صيغة نصف الزاوية المماسية

في علم المثلثات ، تربط صيغ ظل نصف الزاوية ظل نصف الزاوية بالدوال المثلثية للزاوية بأكملها. ^{[ 1 ]}

ظل نصف الزاوية هو الإسقاط المجسم للدائرة المار بالنقطة عند الزاوية${\textstyle \pi }$الراديان على الخط المار بالزوايا${\textstyle \pm {\frac {\pi }{2}}}$تتضمن صيغ نصف زاوية المماس ما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}(\eta \pm \theta )&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\eta \pm \tan {\tfrac {1}{2}}\theta }{1\mp \tan {\tfrac {1}{2}}\eta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }}= {\frac {\sin \eta \pm \sin \theta {\cos \eta +\cos \theta }}=-{\frac {\cos \eta -\cos \theta }{\sin \eta \mp \sin \theta }}\,,\end{محاذاة}}}$$ باستخدام صيغ أبسط عندما تكون قيمة η معروفة بأنها 0 أو π /2 أو π أو 3 π /2 لأنه يمكن استبدال sin( η ) و cos( η ) بثوابت بسيطة.

وفي الاتجاه المعاكس، تتضمن الصيغ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\cos \alpha &={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^ {2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\tan \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\,.\end{محاذاة}}}$$

في تطبيقات مختلفة لعلم المثلثات ، من المفيد إعادة كتابة الدوال المثلثية (مثل الجيب وجيب التمام ) بدلالة الدوال الكسرية لمتغير جديد${\displaystyle t}$تُعرف هذه المتطابقات مجتمعةً باسم صيغ نصف الزاوية المماسية نظرًا لتعريفها${\displaystyle t}$يمكن أن تكون هذه المتطابقات مفيدة في حساب التفاضل والتكامل لتحويل الدوال الكسرية في الجيب وجيب التمام إلى دوال لـ t من أجل إيجاد مشتقاتها الأصلية .

هندسيًا، تتم عملية الإنشاء كالتالي: لأي نقطة (cos φ , sin φ ) على دائرة الوحدة ، نرسم الخط المار بها وبالنقطة (−1, 0) . تتقاطع هذه النقطة مع المحور y عند نقطة ما y = t . يمكن إثبات، باستخدام الهندسة البسيطة، أن t = tan(φ/2) . معادلة الخط المرسوم هي y = (1 + x ) t . معادلة تقاطع الخط مع الدائرة هي معادلة تربيعية تتضمن t . الحلان لهذه المعادلة هما (−1, 0) و (cos φ , sin φ ) . هذا يسمح لنا بكتابة الحل الأخير كدالة كسرية لـ t (الحلول موضحة أدناه).

يمثل المعامل t الإسقاط المجسم للنقطة (cos φ , sin φ ) على المحور y، حيث يقع مركز الإسقاط عند (−1, 0) . وبالتالي، توفر صيغ نصف الزاوية المماسية تحويلات بين الإحداثي المجسم t على دائرة الوحدة والإحداثي الزاوي القياسي φ .

ثم لدينا $${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\cos \varphi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[8pt]&\tan \varphi ={\frac {2t}{1-t^{2}}}&&\cot \varphi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\sec \varphi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},&&\csc \varphi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\end{aligned}}}$$ و $${\displaystyle e^{i\varphi }={\frac {1+it}{1-it}},\qquad e^{-i\varphi }={\frac {1-it}{1+it}}.}$$

كلا التعبيرين عن${\displaystyle e^{i\varphi }}$والتعبير${\displaystyle t=\tan(\varphi /2)}$يمكن حلها لـ${\displaystyle \varphi }$بمساواة هاتين المعادلتين نحصل على دالة الظل العكسي بدلالة اللوغاريتم الطبيعي .$${\displaystyle \arctan t={\frac {-i}{2}}\ln {\frac {1+it}{1-it}}.}$$

في حساب التفاضل والتكامل ، يُستخدم استبدال نصف الزاوية الظلية لإيجاد الدوال الأصلية للدوال الكسرية لـ sin φ و cos φ . ${\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi }$أعطِ $${\displaystyle {\frac {dt}{d\varphi }}={\tfrac {1}{2}}\sec ^{2}{\tfrac {1}{2}}\varphi ={\tfrac {1}{2}}(1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\varphi )={\tfrac {1}{2}}(1+t^{2})}$$ وبالتالي $${\displaystyle d\varphi ={{2\,dt} \over {1+t^{2}}}.}$$

بمقارنة المتطابقات الزائدية بالمتطابقات الدائرية، نلاحظ أنها تتضمن نفس الدوال لـ t ، ولكن بترتيب مختلف. إذا حددنا المعامل t في كلتا الحالتين، نصل إلى علاقة بين الدوال الدائرية والدوال الزائدية. أي، إذا $${\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi }$$ ثم $${\displaystyle \varphi =2\arctan {\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi \,{\bigr )}\equiv \operatorname {gd} \psi ,}$$ حيث gd( ψ ) هي دالة غودرمان . تُعطي دالة غودرمان علاقة مباشرة بين الدوال الدائرية والدوال الزائدية دون استخدام الأعداد المركبة. تُقدّم الأوصاف السابقة لصيغ نصف زاوية الظل (إسقاط دائرة الوحدة والقطع الزائد القياسي على المحور y ) تفسيرًا هندسيًا لهذه الدالة.

بالبدء بمثلث فيثاغورس بأطوال أضلاعه a و b و c ^، وهي أعداد صحيحة موجبة تحقق المعادلة a² + b² = c² ^، يتبين مباشرةً أن لكل زاوية داخلية في المثلث قيمًا نسبية للجيب وجيب التمام، لأنها ببساطة نسب بين أطوال الأضلاع. وبالتالي ^، فإن لكل زاوية من هذه الزوايا قيمة نسبية لظل نصف الزاوية، باستخدام tan φ /2 = sin φ /(1 + cos φ ) .

والعكس صحيح أيضاً. إذا كانت هناك زاويتان موجبتان مجموعهما 90 درجة، ولكل منهما ظل نسبي يساوي نصف الزاوية، وكانت الزاوية الثالثة قائمة، فإن المثلث الذي يحتوي على هذه الزوايا الداخلية يمكن تحويله إلى مثلث فيثاغورس. أما إذا لم يكن من الضروري أن تكون الزاوية الثالثة قائمة، ولكنها الزاوية التي تجعل مجموع الزوايا الثلاث الموجبة 180 درجة، فإن ظلها سيكون بالضرورة عددًا نسبيًا عندما يكون ظل الزاويتين الأوليين كذلك (باستخدام صيغ جمع وطرح الظلال)، ويمكن تحويل المثلث إلى مثلث هيروني .

بشكل عام، إذا كان K حقلًا فرعيًا للأعداد المركبة فإن tan φ /2 ∈ K ∪ {∞} يعني أن {sin φ , cos φ , tan φ , sec φ , csc φ , cot φ } ⊆ K ∪ {∞} .

• قائمة المتطابقات المثلثية
• تركيبة نصفية

• "صيغة الظل" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• صيغة نصف الزاوية الظلية في موقع PlanetMath .