البيانات التركيبية

في الإحصاء ، تُعرَّف البيانات التركيبية بأنها أوصاف كمية لأجزاء الكل، تُعبِّر عن معلومات نسبية. رياضياً، تُمثَّل البيانات التركيبية بنقاط على مُجَسَّم بسيط . ويمكن اعتبار القياسات التي تتضمن الاحتمالات والنسب المئوية والنسب المئوية الجزئية في المليون بيانات تركيبية.

تتعامل جميع تحليلات البيانات الحقيقية مع قياسات مشوشة. الحالة الأبسط هي في الدراسات التجريبية، مثل استطلاعات الرأي، حيث يكون إجمالي تخصيص كل مستجيب ثابتًا، ويجب التعامل فقط مع تأثيرات الإغلاق، وتُستخدم نسب الاحتمالات كإحصاءات ثابتة. في مثل هذه الحالات، تُحدد الارتباطات فقط من خلال مقدار نسبة الاحتمالات بالنسبة إلى 1. ولكن في البيانات التركيبية التي تحتوي على تشويش، يكون التشويش موجودًا في المجموع الكلي ويتوزع بشكل غير متماثل بين المكونات الفردية. ولأن التشويش والإشارة لا ينفصلان، لا يمكن تقسيم البيانات إلا إلى أصفار ومكونات ملوثة بالتشويش. ^{[ 1 ]} لذلك، بدون ترشيح صريح للتشويش، تظل الإحصاءات القائمة على نسب الاحتمالات غير محددة رياضيًا. في الواقع، لا يمكن حساب نسب الاحتمالات إلا عبر العينات في غياب تام لأي تشويش آخر غير ذلك الناتج عن التركيب نفسه (باستثناء التطبيع).

يمكن تمثيل البيانات التركيبية لثلاثة متغيرات بيانيًا باستخدام الرسوم البيانية الثلاثية . ويُظهر استخدام الرسم البياني المركزي لثلاثة متغيرات نسب هذه المتغيرات الثلاثة بيانيًا كمواقع في مثلث متساوي الأضلاع .

في ظل الظروف التي يحدث فيها تشويش بواسون، أو تشتت زائد، أو أخطاء آلية تراكمية، فإن عملية التركيب (القياس بالمجموع الكلي) تنشر هذه التشوهات بشكل غير متماثل عبر جميع المكونات، مما يجعل مقارنة قيمة كل مكون أمرًا صعبًا بسبب تلوث التشويش. كفحص بسيط لدرجة الحرية أو تحليل حدودي (${\displaystyle N\to \infty }$أو${\displaystyle N\to 0}$^{[ 2 ]} يوضح هذا أن البيانات التركيبية مغلقة ومعزولة بشكل أساسي ضمن صف واحد (كل عينة)، مما يُبرز الصعوبة الكامنة في المقارنات المباشرة بين العينات. في وجود هذا النوع من التشويش، تفشل أي محاولة لاستخدام نظرية النهاية المركزية ومتباينة تشيبيشيف لتحديد حد فاصل دقيق بين الإشارة والتشويش، حيث يظل التوزيع المشترك الكامل غير معروف، وتبقى قيمة العتبة مسألة تفسير بشري بحتة. ^{[ 3 ]}

لإثبات ثبات الأساس في ظل الظروف النقية، ضع في اعتبارك النسبة بين مكونين،${\displaystyle x_{i}}$و${\displaystyle x_{j}}$، ضمن عينة معينة تحت تأثيرات التركيب فقط. لنفترض${\displaystyle k}$تشير إلى عامل القياس المطبق للحفاظ على إجمالي صف ثابت، ويتم التعبير عن القيم التركيبية المغلقة على النحو التالي${\displaystyle kx_{i}}$و${\displaystyle kx_{j}}$ثم تصبح نسبتهم${\displaystyle {\frac {kx_{i}}{kx_{j}}}={\frac {x_{i}}{x_{j}}}}$، حيث${\displaystyle k}$يُلغى التأثير تمامًا. وبالمثل، فإن نسبة الاحتمالات بين عينتين (أو حالتين) مختلفتين، معبر عنها بـ${\displaystyle {\frac {x_{1i}/x_{1j}}{x_{2i}/x_{2j}}}}$لا تتأثر هذه النتائج إطلاقًا بعوامل الإغلاق الخاصة بكل عينة. في ظل هذه الظروف المثالية، يعكس الترتيب النسبي للمكونات المشتقة من بيانات النسبة المئوية المرصودة الترتيب الفيزيائي الحقيقي بشكل حتمي، مما يسمح بحساب نسبة الأرجحية بدقة كقيمة نهائية للدراسة. يمكن تصنيف نسبة الأرجحية الناتجة إلى ثلاث فئات متميزة بناءً على مقدارها بالنسبة إلى 1: ارتباط سلبي ( < 1 )، واستقلال تام ( = 1 )، وارتباط إيجابي ( > 1 ).

بشكل عام، عرّف جون أيتشيسون البيانات التركيبية بأنها نسب من كلٍّ ما في عام 1982. ^{[ 4 ]} وعلى وجه الخصوص، يمكن تمثيل نقطة بيانات تركيبية (أو تركيب اختصارًا) بمتجه حقيقي ذي مركبات موجبة. فضاء العينة للبيانات التركيبية هو مُعَقَّد بسيط. $${\displaystyle {\mathcal {S}}^{D}=\left\{\mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\dots ,x_{D}]\in \mathbb {R} ^{D}\,\left|\,x_{i}>0,i=1,2,\dots ,D;\sum _{i=1}^{D}x_{i}=\kappa \right.\right\}.\ }$$

المعلومات الوحيدة التي تُقدمها النسب بين المكونات، لذا فإن معلومات التركيب تُحفظ عند الضرب بأي ثابت موجب. لذلك، يمكن دائمًا افتراض أن فضاء العينة لبيانات التركيب هو مُجسم بسيط قياسي، أي${\displaystyle \kappa =1}$في هذا السياق، يُطلق على عملية التطبيع إلى المعقد القياسي اسم الإغلاق ، ويُرمز لها بـ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}[\,\cdot \,]}$: $${\displaystyle {\mathcal {C}}[x_{1},x_{2},\dots ,x_{D}]=\left[{\frac {x_{1}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}}},{\frac {x_{2}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}}},\dots ,{\frac {x_{D}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}}}\right],\ }$$

حيث D هو عدد الأجزاء (المكونات) و${\displaystyle [\cdot ]}$يشير إلى متجه صف.

يمكن إعطاء المُعقّد بنية فضاء متجهي بعدة طرق مختلفة. تُسمى بنية الفضاء المتجهي التالية هندسة أيتشيسون أو مُعقّد أيتشيسون ، وتتضمن العمليات التالية:

الاضطراب (جمع المتجهات)

${\displaystyle x\oplus y=\left[{\frac {x_{1}y_{1}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}},{\frac {x_{2}y_{2}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}},\dots ,{\frac {x_{D}y_{D}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}}\right]=C[x_{1}y_{1},\ldots ,x_{D}y_{D}]\qquad \forall x,y\in S^{D}}$

الضرب القياسي ( الضرب العددي )

${\displaystyle \alpha \odot x=\left[{\frac {x_{1}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}},{\frac {x_{2}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}},\ldots ,{\frac {x_{D}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}}\right]=C[x_{1}^{\alpha },\ldots ,x_{D}^{\alpha }]\qquad \forall x\in S^{D},\;\alpha \in \mathbb {R} }$

المنتج الداخلي

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{2D}}\sum _{i=1}^{D}\sum _{j=1}^{D}\log {\frac {x_{i}}{x_{j}}}\log {\frac {y_{i}}{y_{j}}}\qquad \forall x,y\in S^{D}}$

بفضل تلك العمليات، يشكل مُركب أيتشيسون البسيط${\displaystyle (D-1)}$فضاء الضرب الداخلي الإقليدي ذو الأبعاد n . التركيب المنتظم${\displaystyle \left[{\frac {1}{D}},\dots ,{\frac {1}{D}}\right]}$هو المتجه الصفري .

توجد ثلاث عمليات تماثلية موصوفة جيدًا تُحوّل من فضاء أيتشيسون البسيط إلى الفضاء الحقيقي. جميع هذه التحويلات تحقق خاصية الخطية كما هو موضح أدناه.

تحويل النسبة اللوغاريتمية المتساوية القياس

يُعد تحويل نسبة اللوغاريتم المتساوي القياس (ilr) تماثلًا وقياسًا متساوي القياس حيث${\displaystyle \operatorname {ilr} :S^{D}\rightarrow \mathbb {R} ^{D-1}}$

${\displaystyle \operatorname {ilr} (x)={\big [}\langle x,e_{1}\rangle ,\ldots ,\langle x,e_{D-1}\rangle {\big ]}}$

توجد طرق متعددة لإنشاء قواعد متعامدة، منها استخدام تعامد غرام-شميدت أو تحليل القيم المفردة للبيانات المحولة باستخدام تحويل clr. وثمة بديل آخر يتمثل في إنشاء تباينات لوغاريتمية من شجرة متفرعة. فإذا توفرت شجرة متفرعة، يمكن إنشاء قاعدة من العقد الداخلية فيها.

يتم تحديد كل متجه في الأساس على النحو التالي

${\displaystyle e_{\ell }=C[\exp(\,\underbrace {0,\ldots ,0} _{k},\underbrace {a,\ldots ,a} _{r},\underbrace {b,\ldots ,b} _{s},\underbrace {0,\ldots ,0} _{t}\,)]}$

يتم إعطاء العناصر داخل كل متجه على النحو التالي

${\displaystyle a={\frac {\sqrt {s}}{\sqrt {r(r+s)}}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {-{\sqrt {r}}}{\sqrt {s(r+s)}}}}$

أين${\displaystyle k,r,s,t}$تمثل هذه الأرقام عدد الأطراف في الأشجار الفرعية المقابلة الموضحة في الشكل. ويمكن إثبات أن الأساس الناتج متعامد معياري ^{[ 6 ].}

بمجرد أن يصبح الأساس${\displaystyle \Psi }$بعد بناء النموذج، يمكن حساب تحويل ilr على النحو التالي

${\displaystyle \operatorname {ilr} (x)=\operatorname {clr} (x)\Psi ^{T}}$

حيث يكون كل عنصر في البيانات المحولة بواسطة ilr على الشكل التالي

${\displaystyle b_{i}={\sqrt {\frac {rs}{r+s}}}\log {\frac {g(x_{R})}{g(x_{S})}}}$

أين${\displaystyle x_{R}}$و${\displaystyle x_{S}}$هي مجموعة القيم التي تتوافق مع أطراف الأشجار الفرعية${\displaystyle R}$و${\displaystyle S}$

مشاكل العلاقات الصناعية والعمالية

يفترض نموذج ILR التجانس الإحصائي والتماثل الهندسي داخل المجسم البسيط${\displaystyle {\mathcal {S}}^{D}}$، مما يسمح بإسقاط في${\displaystyle (D-1)}$فضاء إقليدي ذو أبعاد${\displaystyle \mathbb {R} ^{D-1}}$مع الحفاظ على مسافات وزوايا منتظمة. ولكن في أي نظام قياس واقعي (حتى في ظل ظروف مثالية وخالية من الأخطاء)، فإن المتغيرات غير المقيدة في الفضاء الحقيقي الموجب${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{D}}$تُظهر هياكل تباين غير متماثلة ومستقلة بشكل أساسي، مما يؤدي إلى معاملات تباين متباينة خاصة بكل مكون (${\displaystyle {\text{CV}}_{i}\neq {\text{CV}}_{j}}$). عندما يكون عامل الإغلاق${\displaystyle {\mathcal {C}}}$عند تطبيق قيد المجموع الثابت، يتم توزيع "إجهاد الإغلاق" الناتج على المكونات بطريقة غير خطية وغير متناظرة للغاية، وفقًا لمصفوفة جاكوبي غير المنتظمة للتحويل. ^{[ 7 ]} والنتيجة هي ظهور تشوهات في بيانات العالم الحقيقي عند استخدام ILR لإنشاء مصفوفات التغاير ومقاييس المسافة. ^{[ 8 ]}

يدّعي مؤيدو نموذج الانحدار اللوجستي العكسي (ILR) أيضًا فائدته على مجموعات البيانات الاصطناعية أو المصطنعة حيث يتم عزل العلاقات المتغيرة بشكل مصطنع عن التباين الفيزيائي المشترك. ومع ذلك، ونظرًا لهذه القيود، فإن نسب الاحتمالات ونسبها بحد ذاتها كافية.

• في الكيمياء ، يمكن التعبير عن التركيبات بتركيزات مولية لكل مكون. ولأن مجموع جميع التركيزات غير محدد، فإن التركيب الكلي للأجزاء D مطلوب، وبالتالي يُعبَّر عنه كمتجه من D تركيزات مولية. ويمكن تحويل هذه التركيبات إلى نسب مئوية وزنية بضرب كل مكون بالثابت المناسب.
• في علم السكان ، قد تُمثل المدينة نقطة بيانات تركيبية ضمن عينة من المدن؛ فالمدينة التي يشكل المسيحيون 35% من سكانها، والمسلمون 55%، واليهود 6%، والباقي 4% من ديانات أخرى، تُطابق التوزيع الرباعي [0.35،  0.55،  0.06،  0.04]. وتُمثل مجموعة البيانات قائمة بالمدن.
• في علم الجيولوجيا ، قد يُمثل الصخر المُكوّن من معادن مختلفة نقطة بيانات تركيبية في عينة من الصخور؛ فالصخر الذي يُشكّل فيه المعدن الأول 10%، والثاني 30%، والثالث 60% يُطابق التركيب الثلاثي [0.1،  0.3،  0.6]. تحتوي مجموعة البيانات على تركيب ثلاثي واحد من هذا النوع لكل صخرة في عينة الصخور.
• في تسلسل الحمض النووي عالي الإنتاجية وتسلسل الحمض النووي الريبي، يتم عادةً تحويل البيانات التي تم الحصول عليها إلى وفرة نسبية، مما يجعلها تركيبية.
• في علم الاحتمالات والإحصاء ، يُوصف تقسيم فضاء المعاينة إلى أحداث منفصلة بالاحتمالات المخصصة لكل حدث. ويمكن اعتبار متجه الاحتمالات D بمثابة تركيب لـ D أجزاء. وبما أن مجموعها يساوي واحدًا، يمكن استبعاد أحد الاحتمالات ، وبذلك يكون التركيب مُحددًا بالكامل.
• في علم القياسات الكيميائية ، لتصنيف زيوت البترول. ^{[ 9 ]}
• في استطلاع رأي ، يمكن التعبير عن نسب الأشخاص الذين أجابوا بالإيجاب على بعض البنود المختلفة كنسب مئوية. وبما أن المجموع الكلي هو 100، يمكن تعريف متجه المكونات المكون من D عنصرًا باستخدام D - 1 عنصرًا فقط، بافتراض أن العنصر المتبقي هو النسبة المئوية اللازمة ليكون مجموع المتجه 100.  

• نموذج الخليط
• منهجية سطح الاستجابة
• تطبيقات الأشكال البسيطة
• مخطط ثلاثي
• مساحة بايز

• أيتشيسون، ج. (2011) [1986]، التحليل الإحصائي للبيانات التركيبية ، دراسات في الإحصاء والاحتمالات التطبيقية، سبرينغر، ISBN 978-94-010-8324-9
• فان دن بوجارت، ك. جيرالد؛ تولوسانا-دلجادو، رايمون (2013)، تحليل البيانات التركيبية باستخدام R ، سبرينغر، ISBN 978-3-642-36809-7
• إيجوزكيو، خوان خوسيه؛ باولوفسكي جلان، فيرا؛ ماتيو فيجويراس، غلوريا؛ بارسيلو فيدال ، كارليس (2003)، “تحويلات logratio متساوي القياس لتحليل البيانات التركيبية”، الجيولوجيا الرياضية ، 35 (3): 279–300 ، Bibcode : 2003MatG...35..279E ، دوى : 10.1023 / A:1023818214614 ، S2CID 122844634 
• إيغوزكوي، خوان خوسيه؛ باولووسكي-غلاهن، فيرا (2005)، "مجموعات الأجزاء وتوازناتها في تحليل البيانات التركيبية"، الجيولوجيا الرياضية ، 37 (7): 795-828 ، Bibcode : 2005MatGe..37..795E ، doi : 10.1007/s11004-005-7381-9 ، S2CID 53061345 
• الأماكن القريبة : إيجوزكيو، خوان خوسيه؛ تولوسانا-ديلجادو، رايمون (2015)، نمذجة وتحليل البيانات التركيبية ، وايلي، دوى : 10.1002/9781119003144 ، ISBN 978-1-119-00314-4

• موقع CoDaWeb - موقع بيانات التركيب
• باولوفسكي جلان، V.؛ إيجوزكيو، جي جي؛ تولوسانا-دلجادو، ر. (2007). "ملاحظات محاضرة حول تحليل البيانات التركيبية" . جامعة جيرونا . اتش دي ال : 10256/297 .
• لماذا وكيف ينبغي على الجيولوجيين استخدام تحليل البيانات التركيبية (كتاب ويكيبيديا)