تصنيف المجالات الكهرومغناطيسية

في الهندسة التفاضلية والفيزياء النظرية ، يُعرَّف تصنيف الحقول الكهرومغناطيسية بأنه تصنيف نقطي للمتجهات الثنائية عند كل نقطة من مشعب لورنتزي . ويُستخدم هذا التصنيف في دراسة حلول معادلات ماكسويل ، وله تطبيقات في نظرية النسبية لأينشتاين .

يتم تمثيل المجال الكهرومغناطيسي عند نقطة p (أي حدث) في فضاء لورنتزي بواسطة متجه ثنائي حقيقي F = F ^ab معرف على الفضاء المماسي عند p .

الفضاء المماسي عند النقطة p متساوي القياس كفضاء جداء داخلي حقيقي مع E ^1,3 . أي أنه يحمل نفس مفهوم مقدار المتجه وزاويته كما في فضاء مينكوفسكي . ولتبسيط الترميز، سنفترض أن الفضاء هو فضاء مينكوفسكي. قد يؤدي هذا إلى طمس التمييز بين الفضاء المماسي عند النقطة p والمتشعب الأساسي؛ ولحسن الحظ، لا يُفقد شيء من خلال هذا التخصيص، لأسباب سنناقشها في نهاية المقال.

تُحدد نظرية التصنيف للحقول الكهرومغناطيسية خصائص المتجه الثنائي F بالنسبة للمقياس اللورنتزي η = η _ab من خلال تعريف ودراسة ما يُسمى "اتجاهات الصفر الرئيسية". دعونا نشرح ذلك.

يُنتج المتجه الثنائي F ab مؤثرًا خطيًا متناظرًا معكوسًا F  ab = F ac η cb ، مُعرَّفًا بخفض دليل واحد باستخدام المقياس. ويؤثر هذا المؤثر على الفضاء المماسي عند النقطة p بالعلاقة r a → F ab  r b . سنستخدم الرمز F للدلالة إما على المتجه الثنائي أو على المؤثر، حسب السياق.

نشير هنا إلى ثنائية مستمدة من الجبر الخارجي. يُطلق على المتجه الثنائي الذي يمكن كتابته على الصورة F = v ∧ w ، حيث v و w متجهان مستقلان خطيًا، اسم المتجه البسيط . أي متجه ثنائي غير صفري على فضاء متجهي رباعي الأبعاد إما أن يكون بسيطًا، أو يمكن كتابته على الصورة F = v ∧ w + x ∧ y ، حيث v و w و x و y متجهات مستقلة خطيًا؛ وهاتان الحالتان متنافيتان. بهذه الصياغة، لا تشير الثنائية إلى المقياس η ، بل إلى الجبر الخارجي فقط. ولكن من السهل ملاحظة أن المؤثر الخطي المتناظر المائل المرتبط به F ^ab _له رتبة 2 في الحالة الأولى ورتبة 4 في الحالة الثانية. ^{[ 1 ]}

لصياغة نظرية التصنيف، نعتبر مسألة القيم الذاتية للدالة F ، أي مسألة إيجاد القيم الذاتية λ والمتجهات الذاتية r التي تحقق معادلة القيم الذاتية

${\displaystyle F^{a}{}_{b}r^{b}=\lambda \,r^{a}.}$

يشير التناظر المائل لـ F إلى ما يلي:

• إما أن يكون المتجه الذاتي r متجهًا صفريًا (أي η ( r , r ) = 0 )، أو أن تكون القيمة الذاتية λ صفرًا، أو كلاهما .

يُطلق على الفضاء الفرعي أحادي البعد الناتج عن متجه ذاتي صفري اسم الاتجاه الصفري الرئيسي للمتجه الثنائي.

تُحدد نظرية التصنيف الاتجاهات الصفرية الرئيسية الممكنة لمتجه ثنائي. وتنص على أنه يجب أن يتحقق أحد الشروط التالية لأي متجه ثنائي غير صفري:

• للمتجه الثنائي اتجاه رئيسي صفري "متكرر" واحد؛ في هذه الحالة، يُقال إن المتجه الثنائي نفسه صفري .
• للمتجه الثنائي اتجاهان رئيسيان صفريان متميزان؛ في هذه الحالة، يُطلق على المتجه الثنائي اسم غير صفري .

علاوة على ذلك، بالنسبة لأي متجه ثنائي غير صفري، فإن القيمتين الذاتيتين المرتبطتين بالاتجاهين الصفريين الرئيسيين المتميزين لهما نفس المقدار ولكن بإشارة معاكسة، λ = ± ν ، لذلك لدينا ثلاث فئات فرعية من المتجهات الثنائية غير الصفرية:

• فضائي : ν = 0
• زمني  : ν ≠ 0 ورتبة F = 2
• غير بسيط : ν ≠ 0 ورتبة F = 4 ،

حيث تشير الرتبة إلى رتبة المؤثر الخطي F.

إن التصنيف الجبري للمتجهات الثنائية المذكور أعلاه له تطبيق مهم في الفيزياء النسبية : يتم تمثيل المجال الكهرومغناطيسي بواسطة مجال موتر من الرتبة الثانية متماثل بشكل معكوس ( موتر المجال الكهرومغناطيسي ) لذلك نحصل مباشرة على تصنيف جبري للمجالات الكهرومغناطيسية.

في مخطط ديكارتي على فضاء مينكوفسكي ذي التوقيع المتري السالب في الغالب،${\displaystyle (\eta _{\mu \nu })={\text{diag}}(+---)}$يتكون موتر المجال الكهرومغناطيسي من مكونات

${\displaystyle F_ {ab}=\left({\begin{matrix}0&B_{z}&-B_{y}&E_{x}/c\\-B_{z}&0&B_{x}&E_{y}/c \\B_{y}&-B_{x}&0&E_{z}/c\\-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c&0\end{matrix}}\right)}$

أين${\displaystyle E_{x},E_{y},E_{z}}$و${\displaystyle B_{x},B_{y},B_{z}}$تشير على التوالي إلى مركبتي المجالين الكهربائي والمغناطيسي، كما يقيسهما مراقب قصوري (في حالة سكون في إحداثياتنا). وكما هو معتاد في الفيزياء النسبية، سنجد أنه من الملائم العمل بوحدات هندسية يكون فيها${\displaystyle c=1}$في صيغة " الجمباز المؤشري " للنسبية الخاصة، مقياس مينكوفسكي${\displaystyle \eta }$تُستخدم لرفع وخفض المؤشرات.

لقد ناقشنا حتى الآن فضاء مينكوفسكي فقط . ووفقًا لمبدأ التكافؤ (القوي) ، إذا استبدلنا ببساطة "الإطار المرجعي العطالي" المذكور أعلاه بحقل إطار ، فإن كل شيء يسير بنفس الطريقة تمامًا على المشعبات المنحنية.

• لاندو، ليف د.؛ ليفشيتز، إي إم (1973). النظرية الكلاسيكية للحقول . نيويورك: بيرغامون. ISBN 0-08-025072-6.انظر القسم 25 .