موتر أينشتاين

في الهندسة التفاضلية ، يُستخدم موتر أينشتاين (نسبةً إلى ألبرت أينشتاين ؛ ويُعرف أيضًا باسم موتر ريتشي المعكوس الأثر ) للتعبير عن انحناء مشعب ريماني زائف . وفي النسبية العامة ، يظهر في معادلات أينشتاين للمجال في الجاذبية ، والتي تصف انحناء الزمكان بطريقة تتوافق مع حفظ الطاقة والزخم.

موتر أينشتاين${\displaystyle {\boldsymbol {G}}}$هو موتر من الرتبة 2 مُعرَّف على مشعبات شبه ريمانية . في الترميز الخالي من المؤشرات، يُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle {\boldsymbol {G}}={\boldsymbol {R}}-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {g}}R,}$$ أين${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$هو موتر ريتشي ،${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$هو موتر القياس و${\displaystyle R}$يمثل الانحناء القياسي ، والذي يتم حسابه كأثر لموتر ريتشي.${\displaystyle R_{\mu \nu }}$بواسطة​${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$. في صيغة المكونات، تُقرأ المعادلة السابقة على النحو التالي $${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.}$$

موتر أينشتاين متناظر $${\displaystyle G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }}$$ ومثل موتر الإجهاد والطاقة على الغلاف ، فإن تباعده يساوي صفرًا : $${\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0\,.}$$

يعتمد موتر ريتشي فقط على موتر القياس، لذا يمكن تعريف موتر أينشتاين مباشرةً باستخدام موتر القياس فقط. مع ذلك، فإن هذا التعبير معقد ونادرًا ما يُذكر في الكتب الدراسية. يمكن توضيح تعقيد هذا التعبير باستخدام صيغة موتر ريتشي بدلالة رموز كريستوفيل . $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta}&=R_{\alpha \beta} - {\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta}R\\&=R_{\alpha \beta}-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta}R_{\gamma \zeta }\\&=\left(\delta _{\alpha}^{\gamma}\delta _{\beta}^{\zeta} - {\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta}g^{\gamma \zeta}\right)R_{\gamma \zeta}\\&=\left(\delta _{\alpha }^{\gamma) }\دلتا _{\بيتا}^{\زيتا }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)\left(\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \zeta ,\epsilon }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \epsilon ,\zeta }+\Gamma ^{\epsilon }{}_{\epsilon \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\gamma \zeta }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\zeta \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\epsilon \gamma }\right),\\[2pt]G^{\alpha \beta }&=\left(g^{\alpha \gamma }g^{\beta \zeta }-{\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)\left(\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \zeta ,\epsilon }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \epsilon ,\zeta }+\Gamma ^{\epsilon }{}_{\epsilon \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\gamma \zeta }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\zeta \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\epsilon \gamma }\right),\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }}$هو موتر كرونكر ورمز كريستوفيل${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }_{\beta \gamma }}$يُعرَّف بأنه $${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \epsilon }\left(g_{\beta \epsilon ,\gamma }+g_{\gamma \epsilon ,\beta }-g_{\beta \gamma ,\epsilon }\right).}$$ وشروط النموذج${\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma ,\mu }^{\alpha }}$أو${\displaystyle g_{\beta \gamma ,\mu }}$تمثل المشتقات الجزئية في اتجاه μ ، على سبيل المثال: $${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma ,\mu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\Gamma ^{\alpha }_{\beta \gamma }}$$

قبل عمليات الإلغاء، ينتج عن هذه الصيغة ما يلي:${\displaystyle 2\times (6+6+9+9)=60}$الشروط الفردية. تؤدي عمليات الإلغاء إلى انخفاض هذا الرقم إلى حد ما.

في الحالة الخاصة لإطار مرجعي قصوري محلي بالقرب من نقطة ما، تتلاشى المشتقات الأولى لموتر القياس، ويتبسط شكل مكون موتر أينشتاين بشكل كبير: $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=g^{\gamma \mu }\left[g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\epsilon \sigma }\left(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }\right)\right]\\&=g^{\gamma \mu }\left(\delta _{\alpha }^{\epsilon }\delta _{\beta }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g^{\epsilon \sigma }g_{\alpha \beta }\right)\left(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }\right),\end{aligned}}}$$ حيث تشير الأقواس المربعة عادةً إلى التناظر العكسي على المؤشرات الموجودة بين قوسين، أي $${\displaystyle g_{\alpha [\beta ,\gamma ]\epsilon }\,={\frac {1}{2}}\left(g_{\alpha \beta ,\gamma \epsilon }-g_{\alpha \gamma ,\beta \epsilon }\right).}$$

يمكن حساب أثر موتر أينشتاين عن طريق تقليص المعادلة الواردة في التعريف مع موتر القياس .${\displaystyle g^{\mu \nu }}$في​${\displaystyle n}$أبعاد (التوقيع العشوائي): $${\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }&=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }R\\G&=R-{1 \over 2}(nR)={{2-n} \over 2}R\end{aligned}}}$$

لذلك، في الحالة الخاصة لـ${\displaystyle n=4}$الأبعاد ،​${\displaystyle G=-R}$أي أن أثر موتر أينشتاين هو معكوس أثر موتر ريتشي . ولذلك، يُعرف موتر أينشتاين أيضاً باسم موتر ريتشي ذي الأثر المعكوس .${\displaystyle n=4}$تُعد هذه الحالة ذات أهمية خاصة في نظرية النسبية العامة .

يسمح موتر أينشتاين بكتابة معادلات مجال أينشتاين في شكل موجز:$${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },}$$ أين${\displaystyle \Lambda }$هو الثابت الكوني و${\displaystyle \kappa }$هو ثابت الجاذبية لأينشتاين .

انطلاقًا من الصيغة الصريحة لموتر أينشتاين ، نجد أنه دالة غير خطية لموتر القياس، ولكنه خطي في المشتقات الجزئية الثانية لموتر القياس. وباعتباره موترًا متناظرًا من الرتبة الثانية، فإن لموتر أينشتاين عشرة مركبات مستقلة في فضاء رباعي الأبعاد. وبناءً على ذلك، فإن معادلات مجال أينشتاين هي مجموعة من عشر معادلات تفاضلية جزئية شبه خطية من الرتبة الثانية لموتر القياس.

يمكن أيضًا التعبير بسهولة عن متطابقات بيانكي المختصرة بمساعدة موتر أينشتاين: $${\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0.}$$

تضمن متطابقات بيانكي (المختصرة) تلقائيًا الحفاظ على التباين المشترك لموتر الإجهاد والطاقة في الزمكانات المنحنية: $${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0.}$$

تتجلى الأهمية الفيزيائية لموتر أينشتاين من خلال هذه المتطابقة. من حيث موتر الإجهاد المكثف المنكمش على متجه كيلينغ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$⁠ ، ينص قانون الحفظ العادي على ما يلي: $${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\ T^{\mu }{}_{\nu }\xi ^{\nu }\right)=0.}$$

أظهر ديفيد لوفلوك أنه في مشعب تفاضلي رباعي الأبعاد، يكون موتر أينشتاين هو الدالة الموترية الوحيدة الخالية من التباعد لـ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ومشتقاتها الجزئية الأولى والثانية على الأكثر. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

ومع ذلك، فإن معادلة أينشتاين للمجال ليست المعادلة الوحيدة التي تحقق الشروط الثلاثة: ^{[ 6 ]}

1. تشبه معادلة نيوتن-بواسون للجاذبية ولكنها تعممها
2. ينطبق على جميع أنظمة الإحداثيات، و
3. ضمان الحفاظ المحلي المتغير على الطاقة والزخم لأي موتر متري.

تم اقتراح العديد من النظريات البديلة، مثل نظرية أينشتاين-كارتان ، التي تفي أيضاً بالشروط المذكورة أعلاه.

• هويات بيانكي المتعاقدة
• نظرية فيرميل
• رياضيات النسبية العامة
• موارد النسبية العامة

• أوهانيان، هانز سي؛ ريمو روفيني (1994). الجاذبية والزمكان (  الطبعة الثانية). دبليو دبليو نورتون وشركاه . ISBN 978-0-393-96501-8.
• مارتن، جون ليجات (1995). النسبية العامة: مدخل تمهيدي للفيزيائيين . سلسلة برنتيس هول الدولية في الفيزياء والفيزياء التطبيقية (  طبعة منقحة). برنتيس هول . ISBN 978-0-13-291196-2.