مستوى الدوران

في هذه المقالة، جميع المستويات هي مستويات تمر بنقطة الأصل ، أي أنها تحتوي على المتجه الصفري . هذا المستوى في فضاء ذي n بُعد هو فضاء جزئي خطي ثنائي الأبعاد من الفضاء. يتم تحديده بالكامل بواسطة أي متجهين غير صفريين وغير متوازيين يقعان في المستوى، أي بواسطة أي متجهين a و b ، بحيث

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \neq 0,}$

حيث ∧ هو الضرب الخارجي من الجبر الخارجي أو الجبر الهندسي (في ثلاثة أبعاد، يمكن استخدام الضرب الاتجاهي ). بتعبير أدق، الكمية a ∧ b هي ثنائي المتجه المرتبط بالمستوى المحدد بواسطة a و b ، ومقدارها | a | | b | sin φ ، حيث φ هي الزاوية بين المتجهين؛ ومن هنا يأتي شرط أن يكون المتجهان غير صفريين وغير متوازيين. ^{[ 2 ]}

إذا تم كتابة المتجه الثنائي a ∧ b على النحو B ، فإن الشرط الذي يجعل نقطة ما تقع على المستوى المرتبط بـ B هو ببساطة ^{[ 3 ].}

${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {B} =0.}$

هذا صحيح في جميع الأبعاد، ويمكن اعتباره تعريفًا على المستوى. على وجه الخصوص، من خصائص الضرب الخارجي، يتحقق هذا الشرط بواسطة كل من a و b ، وبالتالي بواسطة أي متجه من الشكل

${\displaystyle \mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} ,}$

حيث λ و μ أعداد حقيقية. وبما أن λ و μ تشمل جميع الأعداد الحقيقية، فإن c تشمل المستوى بأكمله، لذا يمكن اعتبار هذا تعريفًا آخر للمستوى.

مستوى الدوران لدوران معين هو المستوى الذي يُحوّل إلى نفسه بفعل الدوران. هذا المستوى ليس ثابتًا، بل تُحوّل جميع المتجهات فيه إلى متجهات أخرى في نفس المستوى بفعل الدوران. هذا التحويل للمستوى إلى نفسه هو دائمًا دوران حول نقطة الأصل، بزاوية تُمثل زاوية دوران المستوى.

كل دوران باستثناء دوران الوحدة (حيث تكون المصفوفة هي مصفوفة الوحدة ) له مستوى دوران واحد على الأقل، ويصل إلى

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }$

مستويات الدوران، حيث n هو البُعد. يوضح هذا الجدول الحد الأقصى لعدد المستويات حتى ثمانية أبعاد:

الأبعاد	2	3	4	5	6	7	8
عدد الطائرات	1	1	2	2	3	3	4

عندما يكون للدوران مستويات دوران متعددة، فإنها تكون متعامدة دائمًا ، ولا يشترك فيها إلا نقطة الأصل. وهذا شرط أقوى من القول بأن المستويات متعامدة ؛ إذ يعني أن المستويات لا تشترك في أي متجهات غير صفرية، وأن كل متجه في مستوى ما يكون متعامدًا مع كل متجه في المستوى الآخر. ولا يتحقق هذا إلا في أربعة أبعاد أو أكثر. في بُعدين، يوجد مستوى واحد فقط، بينما في ثلاثة أبعاد، تشترك جميع المستويات في متجه واحد غير صفري على الأقل، على طول خط تقاطعها . ^{[ 4 ]}

في أكثر من ثلاثة أبعاد، لا تكون مستويات الدوران فريدة دائمًا. على سبيل المثال، معكوس مصفوفة الوحدة في أربعة أبعاد ( الانعكاس المركزي ).

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},}$

يصف هذا الدوران في أربعة أبعاد، حيث يمثل كل مستوى يمر بنقطة الأصل مستوى دوران بزاوية π ، وبالتالي فإن أي زوج من المستويات المتعامدة يُولّد هذا الدوران. ولكن بالنسبة للدوران العام، من الممكن نظريًا على الأقل تحديد مجموعة فريدة من المستويات المتعامدة، حيث تدور كل نقطة بزاوية معينة، وبالتالي فإن مجموعة المستويات والزوايا تُحدد الدوران بشكل كامل. ^{[ 5 ]}

الدوران الذي يدور في مستوى واحد فقط يُسمى دورانًا بسيطًا . في الدوران البسيط، يوجد مستوى ثابت، ويمكن القول إن الدوران يحدث حول هذا المستوى، لذا فإن النقاط لا تُغير بُعدها عنه أثناء دورانها. مستوى الدوران متعامد مع هذا المستوى، ويمكن القول إن الدوران يحدث في هذا المستوى.

على سبيل المثال، تُثبّت المصفوفة التالية المستوى xy : تبقى النقاط الواقعة في هذا المستوى فقط دون تغيير. مستوى الدوران هو المستوى zw ، وتدور النقاط الواقعة فيه بزاوية θ . تدور النقطة العامة في المستوى zw فقط ، أي أنها تدور حول المستوى xy بتغيير إحداثياتها z و w فقط .

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$

في بُعدين وثلاثة أبعاد، تكون جميع الدورانات بسيطة، إذ تدور في مستوى واحد فقط. أما في أربعة أبعاد أو أكثر، فتوجد دورانات غير بسيطة. وعلى وجه الخصوص، في أربعة أبعاد توجد أيضًا الدورانات المزدوجة والدورانات متساوية الميل.

في الدوران المزدوج، يوجد مستويان للدوران، ولا توجد مستويات ثابتة، والنقطة الثابتة الوحيدة هي نقطة الأصل. يمكن القول إن الدوران يحدث في كلا المستويين، حيث تدور النقاط فيهما ضمن هذين المستويين. هذان المستويان متعامدان، أي لا توجد بينهما متجهات مشتركة، لذا فإن كل متجه في أحد المستويين يكون عموديًا على كل متجه في المستوى الآخر. يمتد مستويا الدوران على فضاء رباعي الأبعاد، لذا يمكن تحديد كل نقطة في هذا الفضاء بنقطتين، واحدة على كل مستوى.

الدوران المزدوج له زاويتان، واحدة لكل مستوى دوران. يُحدد الدوران بتحديد المستويين وزاويتين غير صفريتين، α و β (إذا كانت أي من الزاويتين صفرًا، يكون الدوران بسيطًا). تدور النقاط في المستوى الأول بزاوية α ، بينما تدور النقاط في المستوى الثاني بزاوية β . تدور جميع النقاط الأخرى بزاوية بين α و β ، لذا فهي تُحدد معًا مقدار الدوران. بالنسبة للدوران المزدوج العام، تكون مستويات الدوران والزوايا فريدة، ويمكن حسابها بمعرفة الدوران العام. على سبيل المثال، يُعطى دوران بزاوية α في المستوى xy وزاوية β في المستوى zw بواسطة المصفوفة

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0&0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0&0\\0&0&\cos \beta &-\sin \beta \\0&0&\sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}.}$

تُعدّ حالة خاصة من الدوران المزدوج هي عندما تكون الزوايا متساوية، أي عندما α = β ≠ 0. يُطلق على هذه الحالة اسم الدوران المتساوي الميل ، وهي تختلف عن الدوران المزدوج العام في عدة جوانب. على سبيل المثال، في الدوران المتساوي الميل، تدور جميع النقاط غير الصفرية بنفس الزاوية α . والأهم من ذلك، أن مستويات الدوران غير محددة بشكل فريد. بدلاً من ذلك، يوجد عدد لا نهائي من أزواج المستويات المتعامدة التي يمكن اعتبارها مستويات دوران. على سبيل المثال، يمكن اختيار أي نقطة، واستخدام المستوى الذي تدور فيه مع المستوى المتعامد معها كمستويين للدوران. ^{[ 8 ]}

يمكن توليد كل دوران بسيط بانعكاسين . ويمكن تحديد الانعكاسات في n بُعدًا بتحديد فضاء فرعي ذي ( n -1) بُعدًا للانعكاس فيه، لذا يكون الانعكاس ثنائي الأبعاد في خط مستقيم، والانعكاس ثلاثي الأبعاد في مستوى، وهكذا. ولكن يصبح تطبيق ذلك أكثر صعوبة في الأبعاد الأعلى، لذا يُفضّل استخدام المتجهات بدلًا من ذلك، كما يلي.

يُحدد الانعكاس في فضاء ذي n بُعدًا بواسطة متجه عمودي على الفضاء الفرعي ذي ( n -1) بُعدًا. ولتوليد دورانات بسيطة، يكفي استخدام انعكاسات تُثبّت نقطة الأصل، لذا لا يمتلك المتجه موضعًا، بل اتجاهًا فقط. ولا يهم أيضًا اتجاهه، إذ يمكن استبداله بمعكوسه دون تغيير النتيجة. وبالمثل، يمكن استخدام متجهات الوحدة لتبسيط الحسابات.

وبالتالي فإن الانعكاس في فضاء ذي ( ن - 1) بُعد يُعطى بواسطة متجه الوحدة العمودي عليه، م ، على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {x} '=-\mathbf {mxm} \,}$

حيث يكون الناتج هو الناتج الهندسي من الجبر الهندسي .

إذا انعكس x′ في فضاء آخر متميز ذي ( n − 1) بُعد، موصوف بمتجه وحدة n عمودي عليه، فإن النتيجة هي

${\displaystyle \mathbf {x} ''=-\mathbf {nx} '\mathbf {n} =-\mathbf {n} (-\mathbf {mxm} )\mathbf {n} =\mathbf {nmxmn} }$

هذا دوران بسيط في فضاء ذي n بُعد، بزاوية تساوي ضعف الزاوية بين الفضاءات الفرعية، وهي أيضاً الزاوية بين المتجهين m و n . ويمكن التحقق باستخدام الجبر الهندسي من أن هذا دوران، وأنه يُدير جميع المتجهات كما هو متوقع.

الكمية mn هي دوار ، و nm هي معكوسها.

${\displaystyle (\mathbf {mn} )(\mathbf {nm} )=\mathbf {mnnm} =\mathbf {mm} =1}$

لذا يمكن كتابة الدوران

${\displaystyle \mathbf {x} ''=R\mathbf {x} R^{-1}}$

حيث R = mn هو الدوار.

مستوى الدوران هو المستوى الذي يحتوي على المتجهين m و n ، ويجب أن يكونا مختلفين، وإلا ستكون الانعكاسات متطابقة ولن يحدث دوران. بما أنه يمكن استبدال أي متجه بمعكوسه، فإن الزاوية بينهما يمكن أن تكون حادة دائمًا، أو على الأكثر π / 2 . يكون الدوران بمقدار ضعف الزاوية بين المتجهين، حتى π أو نصف دورة. اتجاه الدوران هو الدوران من m باتجاه n : الضرب الهندسي ليس تبادليًا، لذا فإن الضرب nm هو الدوران العكسي، باتجاه من n إلى m .

على النقيض من ذلك، يمكن توليد جميع الدورانات البسيطة بهذه الطريقة، بانعكاسين، بواسطة متجهين وحدة في مستوى الدوران يفصل بينهما نصف زاوية الدوران المطلوبة. ويمكن دمج هذه الانعكاسات لإنتاج دورانات أكثر عمومية، باستخدام ما يصل إلى n انعكاسًا إذا كان البعد n زوجيًا، و n − 2 إذا كان n فرديًا، وذلك باختيار أزواج من الانعكاسات التي يمثلها متجهان في كل مستوى من مستويات الدوران. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

المتجهات الثنائية هي كميات من الجبر الهندسي ، وجبر كليفورد، والجبر الخارجي ، تُعمم فكرة المتجهات إلى بُعدين. وكما تُعمم المتجهات الخطوط، تُعمم المتجهات الثنائية المستويات. لذا، يمكن ربط كل مستوى (في أي بُعد) بمتجه ثنائي، ويرتبط كل متجه ثنائي بسيط بمستوى. وهذا ما يجعلها مناسبة لوصف مستويات الدوران.

لكل مستوى دوران في عملية الدوران متجه ثنائي بسيط مرتبط به. هذا المتجه موازٍ للمستوى وله مقدار يساوي زاوية الدوران في ذلك المستوى. تُجمع هذه المتجهات الثنائية لإنتاج متجه ثنائي واحد، عادةً ما يكون غير بسيط، للدوران بأكمله. يمكن لهذا المتجه توليد دوار من خلال الدالة الأسية ، والتي يمكن استخدامها لتدوير جسم ما.

ترتبط المتجهات الثنائية بالدوارات من خلال التحويل الأسي (الذي يُولّد الدوارات والدورانات عند تطبيقه على المتجهات الثنائية باستخدام صيغة دي موافر ). وبالتحديد، عند إعطاء أي متجه ثنائي B، يكون الدوار المرتبط به هو

${\displaystyle R_{\mathbf {B} }=e^{\frac {\mathbf {B} }{2}}.}$

هذا دوران بسيط إذا كان المتجه الثنائي بسيطًا، ودوران أكثر عمومية في غير ذلك. عند تربيعه،

${\displaystyle {R_{\mathbf {B} }}^{2}=e^{\frac {\mathbf {B} }{2}}e^{\frac {\mathbf {B} }{2}}=e^{\mathbf {B} },}$

ينتج عن ذلك دوار يدور بزاوية مضاعفة. إذا كان B بسيطًا، فإن هذا الدوران هو نفسه الناتج عن انعكاسين، لأن حاصل ضرب mn ينتج عنه دوران بزاوية مضاعفة بين المتجهين. يمكن مساواة هذين المتجهين.

${\displaystyle \mathbf {mn} =e^{\mathbf {B} },}$

ومن ثمّ يتبين أن المتجه الثنائي المرتبط بمستوى الدوران الذي يحتوي على m و n والذي يدور m إلى n هو

${\displaystyle \mathbf {B} =\log(\mathbf {mn} ).}$

هذا متجه ثنائي بسيط، مرتبط بالدوران البسيط الموصوف. أما الدورانات الأكثر عمومية في أربعة أبعاد أو أكثر، فترتبط بمجموع متجهات ثنائية بسيطة، واحد لكل مستوى دوران، محسوبة كما سبق.

من الأمثلة على ذلك الدورانان في أربعة أبعاد المذكوران أعلاه. الدوران البسيط في المستوى zw بزاوية θ له متجه ثنائي بسيط e ₃₄ θ . أما الدوران المزدوج بزاوية α و β في المستويين xy و zw فله متجه ثنائي e ₁₂ α + e ₃₄ β ، وهو مجموع متجهين ثنائيين بسيطين e ₁₂ α و e ₃₄ β ، وهما متوازيان مع مستويي الدوران، وقيمتهما تساوي زوايا الدوران.

بمعرفة دوّار، يمكن استخلاص المتجه الثنائي المرتبط به بأخذ لوغاريتم الدوّار، والذي يمكن تقسيمه بعد ذلك إلى متجهات ثنائية بسيطة لتحديد مستويات الدوران، مع أن هذا قد يكون غير عملي في معظم الحالات. ولكن بمعرفة هذه المتجهات الثنائية البسيطة، يُعدّ الجبر الهندسي أداةً مفيدةً لدراسة مستويات الدوران باستخدام جبرٍ كهذا. ^{[ 1 ] [ 11 ]}

مستويات الدوران لدوران معين باستخدام القيم الذاتية . إذا كانت لدينا مصفوفة دوران عامة في n بُعدًا، فإن معادلتها المميزة إما أن يكون لها جذر حقيقي واحد (في الأبعاد الفردية) أو لا يوجد لها جذر حقيقي (في الأبعاد الزوجية). أما الجذور الأخرى فهي أزواج مترافقة مركبة، تمامًا

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,}$

هذه الأزواج. وهي تُقابل مستويات الدوران، أي المستويات الذاتية للمصفوفة، والتي يُمكن حسابها باستخدام التقنيات الجبرية. بالإضافة إلى ذلك، فإن وسائط الجذور المركبة هي مقادير المتجهات الثنائية المرتبطة بمستويات الدوران. يرتبط شكل المعادلة المميزة بالمستويات، مما يُتيح ربط خصائصها الجبرية، مثل الجذور المتكررة، بالمتجهات الثنائية، حيث يكون لمقادير المتجهات الثنائية المتكررة تفسيرات هندسية خاصة. ^{[ 1 ] [ 12 ]}