حقل متجه القتل

إن حقل المتجهات على دائرة يشير عكس اتجاه عقارب الساعة وله نفس المقدار عند كل نقطة هو حقل متجهات كيلينج، لأن تحريك كل نقطة على الدائرة على طول حقل المتجهات هذا يؤدي ببساطة إلى تدوير الدائرة.

مثال بسيط لحقل متجه كيلينج موجود في النصف العلوي من المستوى المركب${\displaystyle M=\mathbb {R} _{y>0}^{2}}$مزود بنظام بوانكاريه المتري${\displaystyle g=y^{-2}\left(dx^{2}+dy^{2}\right)}$الزوج​${\displaystyle (M,g)}$يُطلق عليه عادةً اسم المستوى الزائدي وله حقل متجه كيلينج${\displaystyle \partial _{x}}$(باستخدام الإحداثيات القياسية). ينبغي أن يكون هذا واضحًا بشكل بديهي نظرًا لأن المشتقة المتغيرة${\displaystyle \nabla _{\partial _{x}}g}$ينقل موتر القياس على طول منحنى تكاملي يتم إنشاؤه بواسطة حقل المتجهات (الذي تكون صورته موازية للمحور السيني).

علاوة على ذلك، فإن موتر القياس مستقل عن${\displaystyle x}$ومن ذلك يمكننا أن نستنتج مباشرة أن${\displaystyle \partial _{x}}$هو حقل قتل يستخدم إحدى النتائج المذكورة أدناه في هذه المقالة.

مجموعة التماثل الهندسي لنموذج نصف المستوى العلوي (أو بالأحرى، المكون المتصل بوحدة التطابق) هي${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$(انظر نموذج بوانكاريه لنصف المستوى )، ويمكن اشتقاق حقلي كيلينغ الآخرين من خلال النظر في تأثير مولدات${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$في النصف العلوي من المستوى. أما المجالان الآخران المولدان لمجالات كيلينغ فهما التمدد${\displaystyle D=x\partial _{x}+y\partial _{y}}$والتحويل المطابق الخاص${\displaystyle K=(x^{2}-y^{2})\partial _{x}+2xy\partial _{y}}$⁠ .

حقول القتل في المجالين${\displaystyle S^{2}}$أو بشكل أعم${\displaystyle n}$-جسم كروي${\displaystyle S^{n}}$ينبغي أن يكون هذا واضحًا من الحدس العادي: يجب أن تمتلك الكرات، ذات التناظر الدوراني ، حقول كيلينغ التي تولد دورانات حول أي محور. أي أننا نتوقع${\displaystyle S^{2}}$أن يكون لها تناظر تحت تأثير مجموعة الدوران ثلاثية الأبعاد SO(3) . أي، باستخدام المعرفة المسبقة بأن الكرات يمكن تضمينها في الفضاء الإقليدي، يصبح من الممكن تخمين شكل حقول كيلينغ على الفور.

الرسم البياني التقليدي للكرة ثنائية الأبعاد المضمنة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$في الإحداثيات الديكارتية${\displaystyle (x,y,z)}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle x=\sin \theta \cos \phi ,\qquad y=\sin \theta \sin \phi ,\qquad z=\cos \theta }$

لهذا السبب.${\displaystyle \theta }$يُحدد الارتفاع، و${\displaystyle \phi }$معلمات الدوران حول${\displaystyle z}$-محور.

تراجع المقياس الديكارتي القياسي${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$يُعطي المقياس القياسي على الكرة،

${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}.}$

بشكل بديهي، يجب أن يكون الدوران حول أي محور دورانًا متساوي القياس. في هذا المخطط، يمثل حقل المتجهات الذي يُولّد الدورانات حول${\displaystyle z}$-محور:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \phi }}.}$

في هذه الإحداثيات، تكون جميع المكونات المترية مستقلة عن ⁠${\displaystyle \phi }$، مما يدل على أن${\displaystyle \partial _{\phi }}$إنها ساحة قتل.

حقل المتجهات

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}}$

ليست حقل قتل؛ الإحداثيات${\displaystyle \theta }$يظهر ذلك صراحةً في المقياس. التدفق الناتج عن${\displaystyle \partial _{\theta }}$يتحرك من الشمال إلى الجنوب؛ تتباعد النقاط عند القطب الشمالي، وتتقارب عند القطب الجنوبي. أي تحويل يُقرّب أو يُبعد النقاط لا يمكن أن يكون تحويلاً متساوي القياس؛ لذلك، لا يمكن أن يكون مُولّد هذه الحركة حقلاً قاتلاً.

المولد${\displaystyle \partial _{\phi }}$يُعرف بأنه دوران حول${\displaystyle z}$-محور

${\displaystyle Z=x\partial _{y}-y\partial _{x}=\sin ^{2}\theta \,\partial _{\phi }}$

مولد ثانٍ، للدوران حول${\displaystyle x}$المحور - هو

${\displaystyle X=y\partial _{z}-z\partial _{y}}$

المولد الثالث، للدوران حول${\displaystyle y}$المحور - هو

${\displaystyle Y=z\partial _{x}-x\partial _{z}}$

تُغلق الجبر المُعطى بواسطة التراكيب الخطية لهذه المولدات الثلاثة، ويخضع للعلاقات التالية

${\displaystyle [X,Y]=-Z\quad [Y,Z]=-X\quad [Z,X]=-Y.}$

هذا هو جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$⁠ .

التعبير${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$من حيث الإحداثيات الكروية يعطي ^{[ 7 ]}

${\displaystyle X=-\sin ^{2}\theta \,(\sin \phi \partial _{\theta }+\cot \theta \cos \phi \partial _{\phi })}$

و

${\displaystyle Y=\sin ^{2}\theta \,(\cos \phi \partial _{\theta }-\cot \theta \sin \phi \partial _{\phi })}$

That these three vector fields are actually Killing fields can be determined in two different ways. One is by explicit computation: just plug in explicit expressions for ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g}$ and chug to show that ⁠${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g={\mathcal {L}}_{Y}g={\mathcal {L}}_{Z}g=0}$⁠. This is a worth-while exercise. Alternately, one can recognize ${\displaystyle X,Y}$ and ${\displaystyle Z}$ are the generators of isometries in Euclidean space, and since the metric on the sphere is inherited from metric in Euclidean space, the isometries are inherited as well.

These three Killing fields form a complete set of generators for the algebra. They are not unique: any linear combination of these three fields is still a Killing field.

There are several subtle points to note about this example.

• The three fields are not globally non-zero; indeed, the field ${\displaystyle Z}$ vanishes at the north and south poles; likewise, ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ vanish at antipodes on the equator. One way to understand this is as a consequence of the "hairy ball theorem". This property, of bald spots, is a general property of symmetric spaces in the Cartan decomposition. At each point on the manifold, the algebra of the Killing fields splits naturally into two parts, one part which is tangent to the manifold, and another part which is vanishing (at the point where the decomposition is being made).
• The three fields ${\displaystyle X,Y}$ and ${\displaystyle Z}$ are not of unit length. One can normalize by dividing by the common factor of ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ appearing in all three expressions. However, in that case, the fields are no longer smooth: for example, ${\displaystyle \partial _{\phi }=X/\sin ^{2}\theta }$ is singular (non-differentiable) at the north and south poles.
• The three fields are not point-wise orthogonal; indeed, they cannot be, as, at any given point, the tangent-plane is two-dimensional, while there are three vectors. Given any point on the sphere, there is some non-trivial linear combination of ${\displaystyle X,Y}$ and ${\displaystyle Z}$ that vanishes: these three vectors are an over-complete basis for the two-dimensional tangent plane at that point.
• The a priori knowledge that spheres can be embedded into Euclidean space, and thus inherit a metric tensor from this embedding, leads to a confusing intuition about the correct number of Killing fields that one might expect. Without such an embedding, intuition might suggest that the number of linearly independent generators would be no greater than the dimension of the tangent bundle. After all, fixing any point on a manifold, one can only move in those directions that are tangent. The dimension of the tangent bundle for the 2-sphere is two, and yet three Killing fields are found. Again, this "surprise" is a generic property of symmetric spaces.

حقول كيلينغ في فضاء مينكوفسكي هي ثلاث عمليات إزاحة مكانية، وإزاحة زمنية، وثلاثة مولدات للدوران ( المجموعة الصغيرة )، وثلاثة مولدات للتعزيزات .

• ترجمات الزمان والمكان

  ${\displaystyle \partial _{t}~,\qquad \partial _{x}~,\qquad \partial _{y}~,\qquad \partial _{z}~;}$

• حقول متجهة تولد ثلاث دورات، وتسمى غالبًا مولدات J ،

  ${\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}~;}$

• حقول متجهة تولد ثلاث تعزيزات، مولدات K ،

  ${\displaystyle x\partial _{t}+t\partial _{x}~,\qquad y\partial _{t}+t\partial _{y}~,\qquad z\partial _{t}+t\partial _{z}.}$

تُنتج عمليات التعزيز والدوران مجموعة لورنتز . وبالتزامن مع عمليات الإزاحة في الزمكان، تُشكل هذه المجموعة جبر لي لمجموعة بوانكاريه .

هنا نستنتج حقول كيلينغ للفضاء المسطح العام. من معادلة كيلينغ ومتطابقة ريتشي للمتجه المرافق ⁠${\displaystyle K_{a}}$،​

${\displaystyle \nabla _{a}\nabla _{b}K_{c}-\nabla _{b}\nabla _{a}K_{c}=R^{d}{}_{cab}K_{d}}$

(باستخدام تدوين الفهرس المجرد ) حيث${\displaystyle R^{a}{}_{bcd}}$إذا كان هو موتر انحناء ريمان ، فيمكن إثبات المتطابقة التالية لحقل كيلينج${\displaystyle X^{a}}$:

${\displaystyle \nabla _{a}\nabla _{b}X_{c}=R^{d}{}_{acb}X_{d}.}$

عندما يكون مشعب القاعدة${\displaystyle M}$إذا كان الفضاء مسطحًا، أي الفضاء الإقليدي أو الفضاء شبه الإقليدي (كما هو الحال في فضاء مينكوفسكي)، فيمكننا اختيار إحداثيات مسطحة شاملة بحيث تتلاشى في هذه الإحداثيات وصلة ليفي-تشيفيتا، وبالتالي انحناء ريمان، في كل مكان، مما يعطي

${\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }X_{\rho }=0.}$

يُمكّننا تكامل معادلة كيلينغ وفرضها من كتابة الحل العام لـ${\displaystyle X_{\rho }}$مثل

${\displaystyle X^{\rho }=\omega ^{\rho \sigma }x_{\sigma }+c^{\rho }}$

أين${\displaystyle \omega ^{\mu \nu }=-\omega ^{\nu \mu }}$متناظر عكسيًا. بأخذ القيم المناسبة لـ${\displaystyle \omega ^{\mu \nu }}$و​${\displaystyle c^{\rho }}$، نحصل على أساس لجبر بوانكاريه المعمم للتماثلات في الفضاء المسطح:

${\displaystyle M_{\mu \nu }=x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu }}$

${\displaystyle P_{\rho }=\partial _{\rho }.}$

تُنتج هذه العمليات دورانات زائفة (دورانات وتعزيزات) وانتقالات على التوالي. وبشكل بديهي، تحافظ هذه العمليات على موتر القياس عند كل نقطة.

بالنسبة للفضاء (شبه) الإقليدي ذي البعد الكلي، يوجد إجمالاً${\displaystyle n(n+1)/2}$مولدات تجعل الفضاء المسطح متناظرًا إلى أقصى حد. هذا العدد عام للفضاءات المتناظرة إلى أقصى حد. يمكن اعتبار الفضاءات المتناظرة إلى أقصى حد بمثابة فضاءات فرعية من الفضاء المسطح، تنشأ كأسطح ذات مسافة ذاتية ثابتة.

${\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{p,q}:\eta (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=\pm {\frac {1}{\kappa ^{2}}}\}}$

والتي تتمتع بتناظر O( p , q )  . إذا كان للمتشعب الفرعي بُعد ⁠${\displaystyle n}$⁠ ، هذه المجموعة من التناظرات لها البعد المتوقع (كمجموعة لي ).

يمكننا، بطريقة استدلالية، استنتاج بُعد جبر حقل كيلينغ. بمعالجة معادلة كيلينغ${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}=0}$بالإضافة إلى الهوية${\displaystyle \nabla _{a}\nabla _{b}X_{d}=R^{c}{}_{bad}X_{c}}$كنظام من المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية لـ${\displaystyle X_{a}}$، يمكننا تحديد قيمة${\displaystyle X_{a}}$في أي نقطة بالنظر إلى البيانات الأولية عند نقطة ما${\displaystyle p}$تحدد البيانات الأولية${\displaystyle X_{a}(p)}$و​${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}(p)}$لكن معادلة كيلينغ تفرض أن المشتقة المتغيرة مضادة للتناظر. إجمالاً، هذا${\displaystyle n^{2}-n(n-1)/2=n(n+1)/2}$القيم المستقلة للبيانات الأولية.

للحصول على أمثلة ملموسة، انظر أدناه للحصول على أمثلة على الفضاء المسطح (فضاء مينكوفسكي) والفضاءات المتناظرة بشكل أقصى (الكرة، الفضاء الزائدي).

تُستخدم حقول كيلينغ لمناقشة التماثلات في النسبية العامة (حيث يُنظر إلى هندسة الزمكان ، المشوهة بفعل حقول الجاذبية ، على أنها فضاء شبه ريماني رباعي الأبعاد ). في حالة السكون، حيث لا يتغير شيء مع الزمن، يكون متجه الزمن متجه كيلينغ، وبالتالي يشير حقل كيلينغ إلى اتجاه الحركة الأمامية في الزمن. على سبيل المثال، يحتوي مقياس شوارزشيلد على أربعة حقول كيلينغ: موتر المقياس مستقل عن${\displaystyle t}$وبالتالي​${\displaystyle \partial _{t}}$هو حقل كيلينغ زمني. أما الحقول الثلاثة الأخرى فهي مولدات الدوران الثلاثة المذكورة سابقًا. يحتوي مقياس كير للثقب الأسود الدوار على حقلي كيلينغ فقط: الحقل الزمني، وحقل يولد دورانات حول محور دوران الثقب الأسود.

فضاء دي سيتر وفضاء دي سيتر المضاد هما فضاءان متناظران إلى أقصى حد، مع${\displaystyle n}$نسخ متعددة الأبعاد من كل منها تمتلك${\displaystyle \textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$حقول القتل.

إذا كانت معاملات موتر القياس${\displaystyle g_{\mu \nu }}$في أساس إحداثيات ما${\displaystyle dx^{a}}$مستقلة عن أحد الإحداثيات${\displaystyle x^{\kappa }}$ثم​${\displaystyle K^{\mu }=\delta _{\kappa }^{\mu }}$هو ناقل قاتل، حيث${\displaystyle \delta _{\kappa }^{\mu }}$هي دلتا كرونكر . ^{[ 8 ]}

ولإثبات ذلك ، فلنفترض${\displaystyle g_{\mu \nu ,0}=0}$ثم​${\displaystyle K^{\mu }=\delta _{0}^{\mu }}$و​${\displaystyle K_{\mu }=g_{\mu \nu }K^{\nu }=g_{\mu \nu }\delta _{0}^{\nu }=g_{\mu 0}}$⁠ .

والآن دعونا ننظر إلى حالة القتل

${\displaystyle K_{\mu$ ;\nu }+K_{\nu  ;\mu }=K_{\mu ,\nu }+K_{\nu ,\mu }-2\Gamma _ {\mu \nu }^{\rho }K_{\rho }=g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-g^{\rho \sigma }(g_{\sigma) \mu ,\nu }+g_{\sigma \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\sigma })g_{\rho 0}}

ومن​${\displaystyle g_{\rho 0}g^{\rho \sigma }=\delta _{0}^{\sigma }}$يصبح شرط القتل

${\displaystyle g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-(g_{0\mu ,\nu }+g_{0\nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,0})=0;}$

أي ،${\displaystyle g_{\mu \nu ,0}=0}$وهذا صحيح.

• المعنى الفيزيائي هو، على سبيل المثال، أنه إذا لم يكن أي من معاملات موتر القياس دالة للوقت، فيجب أن يكون للمتشعب تلقائيًا متجه كيلينج يشبه الوقت.
• ببساطة، إذا لم يتغير شيء ما أو "يتطور" بمرور الوقت، فلن يؤثر مرور الوقت على خصائصه. قد يبدو هذا الكلام، عند صياغته بهذه الطريقة، تكراراً لما سبق، ولكن يجب أن ندرك أن هذا المثال مصطنع للغاية: فمفهوم "الحقول القاتلة" ينطبق أيضاً على حالات أكثر تعقيداً وإثارة للاهتمام.

وعلى العكس من ذلك، إذا كان موتر القياس${\displaystyle \mathbf {g} }$يعترف بحقل قتل${\displaystyle X^{a}}$ثم يمكن للمرء أن يبني إحداثيات يكون فيها${\displaystyle \partial _{0}g_{\mu \nu }=0}$يتم إنشاء هذه الإحداثيات عن طريق أخذ سطح فائق${\displaystyle \Sigma }$بحيث${\displaystyle X^{a}}$لا علاقة له بـ${\displaystyle \Sigma }$. خذ الإحداثيات${\displaystyle x^{i}}$في​${\displaystyle \Sigma }$ثم حدد الإحداثيات المحلية${\displaystyle (t,x^{i})}$أين${\displaystyle t}$يشير إلى المعلمة على طول منحنى التكامل لـ${\displaystyle X^{a}}$مقرها في${\displaystyle (x^{i})}$في​${\displaystyle \Sigma }$في هذه الإحداثيات، يختزل مشتق لي إلى مشتق الإحداثيات، أي

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g_{\mu \nu }=\partial _{0}g_{\mu \nu }}$

وبحسب تعريف حقل القتل، فإن الجانب الأيسر يختفي.

يتوافق كل متجه كيلينغ مع كمية محفوظة على طول الخطوط الجيوديسية . هذه الكمية المحفوظة هي حاصل الضرب المتري بين متجه كيلينغ ومتجه المماس للخط الجيوديسي. على طول خط جيوديسي ذي معلمات خطية مع متجه مماس${\displaystyle U^{a}}$ثم بالنظر إلى متجه القتل${\displaystyle X_{b}}$الكمية​${\displaystyle U^{b}X_{b}}$يتم الحفاظ عليه:

${\displaystyle U^{a}\nabla _{a}(U^{b}X_{b})=0}$

يساعد هذا في دراسة الحركات تحليلياً في الزمكان ذي التناظرات. ^{[ 9 ]}

بافتراض وجود موتر محفوظ ومتماثل${\displaystyle T^{ab}}$أي واحد مُرضٍ${\displaystyle T^{ab}=T^{ba}}$و​${\displaystyle \nabla _{a}T^{ab}=0}$وهي خصائص نموذجية لموتر الإجهاد والطاقة ، ومتجه كيلينج${\displaystyle X_{b}}$، يمكننا بناء الكمية المحفوظة${\displaystyle J^{a}:=T^{ab}X_{b}}$مُرضٍ

${\displaystyle \nabla _{a}J^{a}=0.}$

كما ذُكر أعلاه، فإن قوس لي لحقلين من حقول كيلينج يظل حقل كيلينج. حقول كيلينج على مشعب${\displaystyle M}$وبذلك تشكل جبرًا فرعيًا من نوع لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$من جميع حقول المتجهات على${\displaystyle M}$. تحديد نقطة ⁠${\displaystyle p\in M}$، الجبر${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يمكن تقسيمها إلى جزأين:

${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\{X\in {\mathfrak {g}}:X(p)=0\}}$

و

${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{X\in {\mathfrak {g}}:\nabla X(p)=0\}}$

أين${\displaystyle \nabla }$هي المشتقة المتغيرة . يتقاطع هذان الجزآن بشكل بديهي، لكنهما لا ينفصلان بشكل عام .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$على سبيل المثال، إذا${\displaystyle M}$لدينا فضاء ريماني متجانس${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle M}$هو فضاء متناظر ريماني. ^{[ 10 ]}

بشكل بديهي، فإن التماثلات لـ${\displaystyle M}$تحديد متعدد الشعب محليًا${\displaystyle N}$من الفضاء الكلي، وتُظهر حقول كيلينغ كيفية "الانزلاق على طول" هذا الفضاء الفرعي. وهي تمتد عبر الفضاء المماسي لهذا الفضاء الفرعي. الفضاء المماسي${\displaystyle T_{p}N}$ينبغي أن يكون لها نفس بُعد التماثلات التي تعمل فعليًا عند تلك النقطة. أي، يتوقع المرء ⁠${\displaystyle T_{p}N\cong {\mathfrak {m}}}$ومع ذلك ، بشكل عام، يكون عدد حقول كيلينغ أكبر من بُعد الفضاء المماسي. كيف يُمكن تفسير ذلك؟ يكمن الجواب في أن حقول كيلينغ "الإضافية" زائدة عن الحاجة. فعند جمعها معًا، تُوفر هذه الحقول أساسًا مُكتملًا للفضاء المماسي عند أي نقطة مُحددة؛ إذ يُمكن جعل التراكيب الخطية تتلاشى عند تلك النقطة. وقد تجلى ذلك في مثال حقول كيلينغ على كرة ثنائية الأبعاد: حيث توجد ثلاثة حقول متجهة لكيلينغ؛ عند أي نقطة مُعينة، يمتد اثنان منها على الفضاء المماسي عند تلك النقطة، بينما يُمثل الثالث تركيبًا خطيًا من الحقلين الآخرين. ويُحدد اختيار أي حقلين منها ...${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$⁠ ; تحدد التركيبات الخطية المتدهورة المتبقية فضاءً متعامدًا ⁠${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$⁠ .

يُعرَّف تحويل كارتان بأنه انعكاس أو عكس اتجاه خط جيوديسي. ويعكس تفاضله اتجاه المماسات لهذا الخط. وهو مؤثر خطي ذو معيار واحد، وله فضاءان جزئيان ثابتان، قيمتهما الذاتية +1 و -1. هذان الفضاءان الجزئيان يتوافقان مع${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$و​${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$، على التوالي.

يمكن جعل هذا أكثر دقة. تحديد نقطة${\displaystyle p\in M}$لنفترض وجود خط جيوديسي${\displaystyle \gamma$ :\mathbb {R} \to M} يمر عبر ⁠${\displaystyle p}$، مع​${\displaystyle \gamma (0)=p}$. الالتفاف​${\displaystyle \sigma _{p}}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle \sigma _{p}(\gamma (\lambda ))=\gamma (-\lambda )}$

هذه الخريطة هي انقلاب، بمعنى أن${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=1}$وعند حصرها على الخطوط الجيوديسية على طول حقول كيلينغ، فإنها تُعدّ أيضاً قياساً متساوي القياس بشكل واضح. وهي مُعرّفة بشكل فريد.

يترك${\displaystyle G}$لتكن مجموعة التماثلات المتولدة بواسطة حقول كيلينغ. الدالة${\displaystyle s_{p}:G\to G}$محدد بواسطة

${\displaystyle s_{p}(g)=\sigma _{p}\circ g\circ \sigma _{p}=\sigma _{p}\circ g\circ \sigma _{p}^{-1}}$

هو تشاكل لـ​${\displaystyle G}$. متناهي الصغر${\displaystyle \theta _{p}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$يكون

${\displaystyle \theta _{p}(X)=\left.{\frac {d}{d\lambda }}s_{p}\left(e^{\lambda X}\right)\right|_{\lambda =0}}$

يُعدّ تحويل كارتان تماثلًا جبريًا من نوع لي، بمعنى أن

${\displaystyle \theta _{p}[X,Y]=\left[\theta _{p}X,\theta _{p}Y\right]}$

للجميع​${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$الفضاء الجزئي${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$له تكافؤ فردي في ظل عملية الانعكاس الكارتاني ، بينما${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$له تكافؤ زوجي. أي أنه يشير إلى انعكاس كارتان عند النقطة${\displaystyle p\in M}$مثل${\displaystyle \theta _{p}}$يمتلك المرء

${\displaystyle \left.\theta _{p}\right|_{\mathfrak {m}}=-\mathrm {id} }$

و

${\displaystyle \left.\theta _{p}\right|_{\mathfrak {h}}=+\mathrm {id} }$

أين${\displaystyle \mathrm {id} }$هي دالة التطابق. ومن هذا، يترتب أن الفضاء الجزئي${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$هي جبر لي فرعي من ⁠${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، في ذلك${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}}}$بما أن هذه فضاءات جزئية ذات تكافؤ زوجي وفردي، فإن أقواس لي تنقسم، بحيث ${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {m}}}$و​${\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}}$⁠ .

ينطبق التفكيك المذكور أعلاه على جميع النقاط${\displaystyle p\in M}$للفضاء المتناظر​${\displaystyle M}$⁠ ; يمكن العثور على البراهين في جوست. ^{[ 11 ]} كما أنها تنطبق في سياقات أكثر عمومية، ولكن ليس بالضرورة في جميع نقاط المتشعب.

في الحالة الخاصة للفضاء المتناظر ، يكون لدينا صراحةً أن${\displaystyle T_{p}M\cong {\mathfrak {m}}}$أي أن حقول كيلينغ تغطي كامل الفضاء المماسي للفضاء المتناظر. وبالمثل، يكون موتر الانحناء ثابتًا بشكل متغاير على الفضاءات المتناظرة محليًا، وبالتالي يمكن موازاتها محليًا؛ وهذه هي نظرية كارتان-أمبروز-هيكس .