مجموعة تشاو

في الهندسة الجبرية ، تُعدّ زمر تشاو (نسبةً إلى وي ليانغ تشاو، من ابتكار كلود شوفالي ( 1958 ) ) لمتشعب جبري على أي حقل ، نظائر هندسية جبرية لتماثل الفضاء الطوبولوجي . تتكون عناصر زمرة تشاو من متشعبات فرعية (ما يُسمى بالدورات الجبرية ) بطريقة مشابهة لكيفية تكوين زمر التماثل التبسيطية أو الخلوية من مجمعات فرعية. عندما يكون المتشعب أملسًا ، يمكن تفسير زمر تشاو على أنها زمر تماثل مشترك (قارن ازدواجية بوانكاريه )، ولها عملية ضرب تُسمى حاصل الضرب التقاطعي . تحمل زمر تشاو معلومات غنية حول المتشعب الجبري، ولذا يصعب حسابها عمومًا. 

فيما يلي، حدد صنفًا على حقل${\displaystyle k}$أن يكون مخططًا متكاملًا من النوع المحدود على${\displaystyle k}$لأي مخطط${\displaystyle X}$من النوع المحدود على${\displaystyle k}$، دورة جبرية على${\displaystyle X}$يعني توليفة خطية محدودة من أنواع فرعية من${\displaystyle X}$بمعاملات صحيحة . (هنا وفيما يلي، يُفهم أن الأصناف الفرعية مغلقة في${\displaystyle X}$(ما لم يُنص على خلاف ذلك.) بالنسبة للأعداد الطبيعية${\displaystyle i}$المجموعة${\displaystyle Z_{i}(X)}$ل${\displaystyle i}$دورات ذات أبعاد (أو${\displaystyle i}$- دورات ، باختصار) على${\displaystyle X}$هي المجموعة الأبيلية الحرة على مجموعة${\displaystyle i}$الأنواع الفرعية ذات الأبعاد${\displaystyle X}$.

للحصول على تشكيلة متنوعة${\displaystyle W}$من الأبعاد${\displaystyle i+1}$وأي دالة كسرية${\displaystyle f}$على${\displaystyle W}$وهو ليس صفرًا تمامًا، قاسم العدد${\displaystyle f}$هو${\displaystyle i}$-دورة

${\displaystyle (f)=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z,}$

حيث يشمل المجموع كل شيء${\displaystyle i}$- أنواع فرعية متعددة الأبعاد${\displaystyle Z}$ل${\displaystyle W}$والعدد الصحيح${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)}$يشير إلى ترتيب تلاشي${\displaystyle f}$على امتداد${\displaystyle Z}$. (هكذا${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)}$تكون النتيجة سالبة إذا${\displaystyle f}$يوجد عمود على طول${\displaystyle Z}$يتطلب تعريف رتبة التلاشي بعض العناية لـ${\displaystyle W}$مفرد. ^{[ 1 ]}

لخطة${\displaystyle X}$من النوع المحدود على${\displaystyle k}$، مجموعة${\displaystyle i}$الدورات المكافئة منطقيًا للصفر هي المجموعة الجزئية من${\displaystyle Z_{i}(X)}$تم توليدها بواسطة الدورات${\displaystyle (f)}$للجميع${\displaystyle (i+1)}$- أنواع فرعية متعددة الأبعاد${\displaystyle W}$ل${\displaystyle X}$وجميع الدوال الكسرية غير الصفرية${\displaystyle f}$على${\displaystyle W}$مجموعة تشاو${\displaystyle CH_{i}(X)}$ل${\displaystyle i}$دورات ذات أبعاد${\displaystyle X}$هي مجموعة القسمة لـ${\displaystyle Z_{i}(X)}$بواسطة المجموعة الفرعية من الدورات المكافئة منطقيًا للصفر. أحيانًا يكتب المرء${\displaystyle [Z]}$بالنسبة لفئة من الأنواع الفرعية${\displaystyle Z}$في مجموعة تشاو، وإذا كان هناك نوعان فرعيان${\displaystyle Z}$و${\displaystyle W}$يملك${\displaystyle [Z]=[W]}$، ثم${\displaystyle Z}$و${\displaystyle W}$يقال إنها متكافئة عقلانياً .

على سبيل المثال، عندما${\displaystyle X}$وهو نوع من الأبعاد${\displaystyle n}$مجموعة تشاو${\displaystyle CH_{n-1}(X)}$هي مجموعة فئات القاسم لـ${\displaystyle X}$. متى${\displaystyle X}$سلس${\displaystyle k}$(أو بشكل أعم، مخطط عاملي طبيعي نوثري محلي ^{[ 2 ]} )، وهذا متماثل مع مجموعة بيكارد لحزم الخطوط على${\displaystyle X}$.

عندما يكون المخطط${\displaystyle X}$يكون سطح الأرض أملسًا.${\displaystyle k}$تشكل مجموعات تشاو حلقة ، وليست مجرد مجموعة أبيلية متدرجة. أي عندما${\displaystyle X}$سلس${\displaystyle k}$، يُعرِّف${\displaystyle CH^{i}(X)}$أن تكون مجموعة تشاو ذات الأبعاد المشتركة -${\displaystyle i}$دورات${\displaystyle X}$. (متى${\displaystyle X}$وهو نوع من الأبعاد${\displaystyle n}$هذا يعني ببساطة أن${\displaystyle CH^{i}(X)=CH_{ni}(X)}$ثم المجموعات${\displaystyle CH^{*}(X)}$شكّل حلقة متدرجة تبادلية مع الناتج:

${\displaystyle CH^{i}(X)\times CH^{j}(X)\rightarrow CH^{i+j}(X).}$

ينتج هذا الناتج عن تقاطع الدورات الجبرية. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle Y}$و${\displaystyle Z}$هي أنواع فرعية ناعمة من${\displaystyle X}$من الأبعاد المشتركة${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$على التوالي، وإذا${\displaystyle Y}$و${\displaystyle Z}$إذا تقاطعت بشكل عرضي ، فإن الناتج${\displaystyle [Y][Z]}$في${\displaystyle CH^{i+j}(X)}$هو مجموع المكونات غير القابلة للاختزال للتقاطع${\displaystyle Y\cap Z}$والتي جميعها لها بُعد مشترك${\displaystyle i+j}$.

وبشكل أعم، في حالات مختلفة، تقوم نظرية التقاطع ببناء دورة صريحة تمثل الناتج${\displaystyle [Y][Z]}$في حلقة تشاو. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle Y}$و${\displaystyle Z}$هي أنواع فرعية ذات أبعاد تكميلية (بمعنى أن مجموع أبعادها يساوي بُعد${\displaystyle X}$) التي يكون بُعد تقاطعها صفرًا، ثم${\displaystyle [Y][Z]}$يساوي مجموع نقاط التقاطع بمعاملات تسمى أرقام التقاطع . لأي أصناف فرعية${\displaystyle Y}$و${\displaystyle Z}$مخطط سلس${\displaystyle X}$زيادة${\displaystyle k}$دون أي افتراض بشأن بُعد التقاطع، تُنشئ نظرية التقاطع لويليام فولتون وروبرت ماكفرسون عنصرًا أساسيًا من مجموعات تشاو.${\displaystyle Y\cap Z}$صورته في مجموعات تشاو${\displaystyle X}$هو المنتج${\displaystyle [Y][Z]}$[ ^{3 ]​}

للحصول على تشاكل صحيح${\displaystyle f:X\to Y}$من المخططات التي تتجاوز${\displaystyle k}$، يوجد تشاكل دفع أمامي${\displaystyle f_{*}:CH_{i}(X)\to CH_{i}(Y)}$لكل عدد صحيح${\displaystyle i}$على سبيل المثال، من أجل مخطط مناسب${\displaystyle X}$زيادة${\displaystyle k}$وهذا يعطي تشاكلاً${\displaystyle CH_{0}(X)\to \mathbf {Z} }$، والتي تأخذ نقطة مغلقة في${\displaystyle X}$إلى درجتها على${\displaystyle k}$(نقطة مغلقة في${\displaystyle X}$له الشكل${\displaystyle \operatorname {Spec} (E)}$بالنسبة لحقل امتداد محدود${\displaystyle E}$ل${\displaystyle k}$ودرجتها تعني درجة المجال${\displaystyle E}$زيادة${\displaystyle k}$.)

بالنسبة للتشاكل المسطح${\displaystyle f:X\to Y}$من المخططات التي تتجاوز${\displaystyle k}$بألياف ذات أبعاد${\displaystyle r}$(ربما فارغة)، يوجد تماثل${\displaystyle f^{*}:CH_{i}(Y)\to CH_{i+r}(X)}$.

تُعد متتالية التوطين أداة حسابية رئيسية لمجموعات تشاو ، كما يلي. بالنسبة لمخطط${\displaystyle X}$فوق حقل${\displaystyle k}$ونظام فرعي مغلق${\displaystyle Z}$ل${\displaystyle X}$هناك تسلسل دقيق

${\displaystyle CH_{i}(Z)\rightarrow CH_{i}(X)\rightarrow CH_{i}(X-Z)\rightarrow 0,}$

حيث يكون التشاكل الأول هو الدفع الأمامي المرتبط بالتشاكل الصحيح${\displaystyle Z\to X}$والتشاكل الثاني هو سحب عكسي بالنسبة للتشاكل المسطح${\displaystyle X-Z\to X}$[ ^{4 ]} يمكن تمديد تسلسل التموضع إلى اليسار باستخدام تعميم لمجموعات تشاو، وهي مجموعات التماثل التحفيزي (بوريل-مور) ^، والمعروفة أيضًا باسم مجموعات تشاو العليا . ^{[ 5 ]}

لأي تشاكل${\displaystyle f:X\to Y}$من المخططات السلسة على${\displaystyle k}$يوجد تماثل سحب عكسي${\displaystyle f^{*}:CH^{i}(Y)\to CH^{i}(X)}$وهو في الواقع تشاكل حلقي${\displaystyle CH^{*}(Y)\to CH^{*}(X)}$.

توجد العديد من التشاكلات (المعروفة باسم خرائط الدورة ) من مجموعات تشاو إلى نظريات أكثر قابلية للحساب.

أولاً، بالنسبة لمخطط X على الأعداد المركبة، يوجد تماثل من مجموعات تشاو إلى علم التماثل بوريل-مور : ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\mathit {CH}}_{i}(X)\rightarrow H_{2i}^{BM}(X,\mathbf {Z} ).}$

يظهر العامل 2 لأن التنوع الفرعي ذو البعد i من X له بُعد حقيقي يساوي 2i . عندما يكون X أملسًا على الأعداد المركبة، يمكن إعادة كتابة خريطة الدورة هذه باستخدام ازدواجية بوانكاريه كتشاكل.

${\displaystyle {\mathit {CH}}^{j}(X)\rightarrow H^{2j}(X,\mathbf {Z} ).}$

في هذه الحالة ( X أملس على C )، تُشكّل هذه التشاكلات تشاكلاً حلقياً من حلقة تشاو إلى حلقة التماثل. وبشكل بديهي، يعود ذلك إلى أن نواتج الضرب في كل من حلقة تشاو وحلقة التماثل تصف تقاطع الدورات.

بالنسبة لمتنوعة إسقاطية عقدية سلسة ، فإن خريطة الدورة من حلقة تشاو إلى علم التماثل العادي تتحلل عبر نظرية أكثر ثراءً، وهي علم تماثل ديلين . ^{[ 7 ]} وهذا يتضمن خريطة أبيل-جاكوبي من الدورات المكافئة تماثليًا للصفر إلى جاكوبيان الوسيط . يُظهر التسلسل الأسي أن CH1 ( X ) تُسقط بشكل متماثل على علم تماثل ديلين، لكن هذا لا ينطبق على CHj ( X ⁾ حيث ^j > 1 .

بالنسبة لمخطط X على حقل k عشوائي ، توجد خريطة دورية مماثلة من زمر تشاو إلى علم التماثل الإيتالي (بوريل-مور) . عندما يكون X أملسًا على k ، يمكن تعريف هذا التشاكل بتشاكل حلقي من حلقة تشاو إلى علم التماثل الإيتالي. ^{[ 8 ]}

تحتوي حزمة المتجهات (الجبرية) E على مخطط أملس X فوق حقل ما على فئات تشيرن cᵢ ₍ E ) في CHᵢ ⁽ X ) ، بنفس الخصائص الشكلية كما في الطوبولوجيا. ^{[ 9 ]} تُعطي فئات تشيرن صلة وثيقة بين حزم المتجهات ومجموعات تشاو. تحديدًا، ليكن K₀ ( X ) مجموعة غروتينديك لحزم المتجهات على X. وكجزء من نظرية غروتينديك-ريمان-روخ ، بيّن غروتينديك أن خاصية تشيرن تُعطي تماثلًا _.

${\displaystyle K_{0}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} \cong \prod _{i}{\mathit {CH}}^{i}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} .}$

يُظهر هذا التشاكل أهمية التكافؤ العقلاني، مقارنة بأي علاقة تكافؤ مناسبة أخرى على الدورات الجبرية.

تُعدّ بعض أعمق التخمينات في الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد محاولات لفهم مجموعات تشاو. على سبيل المثال:

• تنصّ مبرهنة مورديل -ويل على أن زمرة فئات القواسم CH _{n -1} ( X ) مولدة توليدًا منتهيًا لأي صنف X ذي بُعد n على حقل عددي. ولا يزال السؤال مطروحًا حول ما إذا كانت جميع زمر تشاو مولدة توليدًا منتهيًا لكل صنف على حقل عددي. وتتنبأ حدسية بلوخ - كاتو حول قيم دوال L بأن هذه الزمر مولدة توليدًا منتهيًا. علاوة على ذلك، يجب أن تكون رتبة زمرة الدورات بتردد التكافؤ الهومولوجي، وكذلك رتبة زمرة الدورات المكافئة هومولوجيًا للصفر، مساوية لرتبة تلاشي دالة L للصنف المعطى عند نقاط عددية صحيحة معينة. كما أن محدودية هذه الرتب ستُستنتج من حدسية باس في نظرية K الجبرية.
• بالنسبة لمتنوعة إسقاطية عقدية ملساء X ، تتنبأ حدسية هودج بصورة ( مضروبة في الأعداد النسبية Q ) خريطة الدورة من زمر تشاو إلى علم التماثل الشاذ. أما بالنسبة لمتنوعة إسقاطية ملساء على حقل مولد نهائيًا (مثل حقل نهائي أو حقل عددي)، فتتنبأ حدسية تيت بصورة (مضروبة في Q _l ) خريطة الدورة من زمر تشاو إلى علم التماثل l-adic .
• بالنسبة لمتنوع إسقاطي أملس X على أي حقل، تتنبأ حدسية بلوخ - بيلينسون بوجود ترشيح على زمر تشاو لـ X (مُوَزَّنة بالأعداد النسبية) بخصائص قوية. ^{[ 10 ]} تشير هذه الحدسية إلى وجود صلة وثيقة بين التماثل المفرد أو الإيتالي لـ X وزمر تشاو لـ X.

على سبيل المثال، ليكن X سطحًا إسقاطيًا عقديًا أملسًا. تُسقط زمرة تشاو للدورات الصفرية على X على الأعداد الصحيحة بواسطة تماثل الدرجة؛ ولتكن K النواة. إذا لم يكن الجنس الهندسي h₀ ( X , Ω² ^{) صفرًا ، فقد أثبت} مامفورد أن K "لا نهائية الأبعاد" (أي ليست صورة أي عائلة محدودة الأبعاد من الدورات الصفرية على X ). ^{[ 11 ]} يستلزم حدس بلوخ-بيلينسون عكسًا مُرضيًا، وهو حدس بلوخ حول الدورات الصفرية : بالنسبة لسطح إسقاطي عقدي أملس X ذي جنس ^هندسي صفري، يجب أن تكون K محدودة الأبعاد؛ وبشكل أدق، يجب أن تُسقط بشكل متماثل على زمرة النقاط العقدية لمتنوعة ألبانيز لـ X. [ ^{12 ]}

دُرست التكافؤات النسبية للقواسم (المعروفة بالتكافؤ الخطي ) بأشكالٍ مختلفة خلال القرن التاسع عشر، مما أدى إلى ظهور زمرة الفئات المثالية في نظرية الأعداد ومتنوعة جاكوبيان في نظرية المنحنيات الجبرية. بالنسبة للدورات ذات الأبعاد المشتركة الأعلى، قدم فرانشيسكو سيفيري التكافؤ النسبي في ثلاثينيات القرن العشرين. في عام ١٩٥٦، قدم وي ليانغ تشاو برهانًا مؤثرًا على أن حاصل الضرب التقاطعي مُعرَّف جيدًا على الدورات بتردد التكافؤ النسبي لمتنوعة شبه إسقاطية ملساء، باستخدام مبرهنة تشاو المتحركة . بدءًا من سبعينيات القرن العشرين، وضع فولتون وماكفرسون الأساس القياسي الحالي لزمر تشاو، مع التركيز على المتنوعات الشاذة كلما أمكن ذلك. في نظريتهما، يُبنى حاصل الضرب التقاطعي للمتنوعات الملساء عن طريق التشوه إلى المخروط الطبيعي . ^{[ ١٦ ]}

• نظرية التقاطع
• نظرية غروتينديك-ريمان-روخ
• تخمين هودج
• الدافع (الهندسة الجبرية)