عقد تشيبيشيف

في التحليل العددي ، تُعرف عقد تشيبيشيف (وتُسمى أيضًا نقاط تشيبيشيف أو شبكة تشيبيشيف ) بأنها مجموعة من الأعداد الجبرية المحددة التي تُستخدم كعقد للاستيفاء متعدد الحدود والتكامل العددي . وهي عبارة عن إسقاط لمجموعة من النقاط متساوية التباعد على دائرة الوحدة على الفترة الحقيقية.${\displaystyle [-1,1]}$قطر الدائرة .

يوجد نوعان من عقد تشيبيشيف .${\displaystyle n}$تُعرف عقد تشيبيشيف من النوع الأول ، والتي تُسمى أيضًا عقد تشيبيشيف-غاوس ^{[ 1 ]} أو أصفار تشيبيشيف ، بأنها أصفار متعددة حدود تشيبيشيف منالنوع الأول .${\displaystyle T_{n}}$المقابل​​${\displaystyle n+1}$تُعرف عقد تشيبيشيف من النوع الثاني ، والتي تُسمى أيضًا عقد تشيبيشيف-لوباتو ^{[ 2 ]} أو نقاط تشيبيشيف القصوى ، بأنها نقاط قصوى لـ${\displaystyle T_{n}}$، وهي أيضاً أصفار متعددة حدود تشيبيشيف من النوع الثاني ،${\displaystyle U_{n-1}}$بالإضافة إلى نقطتي نهاية الفترة. يُشار إلى كلا النوعين من الأعداد عادةً باسم عقد تشيبيشيف أو نقاط تشيبيشيف في الأدبيات. ^{[ 3 ]} وقد سُميت نسبةً إلى عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشيف ، الذي عاش في القرن التاسع عشر، والذي كان أول من قدم متعددات حدود تشيبيشيف.

على عكس بعض عقد الاستيفاء الأخرى، فإن عقد تشيبيشيف "تتداخل": إذ تُحتفظ بالعقد الموجودة عند مضاعفة عددها، مما يقلل الحساب لكل تحسين للشبكة إلى النصف. تعمل دوال الاستيفاء متعددة الحدود المُنشأة من عقد تشيبيشيف على تقليل تأثير ظاهرة رونج . ^{[ 4 ]} ويمكن تحويلها بسهولة إلى تمثيل كمجموع مرجح لكثيرات حدود تشيبيشيف باستخدام تحويل فورييه السريع .

بالنسبة لعدد صحيح موجب معين${\displaystyle n}$، الـ${\displaystyle n}$تُعطى عقد تشيبيشيف من النوع الأول بواسطة

$${\displaystyle x_{k}=\cos {\frac {{\bigl (}k+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\pi }{n}},\quad k=0,\ldots ,n-1.}$$

هذا هو إسقاط ⁠${\displaystyle 2n}$نقاط متساوية التباعد على دائرة الوحدة على الفترة${\displaystyle [-1,1]}$، قطر الدائرة. هذه النقاط هي أيضًا جذور ⁠${\displaystyle T_{n}}$، متعددة حدود تشيبيشيف من النوع الأول من الدرجة${\displaystyle n}$⁠ .

الـ​${\displaystyle n+1}$تُعطى عقد تشيبيشيف من النوع الثاني بواسطة

$${\displaystyle x_{k}=\cos {\frac {k\pi }{n}},\quad k=0,\ldots ,n.}$$

وهذا أيضاً هو إسقاط لـ${\displaystyle 2n}$نقاط متساوية التباعد على دائرة الوحدة إلى${\displaystyle [-1,1]}$، وهذه المرة تشمل نهايتي الفترة، حيث تمثل كل منهما إسقاط نقطة واحدة فقط على الدائرة بدلاً من نقطتين. وتُعد هذه النقاط أيضًا القيم القصوى لـ${\displaystyle T_{n}}$في​​${\displaystyle [-1,1]}$، الأماكن التي تأخذ فيها القيمة${\displaystyle \pm 1}$[ ^{5 ]} النقاط الداخلية بين العقد، باستثناء نقاط النهاية، هيأيضًا ^أصفار لـ${\displaystyle U_{n-1}}$، وهي متعددة حدود تشيبيشيف من النوع الثاني، وإعادة قياس لمشتقة${\displaystyle T_{n}}$⁠ .

للعقد على فاصل زمني عشوائي${\displaystyle [a,b]}$تحويل أفيني من${\displaystyle [-1,1]}$يمكن استخدامها: $${\displaystyle {\tilde {x}}_{k}={\tfrac {1}{2}}(a+b)+{\tfrac {1}{2}}(ba)x_{k}.}$$

كلا النوعين من العقد متناظران دائمًا حول الصفر، وهو نقطة منتصف الفترة.

مجموعات العقد للأعداد الصحيحة القليلة الأولى${\displaystyle n}$نكون: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{roots}}(T_{0})&=\{\},&{\text{roots}}(U_{0})&=\{\},&{\text{extrema}}(T_{1})&=\{-1,+1\},\\{\text{roots}}(T_{1})&=\{0\},&{\text{roots}}(U_{1})&=\{0\},&{\text{extrema}}(T_{2})&=\{-1,0,+1\},\\{\text{roots}}(T_{2})&=\{-1/{\sqrt {2}},+1/{\sqrt {2}}\},&{\text{roots}}(U_{2})&=\{-1/2,+1/2\},&{\text{extrema}}(T_{3})&=\{-1,-1/2,+1/2,+1\}\\\end{aligned}}}$$

بينما يتم فرز هذه المجموعات حسب القيم التصاعدية، فإن الصيغ المحددة المذكورة أعلاه تولد عقد تشيبيشيف بترتيب عكسي من الأكبر إلى الأصغر.

تُعدّ عقد تشيبيشيف مهمة في نظرية التقريب لأنها تُشكّل مجموعة عقد جيدة بشكل خاص للاستيفاء متعدد الحدود . بالنظر إلى دالة f على الفترة${\displaystyle [-1,+1]}$و${\displaystyle n}$نقاط${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},}$في تلك الفترة، تكون كثيرة الحدود الاستيفائية هي تلك الكثيرة الحدود الفريدة.${\displaystyle P_{n-1}}$درجة علمية على الأكثر${\displaystyle n-1}$والتي لها قيمة${\displaystyle f(x_{i})}$عند كل نقطة${\displaystyle x_{i}}$خطأ الاستيفاء عند${\displaystyle x}$يكون $${\displaystyle f(x)-P_{n-1}(x)={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})}$$ بالنسبة للبعض${\displaystyle \xi }$(بحسب x ) في الفترة [ −1، 1 ] . ^{[ 6 ]} لذا فمن المنطقي محاولة تقليلها $${\displaystyle \max _{x\in [-1,1]}{\biggl |}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i}){\biggr |}.}$$

هذا الناتج عبارة عن متعددة حدود أحادية من الدرجة n . يمكن إثبات أن القيمة المطلقة القصوى (المعيار الأقصى) لأي متعددة حدود من هذا النوع محدودة من الأسفل بالقيمة 2 / ^{(1 - n ) .} يتحقق هذا الحد بواسطة متعددات حدود تشيبيشيف المُقاسة Tn _، وهي أيضًا أحادية. (تذكر أن | Tn ( x )| ≤ 1 لـ x ∈ [-1, 1] . ^{[ 7 ]} _{) لذلك، عندما تكون} نقاط الاستيفاء xᵢ هي جذور Tn _{، فإن} الخطأ يحقق $${\displaystyle \left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\max _{\xi \in [-1,1]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.}$$ بالنسبة لأي فترة [ أ ، ب ]، يُظهر تغيير المتغير أن $${\displaystyle \left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{n}\max _{\xi \in [a,b]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.}$$

بعض تطبيقات عقد الاستيفاء، مثل تصميم مرشحات تشيبيشيف السلبية متساوية الإنهاء ، لا يمكنها استخدام عقد تشيبيشيف ذات الرتبة الزوجية مباشرة بسبب عدم وجود جذر عند 0. بدلاً من ذلك، يمكن تحريك عقد تشيبيشيف نحو الصفر، مع وجود جذر مزدوج عند الصفر مباشرة، باستخدام تحويل: ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle {\tilde {x}}_{k}=\operatorname {sgn} (x_{k}){\sqrt {\frac {x_{k}^{2}-x_{n/2}^{2}}{1-x_{n/2}^{2}}}}}$$

على سبيل المثال، عقد تشيبيشيف من النوع الأول من الرتبة 4 هي${\displaystyle {0.9239,0.3827,-0.3827,-0.9239}}$، مع${\displaystyle x_{n/2}=0.382683}$يؤدي تطبيق التحويل إلى ظهور عقد جديدة${\displaystyle {0.910180,0,0,-0.910180}}$تتضمن العقد المعدلة ذات الرتبة الزوجية الآن الصفر مرتين.

• تشيبفون
• تربيع تشيبيشيف-غاوس
• ليبيغ كونستانت

• بيردن، ريتشارد ل.؛ فيرز، ج. دوغلاس: التحليل العددي ، الطبعة الثامنة، الصفحات 503-512، رقم ISBN 0-534-39200-8.