متعدد الأوجه لهانر

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 4 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة ، متعدد السطوح هانر هو متعدد سطوح محدب يُنشأ بشكل متكرر باستخدام الضرب الديكارتي والعمليات الثنائية القطبية . سُميت متعددات سطوح هانر نسبةً إلى عالم الرياضيات السويدي أولوف هانر ، الذي قدمها في عام 1956. [ 1 ]

بناء

يتم إنشاء متعددات الوجوه لهانر بشكل متكرر وفقًا للقواعد التالية: [ 2 ]

  • القطعة المستقيمة هي متعدد السطوح هانر أحادي البعد.
  • إن حاصل الضرب الديكارتي لكل اثنين من متعددات الوجوه هانر هو متعدد وجوه هانر آخر، ويكون بُعده هو مجموع أبعاد متعددات الوجوه المعطاة.
  • إن ثنائي متعدد السطوح هانر هو متعدد سطوح هانر آخر من نفس البعد.

إنها بالضبط المضلعات التي يمكن إنشاؤها باستخدام هذه القواعد فقط: أي أن كل مضلع هانر يمكن تشكيله من قطع مستقيمة من خلال سلسلة من عمليات الضرب والعمليات الثنائية. [ 2 ]

كبديلٍ لعملية الثنائية القطبية، وبشكلٍ مكافئٍ لها، يمكن إنشاء متعددات وجوه هانر باستخدام الضرب الديكارتي والمجموع المباشر ، وهو ثنائي الضرب الديكارتي. تجمع عملية المجموع المباشر هذه متعددَي وجوه بوضعهما في فضاءين فرعيين مستقلين خطيًا ضمن فضاء أكبر، ثم إنشاء الغلاف المحدب لاتحادهما. [ 3 ] [ 4 ]

أمثلة

المكعب ثلاثي الأبعاد ونظيره، ثماني السطوح ، ومضلعات هانر ثلاثية الأبعاد
مخطط شليغل للمنشور ثماني الأوجه

المكعب هو متعدد سطوح هانر، ويمكن إنشاؤه كحاصل ضرب ديكارتي لثلاثة قطع مستقيمة. ثنائيّه، ثماني السطوح ، هو أيضًا متعدد سطوح هانر، وهو المجموع المباشر لثلاثة قطع مستقيمة. في ثلاثة أبعاد ، جميع متعددات سطوح هانر متكافئة توافقيًا مع أحد هذين النوعين من متعددات السطوح. [ 5 ] في الأبعاد الأعلى، تُعدّ المكعبات الفائقة ومتعددات السطوح المتقاطعة ، وهي نظائر للمكعب وثماني السطوح، متعددات سطوح هانر أيضًا. مع ذلك، توجد أمثلة أخرى ممكنة. على سبيل المثال، الموشور ثماني السطوح ، وهو موشور رباعي الأبعاد قاعدته ثماني السطوح، هو أيضًا متعدد سطوح هانر، وكذلك ثنائيّه، الهرم الثنائي المكعب .

ملكيات

التمثيل الإحداثي

يمكن إعطاء كل متعدد سطوح هانر إحداثيات رؤوس تساوي 0 أو 1 أو -1 . [ 6 ] بتعبير أدق، إذا كان P و Q متعددي سطوح هانر بإحداثيات من هذا الشكل، فإن إحداثيات رؤوس حاصل الضرب الديكارتي لـ P و Q تُشكّل بدمج إحداثيات رأس في P مع إحداثيات رأس في Q. أما إحداثيات رؤوس المجموع المباشر لـ P و Q فتُشكّل إما بدمج إحداثيات رأس في P مع متجه من الأصفار، أو بدمج متجه من الأصفار مع إحداثيات رأس في Q.

ولأن الثنائي القطبي لمتعدد الوجوه هانر هو متعدد وجوه هانر آخر، فإن متعددات وجوه هانر لها خاصية أن إحداثياتها وإحداثيات ثنائياتها تقع في {0،1، -1 } . [ 6 ]

عدد الوجوه

كل متعدد سطوح هانر متناظر مركزيًا ، وله 3d وجهًا غير فارغ (بما في ذلك متعدد السطوح نفسه كوجه، ولكن ليس المجموعة الفارغة ). على سبيل المثال، للمكعب 8 رؤوس، و12 ضلعًا، و6 مربعات، ومكعب واحد (هو نفسه) كوجوه؛ 8 + 12 + 6 + 1 = 27 = 3d . تُشكل متعددات سطوح هانر فئة مهمة من الأمثلة لفرضية كالاي ثلاثية الأبعاد التي تنص على أن جميع متعددات السطوح المتناظرة مركزيًا لها 3d وجهًا غير فارغ على الأقل . [ 3 ]

أزواج من الأوجه والرؤوس المتقابلة

في متعدد السطوح هانر، يكون كل وجهين متقابلين منفصلين، ويشملان معًا جميع رؤوس متعدد السطوح، بحيث يكون الغلاف المحدب لهذين الوجهين هو متعدد السطوح بأكمله. [ 6 ] [ 7 ] وكنتيجة مباشرة لهذه الحقيقة، فإن جميع أوجه متعدد السطوح هانر لها نفس عدد الرؤوس (نصف عدد رؤوس متعدد السطوح بأكمله). ومع ذلك، قد لا تكون جميع الأوجه متماثلة. على سبيل المثال، في المنشور الثماني الأوجه ، يكون اثنان من الأوجه ثماني الأوجه، والأوجه الثمانية الأخرى موشورات مثلثة . وبالمثل، في كل متعدد سطوح هانر، يلامس كل رأسين متقابلين مجموعتين منفصلتين من الأوجه، ويلامسان معًا جميع أوجه متعدد السطوح.

مجلد مالر

حجم ماهلر لمتعدد سطوح هانر (حاصل ضرب حجمه في حجم ثنائي القطب) هو نفسه حجم المكعب أو متعدد السطوح المتقاطع. إذا كانت حدسية ماهلر صحيحة، فإن هذه متعددات السطوح هي أصغر حجم ماهلر بين جميع الأجسام المحدبة المتناظرة مركزياً . [ 8 ]

عقارات هيلي

تشكل إزاحات المكعب الفائق (أو تحويله الأفيني ، متوازي السطوح ) عائلة هيلي : كل مجموعة من الإزاحات التي لها تقاطعات ثنائية غير فارغة لها تقاطع غير فارغ. علاوة على ذلك، هذه هي الأجسام المحدبة الوحيدة التي تتمتع بهذه الخاصية. [ 9 ] بالنسبة لأي متعدد سطوح محدب متناظر مركزيًا K ، عرّف هانر (1956) I ( K ) بأنه أصغر عدد من إزاحات K التي لا تشكل عائلة هيلي (تتقاطع ثنائيًا ولكن لها تقاطع فارغ). بيّن أن I ( K ) إما ثلاثة أو أربعة، وقدّم متعددات سطوح هانر كأمثلة على متعددات السطوح التي تكون فيها I(K) أربعة. بيّن هانسن وليما (1981) لاحقًا أنه يمكن استخدام هذه الخاصية لتوصيف متعددات سطوح هانر: فهي (حتى التحويل الأفيني) هي بالضبط متعددات السطوح التي تكون فيها I ( K ) > 3. [ 10 ]

التعداد التوافقي

عدد الأنواع التوافقية لمتعددات وجوه هانر ذات البعد d يساوي عدد الرسوم البيانية البسيطة المتسلسلة المتوازية ذات d من الحواف غير المصنفة. [ 4 ] بالنسبة لـ d = 1، 2، 3، ... يكون:

1، 1، 2، 4، 8، 18، 40، 94، 224، 548، ... (التسلسل A058387 في OEIS ) .

يُقدّم رايزنر (1991) تقابلاً أكثر وضوحاً بين متعددات وجوه هانر ذات البُعد d والرسوم البيانية المُكمّلة ذات d رؤوس . في هذا التقابل، يُفترض تمثيل متعددات وجوه هانر هندسياً باستخدام إحداثيات في المجموعة {0,1, −1 } بدلاً من تمثيلها كفئات تكافؤ توافقية؛ وعلى وجه الخصوص، يوجد شكلان هندسيان مختلفان لمتعدد وجوه هانر حتى في بُعدين، وهما المربع ذو إحداثيات الرؤوس (±1,±1) والمعين ذو إحداثيات الرؤوس (0,±1) و (±1,0) . وبالنظر إلى متعدد وجوه ذي d بُعد وإحداثيات رؤوسه في المجموعة {0,1, −1 } ، يُعرّف رايزنر رسماً بيانياً مرتبطاً به ، حيث تُقابل رؤوسه d متجهات الوحدة للفضاء الذي يحتوي على متعدد الوجوه، ويرتبط متجهان فيه بحافة إذا كان مجموعهما يقع خارج متعدد الوجوه. يلاحظ أن رسوم بيانية متعددة السطوح لهانر هي رسوم بيانية مكملة، والتي يصفها بطريقتين: الرسوم البيانية التي لا تحتوي على مسار مستحث بطول ثلاثة، والرسوم البيانية التي تكون جميع رسومها البيانية الفرعية المستحثة إما منفصلة أو مكملة لرسوم بيانية منفصلة. وعلى العكس من ذلك، يمكن تمثيل كل رسم بياني مكملة بهذه الطريقة بواسطة متعدد سطوح هانر. [ 6 ]

مساحات هانر

متعددات وجوه هانر هي كرات الوحدة لعائلة من فضاءات باناخ ذات الأبعاد المحدودة تسمى فضاءات هانر . [ 7 ] فضاءات هانر هي الفضاءات التي يمكن بناؤها من فضاءات أحادية البعد بواسطةℓ1{\displaystyle \ell _{1}}وℓ∞{\displaystyle \ell _{\infty }}[ 1 ]​

مراجع

  1. 1 2 هانر، أولوف (1956)، "تقاطعات إزاحات الأجسام المحدبة"، مجلة الرياضيات الإسكندنافية ، 4 : 65-87 ، doi : 10.7146/math.scand.a-10456 ، MR 0082696 .
  2. 1 2 فريج، راجنار (2012)، موضوعات في التوافقية الخوارزمية والتعدادية والهندسية (ملف PDF) ، أطروحة دكتوراه، قسم العلوم الرياضية، معهد تشالمرز للتكنولوجيا.
  3. 1 2 كالاي، جيل (1989)، "عدد أوجه متعددات الوجوه المتناظرة مركزياً"، الرسوم البيانية والتوافقية ، 5 (1): 389-391 ، doi : 10.1007/BF01788696 ، MR 1554357 .
  4. 1 2 سانيال، رامان؛ فيرنر، أكسل؛ زيغلر، غونتر م. (2009)، "حول تخمينات كالاي المتعلقة بالمضلعات المتناظرة مركزياً"، الهندسة المنفصلة والحسابية ، 41 (2): 183-198 ، arXiv : 0708.3661 ، doi : 10.1007/s00454-008-9104-8 ، MR 2471868 /
  5. ↑ كوزاشوك، مارينا (2012)، "الموشورات المثالية والتخمين المتعلق بأعداد أوجه متعددات الوجوه المتناظرة مركزياً"، المؤتمر الدولي ياروسلافل "الهندسة المنفصلة" المخصص للذكرى المئوية لـ أ.د. ألكساندروف (ياروسلافل، 13-18 أغسطس 2012) ( ملف PDF) ، جامعة ياروسلافل الحكومية، مختبر بي. إن. ديلاوناي الدولي، ص 46-49 
  6. 1 2 3 4 رايزنر، س. (1991)، "فضاءات باناخ معينة مرتبطة بالرسوم البيانية وفضاءات CL ذات قواعد غير مشروطة من الدرجة 1"، مجلة جمعية لندن الرياضية ، السلسلة الثانية، 43 (1): 137-148 ، doi : 10.1112/jlms/s2-43.1.137 ، MR 1099093 .
  7. 1 2 مارتيني، هـ.؛ سوانيبويل، ك. ج.؛ دي ويت، ب. أولوف (2009)، "الزوايا الممتصة، وأشجار شتاينر الدنيا، والتقابل"، مجلة نظرية التطبيقات الأمثلية ، 143 (1): 149-157 ، arXiv : 1108.5046 ، doi : 10.1007/s10957-009-9552-1 ، ​​MR 2545946 .
  8. ↑ كيم، جايجيل (2014)، "ناتج الحجم الأدنى بالقرب من متعددات وجوه هانر"، مجلة التحليل الوظيفي ، 266 (4): 2360-2402 ، arXiv : 1212.2544 ، doi : 10.1016/j.jfa.2013.08.008 ، MR 3150164 .
  9. ^ Sz.-Nagy، Béla (1954)، “Ein Satz über Parallelverschiebungen konvexer Körper” ، Acta Universitatis Szegediensis ، 15 : 169–177 ، MR 0065942 ، أرشفة من النسخة الأصلية في 2016-03-04 ، استرجاعها 19/05/2013 .
  10. ↑ هانسن، آلان ب.؛ ليما، ساسفالد (1981)، "بنية فضاءات باناخ ذات الأبعاد المحدودة مع خاصية التقاطع 3.2"، أكتا ماتيماتيكا ، 146 ( 1-2 ): 1-23 ، doi : 10.1007/BF02392457 ، MR 0594626 .