المنطق اللانهائي

المنطق اللانهائي هو منطق يسمح بعبارات طويلة بلا حدود و/أو براهين طويلة بلا حدود . ^{[ 1 ]} وقد قدم زيرميلو هذا المفهوم في ثلاثينيات القرن العشرين. ^{[ 2 ]}

قد تمتلك بعض المنطقيات اللانهائية خصائص مختلفة عن خصائص منطق الرتبة الأولى القياسي . على وجه الخصوص، قد لا تكون المنطقيات اللانهائية متراصة أو كاملة . فمفاهيم التراص والاكتمال المتكافئة في المنطق المنتهي قد لا تكون كذلك في المنطقيات اللانهائية. لذلك، تُعرَّف مفاهيم التراص القوي والاكتمال القوي للمنطقيات اللانهائية. تتناول هذه المقالة المنطقيات اللانهائية من نوع هيلبرت ، نظرًا لكثرة الدراسات التي أُجريت عليها، ولأنها تُعدّ من أبسط امتدادات المنطق المنتهي. مع ذلك، فهي ليست المنطقيات اللانهائية الوحيدة التي صِيغت أو دُرست.

إن النظر فيما إذا كان منطق لانهائي معين يسمى منطق Ω كاملاً يعد بإلقاء الضوء على فرضية الاستمرارية . ^{[ 3 ]}

بما أننا بصدد تقديم لغة ذات صيغ لا نهائية الطول، فإنه من غير الممكن كتابة هذه الصيغ بشكل صريح. وللتغلب على هذه المشكلة، يتم استخدام عدد من التسهيلات الرمزية، والتي لا تُعد، بالمعنى الدقيق للكلمة، جزءًا من اللغة الرسمية .${\displaystyle \cdots }$يُستخدم هذا الرمز للإشارة إلى تعبير لا نهائي الطول. في حال عدم وضوح طول التسلسل، يُشار إليه لاحقًا. وعندما يصبح هذا الرمز غامضًا أو مُربكًا، تُستخدم لواحق مثل${\displaystyle \bigvee _{\gamma <\delta }{A_{\gamma }}}$تُستخدم للإشارة إلى فصل لانهائي على مجموعة من صيغ العددية${\displaystyle \delta }$ويمكن تطبيق نفس الترميز على المحددات الكمية، على سبيل المثال${\displaystyle \forall _{\gamma <\delta }{V_{\gamma }:}}$يهدف هذا إلى تمثيل سلسلة لا نهائية من المحددات الكمية: محدد كمي لكل منها${\displaystyle V_{\gamma }}$أين${\displaystyle \gamma <\delta }$.

جميع استخدامات اللواحق و${\displaystyle \cdots }$ليست جزءًا من اللغات الرسمية ذات الصيغة المصدرية.

يتم افتراض بديهية الاختيار (كما هو الحال غالبًا عند مناقشة المنطق اللانهائي) لأن هذا ضروري للحصول على قوانين توزيع معقولة.

لغة من الدرجة الأولى غير محدودة${\displaystyle L_{\kappa ,\lambda }}$،${\displaystyle \kappa }$عادي ،${\displaystyle \lambda =0}$أو${\displaystyle \omega \leq \lambda \leq \kappa }$، له نفس مجموعة الرموز مثل المنطق المنتهي ويمكنه استخدام جميع قواعد تكوين الصيغ الخاصة بالمنطق المنتهي بالإضافة إلى بعض القواعد الإضافية: ^{[ 4 ]}

• بالنظر إلى مجموعة من الصيغ${\displaystyle A=\{A_{\gamma }|\gamma <\delta <\alpha \}}$مع${\displaystyle |\alpha |<\kappa }$ثم${\displaystyle (A_{0}\lor A_{1}\lor \cdots )}$و${\displaystyle (A_{0}\land A_{1}\land \cdots )}$هي صيغ. (في كل حالة، يكون طول المتتالية${\displaystyle \delta }$.)
• بالنظر إلى مجموعة من المتغيرات${\displaystyle V=\{V_{\gamma }|\gamma <\delta <\beta \}}$مع${\displaystyle |\beta |<\lambda }$وصيغة${\displaystyle A_{0}}$ثم${\displaystyle \forall V_{0}:\forall V_{1}\cdots (A_{0})}$و${\displaystyle \exists V_{0}:\exists V_{1}\cdots (A_{0})}$هي صيغ. (في كل حالة، يكون طول سلسلة المحددات الكمية${\displaystyle \delta }$.)

قد تحتوي اللغة أيضًا على رموز وظيفية وعلاقاتية ومسندية ذات عدد محدود من الرموز . ^{[ 5 ]} كما عرّف كارب اللغات.${\displaystyle L_{\kappa \,\lambda o\pi }}$مع${\displaystyle \pi \leq \kappa }$عدد أصلي لا نهائي وبعض القيود الأكثر تعقيدًا على${\displaystyle \mathrm {o} }$التي تسمح برموز الوظائف والمسندات ذات عدد لا نهائي من المعاملات، مع${\displaystyle \mathrm {o} }$التحكم في الحد الأقصى لعدد معاملات رمز الدالة و${\displaystyle \pi }$التحكم في رموز المسند. ^{[ 6 ]}

ينطبق مفهوم المتغيرات الحرة والمقيدة بنفس الطريقة على الصيغ اللانهائية. وكما هو الحال في المنطق المحدود، تُسمى الصيغة التي تكون جميع متغيراتها مقيدة جملة .

نظرية​${\displaystyle T}$بلغة غير محدودة${\displaystyle L_{\alpha ,\beta }}$هي مجموعة من الجمل في المنطق. برهان في المنطق اللانهائي من نظرية${\displaystyle T}$هي سلسلة (قد تكون لانهائية) من العبارات التي تخضع للشروط التالية: كل عبارة إما بديهية منطقية، أو عنصر من${\displaystyle T}$أو يُستنتج من عبارات سابقة باستخدام قاعدة استدلال . وكما في السابق، يمكن استخدام جميع قواعد الاستدلال في المنطق المحدود، بالإضافة إلى قاعدة إضافية:

• بالنظر إلى مجموعة من العبارات${\displaystyle A=\{A_{\gamma }|\gamma <\delta <\alpha \}}$التي حدثت سابقًا في الإثبات ثم البيان${\displaystyle \land _{\gamma <\delta }{A_{\gamma }}}$يمكن استنتاج ذلك. ^{[ 7 ]}

لو${\displaystyle \beta <\alpha }$قد لا يكون تكوين الإغلاقات الشاملة ممكنًا دائمًا، ولكن يمكن إضافة رموز ثابتة إضافية لكل متغير مع بقاء علاقة الإرضاء الناتجة كما هي. ^{[ 8 ]} ولتجنب ذلك، يستخدم بعض المؤلفين تعريفًا مختلفًا للغة.${\displaystyle L_{\alpha ,\beta }}$منع الصيغ من أن تحتوي على أكثر من${\displaystyle \beta }$المتغيرات الحرة. ^{[ 9 ]}

فيما يلي مخططات البديهيات المنطقية الخاصة بالمنطق اللانهائي. متغيرات المخططات العامة:${\displaystyle \delta }$و${\displaystyle \gamma }$بحيث${\displaystyle 0<\delta <\alpha }$.

• ${\displaystyle ((\land _{\epsilon <\delta }{(A_{\delta }\implies A_{\epsilon }))})\implies (A_{\delta }\implies \land _{\epsilon <\delta }{A_{\epsilon }}))}$
• لكل${\displaystyle \gamma <\delta }$،${\displaystyle ((\land _{\epsilon <\delta }{A_{\epsilon }})\implies A_{\gamma })}$
• قوانين تشانغ للتوزيع (لكل${\displaystyle \gamma }$):${\displaystyle (\lor _{\mu <\gamma }{(\land _{\delta <\gamma }{A_{\mu ,\delta }})})}$، أين${\displaystyle \forall \mu \forall \delta \exists \epsilon <\gamma :A_{\mu ,\delta }=A_{\epsilon }}$أو${\displaystyle A_{\mu ,\delta }=\neg A_{\epsilon }}$، و$لكل g ∈ γ^γ يوجد ε < γ$ :\{A_{\epsilon},\neg A_{\epsilon }\}\subseteq \{A_{\mu ,g(\mu )}:\mu <\gamma \}}
• ل${\displaystyle \gamma <\alpha }$،${\displaystyle ((\land _{\mu <\gamma }{(\lor _{\delta <\gamma}{A_{\mu ,\delta }})})\ضمني (\lor _{\epsilon <\gamma ^{\gamma }}{(\land _{\mu <\gamma }{A_{\mu ,\gamma _{\epsilon }(\mu )})}}))}$، أين${\displaystyle \{\gamma _{\epsilon }:\epsilon <\gamma ^{\gamma }\}}$هو ترتيب جيد لـ${\displaystyle \gamma ^{\gamma }}$

يتطلب مخططا البديهيات الأخيران بديهية الاختيار لأن بعض المجموعات يجب أن تكون قابلة للترتيب الجيد . مخطط البديهيات الأخير غير ضروري من الناحية النظرية، إذ تشير إليه قوانين التوزيع لتشانغ ^{[ 10 ]} ، ومع ذلك فقد أُدرج كطريقة طبيعية للسماح بتخفيفات طبيعية للمنطق.

النظرية هي أي مجموعة من الجمل. تُحدد صحة العبارات في النماذج بالاستدعاء الذاتي، وتتوافق مع تعريف المنطق المحدود حيث يكون كلاهما مُعرّفًا. بالنظر إلى نظرية T، يُقال إن جملة ما صحيحة بالنسبة للنظرية T إذا كانت صحيحة في جميع نماذج T.

منطق في اللغة${\displaystyle L_{\alpha ,\beta }}$تكون المنطق مكتملة إذا كان لكل جملة S صحيحة في كل نموذج يوجد برهان لها . وتكون مكتملة بقوة إذا كان لكل جملة S صحيحة في أي نظرية T يوجد برهان لها من T. ويمكن أن يكون المنطق اللانهائي مكتملاً دون أن يكون مكتملاً بقوة.

كاردينال${\displaystyle \kappa \neq \omega }$تكون المجموعة متراصة بشكل ضعيف عندما يكون لكل نظرية T في${\displaystyle L_{\kappa ,\kappa }}$يحتوي على الأكثر${\displaystyle \kappa }$العديد من الصيغ، إذا كان كل S${\displaystyle \subseteq }$عدد العناصر أقل من${\displaystyle \kappa }$إذا كان لـ T نموذج، فإن T لديه نموذج. عدد أصلي${\displaystyle \kappa \neq \omega }$تكون النظرية متراصة بقوة عندما يكون لكل نظرية T في${\displaystyle L_{\kappa ,\kappa }}$، دون قيود على الحجم، إذا كان كل S${\displaystyle \subseteq }$عدد العناصر أقل من${\displaystyle \kappa }$إذا كان لدى T نموذج، فإن T لديه نموذج.

بلغة نظرية المجموعات، تعبر العبارة التالية عن الأساس :

${\displaystyle \forall _{\gamma <\omega }{V_{\gamma }:}\neg \land _{\gamma <\omega }{V_{\gamma +}\in V_{\gamma }}.\,}$

بخلاف بديهية الأساس، لا تقبل هذه العبارة أي تفسيرات غير قياسية. لا يمكن التعبير عن مفهوم الأساس الجيد إلا بمنطق يسمح باستخدام عدد لا نهائي من المُكمِّمات في العبارة الواحدة. ونتيجةً لذلك، يمكن صياغة العديد من النظريات، بما فيها حساب بيانو ، التي لا يمكن صياغتها بديهيًا بشكل صحيح في المنطق المحدود، في منطق لا نهائي مناسب. ومن الأمثلة الأخرى نظريات الحقول غير الأرخميدية والمجموعات الخالية من الالتواء . يمكن تعريف هذه النظريات الثلاث دون استخدام التكميم اللانهائي؛ إذ يكفي استخدام الوصلات اللانهائية ^{[ 11 ] .}

يمكن تعريف مسندات الصدق للغات القابلة للعد في${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\omega _{1},\omega }}$[ ^{12 ]​}

يبرز منطقان لانهائيان في اكتمالهما. وهما منطقا${\displaystyle L_{\omega ,\omega }}$و${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }}$الأول هو منطق من الدرجة الأولى محدود قياسي، والأخير هو منطق لانهائي لا يسمح إلا بالعبارات ذات الحجم القابل للعد.

منطق${\displaystyle L_{\omega ,\omega }}$كما أنها كاملة بقوة، ومضغوطة، ومضغوطة بقوة.

منطق${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }}$لا يُعدّ هذا الحل مضغوطًا، ولكنه كامل (وفقًا للبديهيات المذكورة أعلاه). علاوة على ذلك، فهو يحقق صيغةً معدلةً من خاصية كريج للاستيفاء .

إذا كان منطق${\displaystyle L_{\alpha ,\alpha }}$إذا كانت كاملة بقوة (وفقًا للبديهيات المذكورة أعلاه)${\displaystyle \alpha }$هي مضغوطة بقوة (لأن البراهين في هذه المنطق لا يمكنها استخدام${\displaystyle \alpha }$أو أكثر من البديهيات المعطاة).

• كارب، كارول ر. (1964). لغات ذات تعابير ذات طول لانهائي . شركة نورث هولاند للنشر. doi : 10.1016/S0049-237X(08)70423-3 . ISBN 978-0-444-53401-9.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• باروايز، جون (1969). "المنطق اللانهائي والمجموعات المقبولة". مجلة المنطق الرمزي . 34 (2): 226-252 . doi : 10.2307/2271099 . JSTOR 2271099 .