البعد المعقد

في الرياضيات ، يشير البعد المركب عادةً إلى بُعد متعدد الشعب المركب أو متعدد الشعب الجبري المركب . ^{[ 1 ]} هذه فضاءات تُنمذج فيها الجوارات المحلية للنقاط (أو النقاط غير الشاذة في حالة متعدد الشعب) على أساس حاصل ضرب ديكارتي من الشكل التالي:${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle d}$والبعد المركب هو الأس${\displaystyle d}$في هذا المنتج. لأن${\displaystyle \mathbb {C} }$ويمكن بدوره أن يتم نمذجته بواسطة${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$، مساحة ذات أبعاد معقدة${\displaystyle d}$سيكون له بُعد حقيقي${\displaystyle 2d}$^{[ 2 ]} أي، فضاء متعدد الشعب أملس ذو بُعد مركب${\displaystyle d}$له أبعاد حقيقية${\displaystyle 2d}$؛ ومجموعة متنوعة جبرية معقدة ذات بُعد معقد${\displaystyle d}$بعيدًا عن أي نقطة مفردة ، سيكون أيضًا متعدد الشعب أملسًا ذو بُعد حقيقي${\displaystyle 2d}$.

مع ذلك، بالنسبة لمتنوعة جبرية حقيقية (أي متنوعة مُعرَّفة بمعادلات ذات معاملات حقيقية)، يُشير بُعدها عادةً إلى بُعدها المركب، بينما يُشير بُعدها الحقيقي إلى أكبر بُعد من أبعاد المتشعبات المُحتواة في مجموعة نقاطها الحقيقية. لا يتجاوز البُعد الحقيقي البُعد المركب، ويساويه إذا كانت المتنوعة غير قابلة للاختزال ولها نقاط حقيقية غير شاذة . على سبيل المثال، المعادلة${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$يُعرّف هذا النوع من الفضاء متعدد الأبعاد (المركب) 2 (سطح)، ولكنه متعدد الأبعاد الحقيقية 0 - إذ يحتوي على نقطة حقيقية واحدة فقط، (0، 0، 0)، وهي نقطة شاذة. ^{[ 3 ]}

تنطبق الاعتبارات نفسها على البُعد المشترك . فعلى سبيل المثال، يكون السطح الفائق المركب الأملس في الفضاء الإسقاطي المركب ذي البُعد n متعدد الشعب ذي البُعد 2( n -1). ولا يفصل المستوى الفائق المركب الفضاء الإسقاطي المركب إلى مُكوّنين، لأنه ذو بُعد مشترك حقيقي يساوي 2.