متعدد الأوجه المتقاطع

متعددات الوجوه المتقاطعة ذات الأبعاد من 2 إلى 5

مربع ثنائي الأبعاد	ثماني السطوح ثلاثي الأبعاد
4 أبعاد 16 خلية	5 أبعاد 5-أورثوبليكس

في الهندسة ، يُعرف متعدد السطوح المتقاطع ^{[ 1 ]،} أو ثماني السطوح الفائق ، أو متعدد السطوح المتعامد ^{[ 2 ]} ، أو متعدد السطوح القياسي ^{[ 3 ]} ، أو المكعب المشترك ، بأنه متعدد سطوح منتظم ومحدب موجود في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n . متعدد السطوح المتقاطع ثنائي الأبعاد هو مربع، ومتعدد السطوح المتقاطع ثلاثي الأبعاد هو ثماني السطوح منتظم ، ومتعدد السطوح المتقاطع رباعي الأبعاد هو خلية مكونة من 16 خلية . وجوهه عبارة عن أشكال بسيطة من البعد السابق، بينما شكل رأس متعدد السطوح المتقاطع هو متعدد سطوح متقاطع آخر من البعد السابق.

يمكن اختيار رؤوس متعدد السطوح المتقاطع كمتجهات الوحدة التي تشير على طول كل محور إحداثي - أي جميع تباديل (±1، 0، 0، ...، 0) . متعدد السطوح المتقاطع هو الغلاف المحدب لرؤوسه. يمكن أيضًا تعريف متعدد السطوح المتقاطع ذي البعد n على أنه كرة الوحدة المغلقة (أو، وفقًا لبعض المؤلفين، حدودها) في معيار ℓ1 على Rⁿ ، ^حيث تحقق النقاط x = ( x₁ _, x₂ _{, ...} , xₙ ₎

${\displaystyle |x_{1}|+|x_{2}|+\cdots +|x_{n}|\leq 1.}$

يمكن بناء n-orthoplex على شكل هرم ثنائي بقاعدة ( n -1)-orthoplex.

المضلع المتقاطع هو المضلع الثنائي للمكعب الفائق . الرسم البياني للرؤوس والحواف لمضلع متقاطع ذي أبعاد n هو رسم توران T (2 n , n ) (المعروف أيضًا باسم رسم حفلة الكوكتيل ^{[ 4 ]} ).

في بُعد واحد، يكون متعدد السطوح المتقاطع عبارة عن قطعة مستقيمة ، والتي يمكن اختيارها كفترة [ - 1 ، +1 ].

في بُعدين، يكون متعدد السطوح المتقاطع مربعًا . إذا تم اختيار رؤوسه على النحو التالي: {(±1, 0), (0, ±1)}، فإن أضلاع المربع تكون متعامدة مع المحاور؛ وفي هذا الوضع يُطلق على المربع غالبًا اسم المعين .

في ثلاثة أبعاد، يكون متعدد السطوح المتقاطع عبارة عن ثماني السطوح منتظم - وهو واحد من متعددات السطوح المنتظمة المحدبة الخمسة المعروفة باسم الأجسام الأفلاطونية .

يُعرف متعدد السطوح المتقاطع رباعي الأبعاد أيضًا باسم "سداسي عشر الخلايا " أو "الخلايا الست عشرة" . وهو أحد متعددات السطوح الأربعة المنتظمة المحدبة الستة . وقد وصف هذه متعددات السطوح الأربعة لأول مرة عالم الرياضيات السويسري لودفيج شلافلي في منتصف القرن التاسع عشر. يمكن تقسيم رؤوس المكعب الفائق رباعي الأبعاد، أو التيسيراكت ، إلى مجموعتين من ثمانية رؤوس، حيث يشكل الغلاف المحدب لكل مجموعة متعدد سطوح متقاطع. علاوة على ذلك، يمكن إنشاء متعدد السطوح المعروف باسم " الخلايا الأربع والعشرين" من خلال ترتيب ثلاثة متعددات سطوح متقاطعة بشكل متناظر. ^{[ 5 ]}

تُعدّ عائلة متعددات الوجوه المتقاطعة واحدة من ثلاث عائلات منتظمة لمتعددات الوجوه ، أطلق عليها كوكسيتر الرمز β _n ، والعائلتان الأخريان هما عائلة المكعب الفائق ، التي تحمل الرمز γ _n ، وعائلة المجسم البسيط ، التي تحمل الرمز α _n . أما العائلة الرابعة، وهي التبليطات اللانهائية للمكعبات الفائقة ، فقد أطلق عليها الرمز δ _n . ^{[ 6 ]}

يحتوي متعدد السطوح المتقاطع ذو البعد n على 2n رأسًا، و2 ⁿ وجهًا (( مكونات ذات بعد n − 1))، وكلها عبارة عن ( n − 1) -مُبسطات . جميع أشكال الرؤوس هي متعددات سطوح متقاطعة من الرتبة ( n − 1). رمز شلافلي لمتعدد السطوح المتقاطع هو {3,3,...,3,4}.      

الزاوية ثنائية السطوح للمضلع المتقاطع ذي الأبعاد n هي${\displaystyle \delta _{n}=\arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)}$وهذا يعطينا: δ ₂ = arccos(0/2) = 90°، δ ₃ = arccos(−1/3) = 109.47°، δ ₄ = arccos(−2/4) = 120°، δ ₅ = arccos(−3/5) = 126.87°، ... δ _∞ = arccos(−1) = 180°.

الحجم الفائق للمضلع المتقاطع ذي الأبعاد n هو

${\displaystyle {\frac {2^{n}}{n!}}.}$

لكل زوج من الرؤوس غير المتقابلة، يوجد ضلع يربط بينهما. وبشكل أعم، تتوافق كل مجموعة من k  + 1 رأسًا متعامدة مع مكون k- الأبعاد مميز يحتوي عليها. وبالتالي، يُعطى عدد المكونات k- الأبعاد (الرؤوس، والأضلاع، والوجوه، ...، والسطوح) في متعدد السطوح المتقاطع n- الأبعاد بالعلاقة التالية (انظر معامل ذي الحدين ): 

${\displaystyle 2^{k+1}{n \choose {k+1}}}$^{[ 7 ]}

يمكن حساب متجه f الموسع لـ n -orthoplex بواسطة ( 1,2 ) ⁿ ، مثل معاملات حاصل ضرب كثيرات الحدود . على سبيل المثال، خلية مكونة من 16 خلية هي ( 1,2 ) ⁴ = ( 1,4,4 ) ² = ( 1,8,24,32,16 ).

توجد العديد من الإسقاطات المتعامدة الممكنة التي تُظهر المضلعات المتقاطعة كرسوم بيانية ثنائية الأبعاد. تُسقط إسقاطات مضلعات بتري النقاط على مضلع منتظم ذي 2 (n) ضلعًا أو مضلعات منتظمة من رتبة أدنى. أما الإسقاط الثاني فيأخذ مضلع بتري ذي 2( n -1) ضلعًا ذي البعد الأدنى، والذي يُرى على شكل هرم ثنائي ، ويُسقط على طول المحور، مع إسقاط رأسين منه في المركز.

عناصر متعددة الأوجه متقاطعة

ن	β n k 11	الرسم البياني للاسم (الأسماء)	رسم بياني لـ 2 مضلع ذي n ضلع	شلافلي	مخططات كوكسيتر-دينكين	الرؤوس	الحواف	وجوه	الخلايا	أربعة أوجه	خمسة وجوه	ستة أوجه
0	β 0	النقطة 0-أورثوبلكس		( )		1
1	β 1	القطعة المستقيمة 1-orthoplex		{ }		2	1
2	β 2 − 1 11	مربع 2-أورثوبلكس ثنائي التقاطع		{4} 2{ } = { }+{ }		4	4	1
3	β 3 0 11	ثماني السطوح ثلاثي التقاطع		{3,4} {3 1,1 } 3{ }		6	12	8	1
4	β 4 1 11	رباعي التقاطع ذو 16 خلية 4-أورثوبلكس		{3,3,4} {3,3 1,1 } 4{ }		8	24	32	16	1
5	β 5 2 11	خماسي متقاطع 5-أورثوبلكس		{3 3 ,4} {3,3,3 1,1 } 5{ }		10	40	80	80	32	1
6	β 6 3 11	سداسي الأضلاع 6-أورثوبلكس		{3 4 ,4} {3 3 ,3 1,1 } 6{ }		12	60	160	240	192	64	1
...
ن	β n ( n −3) 11	n -orthoplex n -cross		{3 n  −  2 ,4} {3 n  −  3 ,3 1,1 } n {}	... ... ...	2 n وجوه-0 ، ...${\displaystyle 2^{k+1}{n \choose k+1}}$k- وجه ..., 2n ( n - 1) وجه

تقع رؤوس متعدد السطوح المتقاطع المحاذي للمحاور على مسافات متساوية من بعضها البعض وفقًا لمسافة مانهاتن ( معيار L1 ). تنص فرضية كوسنر على أن هذه المجموعة المكونة من 2d نقطة هي أكبر مجموعة ممكنة متساوية المسافات ^لهذه المسافة. ^{[ 8 ]}

يمكن تعريف متعددات الوجوه المركبة المنتظمة في فضاء هيلبرت المركب باسم متعددات الوجوه المتعامدة المعممة (أو متعددات الوجوه المتقاطعة)، β ^p _n = ₂ {3} ₂ {3}... ₂ {4} _p ، أو ... . توجد حلول حقيقية عندما p = 2، أي β ² _n = β _n = ₂ {3} ₂ {3}... ₂ {4} ₂ = {3,3,..,4}. أما عندما p > 2، فإنها توجد في${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{n}}$يحتوي الشكل المتعامد المعمم من الرتبة p على pn رأسًا. تحتوي الأشكال المتعامدة المعممة على أشكال بسيطة منتظمة (حقيقية) كأوجه . ^{[ 9 ]} تُشكل الأشكال المتعامدة المعممة رسومًا بيانية متعددة الأجزاء كاملة ، بينما يُشكل الشكل β p ² _الشكل K _{p , p} للرسم البياني الثنائي الأجزاء الكامل ، ويُشكل الشكل β ^p ₃ الشكل K _{p , p , p} للرسوم البيانية الثلاثية الأجزاء الكاملة، ويُشكل الشكل β ^p _n الشكل K _{p ⁿ} أو رسوم بيانية توران.${\displaystyle T(np,n)}$يمكن تعريف الإسقاط المتعامد الذي يرسم جميع الرؤوس المتباعدة بالتساوي على دائرة، مع توصيل جميع أزواج الرؤوس، باستثناء مضاعفات العدد n . يُطلق على محيط المضلع المنتظم في هذه الإسقاطات المتعامدة اسم مضلع بيتري .

تقويم العظام المعمم

	p = 2		p = 3	p = 4	p = 5	p = 6	p = 7	p = 8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$	2 {4} 2 = {4} = K 2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{2}}$	2 {4} 3 =K 3,3	2 {4} 4 =K 4,4	2 {4} 5 =K 5,5	2 {4} 6 = K 6,6	2 {4} 7 = K 7,7	2 {4} 8 =K 8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	2 {3} 2 {4} 2 = {3,4} = K 2,2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{3}}$	2 {3} 2 {4} 3 = K 3,3,3	2 {3} 2 {4} 4 = K 4,4,4	2 {3} 2 {4} 5 = K 5,5,5	2 {3} 2 {4} 6 = K 6,6,6	2 {3} 2 {4} 7 = K 7,7,7	2 {3} 2 {4} 8 = K 8,8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3,3,4} = K 2,2,2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{4}}$	2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 K 3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 K 4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 K 5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 K 6,6,6,6	2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 K 7,7,7,7	2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 K 8,8,8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2 {3,3,3,4} = K 2,2,2,2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{5}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 K 3,3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 K 4,4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 K 5,5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 K 6,6,6,6,6	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 K 7,7,7,7,7	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 K 8,8,8,8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2 {3,3,3,3,4} = K 2,2,2,2,2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{6}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 K 3,3,3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 K 4,4,4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 K 5,5,5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 K 6,6,6,6,6,6	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 K 7,7,7,7,7,7	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 K 8,8,8,8,8,8

يمكن دمج متعددات الوجوه المتقاطعة مع مكعباتها المزدوجة لتشكيل متعددات وجوه مركبة:

• في بعدين، نحصل على شكل النجمة الثمانية { ⁠ 8 / 2 ⁠ } ,
• في ثلاثة أبعاد نحصل على مركب من المكعب وثماني الأوجه ،
• في أربعة أبعاد نحصل على مركب من المكعب الفائق والخلايا ذات الـ 16 خلية.

• قائمة متعددات الوجوه المنتظمة
• مجموعة التماثل الفائق الثماني السطوح ، مجموعة التناظر للمضلع المتقاطع

• كوكسيتر، إتش إس إم (1973). متعددات الوجوه المنتظمة (  الطبعة الثالثة). نيويورك: دوفر.
  • الصفحات 121-122، الفقرة 7.21، الشكل التوضيحي 7.2 ب
  • ص 296، الجدول الأول (ثالثًا): متعددات الوجوه المنتظمة، ثلاثة متعددات وجوه منتظمة في n- أبعاد ( n ≥ 5)

• وايسشتاين، إريك دبليو. "متعدد السطوح المتقاطع" . عالم الرياضيات .