رياضيات النسبية العامة

عند دراسة وصياغة نظرية النسبية العامة لألبرت أينشتاين ، تُستخدم بنى وتقنيات رياضية متنوعة . وتتمثل الأدوات الرئيسية المستخدمة في هذه النظرية الهندسية للجاذبية في حقول الموترات المعرفة على مشعب لورنتزي يمثل الزمكان . هذه المقالة وصف عام لرياضيات النسبية العامة.

ملاحظة: ستستخدم مقالات النسبية العامة التي تستخدم الموترات تدوين الفهرس المجرد .

كان مبدأ التغاير العام أحد المبادئ الأساسية في تطوير النسبية العامة. وينص على أن قوانين الفيزياء يجب أن تتخذ الشكل الرياضي نفسه في جميع الأطر المرجعية . وقد استُخدم مصطلح "التغاير العام" في الصياغة المبكرة للنسبية العامة، ولكن يُشار إلى هذا المبدأ الآن غالبًا باسم " تغاير التشاكل ".

لا يُعدّ تباين التشاكل التفاضلي السمةَ المميزة للنسبية العامة، ^{[ أ ]} ولا تزال هناك خلافاتٌ حول وضعه الحالي فيها. مع ذلك، فإن خاصية الثبات للقوانين الفيزيائية التي ينطوي عليها هذا المبدأ، إلى جانب كون النظرية ذات طابع هندسي جوهري (باستخدامها هندسات غير إقليدية )، قد أوحت بضرورة صياغة النسبية العامة باستخدام لغة الموترات . وسنتناول هذا بمزيد من التفصيل لاحقًا.

تبدأ معظم المناهج الحديثة للنسبية العامة الرياضية بمفهوم المتشعب . وبشكل أدق، يُنمذج البناء الفيزيائي الأساسي الذي يمثل الجاذبية - وهو الزمكان المنحني - بواسطة متشعب لورنتزي رباعي الأبعاد، أملس، متصل . أما المؤشرات الفيزيائية الأخرى فتُمثل بواسطة موترات مختلفة، سيتم تناولها لاحقًا.

يكمن الأساس المنطقي لاختيار متعدد الشعب كبنية رياضية أساسية في عكس الخصائص الفيزيائية المرغوبة. فعلى سبيل المثال، في نظرية متعددات الشعب، تُحتوى كل نقطة في مخطط إحداثيات (ليس فريدًا بأي حال من الأحوال) ، ويمكن اعتبار هذا المخطط بمثابة تمثيل "الزمكان المحلي" حول الراصد (المُمثَّل بالنقطة). ويُعزز مبدأ التغاير اللورنتزي المحلي ، الذي ينص على أن قوانين النسبية الخاصة تنطبق محليًا حول كل نقطة من الزمكان، اختيار بنية متعدد الشعب لتمثيل الزمكان، حيث أن المنطقة المحيطة بنقطة على متعدد شعب عام "تبدو" أو تُقارب فضاء مينكوفسكي (الزمكان المسطح) بشكل كبير.

إن فكرة استخدام خرائط الإحداثيات كـ"مراقبين محليين قادرين على إجراء القياسات في محيطهم" منطقية من الناحية الفيزيائية، إذ إنها الطريقة التي تُجمع بها البيانات الفيزيائية فعلياً - محلياً. وفي المسائل الكونية، قد تكون خريطة الإحداثيات كبيرة الحجم.

كان من أهم نتائج نظرية النسبية إلغاء مفهوم الأطر المرجعية المُفضّلة . فوصف الظواهر الفيزيائية لا ينبغي أن يعتمد على من يقوم بالقياس ، إذ يجب أن يكون أي إطار مرجعي صالحًا كغيره. وقد أثبتت النسبية الخاصة أنه لا يوجد إطار مرجعي قصوري مُفضّل على غيره من الأطر المرجعية القصورية، بل تُفضّل الأطر المرجعية القصورية على الأطر المرجعية غير القصورية. أما النسبية العامة فقد ألغت تفضيل الأطر المرجعية القصورية، مُبيّنةً أنه لا يوجد إطار مرجعي مُفضّل (قصوري أو غير قصوري) لوصف الطبيعة.

يمكن لأي مراقب إجراء القياسات، وتعتمد القيم العددية الدقيقة المُستحصلة فقط على نظام الإحداثيات المُستخدم. وقد أوحى هذا بإمكانية صياغة النسبية باستخدام "البنى الثابتة"، أي تلك التي لا تعتمد على نظام الإحداثيات (الذي يُمثله المراقب)، ومع ذلك فهي تتمتع بوجود مستقل. ويبدو أن البنية الرياضية الأنسب هي الموتر. فعلى سبيل المثال، عند قياس المجالين الكهربائي والمغناطيسي الناتجين عن شحنة متسارعة، ستعتمد قيم المجالين على نظام الإحداثيات المُستخدم، ولكن يُنظر إلى المجالين على أنهما يتمتعان بوجود مستقل، ويُمثل هذا الاستقلال بالموتر الكهرومغناطيسي .

الموترات هي مؤثرات خطية معممة - خرائط متعددة الخطية . وعلى هذا النحو، يتم استخدام أفكار الجبر الخطي لدراسة الموترات.

في كل نقطة${\displaystyle p}$عند نقطة معينة في فضاء متعدد الشعب ، يمكن إنشاء الفضاءين المماسي والمماسي المشترك لهذا الفضاء. تُعرَّف المتجهات (التي يُشار إليها أحيانًا بالمتجهات المتغايرة ) بأنها عناصر من الفضاء المماسي، بينما تُعرَّف المتجهات المرافقة (التي تُسمى أحيانًا بالمتجهات المتغايرة ، ولكنها تُعرف بشكل أكثر شيوعًا بالمتجهات الثنائية أو الأشكال التفاضلية الأحادية ) بأنها عناصر من الفضاء المماسي المشترك.

في${\displaystyle p}$يمكن استخدام هذين الفضاءين المتجهيين لإنشاء النوع${\displaystyle (r,s)}$الموترات، وهي عبارة عن دوال متعددة الخطية ذات قيم حقيقية تعمل على المجموع المباشر لـ${\displaystyle r}$نسخ من فضاء الظل التمام مع${\displaystyle s}$نسخ من الفضاء المماسي. تشكل مجموعة جميع هذه الخرائط متعددة الخطية فضاءً متجهيًا، يُسمى فضاء الضرب الموتري من النوع${\displaystyle (r,s)}$في${\displaystyle p}$ويرمز إليه بـ${\displaystyle (T_{p})_{s}^{r}M.}$إذا كان الفضاء المماسي ذا أبعاد n، فيمكن إثبات أن${\displaystyle \dim(T_{p})_{s}^{r}M=n^{r+s}.}$

في أدبيات النسبية العامة ، من المتعارف عليه استخدام صيغة المكونات للموترات.

نوع${\displaystyle (r,s)}$يمكن كتابة الموتر على النحو التالي

$${\displaystyle T={T^{a_{1}\dots a_{r}}}_{{b_{1}}\dots {b_{s}}}{\frac {\partial }{\partial x^{a_{1}}}}\otimes \dots \otimes {\frac {\partial }{\partial x^{a_{r}}}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \dots \otimes dx^{b_{s}}}$$ أين${\textstyle {\frac {\partial }{\partial x^{a_{i}}}}}$وهي أساس للفضاء المماسي رقم i و${\displaystyle dx^{b_{j}}}$أساس للفضاء المماسي التمام من الرتبة j .

بما أن الزمكان يُفترض أنه رباعي الأبعاد، فإن كل فهرس على الموتر يمكن أن يأخذ إحدى أربع قيم. وبالتالي، فإن العدد الإجمالي للعناصر التي يمتلكها الموتر يساوي 4R ^، حيث R هو عدد العناصر المتغيرة.${\displaystyle (b_{i})}$والمتغير المعاكس${\displaystyle (a_{i})}$المؤشرات على الموتر،${\displaystyle r+s}$(رقم يسمى رتبة الموتر).

حقول الموترات على متعدد الشعب هي دوال تربط موترًا بكل نقطة من نقاط متعدد الشعب . ويمكن توضيح هذا المفهوم بشكل أدق من خلال تقديم فكرة حزمة الألياف ، والتي تعني في هذا السياق تجميع جميع الموترات عند جميع نقاط متعدد الشعب، وبالتالي "تجميعها" في كيان واحد كبير يُسمى حزمة الموترات . ويُعرَّف حقل الموترات حينها بأنه دالة من متعدد الشعب إلى حزمة الموترات، حيث تمثل كل نقطة${\displaystyle p}$الارتباط بموتر عند${\displaystyle p}$.

يُعدّ مفهوم حقل الموتر ذا أهمية بالغة في النسبية العامة. فعلى سبيل المثال، تُوصف الهندسة المحيطة بنجم ما بواسطة موتر متري عند كل نقطة، لذا يجب تحديد قيمة الموتر عند كل نقطة من الزمكان لحساب مسارات الجسيمات المادية. مثال آخر هو قيم المجالين الكهربائي والمغناطيسي (المُعطاة بواسطة موتر المجال الكهرومغناطيسي ) والموتر عند كل نقطة حول ثقب أسود مشحون لتحديد حركة جسيم مشحون في مثل هذا المجال.

الحقول المتجهة هي حقول موترية متغايرة من الرتبة الأولى. ومن الحقول المتجهة المهمة في النسبية حقل السرعة الرباعية .${\displaystyle U^{a}={\dot {x}}^{a}}$، وهو المسافة الإحداثية المقطوعة لكل وحدة زمنية خاصة، التسارع الرباعي${\displaystyle A^{a}={\ddot {x}}^{a}}$والتيارات الأربعة${\displaystyle J^{a}}$تصف كثافة الشحنة والتيار. ومن بين حقول الموترات الأخرى ذات الأهمية الفيزيائية في النسبية ما يلي:

• موتر الإجهاد والطاقة${\displaystyle T^{ab}}$، وهو موتر متناظر من الرتبة الثانية.
• موتر المجال الكهرومغناطيسي${\displaystyle F^{ab}}$، وهو موتر مضاد للتناظر من الرتبة الثانية.

على الرغم من أن كلمة "tensor" تشير إلى كائن عند نقطة ما، إلا أنه من الممارسات الشائعة الإشارة إلى حقول الموترات في الزمكان (أو منطقة منه) على أنها مجرد "موترات".

عند كل نقطة من الزمكان التي يتم تعريف مقياس عليها، يمكن اختزال المقياس إلى شكل مينكوفسكي باستخدام قانون سيلفستر للقصور الذاتي .

قبل ظهور النسبية العامة، كانت التغيرات في العمليات الفيزيائية تُوصف عمومًا بالمشتقات الجزئية ، كما هو الحال في وصف التغيرات في المجالات الكهرومغناطيسية (انظر معادلات ماكسويل ). وحتى في النسبية الخاصة ، لا تزال المشتقة الجزئية كافية لوصف هذه التغيرات. مع ذلك، في النسبية العامة، وُجد أنه يجب استخدام مشتقات هي أيضًا موترات. تشترك هذه المشتقات في بعض الخصائص، منها أنها مشتقات على طول منحنيات تكاملية لحقول متجهة.

تكمن المشكلة في تعريف المشتقات على المشعبات غير المستوية في عدم وجود طريقة طبيعية لمقارنة المتجهات عند نقاط مختلفة. لذا، يتطلب تعريف المشتقات بنية إضافية على المشعب العام. فيما يلي وصف لمشتقين مهمين يمكن تعريفهما بفرض بنية إضافية على المشعب في كل حالة.

من السمات الأساسية للنسبية العامة مفهوم الفضاء المنحني. ومن الطرق المفيدة لقياس انحناء الفضاء المنحني استخدام موتر ريمان (الانحناء).

يقيس هذا الموتر الانحناء باستخدام اتصال تآلفي، وذلك بدراسة تأثير نقل متجه بالتوازي بين نقطتين على طول منحنيين. ويُحدد موتر ريمان بشكل أساسي الفرق بين نتائج مساري النقل المتوازيين هذين .

يمكن استخدام هذه الخاصية لموتر ريمان لوصف كيفية تباعد الخطوط الجيوديسية المتوازية في البداية. ويُعبَّر عن ذلك بمعادلة الانحراف الجيوديسي ، مما يعني أن قوى المد والجزر التي يتعرض لها مجال الجاذبية هي نتيجة لانحناء الزمكان .

باستخدام الإجراء المذكور أعلاه، يُعرَّف موتر ريمان كموتر من النوع (1، 3) ، وعند كتابته بالكامل، فإنه يحتوي صراحةً على رموز كريستوفيل ومشتقاتها الجزئية الأولى. يتكون موتر ريمان من 20 مُركِّبًا مستقلًا. يشير تلاشي جميع هذه المُركِّبات في منطقة ما إلى أن الزمكان مُسطَّح في تلك المنطقة. من منظور انحراف الجيوديسية، يعني هذا أن الجيوديسيات المتوازية في البداية في تلك المنطقة من الزمكان ستبقى متوازية.

يتمتع موتر ريمان بعدد من الخصائص التي يُشار إليها أحيانًا بتناظرات موتر ريمان . ومن أهمها في النسبية العامة متطابقات بيانكي الجبرية والتفاضلية.

إن الاتصال والانحناء لأي مشعب ريماني يرتبطان ارتباطًا وثيقًا، ونظرية مجموعات الهولوونومي ، التي تتشكل عن طريق أخذ الخرائط الخطية المحددة بالنقل المتوازي حول المنحنيات على المشعب، توفر وصفًا لهذه العلاقة.

يُمكّننا موتر ريمان من تحديد ما إذا كان الفضاء مسطحًا، أو إذا كان منحنيًا، فما مقدار الانحناء الحاصل في أي منطقة معينة. ولاشتقاق موتر انحناء ريمان، يجب علينا أولًا استذكار تعريف المشتقة المتغيرة لموتر ذي مؤشر واحد ومؤشرين.

1. $${\displaystyle \nabla _{\mu }V_{\nu }=\partial _{\mu }V_{\nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }V_{\rho }}$$
2. $${\displaystyle \nabla _{\sigma }[V_{\mu \nu }]=\partial _{\sigma }V_{\mu \nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }V_{\rho \nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }V_{\mu \rho }}$$

لتكوين موتر ريمان، يتم حساب المشتقة المتغيرة مرتين بالنسبة لموتر من الرتبة الأولى. وتُصاغ المعادلة على النحو التالي؛ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\sigma$$ ;\mu }V_{\nu }&=\nabla _{\sigma [\nabla _{\mu }V_{\nu }]\\&=\جزئي _{\sigma [\nabla _{\mu }V_{\nu }]-\Gamma ^{\rho }_{\mu \sigma }[\nabla _{\rho }V_{\nu }]-\Gamma ^{\rho {}_{\nu \sigma [\nabla _{\mu }V_{\rho }]\\&=\partial _{\sigma [\partial _{\mu }V_{\nu }-\Gamma ^{\alpha }_{\nu \mu }V_{\alpha }]-\Gamma ^{\rho {}_ {\مو \سيجما }[\جزئي _ {\rho }V_{\nu} -\Gamma ^{\alpha }_{\nu \rho }V_{\alpha }]-\Gamma ^{\rho }_{\nu \sigma [\partial _{\mu }V_{\rho }-\Gamma ^{\alpha }_{\rho \mu }V_{\alpha }]\\&=\جزئي _{\سيجما}\جزئي _{\mu}V_{\nu} -\جزئي _{\سيجما }(\Gamma ^{\alpha {}_{\nu \mu }V_{\alpha })-\Gamma ^{\rho }_{\mu \sigma }\جزئي _ {\rho }V_{\nu }+\Gamma ^ {\ رو } _ {\ مو \sigma }\Gamma ^{\alpha {}_{\nu \rho}V_{\alpha} -\Gamma ^{\rho }_{\nu \sigma }\جزئي _{\mu }V_{\rho }+\Gamma ^{\rho }_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }_{\rho \mu }V_ {\alpha}\\&=\جزئي _{\sigma}\جزئي _{\mu}V_{\nu} -\جزئي _{\sigma}(\Gamma ^{\alpha {}_{\nu \mu })V_{\alpha }-\Gamma ^{\alpha }_{\nu \mu }\جزئي _{\sigma }(V_{\alpha })-\جاما ^ {\ rho } _ {\ mu \ sigma } \ جزئي _ {\ rho } V_ {\ nu } + \ Gamma ^ {\ rho } _ {\ mu \ sigma } \ Gamma ^ {\ alpha } _ {\ nu \ rho } V_ {\ alpha } - \ Gamma ^ {\ rho } _ {\ nu \ sigma } \ جزئي _ {\ mu }V_ {\rho}+\Gamma ^{\rho }_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }_{\rho \mu}V_{\alpha }\end{محاذاة}}}

وبالمثل لدينا: $${\displaystyle \nabla _{\mu$$ ;\sigma } V_ {\nu }=\partial _ {\mu }\partial _ {\sigma }V_ {\nu } -\partial _ {\mu }(\Gamma ^{\alpha {}_{\nu \sigma })V_{\alpha } -\Gamma ^{\alpha }_ {\nu \sigma }\partial _{\mu }(V_ {\alpha })-\Gamma ^{\rho }_{\sigma \mu }\partial _{\rho }V_ {\nu }+\Gamma ^{\rho }_{\sigma \mu}\Gamma ^{\alpha }_{\nu \rho }V_{\alpha }-\Gamma ^{\rho }_{\nu \مو }\جزئي _ {\ سيجما} V_ {\ rho} +\ Gamma ^ {\ rho } _ {\ nu \mu }\Gamma ^ {\alpha {}_ {\rho \sigma} V_ {\alpha }}

بطرح المعادلتين، وتبديل المؤشرات الوهمية، واستخدام تناظر رموز كريستوفيل، نحصل على: $${\displaystyle \nabla _{\sigma$$ ;\mu } V_ {\nu } -\nabla _ {\mu  ;\sigma }V_ {\nu }=(\partial _ {\mu }\Gamma ^{\alpha {}_{\nu \sigma } -\partial _{\sigma }\Gamma ^{\alpha }_{\nu \mu }+\Gamma ^{\rho }_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha {}_{\rho \mu} -\Gamma ^{\rho }_{\nu \mu}\Gamma ^{\alpha {}_{\rho \sigma })V_{\alpha }} أو $${\displaystyle R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }V_{\alpha }=(\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }b-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma })V_{\alpha }}$$

وأخيرًا، يُكتب موتر انحناء ريمان على النحو التالي$${\displaystyle R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma }}$$

يمكن تقليص المؤشرات لجعل الموتر متغايرًا. ويتم ذلك عن طريق الضرب بالمقياس، وهو أمر مفيد عند العمل مع معادلات أينشتاين للمجال . $${\displaystyle g_{\alpha \lambda }R_{\nu \mu \sigma }^{\lambda }=R_{\alpha \nu \mu \sigma }}$$ وبمزيد من التحلل، $${\displaystyle g^{\alpha \mu }R_{\alpha \nu \mu \sigma }=R_{\nu \sigma }}$$

يُطلق على هذا الموتر اسم موتر ريتشي، والذي يمكن اشتقاقه أيضًا عن طريق وضع${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \mu }$في موتر ريمان، نأخذ نفس المؤشر ونجمعها. ثم يمكن إيجاد قيمة الانحناء القياسية بالانتقال خطوة أخرى. $${\displaystyle g^{\nu \sigma }R_{\nu \sigma }=R}$$

إذن لدينا الآن 3 أشياء مختلفة،

1. موتر انحناء ريمان :${\displaystyle R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }}$أو${\displaystyle R_{\alpha \nu \mu \sigma }}$
2. موتر ريتشي :${\displaystyle R_{\nu \sigma }}$
3. الانحناء القياسي :${\displaystyle R}$

وكلها مفيدة في حساب حلول معادلات أينشتاين للمجال.

تُمثَّل مصادر أي مجال جاذبي (المادة والطاقة) في النسبية بموتر متناظر من النوع (0، 2) يُسمى موتر الطاقة-الزخم . وهو يرتبط ارتباطًا وثيقًا بموتر ريتشي . وباعتباره موترًا من الرتبة الثانية في أربعة أبعاد، يمكن اعتبار موتر الطاقة-الزخم مصفوفة من الرتبة 4×4. ولا يمكن أن تظهر جميع أنواع المصفوفات المسموح بها، والتي تُسمى أشكال جوردان ، لأن شروط الطاقة التي يُجبر موتر الطاقة-الزخم على استيفائها تستبعد بعض الأشكال.

تُعدّ معادلات أينشتاين للمجال (EFE) جوهر نظرية النسبية العامة. تصف هذه المعادلات كيفية ارتباط الكتلة والطاقة (كما هو ممثل في موتر الإجهاد والطاقة ) بانحناء الزمكان (كما هو ممثل في موتر أينشتاين ). وباستخدام الترميز المجرد ، تُكتب معادلات أينشتاين للمجال على النحو التالي: $${\displaystyle G_{ab}+\Lambda g_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{ab}}$$ أين${\displaystyle G_{ab}}$هو موتر أينشتاين ،${\displaystyle \Lambda }$هو الثابت الكوني ،${\displaystyle g_{ab}}$هو موتر القياس ،${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء في الفراغ و${\displaystyle G}$هو ثابت الجاذبية ، والذي يأتي من قانون نيوتن للجاذبية الكونية .

حلول معادلات الطاقة والزخم هي موترات مترية. ونظرًا لكونها معادلات تفاضلية غير خطية للمترية، غالبًا ما يصعب حل هذه المعادلات. تُستخدم عدة استراتيجيات لحلها، منها البدء بفرضية ( أو تخمين مدروس) للمترية النهائية، ثم تحسينها حتى تصبح محددة بما يكفي لدعم نظام إحداثيات، وفي الوقت نفسه عامة بما يكفي لإنتاج مجموعة من المعادلات التفاضلية الآنية ذات المجاهيل التي يمكن حلها. تُسمى الموترات المترية الناتجة عن الحالات التي يمكن فيها حل المعادلات التفاضلية الناتجة بدقة لتوزيع معقول فيزيائيًا للطاقة والزخم بالحلول الدقيقة . ومن أمثلة الحلول الدقيقة المهمة حل شوارزشيلد وحل فريدمان -لوميتر-روبرتسون-ووكر .

تقريب EIH بالإضافة إلى مراجع أخرى (مثل جيروش وجانغ، 1975 - "حركة جسم في النسبية العامة"، JMP، المجلد 16، العدد 1). يمكن تغيير هذا إلى اقتباس فعلي؛ ويفضل أن يكون مضمنًا.

بعد حلّ المعادلات التفاضلية الجزئية للحصول على مقياس، يبقى تحديد حركة الأجسام العطالية في الزمكان. في النسبية العامة، يُفترض أن الحركة العطالية تحدث على طول مسارات جيوديسية زمنية وصفرية في الزمكان، مُعَلمة بالزمن الخاص . المسارات الجيوديسية هي منحنيات موازية لمتجهها المماس .${\displaystyle {\vec {U}}}$؛ أي،${\displaystyle \nabla _{\vec {U}}{\vec {U}}=0}$يمكن كتابة هذه الحالة، وهي معادلة الخط الجيوديسي ، بدلالة نظام إحداثيات .${\displaystyle x^{a}}$مع متجه المماس${\displaystyle U^{a}={\frac {dx^{a}}{d\tau }}}$: $${\displaystyle {\ddot {x}}^{a}+{\Gamma ^{a}}_{bc}\,{\dot {x}}^{b}\,{\dot {x}}^{c}=0}$$ أين${\displaystyle {\dot {}}}$يشير إلى المشتقة بالنسبة للزمن الخاص،${\displaystyle d/d\tau }$، مع τ التي تحدد الزمن الخاص على طول المنحنى وتوضح وجود رموز كريستوفيل .

تتمثل إحدى السمات الرئيسية للنسبية العامة في تحديد مسارات الجسيمات والإشعاع في الحقول الجاذبية. ويتم ذلك عن طريق حل المعادلات الجيوديسية .

تربط معادلات المجال الكهرومغناطيسي توزيع المادة (الطاقة) الكلي بانحناء الزمكان . وتؤدي لاخطيتها إلى صعوبة في تحديد الحركة الدقيقة للمادة في الزمكان الناتج. على سبيل المثال، في نظام يتكون من كوكب يدور حول نجم ، تُحدد حركة الكوكب بحل معادلات المجال، حيث يكون موتر الطاقة-الزخم هو مجموع موتر الطاقة-الزخم للكوكب والنجم . يؤثر مجال جاذبية الكوكب على هندسة الزمكان الكلية، وبالتالي على حركة الأجسام. لذلك، من المنطقي افتراض إمكانية استخدام معادلات المجال لاستنتاج معادلات الجيوديسية.

عندما يكون موتر الطاقة والزخم لنظام ما هو موتر الغبار ، يمكن إثبات ذلك باستخدام قانون الحفظ المحلي لموتر الطاقة والزخم، حيث يتم استيفاء معادلات الجيوديسية بدقة.

يعتبر العديد من الباحثين مسألة اشتقاق معادلات الحركة أو معادلات المجال في أي نظرية فيزيائية مسألةً جذابة. ومن الطرق الشائعة لإجراء هذه الاشتقاقات استخدام تقنيات حساب التفاضل والتكامل التغيري ، حيث تُعدّ الدوال اللاغرانجية العناصر الأساسية المستخدمة فيه .

يعتبر الكثيرون هذا النهج طريقة أنيقة لبناء نظرية، بينما يعتبره آخرون مجرد طريقة رسمية للتعبير عن نظرية (عادة ما يتم تنفيذ بناء لاغرانج بعد تطوير النظرية).

بعد أن حددنا الهياكل الرياضية الأساسية المستخدمة في صياغة النظرية، سيتم الآن مناقشة بعض التقنيات الرياضية المهمة التي يتم استخدامها في دراسة الزمكان.

• حساب ريتشي – ترميز مؤشر الموتر للحسابات القائمة على الموتر