorname {Int} ({\overline {A}})}$بالنسبة للبعض${\displaystyle A\subset X}$^{[ 2 ]} . هذا نتيجة لخصائص الحد الأقصى والحد الأدنى لمؤثرات الداخل والإغلاق، والتي عند دمجها تؤدي إلى

$\begin{aligned}\operatorname{Int}({\overline{A}})\subset{\overline{\operatorname{Int}({\overline{A}})}}\quad\Longrightarrow\quad\operatorname{Int}({\overline{A}})\subset\operatorname{Int}{\Big(}{\overline{\operatorname{Int}({\overline{A}})}}{\Big)}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Int} ({\overline {A}})\subset {\overline {A}}\quad \Longrightarrow \quad {\overline {\operatorname {Int} ({\overline {A}})}}\subset {\overline {A}}\quad \Longrightarrow \quad \operatorname {Int} {\Big (}{\overline {\operatorname {Int} ({\overline {A}})}}{\Big )}\subset \operatorname {Int} ({\overline {A}})\end{aligned}}}$

كل مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle X}$(والذي يشمل${\displaystyle \varnothing }$و${\displaystyle X}$(نفسها) هي في الوقت نفسه مجموعة فرعية مفتوحة منتظمة ومجموعة فرعية مغلقة منتظمة.

تقاطع مجموعتين مفتوحتين منتظمتين (وليس بالضرورة اتحادهما) هو مجموعة مفتوحة منتظمة. وبالمثل، فإن اتحاد مجموعتين مغلقتين منتظمتين (وليس بالضرورة تقاطعهما) هو مجموعة مغلقة منتظمة. ^{[ 2 ]}

مجموعة جميع المجموعات المفتوحة العادية في${\displaystyle X}$يشكل جبرًا بوليانيًا كاملًا ؛ وتُعطى عملية الربط بواسطة${\displaystyle U\vee V=\operatorname {Int} ({\overline {U\cup V}})،}$الاجتماع هو​${\displaystyle U\land V=U\cap V}$والمكمل هو${\displaystyle \neg U=\operatorname {Int} (X\setminus U).}$

• الفضاء المنتظم – خاصية من خصائص الفضاء الطوبولوجي 
• مساحة شبه منتظمة
• بديهية الفصل – بديهيات في علم الطوبولوجيا تحدد مفاهيم "الفصل" 

• لين آرثر ستين وج. آرثر سيباخ الابن، أمثلة مضادة في علم الطوبولوجيا . سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك، 1978. أعيد طبعه بواسطة دوفر للنشر، نيويورك، 1995. ISBN 0-486-68735-X(طبعة دوفر).
• ويلارد، ستيفن (2004) [1970]. الطوبولوجيا العامة . مينولا، نيويورك : منشورات دوفر . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .